MATEMÁTICAS I Grupo GT 1C a APELLIDOS: NOMBRE: 1. Dadas

MATEMÁTICAS I
Grupo GT
1C a
APELLIDOS:
NOMBRE:
1. Dadas las funciones f (x, y) = xy , x = 5 + ln4
p
4
cos(rs), y = r 2r s , calcula:
(a) (0.2 ptos.) La dirección de máximo crecimiento de f (x, y) en (x, y) = (2, 7).
(b) (0.3 ptos.) Hf (x, y)
(c) (0.4 ptos.)
@f
@r
.
(3,0)
2. Dada la función h(x, y, z) =
p
5
x
p
x3 +y 3
x+y+z
ln yz .
(a) (0.2 ptos.) Calcula su dominio. Explica por qué impones cada condición.
(b) (0.3 ptos.) Estudia si es homogénea y, en caso afirmativo, indica su grado.
3. La función
A(r, p, t) =
r sen t
p
t p
representa el ahorro mensual de un trabajador en función de su renta r, un indicador de precios p
y el tiempo t en años. Actualmente (en t = 1) su renta es de 1 000 C y el ı́ndice de precios es p = 9.
(a) (0.3 ptos.) Comprueba que
@A
@r
= 0.28,
(1 000,9,1)
@A
@p
=
15.58,
(1 000,9,1)
@A
@t
=
100.39.
(1 000,9,1)
(b) (0.1 ptos.) Interpreta la tercera de estas derivadas.
(c) (0.1 ptos.) Calcula aproximadamente, mediante derivadas, el incremento del ahorro mensual
al cabo de tres meses (es decir, en t = 1.25).
(d) (0.2 ptos.) Calcula, también de forma aproximada, la variación en dicho periodo del ahorro
marginal respecto de la renta.
(e) (0.2 ptos.) Indica qué nombre recibe la expresión 0.28 dr
15.58 dp
100.39 dt.
(f) (0.1 ptos.) Escribe la curva de nivel correspondiente al ahorro mensual actual. Interprétala.
(g) (0.2 ptos.) Comprueba que la curva de nivel de la pregunta anterior determina una función
implı́cita t(r, p) para valores de las variables próximos a los actuales.
(h) (0.2 ptos.) Calcula la función implı́cita p(r, t).
(i) (0.1 ptos.) Calcula p(900, 1.25) e interpreta el resultado.
(j) (0.3 ptos.) Calcula
@p
@r
derivando implı́citamente la curva de nivel.
(1 000,1)
(k) (0.2 ptos.) Interpreta la derivada del apartado anterior.
(l) (0.2 ptos.) Supongamos que el ı́ndice de precios varı́a según la función p(t) = 8.9+0.1(t 2)2 .
Calcula el ahorro mensual que cabe esperar al cabo de tres meses. ¿Por qué ya no vale el
resultado de la pregunta c)?
MATEMÁTICAS I
Grupo GT
1C b
APELLIDOS:
NOMBRE:
4. (0.5 ptos.) Calcula:
Z
(x + 3) sen(4
5x) dx.
5. Una empresa lanzó un nuevo producto en el momento t = 1 y
la demanda diaria D(t) en cada instante t hasta el momento
actual t = 6 ha variado de modo que
dD
13t
= 2
dt
2t + 3
dD
dt
0.5
2
3
4
5
6
2 u.p./año
!0.5
La demanda diaria empezó siendo de 3 u.p.
(a) (0.3 ptos.) Calcula el momento en que la derivada dD/dt tomó el valor máximo.
(b) (0.4 ptos.) Calcula la función D(t).
(c) (0.2 ptos.) Determina a partir de la gráfica en qué momento aproximadamente D(t) alcanzó
su valor máximo.
(d) (0.2 ptos.) Calcula exactamente dicho momento (en el que D(t) tomó el valor máximo).
R6
(e) (0.2 ptos.) Razona a partir de la gráfica si 2 ( 2t13t
2) dt es positiva.
2 +3
6. (0.5 ptos.) La función de densidad de una variable aleatoria X es de la forma
8
p
< pk 55 x si x 0,
x
f (x) =
: 0
si x < 0.
Calcula el valor de k.
7. (0.5 ptos.) La función P (t) representa la población de un paı́s en millones de habitantes. Durante
un periodo de seis años (desde t = 0 hasta t = 6), su crecimiento en porcentaje ha venido dado por
e0.4t / ln P . Si la población final fue de 22 millones de habitantes, calcula cuál era la población al
inicio del periodo.
8. (0.2 ptos.) Comprueba que la derivada en porcentaje de la población del problema anterior al
final del periodo era de 3.57. Interpreta este resultado.
9. (0.2 ptos.) Calcula el determinante siguiente haciendo ceros en la segunda columna:
1
0
1
1
10. (0.2 ptos.) Resuelve:
x2
3
0
1
1
2
1
1
2
3
1
2
0
2xy 2 = 0
x(y 1) = 0