3.3 Las fórmulas de diferenciación regresiva (BDF) 3.4 Métodos

Apuntes de J. Lorente
3.3
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Las fórmulas de diferenciación regresiva (BDF)
Aquı́ usamos una técnica de interpolación, no sobre f (x, y), sino sobre la solución y(x) del P.V.I.;
es decir, supongamos que Qn,k (x) es el interpolante de y(x) en los nodos {xn , . . . , xn+k }; entonces,
podemos escribir:
k
X
−t
j
Qn,k (x) =
(−1)
∇j yn+k
j
j=0
donde t =
x−xn+k
.
h
Por lo tanto, tomando la aproximación:
y 0 (xn+k ) '
1 dQ
dQ
|x=xn+k =
|t=0
dx
h dt
el método asociado a esta aproximación serı́a:
k
X
1 dQ
1 j
|t=0 = fn+k ó
∇ yn+k = hfn+k
h dt
j
j=1
(3.14)
Un método de la forma (3.14) es conocido como FÓRMULA DE DIFERENCIACIÓN REGRESIVA
(ó, en inglés, B.D.F.) y es IMPLÍCITO. Por ejemplo,
• Si k = 1, se tiene: ∇yn+1 = hfn+1 ; es decir, yn+1 − yn = hfn+1 que es el método de Euler
implı́cito.
• Si k = 2, se tiene: ∇yn+2 + 12 ∇2 yn+2 = hfn+2 ; es decir,
4
1
2
yn+2 − yn+1 + yn = hfn+2
3
3
3
3.4
Métodos predictor-corrector.
Dado un MML implı́cito,
yn+k −
k−1
X
αj yn+j = h
j=0
k
X
βj fn+j
(3.15)
j=0
éste es aplicable bajo condiciones de existencia de solución de la ecuación no lineal; es decir, h <
1
.
|βk |L
Para obtener el valor de yn+k podemos proceder de dos formas diferentes:
• Bajo criterios de convergencia de la sucesión:
(m)
yn+k
−
k−1
X
αj yn+j = h
j=0
k−1
X
(m−1)
βj fn+j + hβk f (xn+k , yn+k ) m = 1, 2, . . .
j=0
(0)
y valor inicial yn+k cualquiera.
(0)
• Partir de un valor inicial yn+k obtenido mediante un método explı́cito adecuado (predicción) y,
a continuación, aplicar el implı́cito un número pequeño de veces (correcciones)
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Métodos de un paso.
La segunda opción es lo que se conoce globalmente como MML predición(P)-corrección(C).
Ası́, un MML predicción-corrección de k-pasos tiene el aspecto (básico) siguiente:
P :
C
m
:
(0)
yn+k
(ν)
yn+k
=
=
k−1
X
αj∗ yn+j
k−1
X
+h
j=0
j=0
k−1
X
k−1
X
αj yn+j + h
j=0
βj∗ fn+j
(3.16)
(ν−1)
βj fn+j + hβk f (xn+kj , yn+k )
(3.17)
j=0
ν = 1, . . . , m
(0)
donde por C m queremos indicar que hacemos m correcciones desde el valor inicial yn+k . Ahora
bien, la aplicación práctica del método tiene dos posibles finalizaciones en cada etapa:
(m)
(m)
• tras la última corrección (ν = m) se realiza la evaluación de fn+k = f (xn+k , yn+k )
(m)
• no se utiliza el valor fn+k
Para distinguir ambas opciones notaremos al MML como P (EC)m E para el primer caso y P (EC)m
(j)
para el segundo donde por E entenderemos evaluación de f (xn+k , yn+k ).
Ası́, una forma más precisa de descripción del MML P-C es:
P :
(EC)m :
(m)
k−1
X
j=0
j=0
k−1
X
(m)
k−1
X
(0)
k−1
X
(ν)
yn+k =
yn+k =
αj∗ yn+j + h
αj yn+j + h
j=0
(m−s)
βj∗ fn+j
(m−s)
βj fn+j
(3.18)
(ν−1)
+ hβk f (xn+kj , yn+k )
(3.19)
j=0
ν = 1, . . . , m
E:
calcular
(m)
f (xn+kj , yn+k )
(3.20)
(ν−1)
Observe que cada pareja (EC) indica la evaluación de f (xn+k , yn+k ) y la corrección según (3.19).
Por lo tanto, si el método es del tipo P (EC)m E aplicamos (3.18) con s = 0, (3.19) y (3.20); pero,
si el método es P (EC)m , aplicamos (3.18) con s = 1 y (3.19).
Ejemplo: Método de Adams-Bashforth-Moulton de orden 5.
Combinando un MML AB (predicción) de 5 pasos con uno de AM de 4 pasos (corrección) se tiene
el MML PC ABM siguiente:
h
(1901fn+4 − 2774fn+3 + 2616fn+2 − 1274fn+1 + 251fn )
720
h
= yn+4 +
(251fn+5 + 646fn+4 − 264fn+3 + 106fn+2 + 19fn+1 )
720
P := yn+5 = yn+4 +
C := yn+5