Hoja 1 - Universidad Autónoma de Madrid

UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE MADRID
DPTO DE ECONOMÍA CUANTITATIVA
CURSO 2010/2011
ECONOMETRIA I
HOJA 1
Problemas
1. Demostrar que las matrices Px = X(X t X) 1 X t y Mx = In
matrices simétricas, idempotentes y ortogonales entre sí.
P x son
2. Supongamos un modelo lineal Y = X
+ U donde se cumplen los
supuestos ampliados de mínimos cuadrados ((1)-(6)).
b jX tiene una distribución N (0n ; 2u Mx ) siendo
Demostrar que U
Mx = In X(X t X) 1 X t
3. Considera el siguiente modelo de regresión
Notas i =
0
+
1
Renta i +
2
Renta 2i + ui
i = 1; :::; n
que relaciona la nota media obtenida por alumnos de primaria de un
conjunto de distritos de Madrid con la renta media de dichos distritos.
a) Escribe el modelo de regresión en forma matricial, especi…cando
la matriz X y los vectores Y; U y :
b) Explica cómo contrastarías la hipótesis nula de que la relación
entre los resultados escolares y la renta es lineal frente a la alternativa de que es cuadrática. Escribe dicha hipótesis nula en la
forma general R = r: ¿Cómo son en este caso la matriz R y el
vector r?
CUESTIONES DE EXAMEN
(justi…car todas las respuestas)
1. Supongamos el modelo de regresión lineal Y = X + U dnde se
cumplen las hipótesis del teorema de Guass-Markov. Sea e un estimador lineal e insesgado de de la forma e = At Y , entonces :
a) V ar( e jX) = 2u At A
b) e tiene que ser el estimador MCO
c) V ar( e jX) = 2 AAt
u
1
d ) V ar( e ) =
2 At A
X
2. En el caso de errores homocedásticos y normales, condicionados a X:
a) b se distribuye como una N ( ; 2u Ik+1 )
b) b se distribuye como una N ( ; n1 Qx 1 Qx 1 ) donde Qx = X t X y
= U jX
c) b se distribuye como una N ( ; 2u (X t X) 1 )
b = Px Y donde Px = X(X t X) 1 X t
d) U
3. En la demostración de la normalidad asintótica del estimador MCO,
para el caso en que no se supone homocedasticidad, se descompone
1
p ^
t
t
X
p U , que converge a una
n(
) en el producto X X
n
n
N (0k+1 ; ) ¿cuál de las siguientes a…rmaciones es correcta?
a) Podemos aplicar la LGN a
que E[ui jXi ] = 0
b) Podemos aplicar la TCL a
que E[ui jXi ] = 0
c) Podemos aplicar la TCL a
que E[ui jXi ] = 0
d ) Podemos aplicar la LGN a
que E[ui jXi ] = 0
XtX
n
1
XtX
n
1
ya que por hipótesis suponemos
ya que por hipótesis suponemos
t
X
pU
n
ya que por hipótesis suponemos
t
X
pU
n
ya que por hipótesis suponemos
4. Consideremos el modelo lineal yi = 0 + 1 xi1 + : : : + k xik + ui
i = 1; : : : ; n ¿Cuál de los siguientes supuestos no lo es, en general, del
método de Mínimos Cuadrados Generalizados?
a) E[ui jX] =
b)
E[uut jX]
=
> 08i = 1; : : : ; n
(X) donde
(X) es una matriz de…nida positiva
c) Xi y ui satisfacen convenientemente las condiciones de los momentos
d ) La matriz de las variables exógenas X es de rango completo
5. Supongamos dos sucesiones de variables aleatorias: Xn y Zn , para las
p
d
que se tiene que Xn ! X y Zn ! a, siendo a una constante. ¿ Cuál
de las siguientes a…rmaciones es correcta?
2
d
a) Xn Zn ! X a; siempre que a 6= 0
p
b) Xn Zn ! X a
p
c) Xn + Zn ! X + a
d ) Ninguna de las anteriores respuestas es correcta
6. Sea el modelo de regresión Y = X + u. Suponga que se cumplen las
condiciones del Teorema de Gauss-Markov. Sean ^ 1 = A0 Y y ^ 2 = B 0 Y
dos estimadores lineales e insesgados. ¿Cuál de las siguientes a…rmaciones es correcta?
a) ^ 1 y ^ 2 tendrán la misma varianza condicional
b) ^ tendrá menor varianza que ^ si B = X(X 0 X)
1
2
c) ^ 1 tendrá menor varianza que ^ 2 si A = X(X 0 X)
1
1
d ) Ninguna de las respuestas anteriores es correcta
7. Si en un modelo de regresión con K variables explicativas, introducimos una variable adicional que no tiene poder explicativo:
a) La estimación por MCO del efecto causal de esa variable no es
consistente
b) La varianza del estimador MCO del efecto causal de esa variable
ser á muy grande
c) La varianza de los estimadores de los efectos causales de las
restantes variables pierden precisión por el aumento de parámetros a estimar
d ) El coe…ciente de determinación corregido o ajustado aumenta
8. Supongamos un modelo de regresión Y = X + u; con K variables
explicativas y un término constante. Se sabe que la distribución del
término de error no es normal, pero se cumplen las hipótesis para que el
estimador MCO ^ sea consistente. Entonces, la distribuci ón asintótica
de ^ y del estadístico del contraste de signi…cación individual de uno de
los regresores serán, respectivamente (n es el número de observaciones
y ^ es la matriz de varianzas-covarianzas del estimador ^ ):
a) N ( ^ ;
^)
y tn
b) N ( ;
^)
y FK
c) N ( ;
^)
y N (0; 1)
K 1
1;n K 1
d ) Ninguna de las anteriores respuestas es correcta
3
9. Sea el modelo de regresión Yi = 0 + 1 X1i + 2 X2i + 3 X3i + ui ; en el
que Y mide el salario de los trabajadores, X1 su nivel educativo, X2
su experiencia laboral y X3 es una variable binaria que toma el valor
1 para trabajadores del sector …nanciero y 0 en otro caso. Se quiere
contrastar si el nivel educativo y el sector en que el que se trabaja
son relevantes para explicar el salario. Si formulamos la hipótesis nula
como H0 : R = r; ¿cuáles son la matriz R y el vector r?
a) R =
0 1 0 0
0 0 0 1
;r=(
0
)
0
b) R =
0 0 1 0
0 1 0 0
;r=(
0
)
0
c) R =
0 0 1 0
0 1 0 0
;r=(
1
)
0
d) R =
0 0 1 0
0 1 0 0
;r=(
0
)
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PRÁCTICAS CON E-VIEWS
1. El …chero de datos caschool.xls contiene información sobre una serie de
variables recogidas en 420 distritos de California en el año 1998. Entre otras variables se dispone de información sobre las siguientes: puntuación media obtenida en cada distrito por alumnos de educación primaria en un test de matemáticas y lectura (testscr ), ratio medio de estudiantes por profesor en cada distrito(str ), porcentaje de estudiantes
de inglés en cada distrito (el_pct) y porcentaje de alumnos en cada
distrito que tienen beca del estado de California (calw_pct) dentro del
programa CalWORKs (California Work Opportunity and Responsibility to Kids). Se quiere estudiar el efecto que sobre los resultados escolares tienen el resto de variables. Enlace a los datos a través de la página http://wps.aw.com/aw_stock_ie_2/50/13016/3332253.cw/index.html.
Considera las variables Y = testscr; X1 = str; X2 = el_pct y X3 =
calw_pct:
Genera la nube de puntos de la variable Y con respecto a cada una de
las variables X:
Estima el modelo de regresión simple que relaciona las notas con el
ratio estudiante/profesor bajo homocedasticidad y bajo heterocedasticidad. Compara los resultados de los dos modelos estimados.
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Estima el modelo de regresión múltiple que relaciona las notas con
el resto de variables: ratio estudiante/profesor, porcentaje de estudiantes de inglés y porcentaje de alumnos con beca. Lleva a cabo la
estimación teniendo en cuenta la posible existencia de heterocedasticidad. Interpreta los valores estimados de los parámetros. ¿Qué variables
son signi…cativas al 5 %?
Contrasta la hipótesis de que el porcentaje de estudiantes de inglés y el
de alumnos con beca no son signi…cativas para explicar los resultados
escolares.
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