7. Modelos kt-kd horarios, Cáceres

Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
7. MODELOS KT-KD HORARIOS, CÁCERES
Una vez integrados los valores 10-minutales de cada una de las variables hora a hora,
calculamos para cada uno de los días válidos el valor de los coeficientes Kt y Kd
horarios, que se definen como:
Kt =
H h gh
H h oh
[7.1]
Kd =
H h dfh
H h gh
[7.2]
Para el cálculo del coeficiente Kt necesitamos primero calcular la irradiación
extraterrestre horaria que alcanza la atmósfera proyectada sobre una superficie
horizontal utilizando la siguiente expresión:
H h 0 = I CS E 0 ( senφsenδ + cos φ cos δ cos ω i )
[7.3]
El cálculo del coeficiente Kd lo haremos de dos formas diferentes como hicimos con los
valores diarios, así podremos comparar los resultados y detectar algún posible fallo
que haya pasado desapercibido al aplicar los filtros. La primera forma será utilizando
directamente el valor de la irradiación horaria difusa sobre superficie horizontal y la
segunda calculando los valores de difusa a partir de los de irradiación directa normal
mediante la siguiente expresión:
K dD =
H h gh − H h D ⋅ cos(θ z )
H h gh
[7.4]
En esta ocasión, si podremos sustituir directamente los valores de radiación directa
normal para hallar el kdD horario, asumiendo la hipótesis de que el ángulo cenital no
varía a lo largo de la hora. Sustituiremos en θz el valor del ángulo cenital en el instante
central de la hora. Con esta aproximación facilitamos los cálculos sin introducir errores
de consideración. El coeficiente que obtendremos aplicando la expresión 7.3 lo
denominaremos kdD para diferenciarlo del kd, donde se aplica directamente la
irradiación difusa registrada.
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Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
Una vez calculados los tres coeficientes para todas las horas de los días válidos del
período de estudio, se representan los valores de kd-kt y los kdD-kt que en su instante
central tienen una altura solar mayor que 10°. Esta medida ha sido tomada para evitar
valores extraños de Kt que se pueden obtener en los instantes cercanos al orto y al
ocaso solar causados por fenómenos de refracción en el horizonte.
kt-kd horario,Cáceres
1.20
1.00
kd
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
kt
Figura 11. Representación de los valores kt – kd horarios obtenidos con los datos de irradiación difusa
medidos en la estación de Cáceres.
kt-kdD horario, Cáceres
1.2
1.0
kdD
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
kt
Figura 12. Representación de los valores kt-kDd horarios obtenidos con los datos de irradiación difusa
medidos en la estación de Cáceres.
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valores diarios de irradiación directa normal
Se observa que ambas nubes de puntos son muy similares. Al igual que hicimos con los
coeficientes kd-kt para los valores diarios, aproximaremos las nubes de puntos
representadas en las figuras 12 y 13 por diversos modelos matemáticos. Utilizando el
mismo procedimiento que se usó en el apartado 6.2 para hallar estos modelos,
obtendremos con los valores horarios los siguientes:
7.1 AJUSTE LINEAL
Se aproximará la nube de puntos representada en las figuras X y X por un modelo lineal
formado por 3 intervalos, dos intervalos donde el valor de Kd se considerara
constante, y otro donde se ajustará el resto de valores con una recta de pendiente
negativa. Para saber el valor de Kt que delimita el comienzo y el fin, de uno y otro
intervalo del modelo, seguiremos el mismo procedimiento empleado para el modelo
lineal de los valores diarios (apartado 6.1). También seguiremos los mismos pasos a la
hora de ajustar la recta en el sentido de los mínimos cuadrados. Para los coeficientes
kd calculados con los valores de difusa, el proceso converge en el siguiente ajuste:
Kt-Kd horarios. Medidas de Cáceres
1
Kd
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
Kt
0.8
1
1.2
Figura 13. Representación de los valores Kd-Kt horarios empleados en el ajuste de la recta definitiva
de pendiente negativa.
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valores diarios de irradiación directa normal
La recta representada en la figura es aquella en la que converge el procedimiento
empleado que tiene la siguiente expresión:
Kd = 1.501180-1.809789·Kt
[7.5]
Sustituyendo los puntos representados en la figura 11 en la ecuación de la hallamos los
siguientes extremos:
Ktmáx.= 0.79
Ktmín= 0.28
Kdmín.= 0.07145
Kdmáx.= 0.99444
Modelo obtenido con los datos de radiación difusa:
Kd = 0.994
Kd = 1.501180-1.809789·Kt
Kd = 0.071
[7.6]
si
Kt ≤0.28
si 0.28< Kt <0.79
si
Kt ≥0.79
kt-kd horario,Cáceres
1.20
1.00
kd
0.80
0.60
0.40
0.20
0.00
0.00
0.10
0.20
0.30
0.40
0.50
0.60
0.70
0.80
0.90
1.00
kt
Figura 14. Representación de los valores kt-kd diarios medidos en la estación de Cáceres junto al
modelo lineal obtenido a partir de ellos.
Aplicando la misma metodología de ajuste a los valores kt- kdD representados en la
figura 12 se obtiene el siguiente resultado:
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valores diarios de irradiación directa normal
Kt-KdD horario. Medidas de Cáceres
1
KdD
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
Kt
0.8
1
1.2
Figura 15. Representación de los valores kdD-kt horarios empleados en el ajuste de la recta definitiva
de pendiente negativa.
La recta representada en la figura es aquella en la que converge el procedimiento
empleado que tiene la siguiente expresión:
KdD = 1.514258-1.777327·Kt
[7.7]
Sustituyendo los puntos representados en la figura 12 en la ecuación de la hallamos los
siguientes extremos:
Ktmáx.= 0.80
Ktmín= 0.29
KdDmín.= 0.092396
KdDmáx.= 0.998833
Modelo obtenido con los datos de radiación directa:
KdD= 0.986
KdD = 1.514258-1.777327·Kt
KdD = 0.082
[7.8]
si
Kt ≤0.29
si 0.29< Kt <0.80
si
Kt ≥0.80
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valores diarios de irradiación directa normal
kt-kdD horario, Cáceres
1.2
1.0
kdD
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
kt
Figura 16. Representación de los valores kt-kdD horarios medidos en la estación de Cáceres junto al
modelo lineal obtenido a partir de ellos
Una vez hecho el ajuste representamos ambos modelos juntos sobre los puntos de
partida para poder comparar los resultados:
kt-kd horario,Cáceres
kt-kd
kt-kdD
Ajuste lineal kd
Ajuste lineal kdD
1.2
1.0
kd
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
kt
Figura 17. Representación de los valores Kt-Kd y Kt-KdD horarios medidos en la estación de Cáceres
con sus respectivos modelos lineales.
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valores diarios de irradiación directa normal
Al igual que ocurría con los modelos lineales diarios, el modelo obtenido con los datos
horarios de directa proporciona valores de kd superiores a los que proporciona el
modelo lineal horario obtenido con los datos de difusa, aunque en este caso, al ser
menor el período de integración, la diferencia encontrada entre ambos modelos
también es inferior. Además, como podemos observar en la grafica, la diferencia
aumenta ligeramente cuando nos acercamos a los valores de kt pertenecientes a los
días claros.
7.2 AJUSTE POLINÓMICO:
A continuación, haremos un ajuste polinómico de tercer y cuarto orden para la nube
de puntos que hemos obtenido con los valores de radiación difusa horarios. En este
caso impondremos, al igual que hicimos con los valores diarios, la condición de que la
polinomial pase por el punto Kd=1 y Kt=0.
El procedimiento a seguir para elegir los valores de Kt que limitan las distintas partes
de los modelos es el mismo que para el modelo lineal. Representaremos ambos ajustes
junto a los puntos de partida correspondientes para poder comparar los resultados:
kt-kd horario,Cáceres
kt-kd
polinomial 3 ª
polinomial 4ª
1.2
1.0
kd
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
kt
Figura 18. Representación de los modelos Kt-Kd polinómicos de 3º y 4º orden obtenidos a partir de los
datos de radiación difusa horarios medidos en la estación de Cáceres.
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valores diarios de irradiación directa normal
Modelo polinómico de tercer orden:
Kd = 0.997
si
Kt ≤ 0.26
Kd = 1+ 1.3302Kt -6.1774 Kt2+ 3.8857 Kt3
si
0.26 < Kt < 0.84
Kd= 0.062
si
Kt ≥ 0.84
[7.9]
Modelo polinómico de cuarto orden:
Kd = 0.992
si
Kt ≤ 0.23
Kd = 1+ 0.6150 Kt -2.1343 Kt2-3.3772 Kt3+4.1910 Kt4
si
0.23 < Kt < 0.85
Kd = 0.044
si
Kt ≥0.85
[7.10]
Como se observa en la gráfica X ambos modelos son muy similares, especialmente en
el tramo central de valores de kt. Sin embargo, para valores de kt altos el modelo
polinómico de tercer orden alcanza valores inferiores de kd que el modelo de cuarto
orden. Esto es probablemente consecuencia de la metodología elegida a la hora de
realizar los ajustes.
Aplicando la misma metodología de ajuste a los valores kt- kdD representados en la
figura 12 se obtiene el siguiente resultado:
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Obtención de modelos kt kd en Cáceres y análisis de metodologías de estimación de
valores diarios de irradiación directa normal
kt-kdD horario, Cáceres
kt-kdD
polinomial 3ª
polinomial 4ª
1.2
1.0
kdD
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
kt
Figura 19. Representación de los modelos kt-kd polinómicos de 3º y 4º orden obtenidos a partir de los
datos de radiación directa horarios medidos en la estación de Cáceres.
Modelo polinómico de tercer orden:
KdD = 1
si
Kt ≤ 0.29
KdD = 1+ 1.6026 Kt -6.8360 Kt2+ 4.3679 Kt3
si
0.29 < Kt < 0.87
KdD = 0.091
si
Kt ≥ 0.87
[7.11]
Modelo polinómico de cuarto orden:
KdD = 0.996
si
KdD = 1+ 0.6913 Kt -2.0562 Kt2-3.7034 Kt3+4.4193 Kt4
KdD = 0.135
si
si
Kt ≤ 0.26
0.26 < Kt < 0.85
Kt ≥ 0.85
[7.12]
Al igual que ocurría con los modelos kt-kd polinómicos, se observa en la figura 18 que
ambos modelos kt-kdD son muy similares, principalmente en la zona central de la
curva, aunque el modelo de tercer orden alcanza valores de kd inferiores para valores
de kt altos.
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valores diarios de irradiación directa normal
Una vez definidos los ajustes representamos todos los modelos juntos sobre los puntos
de partida para poder comparar los resultados al igual que hicimos con los modelos
lineales:
kt-kd horario,Cáceres
kt-kd
polinomial 3ª kdD
kt-kdD
polinomial 4ª kdD
polinomial 4ª kd
polinomial 3ª kd
1.2
1.0
kd
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
kt
Figura 20. Representación de los valores Kt-Kd y Kt-KdD horarios medidos en la estación de Cáceres
con sus respectivos modelos polinomiales de 3º y 4º orden.
Observamos que el resultado obtenido es el mismo que con los ajustes lineales, los
valores de kd que proporcionan los modelos polinómicos obtenidos con los valores de
irradiación difusa calculados a partir de las medidas de irradiación directa son
ligeramente superiores a los que proporcionan los modelos obtenidos con los valores
medidos de irradiación difusa, esta diferencia aumenta ligeramente para valores de kt
superiores a 0.8.
Al igual que hicimos con los modelos diarios compararemos los valores de los
coeficientes MBE y RMSE de cada uno de los ajustes para conocer el que mejor
resultado proporciona:
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valores diarios de irradiación directa normal
Tabla 10. Valores del MBE y del RMSE obtenidos para los modelos Kt-Kd horarios.
Lineal
2
MBE (Wh/m )
2
RMSE (Wh/m )
kd
-8.47
54.70
kdD
-7.67
54.40
Caceres
Polinomial 3º
kd
kdD
-2.31
-1.12
54.21
53.83
Polinomial 4º
kd
kdD
-1.93
-1.21
54.07
53.69
Se observa que el menor error medio de los modelos kt-kd se obtiene para el ajuste
polinomial de tercer orden y de los modelos kt-kdD para el ajuste polinomial de cuarto
orden, aunque en ambos casos los resultados de los dos modelos polinomiales son
muy similares. Los ajustes con menor desviación típica son en ambos casos los
polinomiales de cuarto orden, aunque tampoco se encuentra una diferencia apreciable
respecto a los hallados con el ajuste polinomial de menor orden. Si comparamos los
resultados de los ajustes de los puntos kt-kd con los de los puntos kt-kdD, vemos que
estos últimos son los que menor error medio presentan pero no el que menor
desviación típica, aunque este último parámetro puede considerarse del mismo orden
en ambos casos. En vista de los resultados obtenidos en ambos coeficientes y por
simplicidad en el cálculo, consideraremos el modelo polinomial de tercer orden
horario obtenido a partir de los datos de directa como el más adecuado para el
emplazamiento de Cáceres.
Analizando el RMSE de este último modelo frente al valor medio de irradiación difusa
horaria registrada durante el período de estudio, podemos decir que representa un
37.6 % del mismo, mientras que el error medio no supone ni el 0.1 % del mismo valor.
Esto nos muestra que al igual que ocurre con los modelos diarios, el uso de este tipo
de modelos es más adecuado cuanto mayor es el período de cálculo para el que se
aplica. Es decir, el uso de este modelo daría un buen resultado si el objetivo es conocer
la irradiación difusa (o directa) mensual de un determinado emplazamiento y aún
mejor resultado si el objetivo es conocer su valor anual.
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