fórmula de descuento con infinitos periodos

DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA DE ACTUALIZACIÓN DE ANUALIDADES A
PERPETUIDAD
Consideremos la progresión geométrica que forma la suma de la serie de anualidades
descontadas exponencialmente,
VA(0)1 = [V/(1+r)^1]+[V/(1+r)^2]+[V/(1+r)^3]+ ... +[V/(1+r)^n]+...
= V [ 1/(1+r) + 1/(1+r)^2 + 1/(1+r)^3 + ... + 1/(1+r)^n + ... ]
siendo VA(0)1 el valor actual, descontado al período 0, acumulado desde el período 1, V la
anualidad sin descontar, r la tasa de descuento y n un período arbitrario.
Para deducir la fórmula de la suma de los n primeros términos, simplificamos primero la
notación. Definamos
k = 1/(1+r)
de forma que
k^2 = [1/(1+r)] [ 1/(1+r)] = 1/(1+r)^2
y en general
k^n = [1/(1+r)^(n-1)] [ 1/(1+r)] = 1/(1+r)^n
Así, el valor de la suma de la progresión hasta el período n deviene
VA(0)1 = [Vk^1]+[ Vk ^2]+[ Vk ^3]+ ... +[ Vk ^n]
Multiplicando ambos lados por (1-k)
(1-k)VA(0)1 = [Vk^1]+[ Vk ^2]+[ Vk ^3]+ ... +[ Vk ^n] – k([Vk^1]+[ Vk ^2]+[ Vk ^3]+ ... +[
Vk ^n])
(1-k)VA(0)1 = [Vk^1]+[ Vk ^2]+[ Vk ^3]+ ... +[ Vk ^n] – ([Vk^2] +[ Vk ^3] +[ Vk ^4] + ... +
[ Vk ^n] + [ Vk ^(n+1)])
(1-k)VA(0)1 = [Vk^1] - [ Vk ^(n+1)]
dado que se eliminan el resto de los términos positivos y negativos. Despejando el valor
acumulado,
VA(0)1 = ([Vk^1] - [ Vk ^(n+1)]) / (1-k)
VA(0)1 = V(k^1 - k ^(n+1)] / (1-k)
Sustituyendo k por su valor,
VA(0)1 = V[(1/(1+r)) – (1/(1+r) ^(n+1))] / [1-(1/(1+r))]
Lo que también se puede expresar como
VA(0)1 = [V/(1+r)] [1-(1/[1+r]^n)]/[1-(1/[1+r])] = V[1-(1+r)^-n]/r
Para la suma de una progresión a infinitos períodos, n tiende a infinito y por tanto el
denominador tiende a infinito y el cociente a cero, quedando
VA(0)1 = V[(1/(1+r))] / [1-(1/(1+r))]
VA(0)1 = [V/(1+r)] / [r/(1+r)]
VA(0)1 = V / r