1011 AJUSTE DE PARÁMETROS DE BALANCEO PARA LOGRAR

MEMORIAS DEL 14 CONGRESO INTERNACIONAL ANUAL DE LA SOMIM
17 al 19 DE SEPTIEMBRE, 2008 PUEBLA, MÉXICO
AJUSTE DE PARÁMETROS DE BALANCEO PARA LOGRAR
COMPATIBILIDAD EN UN SISTEMA DE ROTOR RIGIDO CON APOYOS
FLEXIBLES.
Alfonso C. García Reynoso
Instituto Tecnológico de Veracruz e Instituto de Ingeniería de la Universidad Veracruzana
Miguel A. de Quevedo 2779, col. Formando Hogar, CP 91860, tel (229) 9385764, Correo e.:
[email protected]
RESUMEN
Se analiza el método de balanceo dinámico de rotores rígidos que utiliza la amplitud de vibración y la
fase, que se obtienen de las mediciones de corridas de prueba. Estos datos así como las posiciones
angulares de las masas de prueba pueden estar sujetos a errores debido a las condiciones de trabajo del
balanceo, por lo cual se ajustan estos parámetros siguiendo un procedimiento de perturbaciones y
visualizando la representación en círculos de la condición del balanceo. El método desarrollado se
describe para uno y dos planos y se aplica a distintos casos reales de laboratorio y de campo. Este
balanceo en campo se efectúa en condiciones difíciles donde es necesario efectuar varias corridas de
prueba para alcanzar los niveles de vibración residual requeridos. En ocasiones los niveles de ajuste de los
parámetros de balanceo son relativamente grandes, por lo que se requiere efectuar perturbaciones hasta de
segundo orden, para manejar las condiciones no lineales del sistema y lograr el balanceo deseado.
ABSTRACT
An analysis is made on the method of balancing of rigid rotors from test-run data of amplitude and phase.
These data, as well as the angular positions of trial weights, are subject to errors due to the working
conditions during balancing, and for this reason these parameters are adjusted by means of a procedure of
perturbations, and visualized by means of a circle representation of the balancing condition. A description
of the method as developed for the cases of one and two planes is explained, and this is applied to
different real cases of rotor balancing which were done in the laboratory as well as in the field. Field
balancing was performed in difficult conditions where vibration measurements lacked of accuracy, thus
requiring additional test-runs to obtain the levels of residual vibrations established by standard. In some
cases, the degree of parameter adjustment is relatively large, making it necessary to consider second
order perturbations in order to cope with the nonlinear conditions of the system and to fulfill balancing
requirements.
NOMENCLATURA
N Amplitud de vibración original, sensor 1
F Amplitud de vibración original, sensor 2
N i Amplitud de vibración con masa de prueba i, sensor 1
Fi
Nr
Fr
Wp
Amplitud de vibración con masa de prueba i, sensor 2
Amplitud de vibración residual, sensor 1
Amplitud de vibración residual, sensor 2
masa de prueba
W pi Masa de prueba i
A Coeficiente de influencia
α A Coeficiente de influencia
B Coeficiente de influencia
β B Coeficiente de influencia
Wc Masa de balanceo
Wc1 Masa de balanceo
Wc 2 Masa de balanceo
θ wPi Posición angular de la masa de prueba i
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INTRODUCCIÓN
El balanceo dinámico de rotores es una práctica necesaria para mantener a los equipos rotatorios en
buenas condiciones de operación. Esta práctica puede desarrollarse en el campo, con el rotor montado en
sus apoyos, o puede realizarse sobre una máquina de balanceo de apoyos flexibles.
El método más usado, según se ha podido observar en muchos años de experiencia, es el de coeficientes
de influencia, el cual se basa en las mediciones de amplitud y fase de la vibración en los apoyos al
efectuar las corridas de prueba. Con estos datos de vibración y suponiendo que el comportamiento del
rotor es lineal y que las lecturas no tienen errores, es posible calcular las masas de balanceo que
eliminarán la vibración en ambos apoyos. En la realidad estas suposiciones no se cumplen y el resultado
es que al aplicar las masas de balanceo el rotor queda con una vibración residual que en muchos casos
excede las tolerancias de vibración, por lo que se hace necesario efectuar varios ejercicios de balanceo
para bajar gradualmente los niveles de vibración.
Con la idea de mejorar esta aproximación en el caso de mediciones sujetas a errores, como ocurre en
mayor medida en el balanceo en campo, se presenta un método que ajusta los parámetros mediante
perturbaciones. Es decir, se hacen pequeñas variaciones a la amplitud y la fase de la vibración y también a
las posiciones angulares de los masas de prueba para lograr una compatibilidad entre las corridas de
prueba cuando se manejan datos acumulados en el proceso gradual de reducción de la vibración. En
ocasiones los niveles de ajuste de los parámetros de balanceo son relativamente grandes, por lo que se
requiere efectuar perturbaciones hasta de segundo orden, para manejar las condiciones no lineales del
sistema y lograr el balanceo deseado.
La técnica desarrollada utiliza un analizador de un canal que es de bajo costo y se valida con pruebas
experimentales de laboratorio y también con ejercicios bajo condiciones reales del campo.
Estado del arte
La revisión de la literatura relacionada con el presente trabajo puede agruparse de la siguiente manera:
1. Métodos de balanceo.
2. Análisis de errores en los datos.
Dentro del grupo de métodos de balanceo, Roizman [1] hace una descripción de los métodos de balanceo
con y sin masas de prueba. Analiza la estabilidad de los algoritmos.
Nicholas [2] presenta un método en el que se usan datos de la función de respuesta de frecuencia de
flexibilidad para una estructura de soporte de una turbina de vapor con el objeto de predecir las
velocidades críticas del rotor. En las pruebas usa un martillo de impacto y se comparan los datos con los
obtenidos con un excitador. El trabajo hace una comparación entre los resultados analíticos y
experimentales.
Marscher [3] desarrolla un método en el que golpea el rotor mientras gira y se toman medidas
acumulativas promediadas en el tiempo y con una ventana exponencial previas a la transformada de
Fourier. Se presenta un ejemplo.
Edwards, Lees y Friswell [4] analizan el trabajo experimental requerido para validar el método de
balanceo usado con datos de vibración. Se requiere un buen modelo numérico del rotor y un conjunto de
datos de respuesta. Se analizan las predicciones y el método práctico en casos reales. El modelo puede ser
de elemento finito y el soporte se modela a partir de los datos de vibración.
Estupiñán, San Martín y Canales [5] desarrollan un instrumento virtual para medir la vibración y
comentan sobre la aplicación al balanceo sin utilizar la fase.
Folies, Allaire y Gunter [6] hacen una revisión de los métodos de balanceo y explica variantes del método
que usa la amplitud de vibración sin usar la fase.
También García-Reynoso [7] plantea un método de balanceo sin utilizar el ángulo de fase. En dicho
artículo muestra la representación mediante círculos de la condición de balanceo.
Dentro de los artículos que analizan el efecto de los errores en los datos, García-Reynoso [8] analiza el
método de coeficientes de influencia en cuanto a su sensibilidad a errores en los datos de vibración,
estableciendo un procedimiento para lograr la convergencia del cálculo a los niveles de vibración de
tolerancia.
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MÉTODO DE BALANCEO POR COEFICIENTES DE INFLUENCIA
El método tradicional de balanceo en un plano por coeficientes de influencia utiliza, como datos, la
lectura de vibración del rotor en su condición de desbalance original y la lectura correspondiente a una
corrida con masa de prueba.
En este caso los datos son los que se muestran en la Tabla 1.
TABLA 1 Datos de corridas de prueba.
CORRIDA VIBRACIÓN EN APOYO
Original
N
N2
Wp
donde las lecturas de vibración son fasores, con magnitud y ángulo de fase.
Con estos datos se calcula el coeficiente de influencia siguiente:
A=
N2 − N
Wp
(1)
Con este coeficiente, que representa el efecto que produce en la vibración una masa unitaria en la
posición de cero grados, se calcula el peso de balanceo del rotor tanto en magnitud como en posición
angular:
WC =
−N
A
(2)
Por otro lado, el método tradicional de balanceo en dos planos por coeficientes de influencia utiliza, como
datos, la lectura de vibración del rotor en su condición de desbalance original y las lecturas
correspondientes a dos corridas con masas de prueba. En este caso los datos son los que se muestran en la
Tabla 2.
TABLA 2 Datos de corridas de prueba.
CORRIDA VIBRACIÓN
Apoyo no.1 Apoyo no.2
Original
N
F
W p1
N2
F2
W p2
N3
F3
Con estos datos se calculan los coeficientes de influencia siguientes:
A=
N2 − N
W p1
(3)
F2 − F
Wp1
(4)
αA =
βB=
B=
N3 − N
Wp2
(5)
F3 − F
Wp2
(6)
Con estos cuatro coeficientes se calculan las masas de balanceo en los dos planos seleccionados:
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WC1 =
βF−N
A(1 − α β )
(7)
Wc2 =
αN − F
B p (1 − α β )
(8)
REPRESENTACIÓN EN CÍRCULOS
Cada corrida con masa de prueba puede visualizarse en un círculo en el plano complejo, en gráfica polar,
como se muestra en [7]. La gráfica tiene en el eje vertical la parte imaginaria del masa de balanceo y en el
eje horizontal la parte real del mismo. La ecuación del círculo es:
2



N2
N2
Re{Wc } −
W p2 cos θ w p 2  + Im{Wc } − 2
W p2 senθ w p 2



N 2 − N 22
N − N 22
= W p2
2
 NN
2

 N2 − N2
2








2
2
(9)
La posición del centro del círculo está dada por la abscisa que se puede escribir como:
O2 x =
1
1 − ( N2 / N )2
W p2 cos θ w p 2
(10)
así como la ordenada:
O2 y =
1
W p 2 senθ w p 2
1 − ( N 2 / N )2
(11)
Por lo tanto, la inclinación de la línea que va del origen al centro del círculo está dada por θ w p 2 que es la
posición angular del masa de prueba correspondiente.
El radio del círculo puede escribirse como:

N2 / N
R 2 = W p2 
1− ( N / N )2
2





(12)
Las fórmulas (9) a (12) utilizan los valores absolutos de las amplitudes ya que no hacen uso de las fases.
MÉTODO PROPUESTO DE BALANCEO EN UN PLANO
Cuando se hacen las corridas con masa de prueba y se va reduciendo gradualmente la vibración, los datos
que se obtienen, en este sistema de ecuaciones sobre-determinado, pueden mostrar cierta incompatibilidad
en cuanto a las masas de balanceo que cada corrida de prueba permite calcular. Para tres corridas de
prueba se tienen los datos (amplitud y fase) de la tabla 3.
TABLA 3 Datos de corridas de prueba para masas de prueba en plano 1
CORRIDA
Original
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FASOR
FASOR
PUNTO 1 PUNTO 2
W p2
N
N2
F
F2
W p4
N4
F4
W p6
N6
F6
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Al calcular las masas de balanceo por el método tradicional se observa que, debido a errores en las
lecturas y también a no-linealidades del sistema, resulta una dispersión de resultados que se visualizan en
los círculos de balanceo de las gráficas polares [7] como se muestran en los casos de estudio.
De acuerdo con lo anterior, cada combinación de lectura original y una corrida de prueba proporciona una
cierta masa de balanceo calculada. Para que las masas de balanceo coincidan en las diferentes pruebas, y
los círculos de las gráficas polares se crucen en un punto común, se deben de cumplir las relaciones de
compatibilidad que a continuación se derivan.
De (1) y (2), aplicado a las corridas de W p 2 y de W p 4 se tiene:
− NW p2
=
N2 − N
− N W p4
(13)
N4 − N
De aquí se obtiene la ecuación:
N 2 = W pp 2 N 4 +
W
W p4 − W p 2
W p4
4
N
(14)
Similarmente, aplicado a las corridas de W p 2 y de W p 6 se tiene:
N 2 = W pp 2 N 6 +
W
W p6 − W p 2
6
W p6
N
(15)
El método propuesto consiste en hacer variaciones a los parámetros para cumplir las relaciones de
compatibilidad (14) y (15), seguido de una minimización por mínimos cuadrados.
Los parámetros se perturban de acuerdo a lo siguiente:
N = N 0 (1 + ε 0 )
(16)
N 2 = N 20 (1 + ε 22 )
(17)
N 4 = N 40 (1 + ε 44 )
(18)
N 6 = N 60 (1 + ε 66 )
(19)
La fase de las mediciones de vibración se perturba también mediante δ0, δ22 , δ44 y δ 66 como se indica:
θ N = θ N (1 + δ 0 )
θ N = θ N (1 + δ 22 )
2
(20)
(21)
2
θ N = θ N (1 + δ 44 )
(22)
θ N = θ N 6 (1 + δ 66 )
(23)
4
4
6
La perturbación de los ángulos donde se colocan las masas de prueba se obtiene mediante δ2 , δ4 y
δ 6 como sigue:
θ W = θ W (1 + δ 2 )
(24)
θ W 4 = θ W (1 + δ 4 )
(25)
θ W 6 = θ W (1 + δ 6 )
(26)
2
2
4
6
Las perturbaciones se efectúan hasta el segundo orden debido a que los efectos no lineales son
usualmente importantes en el balanceo en campo. Estas perturbaciones, que se han de aplicar a las
condiciones de compatibilidad arriba descritas, son como se muestra, a manera de ejemplo, en el siguiente
caso para las partes real e imaginaria del fasor N:
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_
_
_
_
_
__
__
__
__
__
2
1
N (1 + ε 0 ) cos(θ 0 + δ 0 ) = N cos θ 0 + ε 0 ( N cos θ 0 ) + δ 0 (− N sen θ 0 ) + δ 0 (− N cos θ 0 )
2
_
__
+ ε δ (− N sen θ 0 )
0 0
(27)
_
__
__
_
__
_
__
_
__
_
2
N (1 + ε 0 ) sen(θ 0 + δ 0 ) = N sen θ 0 + ε 0 ( N sen θ 0 ) + δ 0 ( N cos θ 0 ) + δ 0 (− 12 N sen θ 0 )
__
_
+ ε 0 δ 0 ( N cos θ 0 )
(28)
Expresiones similares a las ecuaciones (27) y (28) se obtienen para las perturbaciones hasta de segundo
orden de N 2 , N 4 , N 6 .
Al sustituir estas perturbaciones en las ecuaciones de compatibilidad (14) y (15) y conservando términos
hasta de segundo orden, se obtienen relaciones no-lineales de la forma:
a1 + b11ε 0 + b12δ 0 + b13ε 22 + b14δ 22 + b15ε 44 + b16δ 44 + b17δ 2 + b18δ 4 + c11δ 02 + c12 ε 0δ 0 +
c13δ 222 + c14 ε 22δ 22 + c15δ 442 + c16 ε 44δ 44 + c17δ 22 + c18δ 42 = 0
(29)
En esta expresión de la parte real de la ecuación (14), a manera de ejemplo, se escribe el primer término:
a1 = − N 2 cos θ 2 + N cos θ 0 +
W p2
W p4
N 4 cos(θ 4 + θ w2 − θ w4 ) −
W p2
W p4
N cos(θ 0 + θ w2 − θ w4 )
Esta ecuación (29) es una de las cuatro relaciones, dos para la parte real y dos para la imaginaria que se
obtienen.
Para manejar las relaciones en forma lineal, en un proceso iterativo, se modifican la ecuación (29) y
similares como sigue:
a1 + d 11ε 0 + d 12δ 0 + d13ε 22 + d 14δ 22 + d 15ε 44 + d16δ 44 + d17 δ 2 + d18δ 4 = 0
(30)
donde
d 11 = b11 + c12 δ 0
d 12 = b12 + c11δ 0
d 13 = b11 + c14 δ 22
d 14 = b12 + c13δ 22
d 15 = b11 + c16 δ 44
d 16 = b12 + c15δ 44
d 17 = b12 + c17 δ 2
d 18 = b12 + c18δ 4
Esta ecuación (30) es la parte real de (14). Hay otras tres ecuaciones del mismo tipo, es decir, dos
ecuaciones para las partes reales de (14) y (15) y otras dos para las partes imaginarias.
De estas ecuaciones lineales se despeja un parámetro de perturbación por cada ecuación, éstas serán las
variables dependientes del proceso de optimización que a continuación se describe. Se seleccionan las
variables dependientes ε 22 , ε 44 , ε 0 y δ 0 .
A continuación se resuelve numéricamente el siguiente sistema de ecuaciones para encontrar las
constantes Ci que definen estas variables dependientes:
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d 17 
d 11 d 12 d 13 d 15  ε 0 
d 14 
a1 
d 16 
d 18 
d 
d d d d   






 
 21 22 23 25  δ 0  = −a 2  − δ d 24  − δ d 26  − δ  27  − δ d 28 
22
44
2
4
d 31 d 32 d 33 d 35  ε 22 
a3 
d 34 
d 37 
0 




0 

 








0 
0 
a 4 
d 44 
d 47 
d 41 d 42 d 43 d 45  ε 44 
0 
0 
0 
0 
0 
0 
 
 
 
− δ 6   − ε 66   − δ 66  
d 38 
d 35 
d 36 
d 48 
d 45 
d 46 
La solución de estas ecuaciones se escribe en forma compacta como sigue:
ε 0 = C 01 + C11δ 22 + C 21δ 44 + C 31δ 2 + C 41δ 4 + C 51ε 66 + C 61δ 66 + C 71δ 6
(31)
δ 0 = C 02 + C12δ 22 + C 22δ 44 + C 32δ 2 + C 42δ 4 + C 52 ε 66 + C 62δ 66 + C 72δ 6
(32)
ε 22 = C 03 + C13δ 22 + C 23δ 44 + C 33δ 2 + C 43δ 4 + C 53ε 66 + C 63δ 66 + C 73δ 6
(33)
ε 44 = C 04 + C14δ 22 + C 24δ 44 + C 34δ 2 + C 44δ 4 + C 54 ε 66 + C 64δ 66 + C 74δ 6
(34)
donde las constantes Ci son expresiones que contienen los parámetros que aparecen en las ecuaciones (27)
y (28).
Luego se define la función de optimización
2
2
S = W A0 ε 02 + W A 22ε 22
+ W A 44ε 44
+ W A66 ε 662 + WF 0δ 02 + WF 22δ 222 + WF 44δ 442 + WF 2δ 22 + WF 4δ 42
(35)
donde WA0, WA22 , etc. son los factores de ponderación que dan mayor importancia a los datos
correspondientes a la corrida con un radio de círculo más pequeño como lo establece, por ejemplo, la
siguiente fórmula:
1
(36)
WA 22 = 2
R2
donde R2 es el radio del círculo de la gráfica polar correspondiente, según la ecuación (12).
La función de optimización se deriva con respecto a cada uno de los parámetros independientes, que son
siete, y se iguala a cero como se muestra para una de ellas:
∂ε
∂S
= 0 = 2W A66 ε 66 + 2W A22 ε 22 22 +
∂ε 66
∂ε 66
∂ε 0
∂δ 0
∂ε 44
+ 2W A0 ε 0
+ 2W F 0 δ 0
∂ε 66
∂ε 66
∂ε 66
Sustituyendo las derivadas obtenidas de (31) a (34) se obtiene la primera ecuación como:
(37)
2W A44 ε 44
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ε 66 (W A66 + W A22 C 532 + W A 44 C 542 + WF 0 C 522 + W A0 C 512 ) + δ 2 (W A 22 C 53 C 33 + W A 44 C 54 C 34
+ WF 0 C 52 C 32 + W A0 C 51C 31 ) + δ 4 (W A 22 C 53C 43 + W A 44 C 54 C 44 + WF 0 C 52 C 42 + W A0 C 51C 41 )
+ δ 6 (W A 22 C 53C 73 + W A 44 C 54 C 74 + WF 0 C 52 C 72 + W A0 C 51C 71 ) + δ 22 (W A 22 C 53C13
+ W A 44 C 54 C14 + WF 0 C 52 C12 + W A0 C 51C11 ) + δ 44 (W A 22 C 53C 23 + W A 44 C 54 C 24 + WF 0 C 52 C 22
+ W A0 C 51C 21 ) + δ 66 (W A22 C 53C 63 + W A44 C 54 C 64 + WF 0 C 52 C 62 + W A0 C 51C 61 ) =
− (W A 22 C 53 C 03 + W A 44 C 54 C 04 + WF 0 C 52 C 02 + W A0 C 51C 01 )
(38)
Repitiendo el proceso para todas las variables independientes se forma un sistema de siete ecuaciones
lineales que se representa en forma matricial como sigue:
 e11
e
 21
e31

e41
e51

e61
e
 71
e12
e22
e32
e42
e52
e62
e72
e13
e23
e33
e43
e53
e63
e73
e14
e24
e34
e44
e54
e64
e74
e15
e25
e35
e45
e55
e65
e75
e16
e26
e36
e46
e56
e66
e76
e17  ε 66   f1 
e27   δ 2   f 2 
e37   δ 4   f 3 
   
e47   δ 6  =  f 4 
e57  δ 22   f 5 
   
e67  δ 44   f 6 
e77  δ 66   f 7 
(39)
Donde el primer elemento de la matriz es
e11 = W A66 + W A22 C 532 + W A 44 C 542 + WF 0 C 522 + W A0 C 512
y el término independiente es:
f 1 = −(W A22 C 53C 03 + W A44 C 54 C 04 + WF 0 C 52 C 02 + W A0 C 51C 01 )
El sistema se resuelve para encontrar las siete incógnitas, que son los parámetros independientes, y luego
se obtienen las cuatro variables dependientes de las ecuaciones (31) a (34). Este proceso es iterativo, ya
que las ecuaciones (29) y similares son no-lineales. Comenzando con estimaciones iniciales de los
parámetros independientes iguales a cero se calculan los parámetros (31) a (34) y luego los coeficientes
de la ecuación (39). Al resolver esta ecuación se obtienen nuevas estimaciones de los parámetros
independientes y se repite el proceso numérico hasta que converja, usualmente en 5 pasos, o no más de
10.
Si se desea limitar las tolerancias de error en los ajustes de los parámetros, se desarrolla un método de
ajuste que consiste en hacer variaciones a los parámetros que se indican en la Tabla 4, esto para el caso de
dos masas de prueba. Las perturbaciones de los ángulos, aunque se muestran en grados, se trabajan en
radianes.
TABLA 4. Parámetros que se ajustan
Parámetro Variaciones Concepto
Perturbación de amplitud
±0.10
ε
de vibración
Perturbación de Fase de
δii
±10°
Vibración
Perturbación de ángulo de
δi
±20°
Masa de prueba
Estos límites de las variaciones pueden estimarse de acuerdo a las condiciones de trabajo durante la
colocación de las masas de prueba y durante las mediciones de vibración. Con estas tolerancias de ajuste
de los parámetros, es posible explorar todas las soluciones posibles de balanceo de acuerdo a una función
de optimización y a un conjunto de factores de ponderación. Cada coeficiente de influencia en un rango
esperado de trabajo es examinado y el algoritmo de ajuste escoge, para cada coeficiente, el conjunto de
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parámetros óptimos que, sin rebasar las tolerancias, da una solución óptima posible. Al terminar todas las
iteraciones se han guardado en un archivo un conjunto de valores de masas de balanceo que se grafican
dando un área sombreada que define una región de posibles soluciones. El promedio de estos valores
proporciona la mejor estimación de la masa de balanceo. Otra posibilidad es el de tomar el punto que
tiene la función de optimización mínima como criterio de selección.
En resumen, se desarrollan tres algoritmos para efectuar los análisis arriba descritos:
1. Algoritmo para ajuste de parámetros empleando dos corridas de prueba y tomando en cuenta
solamente los ajustes permisibles que no exceden los límites establecidos para el caso en estudio.
2. Algoritmo para ajuste de parámetros tomando dos corridas de prueba. Se permiten grandes
perturbaciones y se manejan efectos no-lineales, sin importar saturación.
3. Algoritmo para ajuste de parámetros tomando tres corridas de prueba. Se permiten grandes
perturbaciones y se manejan efectos no-lineales, sin importar saturación.
MÉTODO PROPUESTO DE BALANCEO EN DOS PLANOS
Para balancear el rotor en dos planos (rotores largos) se puede aplicar cuatro veces el procedimiento de
balanceo en un plano descrito arriba. Las fórmulas para efectuar el cálculo de las masas de balanceo en
dos planos se muestran en la referencia [7].
RESULTADOS
Para probar el método de ajuste de parámetros, tomando solamente dos corridas con masas de prueba y
limitando las perturbaciones, se efectuaron diversos ejercicios de balanceo de rotores, tanto en el
laboratorio como en el campo. En todos los casos se aplicó primero el método de balanceo por
coeficientes de influencia de manera iterativa, reduciendo gradualmente la vibración. Posteriormente se
analizaron los datos para aplicar el método de balanceo propuesto en este artículo, observándose una
buena aproximación a los resultados deseados.
Los casos analizados se resumen como sigue:
1. Rotor montado en una máquina de balanceo de apoyos flexibles.
2. Ventilador de laboratorio con medición a través de una tarjeta de adquisición de datos y
promediado en computadora.
3. Tres ventiladores de extracción de polvo de planta de asfalto, balanceados en campo.
4. Un ventilador de horno de tratamientos térmicos, balanceado en campo.
La Tabla No.5 muestra las masas de balanceo que la técnica tradicional de balanceo proporciona para
cada combinación de vibración original y una masa de prueba. Como puede observarse en esta tabla
comparativa, la dispersión de los resultados, sin ajuste, es grande para los casos de balanceo en campo y
tiende a ser pequeña para el caso de la máquina de balanceo y para el caso de adquisición de datos por
computadora aplicada al ventilador de laboratorio.
En los casos que se discuten a continuación la representación en gráfica polar de las masas de balanceo
puede mostrarse en dos o en tres círculos. Cuando uno de los círculos es muy grande comparado con los
otros, solamente se muestran dos círculos.
Como primera prueba, en el laboratorio de Dinámica de Rotores del Instituto Tecnológico de Veracruz se
montó un rotor experimental de 36 Kg de masa en una máquina de apoyos flexibles y se tomaron los
datos de vibración mediante lectura manual. Estos datos se muestran en la tabla 6 y en la Figura 1, en la
que se grafican los dos círculos donde la línea radial de cada uno muestra el punto en el círculo que
corresponde a la masa de balanceo originalmente calculado por el método tradicional. El área sombreada
muestra las posiciones donde se cruzan los círculos y donde se hacen coincidir las líneas radiales al variar
los parámetros de ajuste dentro de su rango de variación, es decir, son todas las soluciones posibles del
balanceo para las tolerancias de ajuste establecidas para los parámetros de balanceo. La línea gruesa va
del origen del sistema coordenado al punto correspondiente a la masa de balanceo calculada mediante un
promediado o tomando el punto de mínimo valor de la función de optimización. Este caso muestra que la
intersección de los círculos está muy cercana al valor dado por el mínimo de perturbaciones de la función
de optimización, para el espectro de coeficientes de influencia ensayados, que en este caso es de 9.77E04, lo cual es de esperarse para una máquina de balanceo donde la vibración es amplificada por la
flexibilidad de los apoyos.
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TABLA No 5 Casos de balanceo analizados
CASO
Masa de balanceo
para corrida con masa
de prueba 1 (g)
21.44 ∠235.7ª
133.18 ∠71.4ª
Masa de balanceo
para corrida con masa de
prueba 2 (g)
23.62∠310.9ª
24.02 ∠232ª
170.6 ∠18ª
95.18 ∠353.9ª
127.3 ∠335ª
185.01 ∠347.9ª
715.76
247.1 ∠353ª
340. ∠322.1ª
1010. ∠171ª
475.49 ∠186.4ª
25.24 ∠305.2ª
Rotor en máquina de balanceo
Ventilador de laboratorio
Ventilador de extracción de polvos
de Planta de Asfalto
Ventilador de tiro inducido de
planta de tratamiento térmico
Ventilador de extracción de polvos
de planta de asfalto
Ventilador de extracción de polvos
de planta de asfalto
∠ 40.9ª
859.3 ∠215.5ª
Masa de balanceo
para corrida con masa
de prueba 3 (g)
25.72 ∠307.8ª
23.57 ∠235.5ª
124.88 ∠64.1ª
TABLA 6 Rotor de prueba en Máquina de balanceo
PRUEBA
Original N
N2
N4
N6
Nr
AMP.
(µm)
739.
625.
1359
36.
36.
FASE METODO TRADICIONAL MÉTODO APLICADO
A R4-R6
58°
MASA (g)
DIR.
MASA (g)
DIR.
8°
20
0°
53°
20
120°
125° 25.26
305.2°
125° 25.26
305.2°
25.65
307.5°
FIGURA 1 Rotor en máquina de balanceo
En la prueba que se muestra en la Figura 2 se representan los círculos del caso de un ventilador
centrífugo de laboratorio, de 1 hp de potencia montado directamente en el piso y operando a 1100 rpm. Se
utilizó una tarjeta de adquisición de datos para promediar 2000 lecturas en cada prueba. Los datos se
presentan en la Tabla 7. A pesar de que la adquisición de datos es promediada automáticamente, los
círculos no se intersectan, originalmente, en el punto correcto, posiblemente por las no-linealidades del
sistema y los errores en los otros parámetros.
TABLA 7 Ventilador centrífugo de laboratorio
PRUEBA
Original N
N2
N4
N6
Nr
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VELOCIDAD
DE VIBRACION (mm/s)
14.78
32.33
1.83
0.74
0.10
1020
FASE METODO
TRADICIONAL
234° MASA (g) DIR.
263° 30
105°
206° 21.44
235.7°
336° 23.84
232.7°
210° 23.63
234.0°
MÉTODO APLICADO
A R2-R4
MASA (g)
DIR.
23.87
232.9°
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FIGURA 2 Ventilador de laboratorio
Los casos siguientes corresponden a balanceos realizados en campo, en condiciones difíciles, donde los
errores son mayores y donde los apoyos de poca flexibilidad hacen que otros factores, que originan un
comportamiento no-lineal, cobren una mayor importancia.
En el caso que sigue se balanceó en campo un ventilador de extracción de polvo y de gases de escape de
una planta de asfalto. La velocidad es de 1010 rpm, movido por un motor de 100 hp. Los datos se
presentan en la Tabla 8 y los resultados en la Figura 3.
TABLA 8 Ventilador centrífugo de planta de asfalto
PRUEBA VEL.
FASE METODO
VIBR.
TRADICIONAL
(mm/s)
N
N2
N4
N6
Nr
10.16
12.45
8.13
8.64
1.14
54°
36°
13.5°
130°
50°
MASA (g)
55
111
143
163.69
MÉTODO APLICADO
A R2-R6
DIR. MASA (g)
185°
71°
18°
45.78° 125.
DIR.
65.6°
FIGURA 3 Ventilador de extracción de polvos de planta de asfalto, tercer caso.
Hay tres áreas sombreadas que se obtienen por la interacción de los círculos R2-R4, de R2-R6 y de R4-R6.
La zona que menos dispersión tiene y que más se aproxima al valor deseado dado por la recta que sale del
origen es la de los círculos más pequeños.
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Otro caso de balanceo en campo, que presenta dispersión de las masas de balanceo posibles para las
tolerancias establecidas, corresponde a un ventilador de tiro inducido de un horno de tratamiento térmico.
Los datos se presentan en la Tabla 9 y en la Figura 4.
TABLA 9 Ventilador centrífugo de Horno de tratamiento térmico
PRUEBA
Original N
N2
N4
N6
Nr
VELOCIDAD
DE VIBRACION (mm/s)
6.86
7.62
2.67
2.41
0.51
FASE MÉTODO
TRADIC.
138° MASA (g)
108° 53
102° 92
165° 130.4
270° 133
MÉTODO APLICADO
A R4-R6
DIR. MASA (g)
DIR.
80°
354°
335°
354° 165.
350°
FIGURA 4 Ventilador de tiro inducido de horno de tratamiento térmico, cuarto caso.
Otro caso de ventilador de extracción de polvo y gases de escape de una planta de asfalto se muestra en la
Tabla 10 y en la Figura 5. Hay un área pequeña entre otras dos áreas mayores que se aproxima a la masa
de balanceo correcto y corresponde a los círculos R4-R6.
FIGURA 5 Ventilador de extracción de polvos de planta de asfalto, quinto caso.
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TABLA 10 Ventilador de extracción de humos de planta de asfalto
PRUEBA VEL.
VIBR.
(mm/s)
Original
30.99
N
N2
34.29
N4
25.40
N6
19.81
Nr
3.56
FASE MÉTODO
TRADIC.
MÉTODO
APLICADO
A R2-R6
MASA DIR. MASA DIR.
270°
(g)
(g)
274.5° 96.5
261°
216°
208
45°
234°
208
0°
292°
343
351° 366.8
334°
Otro balanceo en campo es un ventilador de extracción de polvo y gases de escape de una planta de
asfalto que gira a 910 rpm, con 200 hp. Los datos se presentan en la Tabla 11 y los resultados en la Figura
6.
TABLA 11 Ventilador centrífugo
PRUEBA VEL.
FASE METODO
VIBR.
TRADIC.
(mm/s)
Original
N
N2
N4
N6
Nr
40.64
58.42
33.02
17.78
2.54
310°
330°
20°
220°
310°
MASA
(g)
519
1061
519
493
MÉTODO APLICADO
A R2-R6
DIR. MASA
(g)
90°
125°
210°
184° 516.7
DIR.
192.3°
FIGURA 6 Ventilador de extracción de polvos de planta de asfalto, sexto caso.
Para ilustrar el ajuste de los círculos que el algoritmo efectúa para el caso 32 de la Figura No3,
cuando se toman las tres corridas con masa de prueba, se muestra la Figura No 9 en la cual los
tres círculos se cruzan en un punto común y los cálculos de la masa de balanceo usando la fase y
amplitud corregidas convergen al punto común, que corresponde a la masa de balanceo
(comparar con Figura No.3). Los parámetros ajustados se muestran en la Tabla No 12,
indicando los ángulos de ajuste en grados, aunque se manejan en radianes en el algoritmo.
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FIGURA No.7 Círculos de parámetros ajustados, tercer caso.
Tabla No. 12 Ajuste de parámetros del caso 32
FASOR
N
N2
N4
N6
WP2
WP4
WP6
ORIGINAL
AJUSTADO
Pert.
Pert.
ε
δ
10.16 ∠54°
12.45 ∠36°
8.13 ∠13.5°
8.64 ∠130°
55 ∠185°
111∠71°
143∠18°
0.0099
0.0558
-0.219
-0.263
----
-2.59°
5.03°
-5.35°
-16°
-1.9°
10.66°
-10.8°
Valor
Corregido
10.26 ∠51.4°
13.13 ∠41.03°
6.35 ∠8.15°
6.37 ∠114°
55 ∠183.1°
111∠81.6°
143∠7.2°
Para ilustrar el efecto de los factores de ponderación, la Tabla No.13 muestra diferentes combinaciones de
datos de vibración, de las corridas con masa de prueba (1, 2 o 3), para los casos de análisis en los que no
se utilizan factores de ponderación y se comparan con la combinación obtenida con los factores de
ponderación propuestos. Esta última forma de cálculo es la que proporciona los mejores resultados,
congruentes con los valores esperados.
Finalmente se presenta la Tabla No.14 que resume las mejores aproximaciones. En todos los casos se
aplica el algoritmo de ajuste de parámetros con tres corridas de masa de prueba, empleando los factores
de ponderación, y se comparan estos resultados con los valores esperados para el balanceo.
TABLA No.13. Efecto de los factores de ponderación.
CASO
Rotor en máquina de
balanceo
Ventilador de laboratorio
Ventilador de extracción
de polvos de Planta de
asfalto
Ventilador de tiro inducido
de planta de tratamiento
térmico
Ventilador de extracción
de polvos de planta de
asfalto
Ventilador de extracción
de polvos de planta de
asfalto
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Masas de balanceo ajustados para diferentes combinaciones
sin utilizar factores de ponderación
Combinación
Combinación
Combinación
1-2 (g)
1-3 (g)
2-3 (g)
26.34 ∠307.5ª
25.67 ∠307.7ª
Masas de balanceo
combinación
1-2-3 con factores
de ponderación
25.72 ∠307.8ª
23.83 ∠232.3ª
250.75 ∠21ª
122.32 ∠65.6ª
23.45 ∠234.5ª
148.14 ∠46.1ª
23.60 ∠235.1ª
158.5 ∠44.9ª
138.82 ∠339.2ª
-
145.08 ∠353.9ª
160.4 ∠345ª
312.91 ∠353.4ª
375.02 ∠334.4ª
558.73 ∠355.9ª
354.8 ∠329.6ª
1015.5 ∠153.5ª
554.32 ∠184.4ª
606.14 ∠168.7ª
493 ∠186ª
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TABLA No.14 Masas de balanceo obtenidos por ajuste de las tres corridas con masa de prueba.
CASO
Rotor en máquina de balanceo
Ventilador de laboratorio
Ventilador de extracción de polvos
de planta de asfalto
Ventilador de tiro inducido de planta
de tratamiento térmico
Ventilador de extracción de polvos
de planta de asfalto
Ventilador de extracción de polvos
de planta de asfalto
Masa de balanceo
calculado (g)
25.72 ∠307.8ª
23.60 ∠235.1ª
158.5 ∠44.9ª
Masa de balanceo
esperado (g)
25.9 ∠303.6ª
23.53 ∠234.8ª
170.1 ∠49.2ª
160.4 ∠345ª
131.1 ∠350.8
354.8 ∠329.6ª
338.8 ∠347.7ª
493 ∠186ª
510 ∠186.7ª
CONCLUSIONES
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
En general, cuando se grafican los datos originales sin ajuste, la intersección de los dos o tres
círculos no se da en un punto común con los puntos correspondientes a las masas de balanceo
calculadas por el método tradicional. Esto se debe a los errores en las lecturas y, tal vez, a las nolinealidades del sistema. El ajuste de los parámetros de balanceo busca satisfacer la
compatibilidad de estos diagramas.
El caso correspondiente a la máquina de balanceo muestra una variación mínima de los
parámetros del balanceo, lo cual es de esperarse para una vibración amplificada por la
flexibilidad de los apoyos.
En el caso del ventilador de laboratorio en que se utilizó una computadora para la adquisición de
datos en tiempo real, aunque tiene una pequeña dispersión de las masas de balanceo, requiere del
ajuste de los parámetros.
Las condiciones de trabajo en el balanceo, especialmente en el campo, determinan la
incertidumbre de los datos de vibración así como la precisión de la posición angular de las masas
de prueba. De acuerdo con esto, se pueden plantear las variaciones permisibles a los parámetros
de ajuste que se manejan en uno de los algoritmos desarrollados.
El método ajusta las amplitudes y los ángulos de fase de las mediciones de vibración así como
las posiciones angulares de las masas de prueba mediante perturbaciones pequeñas que, en el
proceso de cálculo, proporcionan soluciones posibles en las que el punto de cruce de los círculos
coincide con las masas de balanceo del método tradicional. Como hay muchas soluciones que se
obtienen al explorar un rango de coeficientes de influencia, en el cual se cumplen con las
tolerancias permitidas de variación de los parámetros, lo que se obtiene es un área en el diagrama
de soluciones factibles.
Los tres algoritmos proporcionan la solución correspondiente al mínimo valor de la función de
optimización. También pueden proporcionar el promedio de las masas que se encuentran en el
área de soluciones en el caso del análisis de la zona de posibles soluciones.
Los factores de ponderación toman en cuenta que el diámetro del círculo disminuye al tener una
mayor aproximación de la masa de prueba a la masa de balanceo, es decir, al tener la vibración
mas pequeña en la corrida de prueba. Entonces, se aplica un factor de ponderación mayor a las
perturbaciones de los parámetros de los círculos menores. Esto hace que estos parámetros varíen
en una menor cantidad mejorando así la convergencia del balanceo.
En general, cuando los datos de amplitud de vibración en las corridas de pruebas no presentan
mucha variación, la falta de compatibilidad entre los coeficientes de influencia y las masas de
balanceo se debe a errores relativamente pequeños en los parámetros. Sin embargo, cuando la
variación de las magnitudes de los datos es mayor, como es usualmente el caso del balanceo en
campo, el ajuste requerido no es pequeño lo cual puede ser atribuido a la no-linealidad del
sistema, por lo que al imponer condiciones propias de un sistema lineal se deben hacer ajustes
mayores. Esto solo es posible empleando correcciones de segundo orden y efectuando un
proceso numérico iterativo, como lo hacen el segundo y el tercer algoritmo. Además, el uso de la
seudo-inversa en este sistema sobre-determinado de ecuaciones simultáneas efectúa un proceso
equivalente a la aproximación de la solución por mínimos cuadrados.
Los mejores resultados de balanceo se obtienen cuando se aplica el algoritmo de tres círculos y
se efectúan perturbaciones de segundo orden para el ajuste de parámetros de balanceo.
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17th International Modal Analysis Conference, 1999, Orlando, Florida.
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Metal- Mecánica 2007, Durango, Dgo., 18 al 20 de septiembre de 2007.
[8] García- Reynoso, A., “Análisis del error y Convergencia Optima del Método de Coeficientes de
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