Diseño de Cuadrados Latinos

Diseño de Cuadrados Latinos
Objetivo:
Ensayar k tratamientos, agrupando las unidades experimentales según
dos criterios diferentes (dos tipos de Bloques) para minimizar los
errores aleatorios debido a la variabilidad de las unidades
experimentales, utilizando un número pequeño de ensayos.
Ejemplo:
Se quieren ensayar cuatro niveles de un fertilizante (factor), en cuatro
variedades distintas de trigo durante cuatro años.
Bloque II
Bloque I (Variedad)
(Año)
1
2
3
4
1
A
B
D
C
2
D
C
A
B
3
B
D
C
A
4
C
A
B
D
Condiciones:
número de Bloques I = número de Bloques II = número de
tratamientos
cada tratamiento aparece una vez en cada fila y en cada renglón.
el número de repeticiones de cada tratamiento es igual al número
de tratamientos.
Bloque
Fila
1
...
...
i
...
...
k
Bloque Columna
...
...
j
...
...
1
k
yijt
Tratamientos:
A,B,C,D....
t = 1,...,k
k
y i .. =
Ti ..
k
∑ y i , j ,t
=
j =1
media de las observaciones en la i-ésima fila
k
k
y.j. =
T. j .
k
=
∑ y i , j ,t
i =1
media de las observaciones en la j-ésima
k
columna
k
y ..t =
T..t
k
=
∑ y i , j ,t
i =1
k
y = y ... =
T...
N
media de las observaciones para el
k
tratamiento t
k
∑ ∑ y i , j ,t
=
i =1 j =1
N
media general;
N = k2
Modelo aditivo:
y ij = µ + β i + γ j + τ t + ε ijt
µ = media verdadera de todas las medias
βi= efecto verdadero del bloque i de filas
γj= efecto verdadero del bloque j de columnas
τt = efecto verdadero del tratamiento t
β i = µ i .. − µ
γ j = µ.j. − µ
;
k
∑ βi
También se cumple que:
τ t = µ ..t − µ
;
=0 ;
i =1
k
∑γ j = 0
;
j =1
k
∑ τt
=0
t =1
y ij = y + ( y i .. − y ) + ( y . j . − y ) + ( y ..t − y ) + ε ijt
µ
βi
τt
γj
⇒ ε ijt = ( y ijt − y i .. − y . j . − y ..t + 2 y )
k
k
∑ ∑ ( yijt − y )
j =1 i =1
ST
+
k
k
2
k
k
k
= k ∑ ( y i .. − y ) + k ∑ ( y . j . − y ) + k ∑ ( y .t . − y )2 +
i =1
SB. Fila
k
2
j =1
SB. columna
∑ ∑ ∑ ( yijt − y i .. − y . j . − y ..t + 2 y )2 =
i = 1 j = 1t = 1
SError
2
t =1
STrat
Suma de Cuadrados:
ST = SB + STrat + Se
Grados de libertad:
φT = φB Fila+ φB Columna + φTrat + φe
N –1 = k2 – 1= (k – 1) + (k – 1 ) + (k – 1)+(k – 1).(k – 2)
Hipótesis:
Ho´: τ1 = .....= τt = ....= τk = 0
H1´: Existe al menos un τt ≠ 0
Ho´´: β1 = .....= βi = ....= βk = 0
H1´´: Existe al menos un βi ≠ 0
Ho´´´: γ1 = .....= γj = ....= γk = 0
H1´´´: Existe al menos un γj ≠ 0
Tabla de Análisis de Varianza
Fuente de
Variación
Suma de cuadrados
Tratamientos STrat
Bloques
Filas
Bloques
Columnas
Error
Total
S Bfila
Cuadrados
Medios
F
φTrat = k - 1
sTrat2 =
STrat/φTrat
2
sTrat
Ti2..
=∑
− CT φB fila = k - 1
k
i =1
sBfil2 =
SBfil/φBfil
T..2t
=∑
− CT
k
t =1
k
k
S Bcol =
k
∑
T.2j .
j =1
k
− CT
Se = ST – SB fila –
SBcol – STrat
ST =
φ
k
φB col = k - 1
φe = (k-1).
(k-2)
sB col2 =
SB col/φB col
2
serror
s B2 fil
2
serror
s B2 col
2
serror
serror2=Se/φe
k
∑ ∑ yijt2 − CT
j =1 i =1
N-1
 k nj
 ∑ ∑ yij
 j =1 i =1
2
CT = N . y = 
N



2
Si F calculado > Fcrítico rechazo la hipótesis nula, el factor estudiado
influye significativamente.
Ventajas:
Reduce el error aleatorio agregando otro criterio para agrupar las
unidades experimentales.
Desventajas:
Muy pocos grados de libertad para el error.
No se puede perder ninguna observación.
3x3
A B C
B C A
C A B
4X4
A B
B A
C D
D C
C
D
A
B
B C A
C A B
A B C
D
C
B
A
5X5
A B C D E
B C D E A
C D E A B
D E A B C
E A B C D
D
C
B
A
C
B
A
D
B
A
D
C
C A B
A B C
B C A
A
D
C
B