10 Combinaciones Variaciones Permutaciones )! (! ! nmn m n m Cn

ESTADÍSTICA
Combinaciones
Número de grupos diferentes
que se hacen con m elementos
tomados de n en n.
* Si un mismo elemento no se
puede repetir: Combinaciones de
m elementos tomados de n en n:
m
m!
C mn    
 n  n!(m  n)!
* Si un mismo elemento se
puede repetir:
 m  n  1

CRmn  
n


Tema 5: Probabilidad
Variaciones
Número de grupos diferentes
que se hacen con m elementos
tomados de n en n cuando el
orden en que se toman los
elementos hace que los grupos se
consideren diferentes:
* Si un mismo elemento no se
puede
repetir:
Variaciones
ordianarias de m elementos
tomados de n en n:
Vmn 
m!
(m  n)!
* Si un mismo elemento se
puede repetir: Variaciones con
repetición de m elementos
tomados de n en n:
Permutaciones
Número de reordenaciones
diferentes que se hacen con m
elementos:
* Si los elementos no se repiten:
Permutaciones ordinarias de m
elementos:
Pm  m!
* Si el primer elemento se repite
n1 veces, el segundo elemento se
repite n2 veces y el último
elemento se repite nk veces:
Permutaciones con repetición:
Pmn1 ,n2 ...nk 
m!
n1!n 2 !...n k !
VR mn  m n
ÁLGEBRA DE SUCESOS
 Suceso: posible resultado de un experimento aleatorio.
 Sucesos elementales: cada uno de los resultados posibles que no se pueden
dividir en sucesos más pequeños.
 Espacio muestral (E): conjunto formado por todos los sucesos elementales.
 Suceso seguro: aquél que ocurre siempre. Contiene a todos los sucesos
elementales.
 Suceso imposible (Ø): aquél que no puede ocurrir. No contiene a ningún suceso
elemental.
 Sucesos incompatibles: son aquéllos que no pueden suceder simultáneamente.
A B
La unión de dos sucesos A y B es otro suceso que ocurre
cuando ocurre A o cuando ocurre B o bien cuando ocurren
ambos simultáneamente. Contiene todos los sucesos
elementales de A y todos lo de B.
A B
La intersección de dos sucesos A y B es otro suceso que
ocurre cuando ocurren A y B simultáneamente. Contiene
todos los sucesos elementales que pertenecen a A y a B.
(Si los sucesos son incompatibles, la intersección es Ø)
A o bien AC
El suceso complementario de A es aquel que ocurre cuando
no ocurre el suceso A. Contiene todos los sucesos
elementales que no contiene A.
Curso 2006-2007
10
ESTADÍSTICA
Tema 5: Probabilidad
PROPIEDADES:
 AA  A
 A B  B A
 A  B   C  A  B  C 




 E
AA  E
AB  AB
A  B  C  A  C  B  C






AA  A
A B  B A
A  B  C  A  B  C
E 
AA 
AB AB
PROBABILIDAD
Definición clásica: Dado un suceso A, la probabilidad de que ocurra este suceso se
obtiene dividiendo el número de casos en que ocurre el suceso A entre el número de
casos posibles. (Sirve sólo para experimentos cuyos sucesos son equiprobables)
(Regla de Laplace)
nº casos favorables
P(A ) 
nº casos posibles
Definición frecuentista: La probabilidad de ocurrencia de un suceso es el límite,
cuando el número de veces que se realiza el experimento es suficientemente grande, del
númer de veces que ocurre el suceso entre el número total de realizaciones del
experimento.
Definición axiomática: Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral E, una
aplicación que asocia a cada suceso un número real es una probabilidad si verifica los
siguientes axiomas:
1. Para cualquier suceso A se verifica que su probabilidad es un número
real no negativo
2. La probabilidad del suceso seguro vale 1
3. Dados A1, A2, A3, … sucesos incompatibles, se verifica que la
probabilidad de la unión es igual a la suma de las probabilidades de los
sucesos
Propiedades:
 P A   1  P A 
 P    0 y PE   1
 PA  B  PA   PB  P A  B 
 PA  B  C   PA   PB  PC   PA  B   PB  C   PA  C   P A  B  C 
Curso 2006-2007
11
ESTADÍSTICA
Tema 5: Probabilidad
PROBABILIDAD CONDICIONADA
Dado un suceso B con probabilidad no nula, a la probabilidad de que ocurra un suceso
A, una vez que el suceso B haya ocurrido, se le llama probabilidad de A condicionada a
B, se denota como P A | B  y se calcula
PA | B 
PA  B 
P B
(Se cumplen los axiomas de la definición de probabilidad así como las propiedades).
INDEPENDENCIA
Dos sucesos A y B se dice que son independientes si la realización de uno de ellos no
influye en la probabilidad de ocurrencia del otro.
PA | B  P A  o bien PB | A   PB
PA  B  PA P B 
TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL
Sea B un suceso cualquiera con probabilidad no nula y A1, A2, A3,…, An una partición
del espacio muestral (esto es, un conjunto de sucesos incompatibles dos a dos y cuya
unión es el espacio muestral).Entonces se tiene que
P B  P B | A1 P A1   P B | A 2 PA 2   P B | A 3 PA 3   ...  P B | A n P A n 
n
PB   PB | A i P A i 
i 1
TEOREMA DE BAYES
Sea B un suceso cualquiera con probabilidad no nula y sea A1, A2, A3,…, An una
partición del espacio muestral (un conjunto de sucesos incompatibles dos a dos y cuya
unión es el espacio muestral). Entonces se tiene que
PA k | B 
PB | A k P A k 
n
 PB | A i PA i 
i 1
Curso 2006-2007
12