Revista Candidus No.17 - Septiembre/Octubre 2001 Muel Peña

Revista Candidus No.17 - Septiembre/Octubre 2001
Muel Peña
EL SISTEMA BINARIO Y LA CREACIÓN DEL UNIVERSO
El sistema de numeración basado en el dos (también llamado “sistema binario”,
palabra que proviene del latín binarius, que significa dos por vez) es de suma
importancia ya que constituye el alfabeto de las computadoras.
Haremos un pequeño recorrido por el mundo del cero y el uno, la creación del
Universo y un problema interesante.
El problema es el siguiente: a usted le dan el número que desee de pesas de valores
enteros de un gramo, dos gramos, tres gramos, cuatro gramos, etc. De ellas debe
elegir un número suficiente para que, sumándolas de manera apropiada, pueda pesar
cualquier número entero de gramos desde uno hasta mil. Entonces, ¿ cómo debe elegir
las pesas de manera de tener el menor número posible que le permita lograr lo
propuesto?.
Alguno de ustedes puede razonar de esta manera:
Comienza con una pesa de 1 gramo, ya que es la única manera de pesar un
gramo. Ahora toma una segunda pesa de 1 gramo y ya puede pesar dos gramos
usando ambas pesas de 1 gramo. Pero puede ahorrar pesas si, en lugar de una
segunda pesa de 1 gramo toma una de dos gramos, pues entonces no sólo puede
pesar dos gramos con esta nueva pesa, sino que también puede pesar tres gramos
empleando la de 2 gramos mas la de 1 gramo.
Luego puede elegir una pesa de 4 gramos. Eso no sólo le dá la posibilidad de
pesar 4 gramos, sino también 5 gramos (4 gramos mas 1 gramo), 6 gramos (4
gramos mas 2 gramos) y 7 gramos (4 gramos mas 2 gramos mas 1 gramo). Hasta
aquí el proceso es bastante sencillo y usted comienza a detectar un cierto patrón
constante. Si 7 gramos es el máximo que puede alcanzar, en el paso siguiente pude
elegir una pesa de ocho gramos y eso lo llevará hasta 15 gramos (8 gramos mas
4gramos mas 2 gramos mas 1 gramo) pasando por todos los pesos enteros
intermedios.
La pesa siguiente será de 16 gramos y empieza a ver claramente que para
pesar cualquier número de gramos, usted tiene que tomar una serie de pesas
(empezando con la de 1 gramo), cada una de las cuales es el doble de la anterior. Eso
significa que puede pesar cualquier número de gramos desde 1 hasta 1000 mediante
10 y solamente 10 pesas: de 1 gramo, 2 gramos, 4 gramos, 8 gramos, 16 gramos, 32
gramos, 64 gramos, 128 gramos, 256 gramos y 512 gramos. En realidad estas pesas
le permiten llegar hasta 1023 gramos.
1023= 512 + 256 + 128 +64 + 32 + 16 + 8 + 4+ 2 + 1.
Ahora puede olvidarse de las pesas y trabajar con números solamente. Usando
los números 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 y 512 y sólo esos, puede expresar
cualquier otro número hasta el 1023 inclusive, sumando dos o mas de ellos. Por
ejemplo, el número 100 se pude expresar como: 100 = 64 +32 + 4. El número 224
sería: 224 = 128 +64 + 32.
Si agrega a esta lista de número el 1024, entonces puede seguir formando
números hasta el 2047, pues: 2047 = 1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 16 + 8 +
4 + 2 + 1.
Y si luego agrega el 2048, pude seguir formando números hasta el 4095; y si
luego agrega el 4096............
Bueno, si comienza con el uno y lo sigue duplicando indefinidamente, tendrá
una sucesión de números que mediante sumas adecuadas le permitiran expresar
cualquier número finito. Hasta aquí todo marcha bien, pero esta sucesión tan
interesante de los números 1, 2, 4, 8, 16, 32, .....parece un tanto complicada.
Seguramente debe haber una forma más sencilla de expresarla
( Piensa uno). Si olvidamos el uno y pensamos en el dos, se puede empezar
diciendo que 2 es igual a 2 (¿alguna objeción?). luego 4 = 2x2, 8=2x2x2,
16=2x2x2x2, 32=.............
Esta sucesión es muy atractiva y agradable, pero, no a la vista. Por lo tanto,
en lugar de escribir todos los números 2, emplearemos el método exponencial.
Así, a 4 lo llamaremos 22, 8 = 23, 16 = 24, 32 = 25, etc. En cuanto al 2
mismo, lo expresaremos 21.
Además, podemos decidir que 20 (dos a la potencia cero) sea igual a uno.
Entonces, en lugar de la sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 32... se tiene la sucesión 20, 21,
22, 23, 24, 25, ...... Es la misma sucesión si se tienen en cuenta los valores de sus
distintos términos, pero la segunda forma de expresarla es mas elegante y útil como
se vera en las próximas líneas. Empleando estas potencias de dos se pude expresar
cualquier número. Por ejemplo:
100 = 64 + 32 + 4
100
224 = 128 + 64 + 32
= 26 + 25 + 22
224 = 27 +
26 + 25
Y por supuesto
1023 = 29 + 28 + 27 + 26 + 25 + 24 +
23 + 22 + 21 + 20
Se están empleando diez potencias distintas del 2 para expresar cualquier
número por debajo de 1024, sin costo alguno podemos construirlos a todos. Si no se
quiere emplear una cierta potencia en la suma que hace falta para expresar un
número dado, entonces basta con que la multiplique por cero. Si se quiere emplear la
multiplica por uno.
En conclusión, se puede decir que:
1023 = 1x29 + 1x28 + 1x27 + 1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 1x21 + 1x20
100 = 0x29 + 0x28 + 0x27 + 1x26 + 1x25 + 0x24 +0x23 +1x22 +0x21 +0x20
A estas alturas usted estará pensando: ¿porqué incluir todas esas potencias
que después no se usan?
No se preocupe, si las escribe todas sistemáticamente sin excepción, luego puede dar
por hecho que están allí y omitirlas del todo, quedándose sólo con los unos y los ceros.
Entonces se puede escribir 1023 como 1111111111 y 100 como 0001100100
De esa forma se pueden expresar todos los números, por ejemplo:
1 = 0000000001
2 = 0000000010
3 = 0000000011
4 = 0000000100, y así sucesivamente.
Ahora se puede adoptar la covención de omitir todas las potencias de 2 que no
se usan en un número dado y comenzar por la potencia más alta que si se usa,
continuando a partir de allí. En otras palabras, no se escribe la linea de ceros que
aparecen a la izquierda. Los números se pueden representar como:
1 = 1; 2 = 10; 3 = 11; 4 = 100
De esta manera, absolutamente cualquier número se puede expresar como
una cierta combinación de unos y ceros (sistema binario). El sistema de computación,
es decir en base dos, ya se conocía en China unos 3000 años A.C. Cuarenta y seis
siglos después Leibniz redescubre el sistema binario, hecho que lo llenó de asombro.
El primer matemático que empleó ese sistema de numeración en forma lógica
fue Gottfried Wilhelm Leibniz. El gran matemático se sintió maravillado y gratificado
porque razonó que el uno, que representa la unidad, era un símbolo evidente de la
existencia de Dios, mientras que el cero representaba la nada que, además de Dios,
también existía en un principio. Dedujo que la combinación entre ambos símbolos
representaba al Universo. Ansioso por destruir al ateísmo se dirigió al Gran Tribunal de
Matemáticas de China, con el fin de que el Emperador reflexionara sobre el hecho y
aceptara a un Dios capaz de crear al Universo de la nada.
En consecuencia, si todos los números pueden representarse simplemente
empleando el uno y el cero, es lo mismo decir que Dios creó al Universo a partir de la
nada.
Lic. Miguel Peña
Prof.
B.I. Liceo Camoruco. Valencia.
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