placas delgadas mediante métodos clásicos

PLACAS DELGADAS MEDIANTE
MÉTODOS CLÁSICOS
A NÁLISIS DE E STRUCTURAS II
4 O DE I.C.C.P.
Por
R. Gallego Sevilla,
G. Rus Carlborg y A. E. Martínez Castro
Departamento de Mecánica de Estructuras e Ingeniería Hidráulica ,
Universidad de Granada
Edificio Politécnico Fuentenueva, C/ Severo Ochoa s/n, CP 18071
Granada
Octubre de 2007
Placas delgadas (Teoría de Kirchhoff). Resumen
Ecuación de gobierno:
w,xxxx + 2 · w,xxyy + w,yyyy =
Donde:
D=
E h3
;
12 (1 − ν 2 )
I=
p( x, y)
D
EI
h3
;D=
12
1 − ν2
(0.1)
(0.2)
P( x, y)
x
y
Qy
Qx
Mxy
My
M yx
Mx
A partir del campo de desplazamientos verticales, w( x, y), se obtienen:
Giros:
θx =
∂w
= w,x ;
∂x
θy =
∂w
= w,y
∂y
(0.3)
Momentos unitarios:
Mx
= − D w,xx + ν w,yy
= − D w,yy + ν w,xx
= −2 G I w,xy = − D (1 − ν ) w,xy
My
Mxy
(0.4)
E
.
2 (1 + ν )
Cortantes unitarios:
siendo G =
Qx
Qy
Cortante generalizado en bordes:
Vx
Vy
= − D w,xxx + w,xyy
= − D w,yyy + w,yxx
= − D w,xxx + (2 − ν ) w,xyy
= − D w,yyy + (2 − ν ) w,yxx
I
(0.5)
(0.6)
Índice general
Placas delgadas (Teoría de Kirchhoff). Resumen
I
Capítulo 1. Placas delgadas rectangulares
1
1.1. Placas delgadas rectangulares. Método de Navier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Carga uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2
1.1.2. Carga puntual. Función de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3. Carga distribuida en una linea y = η 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
4
1.1.4. Carga distribuida en una linea y = f ( x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
1.1.5. Momento puntual M y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.6. Momento distribuido M y ( x) en una línea y = η 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
7
1.1.7. Superficie de carga lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.8. Superficie de carga en un parche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
9
1.2. Placas delgadas rectangulares. Método de Levy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1. Función de carga con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
12
1.2.2. Placa rectangular sometida a carga uniforme. Placa tetraapoyada . . . . . . . .
1.2.3. Placa rectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento M y
13
en dos bordes paralelos (caso simétrico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4. Placa rectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento en
14
dos bordes paralelos (caso antimétrico) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.5. Placa rectangular tetraapoyada sometida a una ley de carga lineal . . . . . . .
15
16
II
C APÍTULO 1
Placas delgadas rectangulares
1.1. Placas delgadas rectangulares. Método de Navier
El método de Navier es aplicable en las siguientes condiciones:
1. Placa rectangular, de dimensiones a × b.
2. Condición de apoyos simples en los cuatro bordes (placa tetraapoyada en bordes rectos).
w = 0; w,nn = 0
Considérese la referencia R(O; x, y, z), situada en una esquina de la placa, con x ∈ [0, a] e y ∈
[0, b]. La ecuación de gobierno de flexión de placas delgadas es la siguiente:
∆2 w( x, y) =
p( x, y)
D
(1.1)
siendo:
∆2 = w,xxxx + 2 w,xxyy + w,yyyy
w( x, y) ⇒ Campo de desplazamiento vertical, positivo en sentido z positivo.
p( x, y) ⇒ Carga superficial, positiva en sentido z positivo.
D ⇒ Rigidez de la placa de espesor h, y constantes elásticas E, ν , con D =
E h3
.
12 (1 − ν 2 )
La solución general es:
∞
w( x, y) =
donde n, m ∈
∞
∑ ∑
n=1 m=1
wnm sen
n π x
m π y
b
(1.2)
n 2 m 2 2
=
+
a
b
(1.3)
a
sen
,y
wnm
pnm
;
= 4 ·
π D Fnm
1
Fnm
Los coeficientes p nm corresponden con el desarrollo en serie de Fourier doble con extensión impar
para la carga:
Z aZ b
n π x
m π y
4
pnm =
p( x, y) sen
sen
dxdy
(1.4)
ab 0 0
a
b
∞
p( x, y) =
∞
∑ ∑
n=1 m=1
pnm sen
1
n π x
a
sen
m π y
b
(1.5)
1.1.1. Carga uniforme
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en
sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es
constante, de valor p 0 .
z
p( x, y) = p0
y
x
a
b
Desplazamiento:
16 p0
sn ( x) sm ( y)
n
m
π 6 D Fnm
n = 1,3,5... m = 1,3,5,...
∞
w( x, y) =
∑
∞
∑
(1.6)
con:
Fnm =
n 2 m 2 2
+
a
b
sn ( x) = sen
n π x
m aπ y sm ( y) = sen
b
2
(1.7)
(1.8)
1.1.2. Carga puntual. Función de Green.
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en
sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es
una fuerza puntual, de valor p 0 .
z
p( x, y) = p0 δ ( x − ξ ; y − η)
η
ξ
y
x
a
b
Desplazamiento:
w( x, y) = p0 · K ( x, y; ξ , η)
∞
K ( x, y; ξ , η) =
∞
∑ ∑
n=1 m=1
4
sn (ξ ) sm (η) sn ( x) sm ( y)
a b π 4 D Fnm
(1.9)
(1.10)
donde sn , sm vienen dadas en Eq. (1.8) y Fnm en Eq. (1.7).
La función K ( x, y; ξ , η) es la función de Green (o solución fundamental) al problema de placas
delgadas rectangulares con condiciones de contorno en apoyos simples.
La solución para una carga p( x, y) puede construirse a partir de la función de Green.
w( x, y) =
Z aZ b
0
0
p(ξ , η) K ( x, y; ξ , η) dξ dη
3
(1.11)
1.1.3. Carga distribuida en una linea y = η 0 .
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en
sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es
lineal, distribuida según la función q( x) en una línea de y constante, de valor η 0 .
z
q( x)
η0
y
x
a
b
Carga:
p( x, y) = q( x) δ ( y − η 0 )
(1.12)
Desplazamiento:
∞
w( x, y) =
∞
∑ ∑
n=1 m=1
4
· sm (η0 ) sn ( x)sm ( y) γn
π 4 a b D Fnm
con:
γn =
Z a
0
sn (ξ )q(ξ )dξ
(1.13)
(1.14)
Si la función q( x) se expresa mediante su desarrollo en serie (en seno), se tiene:
∞
q( x) =
2
qk =
a
k∈
Z a
0
∑ qk sk ( x);
k=1
p( x) sk ( x)dx
(1.15)
.
La expresión del desplazamiento queda:
∞
w( x, y) =
∞
∑ ∑
n=1 m=1
qn 2 sm (η0 )
sn ( x) sm ( y)
b π 4 D Fnm
(1.16)
Para carga constante q( x) = q 0 , y la integral en Eq. (1.14) queda:

 2 q0 a
nπ
γn =
0
Por tanto:
∞
w( x, y) =
∑
∞
∑
n = 1,3,5... m = 1
n impar
n par
8 q0
sm (η0 ) sn ( x) sm ( y)
n π 5 b D Fnm
4
(1.17)
(1.18)
1.1.4. Carga distribuida en una linea y = f ( x).
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada
en sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga
es lineal, distribuida según la función q( x) en una línea definida en el plano xy según la función
y = f ( x ).
z
q( x)
y = f ( x)
y
x
a
b
Carga:
p( x, y) = q( x) δ ( y − f ( x))
(1.19)
Coeficientes de la carga:
pnm =
4
ab
Desplazamiento:
Z a
∞
w( x, y) =
q( x)sn ( x) sm ( f ( x)) dx
0
∞
∑ ∑
n=1 m=1
π4
(1.20)
pnm
sn ( x)sm ( y)
D Fnm
(1.21)
Caso particular: y = c x.
pnm =
4
ab
Z a
0
q( x)sn ( x) sen
m π c x
b
dx
(1.22)
Caso particular. Carga constante en una diagonal: q( x) = q 0 ; y = (b/ a) x.
pnm =
4 q0
ab
Z a
0
sen
n π x
a
sen
m π x
a
dx =
2 q0
δnm
b
(1.23)
donde δnm es la delta de Kronecker, definida como sigue:
δnm =

1
si n = m
si n 6= m
0
5
(1.24)
1.1.5. Momento puntual M y
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en
sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . En el punto
de coordenadas (ξ , η) actúa un momento M y .
z
η
ξ
y
My
x
a
b
Desplazamiento:
w( x, y) =
4 My
a b2 D
π3
∞
sn (ξ ) cm (η) m
sn ( x) sm ( y)
Fnm
m=1
∞
∑ ∑
n=1
(1.25)
con:
cm (η) = cos
6
m π η
b
(1.26)
1.1.6. Momento distribuido M y ( x) en una línea y = η0
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en
sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . En la línea
y = η0 se aplica un momento M y , distribuido (My( x) = ∑∞
n = 1 Mn s n ( x ) )
z
M y ( x)
η0
y
x
a
b
Desplazamiento:
wnm =
llamando cm (η0 ) = cos
mπ η b
0
(1.27)
se tiene:
∞
w( x, y) =
mπ η 2 m Mn
0
cos
b
b2 π 3 D Fnm
2 m M n Cm ( η 0 )
sn ( x) sm ( y)
2 3
m = 1 b π D Fnm
∞
∑ ∑
n=1
7
(1.28)
1.1.7. Superficie de carga lineal
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en
sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es de
la forma p( x, y) = p 0 /b · y (triangular en y).
z
p0
y
x
a
b
Carga:
p( x, y) = p0
y
b
(1.29)
Término wnm
wnm =
−8 p0
· (−1)m , con n impar
n m π 6 D Fnm
w( x, y) = −
8 p0
π6 D
(−1)m
sn ( x) sm ( y)
n = 1,3,5,... m = 1 n m Fnm
∞
(1.30)
∞
∑
∑
8
(1.31)
1.1.8. Superficie de carga en un parche
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en
sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es
constante en un parche, con variable x ∈ [0, a] e y ∈ [b/2, b].
z
p0
y
x
b/2
a
b
Desplazamiento:
8p
w( x, y) = 6 0
π D
sn ( x)
·
∑
n = 1,3,5,... n
∞
"
∞
1 − (−1)m/2
sm ( y)
−
sm ( y)
∑
∑
m Fnm
m = 2,4,6,...
m = 1,3,5,... m Fnm
∞
9
#
(1.32)
1.2. Placas delgadas rectangulares. Método de Levy
El método de Levy es aplicable en las siguientes condiciones:
1. Placa rectangular, de dimensiones a × b.
2. Condición de apoyos simples en dos bordes paralelos. w = 0, w ,nn = 0.
El método de Levy presenta ventajas sobre el método de Navier, en general:
Se elimina en parte el fenómeno de Gibbs para la representación de cargas con valores no nulos
en los bordes perpendiculares a los simplemente apoyados.
Las series convergen más rápido.
Sólo hay 1 sumatorio.
Considérese la siguiente figura:
z
p( x, y)
Condiciones
cualesquiera
?
x
y
?
a
b
La función de carga, p( x, y), se expresa en serie, como sigue:
∞
p( x, y) =
∑
n=1
gn ( x) sen (λn y)
con:
λn =
nπ
b
(1.33)
(1.34)
La función gn ( x) se obtiene mediante integración:
gn ( x) =
2
b
Z b
0
p( x, y) sen(λn y) dy
(1.35)
La función de desplazamientos tiene forma de serie en seno:
∞
w( x, y) =
∑ wn (x) sen(λn y)
(1.36)
n=1
Sobre esta serie, se observa que:
El coeficiente wn no es una constante. Es una función de x.
Por construcción, la serie cumple las condiciones de contorno en y = 0 e y = b.
Las funciones wn ( x) se determinan sustituyendo las derivadas de la ecuación (1.36) en la ecuación
de gobierno:
∆2 w( x, y) =
10
p( x, y)
D
(1.37)
La ecuación diferencial para w n ( x) es:
2
gn ( x)
d4 wn ( x)
2 d wn ( x)
λ
−
2
+ λn4 wn ( x) =
n
4
2
D
dx
dx
(1.38)
Esta ecuación se puede reescribir con una notación más compacta,
wnIV ( x) − 2 λn2 wnI I ( x) + λn4 wn ( x) =
gn ( x)
D
(1.39)
Esta ecuación es una Ecuación Diferencial Ordinaria (EDO), lineal, con coeficientes constantes.
Su solución se obtiene sumando dos soluciones: la del problema homogéneo, w hn ( x), que es siempre
p
la misma, y depende de cuatro constantes (A n , Bn , Cn , Dn ) más una solución particular,w n ( x), que
depende de la función g n ( x).
p
wn ( x) = whn ( x) + wn ( x)
(1.40)
Solución del problema homogéneo:
La E.D. a resolver es:
(whn ) IV ( x) − 2 λn2 (whn ) I I ( x) + λn4 whn ( x) = 0
(1.41)
whn ( x) = ( An + Bn λn x) Sh(λn x) + (Cn + Dn λn x) Ch(λn x)
(1.42)
Su solución general es:
donde Ch = cosh y Sh = senh.
Solución del problema particular
p
Se resuelve sustituyendo w n por wn en la ecuación 1.39.
Finalmente, imponiendo las condiciones de contorno en x = 0, x = a se resuelven las constantes
(An , Bn , Cn , Dn ). Una buena elección de la referencia, en problemas con simetría o antimetría,
facilita la expresión de la solución. Para eso se han introducido las funciones hiperbólicas
11
1.2.1. Función de carga con coeficientes constantes
En este caso, g n ( x) = bn (constante). Así:
∞
p( x, y) =
∑ bn sen(λn y)
(1.43)
n=1
La solución particular es fácil de obtener. La ED para determinarla es la siguiente:
p
p
p
(wn ) IV ( x) − 2 λn2 (wn ) I I ( x) + λn4 wn ( x) =
p
bn
D
(1.44)
p
Probando una solución de la forma w n ( x) = ωn , (una constante), se tiene:
p
ωn =
bn
D λn4
(1.45)
Y la solución general será:
∞
w( x, y) =
∑
n=1
bn
sen(λn y)
( An + Bn λn x) Sh(λn x) + (Cn + Dn λn x) Ch(λn x) +
D λn4
12
(1.46)
1.2.2. Placa rectangular sometida a carga uniforme. Placa tetraapoyada
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en
sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . La carga es
constante, de valor p 0 .
z
p0
x
y
a
b
Se considera la referencia R(O; x, y, z) mostrada en la figura.
Desplazamiento:
w( x, y) =
con:
2 p0 b4 ∞
1
×
∑n=1,3,5,...
D
(
n π )5 Ch(αn )
2 Ch(αn ) + λn x Sh(λn x) − (2 + αn Th(αn )) Ch(λn x) sen(λn y)
λn
αn
=
nπ
b
=
nπ a
2b
13
(1.47)
(1.48)
1.2.3. Placa rectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento M y en dos
bordes paralelos (caso simétrico)
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en
sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . En dos bordes
paralelos actúa una distribución de momentos simétrica, M y ( x).
z
My
y
a
x
b
Se considera la referencia R(O; x, y, z) mostrada en la figura. Se consideran las distribuciones de
momentos aplicados tales que M y ( x, b/2) = M y ( x, −b/2). El problema es simétrico en esta referencia. Obsérvese que los momentos son positivos considerando su signo como momentos internos.
El momento se desarrolla en serie como:
∞
M y ( x) =
∑
Mn sin (λn x)
(1.49)
M( x) sin (λn x)
(1.50)
n=1
Los coeficientes Mn se obtienen integrando:
Mn =
Desplazamiento:
a
w( x, y) =
2π D
o bien:
con:
2
a
Z a
0
Mn
b
· Th(αn ) Ch(λn y) − y Sh(λn y) sin (λn x)
∑
2
n = 1 n Ch (α n )
∞
b
Mn
· Th(αn ) Ch(λn y) − y Sh(λn y) sin(λn x)
w( x, y) = ∑
2
n = 1 2 λ n D Ch (α n )
(1.51)
∞
λn
αn
=
nπ
a
=
nπ b
2a
14
(1.52)
(1.53)
1.2.4. Placa rectangular tetraapoyada sometida a dos distribuciones de momento en dos bordes
paralelos (caso antimétrico)
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en
sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . En dos bordes
paralelos actúa una distribución de momentos antisimétrica, M y ( x).
z
My
y
a
x
b
Se considera la referencia R(O; x, y, z) mostrada en la figura. Se consideran las distribuciones de
momentos aplicados tales que My( x, b/2) = − M y ( x, −b/2). El problema es antisimétrico (o antimétrico) en esta referencia. Obsérvese que los momentos son positivos considerando su signo como
momentos internos.
El momento se desarrolla en serie como:
∞
M y ( x) =
∑
Mn sin (λn x)
(1.54)
M( x) sin (λn x)
(1.55)
n=1
Los coeficientes Mn se obtienen integrando:
2
Mn =
a
Desplazamiento:
w( x, y) =
o bien:
0
Mn
b
·
α
λ
λ
Cth
(
)
Sh
(
y
)
−
y
Ch
(
y
)
sin (λn x)
n
n
n
∑
2
n = 1 n Sh (α n )
∞
b
Mn
Cth
(
)
Sh
(
y
)
−
y
Ch
(
y
)
sin (λn x)
·
α
λ
λ
n
n
n
∑
2
n = 1 2 λ n D Sh (α n )
(1.56)
∞
w( x, y) =
con:
a
2π D
Z a
λn
αn
=
nπ
a
=
nπ b
2a
15
(1.57)
(1.58)
1.2.5. Placa rectangular tetraapoyada sometida a una ley de carga lineal
Se considera una placa rectangular, de dimensiones a × b. La placa está simplemente apoyada en
sus cuatro bordes. El espesor de la misma es h. Los parámetros del material son E y ν . Se aplica una
carga distribuida, de valor máximo q.
q
y
q
x
b
a
Superficie de carga:
p( x, y) =
2qy
b
(1.59)
Desplazamiento:
w( x, y) =
2 q a4 ∞
1
·
5 Sh (α )
D n=∑
(
n
π
)
n
1,3,...
4y
Sh(αn ) − [2 + αn Cth(αn )] Sh(λn y) + λn y Ch(λn y) sen(λn x)
b
con:
αn =
(1.60)
nπ b
2a
(1.61)
nπ
a
(1.62)
λn =
16