Teoremas de la Teoría de circuitos

3.1.- CLASES DE CIRCUITOS ELÉCTRICOS
TEMA 3
TEOREMAS DE LA
TEORIA DE CIRCUITOS
1.CIRCUITOS LINEALES: Son aquellos cuyo comportamiento puede
caracterizarse mediante una ecuación diferencial lineal. Sus elementos han
de ser lineales, o sea, las respuestas de estos circuitos son funciones
lineales de las entradas.
2.CIRCUITOS CUASILINEALES: Son los que contienen uno o más
elementos no lineales, pero que al menos en un margen de su
funcionamiento pueden considerarse como lineales. Para este tipo de
circuitos puede emplearse la teoría de análisis de los circuitos lineales.
3.CIRCUITOS NO LINEALES: No puede establecerse en ellos la
hipótesis de linealidad, dentro de un margen de aproximación permisible.
Requieren el empleo de técnicas especiales de análisis.
Los elementos estudiados hasta ahora, son elementos
lineales, por lo que los circuitos formados por la
combinación de estos serán circuitos lineales
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE
CIRCUITOS
3.1.- Clases de circuitos eléctricos: Lineales, cuasilineales, no lineales.
3.2.- Propiedades de los circuitos lineales: Homogeneidad y aditividad.
3.2.1.- Proporcionalidad.
3.2.2.- Superposición.
3.3.- Resolución de circuitos.
3.3.1.- Método de las Mallas.
3.3.2.- Método de los Nudos.
3.3.3.- Teorema de Thevenin.
3.3.4.- Teorema de Norton.
3.4.- Teorema de la máxima transferencia de potencia.
3.5.- Métodos para transformar circuitos: Teorema de Kennelly.
3.2.- PROPIEDADES DE LOS C. LINEALES
A) Homogeneidad: Si x(t) e y(t) son las funciones excitación y respuesta
correspondientes a un sistema lineal (siendo y = Kx la función lineal, K =
cte) se verificará que a la excitación Ax(t) responde el sistema con Ay(t),
siendo A una cte.
Entrada
x(t)
A
x’(t) = A x(t)
Salida
y(t) = K x(t)
K
K
A
y’(t) = K x’(t) = K A x(t)
= A y(t)
Un circuito será lineal solo en las variables de I y U, pero no en la P.
ESTA PROPIEDAD DE HOMOGENEIDAD EN ANÁLISIS DE CIRCUITOS SE
LLAMA PROPORCIONALIDAD
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN RESISTENCIAS
EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN BOBINAS
Circuito Eléctrico
u1
Circuito Eléctrico
u1
u1
u1
i(t)
i(t)
R1
i(t)
u(t)
R2
u2
i(t)
R1
u(t)
u2
R2
Excitación
u(t)
R2
u = Ku
R1 + R2
K=
R2
= cte
R1 + R2
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
ENTRADA
Circuito Eléctrico
i(t)
A
i
u1
R1
i(t)
u(t)
R2
u2
u2
u(t)
1
L1 + L2
u2 =
u(t)
K=
SALIDA
i2
C
CIRCUITO
CIRCUITO
ELECTRICO
ENTRADACircuito Eléctrico
u1
i(t)
A
i
u2
u2
L1
u(t)
A
u’ = u A
i2
u1
L2
u
u(t)
u2
ELECTRICO
u2= K u
u2 = KL2
u
C
L1
u
u2 2
K = Constante
K= constante
D
RESPUESTA
La respuesta será:
u2 = K u
A
K
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
SALIDA
CIRCUITO
CIRCUITO
ELECTRICO
i(t)
u2= K u
u2 = KR2
u
B
EXCITACION
K
L2
= cte
L1 + L 2
EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN BOBINAS
KK=
= Constante
constante
Ante una excitación
u(t)
Respuesta
∫ udt
L2
u
L1 + L2
u2
L2
Excitación
R1 ELECTRICO
u
L1
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN RESISTENCIAS
u1
L2
Respuesta
i=
u2 =
L1
u’2 = K A u = A u2
D
RESPUESTA
B
EXCITACION
Ante una excitación
u(t)
K
A
u’(t) = u(t) A
La respuesta será:
u2 = K u(t)
A
K
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
u’2(t) = K A u(t) = A u2(t)
EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN CONDENSADORES
Circuito Eléctrico
u1
u1
i(t)
MÉTODO DE LA RESPUESTA UNIDAD
¿Que tensión tengo que tener entre dos puntos para que me pase una
intensidad determinada por un elemento o conseguir una tensión en bornes
de este?
ENTRADA
SALIDA
A
C1
i(t)
u(t)
C2
u2
i2
i
C
CIRCUITO
CIRCUITO
ELECTRICO
C1
u(t)
ELECTRICO
u2
C2
u2= K u
u
u2
u2 = K u
K K=
= Constante
constante
1
u2 (t ) =
C2
u2 (t ) =
Excitación
Respuesta
∫ i( t ) dt
C1
u(t )
C1 + C2
K=
C1
= cte
C1 + C 2
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
ENTRADA
u1
A
Circuito Eléctrico
i
C1
Ante una excitación
u(t)=1
La respuesta será:
u2(t) = K u(t)= K
La excitación será:
u’(t) = u(t) A
Conocida la respuesta:
u'2(t) = A u2(t)= A K
SALIDA
i2
u1
CIRCUITO
CIRCUITO
C
Ejemplo: calcular que característica debe tener la
fuente de tensión para que UCD, sea de 2
voltios.
ELECTRICO
i(t)
u(t)
D
RESPUESTA
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
EJEMPLO: PROPORCIONALIDAD EN CONDENSADORES
i(t)
B
EXCITACION
C2
u2
u
u(t)
ELECTRICO
C1
u2= K u
u2 = K u
u2
u2
C2
4Ω
A
KK=
= Constante
constante
2Ω
C
4Ω
A
E
SALIDA
EC
C
2Ω
D
RESPUESTA
B
EXCITACION
C.E.
ENTRADA
U
4Ω
2V
2Ω
-
U
E
4Ω
2V
2Ω
Ante una excitación
u(t)
K
A
u’(t) = u(t) A
La respuesta será:
u2(t) = K u(t)
A
K
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
B
D
F
B
Excitación:
UAB
u’2(t) = K A u(t) = A u2(t)
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
F
D
Respuesta:
UCD
EJEMPLO : Resolver el circuito eléctrico de la figura
siguiente suponiendo como incógnitas las
intensidades de las ramas
C
I1
I3
Los pasos a seguir para resolver
A
E
un circuito son:
4Ω
2Ω
I2
1) Dar un sentido arbitrario a las
EJEMPLO : Resolver el circuito eléctrico de la figura
siguiente suponiendo como incógnitas las
intensidades de las ramas
C
I1
I3
Los pasos a seguir para resolver
A
E
un circuito son:
4Ω
2Ω
I2
1) Dar un sentido arbitrario a las
intensidades de las ramas.
+
4Ω
= 1V
B
2Ω
2)
Plantear tantas ecuaciones
como incógnitas tengamos.
3)
Resolver el sistema.
Ecuaciones de Nudos = 2 - 1 = 1
I1 + I2 + I3 = 0
+
B
F
D
intensidades de las ramas.
4Ω
= 6V
2Ω
2)
Plantear tantas ecuaciones
como incógnitas tengamos.
3)
Resolver el sistema.
F
D
Ecuaciones de Nudos = 2 - 1 = 1
ECUACIÓN NUDO C
I1 = 0,17 A.
Ecuaciones de Mallas = 3 - 2 + 1 = 2
I1 + I2 + I3 = 0
ECUACIÓN NUDO C
I1 = 1A
Ecuaciones de Mallas = 3 - 2 + 1 = 2
4 I1 – 4 I2 -1 = 0
ECUACIÓN MALLA “ACDBA”
I2 = -1/12 A
4 I 1 – 4 I2 - 6 = 0
ECUACIÓN MALLA “ACDBA”
I2 = - 0,5 A
- 4 I3 + 4 I2 = 0
ECUACIÓN MALLA “CEFDC”
I3 = -1/12 A
- 4 I3 + 4 I2 = 0
ECUACIÓN MALLA “CEFDC”
I3 = - 0,5A
TENEMOS PLANTEADO 3 ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS
UCD = 2 V
TENEMOS PLANTEADO 3 ECUACIONES CON 3 INCÓGNITAS
EJEMPLO : Resolver el circuito eléctrico de la figura
siguiente suponiendo como incógnitas las
intensidades de las ramas
C
I1
I3
UCD = 1/12 x 4 = 1/3 V
A
E
UCD = K UAB
4Ω
3.2.- PROPIEDADES DE LOS C. LINEALES
B) Aditividad: La salida debida a dos o más entradas se puede hallar
sumando las salidas que se obtiene cuando se aplica por separado cada una
de las entradas.
1
A 1 x1
1
1
A 1 y1
C. E.
1/12 A
+
4Ω
= 1V
B
2Ω
F
D
ENTRADA
1/3 = K · 1
K = 1/3
A 2 x2
A1 x 1 +
A2 x 2
y2 = K 2 x2
A2 y2
C. E.
C. E.
A 1 y1 + A 2 y2 =
= A1 K 1 x1 + A2 K 2 x2
SALIDA
UAB = 1 V
UCD = 1/3 V
K = 1/3
A=6
O sea, toda combinación lineal de las señales de entrada o funciones
de excitación, tiene por respuesta análoga combinación lineal de las
correspondientes salidas o funciones respuestas.
A=6
A LA PROPIEDAD DE ADITIVIDAD, EN ELECTROTECNIA, SE LE LLAMA
SUPERPOSICIÓN
UCD = 2 V
UAB = 6 V
K = 1/3
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
SUPERPOSICIÓN:
Cualquier salida se puede escribir en la forma
SUPERPOSICIÓN: Ejemplo
A
+
R1
US
y = f1(x1) + f2(x2) + ... + f1(x1) = K1x1 + K2x2 + ... + Knxn
IS
R2
U0
B
siendo:
x1, x2, ..., xn las entradas al circuito
K1, K2, ..., Kn constantes que dependen del circuito
Resolución por conversión de fuentes del circuito de la figura:
U0 = (
LA SALIDA ES UNA COMBINACIÓN
R 1R 2
RR
R2
US
IS = K 1 x1 + K 2 x 2
US +
+ IS ) 1 2 =
R1 + R2
R1 + R 2 R1 + R 2
R1
A
LINEAL DE LAS ENTRADAS
US
+ IS
R1
R 1R 2
R1 + R2
K2
K1
U0
B
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
SUPERPOSICIÓN:
SUPERPOSICIÓN: Ejemplo
Una técnica de análisis de circuitos basada en la
superposición procede de la manera siguiente:
+
1. Desconectar todas las fuentes de señal de entrada
menos una y hallar la salida debida a dicha señal
solamente.
2. Repetir el paso 1 sucesivamente para cada una de las
demás fuentes de señal.
3. La salida en el caso de que estén conectadas todas
las fuentes se encuentra entonces sin más que sumar
las respuestas correspondientes a cada fuente
actuando sola.
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
A
R1
US
IS
R2
K1 =
R2
R1 + R2
K2 =
R 1R 2
R1 + R 2
IS
R2
U0
B
Resolución por superposición:
+
R1
US
Anulación f.d.i.
R2
U'0 =
R1
U’0
R2
US
R1 + R2
Anulación f.d.t.
U0 = U’0 + U’’0 = K1US + K2 IS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
U' '0 =
U’’0
R 1R 2
IS
R1 + R2
En el circuito de la figura se sabe que:
Si US = 1 V e IS esta desconectada, UAB vale 0,25 V.
Si US esta desconectada e IS = 1 A, UAB vale 1,875 V.
Ejercicio:
+
A
R1
100 V
10 A
R2
UAB
B
A
+
R1
IS
US
R2
UAB
UAB = K1US + K2 IS =
K1 = 0,25
= 0,25 ×100 + 1,875 ×10 =
K2 = 1,875
= 43,75 V
B
¿Cuanto valdrá la tensión UAB si US vale 100 V e IS vale 10 A?.
¿Cual es la tensión máxima que podemos obtener del circuito?
¿Cual es la intensidad máxima que nos da el dipolo?
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
Ejercicio:
+
A
R1
100 V
10 A
R2
R1
1V
R2
UAB(Us) = 0,25 V = K1US= K1
Anulación f.d.i.
R1
Ejercicio:
UAB
B
Datos:
+
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
R2
UAB(Is) = 1,875 V = K2IS= K2
A
R1
100 V
10 A
+
R1
1V
R2
U0
B
UAB(Us) = 0,25 V = K1US= K1
U AB (Us ) =
0 ,25 =
R2
Us
R1 + R2
R2
R1 + R2
Anulación f.d.t.
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
R2
Otro camino: Obtención de R1 y R2
Anulación f.d.i.
1A
+
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
R1 = 3 R2
Ejercicio:
+
A
R1
100 V
10 A
R2
1A
Anulación f.d.t.
U0 =
3R 22
4R 2
R 1R 2
Is
R1 + R2
R2= 2,5 Ω
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE
CIRCUITOS
3.1.- Clases de circuitos eléctricos: Lineales, cuasilineales, no lineales.
UAB(Is) = 1,875 V = K2IS= K2
R2
U AB (Is ) =
1,875 =
U0
B
Otro camino: Obtención de R1 y R2
R1
R1 = 3 R2
R 1R 2
1,875 =
R1 + R2
R1= 7,5 Ω
3.2.- Propiedades de los circuitos lineales: Homogeneidad y aditividad.
3.2.1.- Proporcionalidad.
3.2.2.- Superposición.
3.3.- Resolución de circuitos.
3.3.1.- Método de las Mallas.
3.3.2.- Método de los Nudos.
3.3.3.- Teorema de Thevenin.
3.3.4.- Teorema de Norton.
3.4.- Teorema de la máxima transferencia de potencia.
2 ,5 × 7 ,5
R 1R 2
R2
2 ,5
10 = 43 ,75 V
100 +
IS =
US +
7 ,7 + 2 ,5
7 ,5 + 2 ,5
R1 + R2
R1 + R 2
3.5.- Métodos para transformar circuitos: Teorema de Kennelly.
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
Ejercicio:
+
A
7,5 Ω
100 V
10 A
2,5 Ω
U0
B
Umax ? e IMax ?:
A
Por
transformación
100
7,5 Ω
7,5
10 A
2,5 Ω
3.3.2.- Método de las Mallas:
U0
B
A
23,3 A
1,875 Ω
U0
A
1,875 Ω
43,75 V
B
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
U0
Umax =43,75 V
IMax =23,33 A
B
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.3.1.- Método de las Mallas:
R1
3.3.1.- Método de las Mallas:
R6
R2
R 1 I1
I3
E1
+
+
R5
R3
E2
E1
+
IA
R6
R2 I
2
I5
IB
R3
R4
I6
R4
+
IC
R5
E2
I4
Método de mallas:
Se consideran que existen unas corrientes en las
mallas de la red IA, IB e IC
Las corrientes de malla deben tener todas el mismo
sentido (por conveniencia)
Pueden identificarse con las corrientes de las ramas
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.3.1.- Método de las Mallas:
3.3.1.- Método de las Mallas:
R 1 I1
E1
+
R6
R2 I
2
I3
I5
R3
R5
R4
R 1 I1
I6
I3
+
E2
E1
+
Incógnitas: Corrientes de la ramas I1, I2, I3, I4, I5 e I6
6 ecuaciones
6 incógnitas
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
IB
R4
Corrientes
de rama:
I6
I5
R3
I4
Lemas de kirchhoff:
3 ecuaciones nodales
3 ecuaciones de mallas
IA
R6
R2 I
2
R5
IC
I4
I1 = IA
I4 = IB
I2 = - IB
I5 = IB - IC
I3 = IA - IB
I6 = - IC
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
+
E2
3.3.1.- Método de las Mallas:
R 1 I1
3.3.1.- Método de las Mallas:
R2 I
2 B
A
I3
E1
+
IA
R6
R 1 I1
I6
I3
I5
IB
R3
R4
+
IC
R5
E1
E2
+
IA
IB
R4
C
R5
0 = R3(IA-IB) – E1+ IAR1
0 = R5I5 + R4I4 - R3I3 - R2I2
0 = R5(IB-IC) + R4IB - R3(IA-IB) -R2(-IB)
0 = - R6I6 + E2 - R5I5
0 = - R6(-IB) + E2 - R5(IB-IC)
IC
C
= E1
Ec. Malla B
- IAR3
=0
+ IB (R2 + R3+ R4+ R5) – IC R5
- IB R 5
+ IC (R5 + R6) = -E2
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.3.1.- Método de las Mallas:
3.3.1.- Método de las Corrientes de Mallas:
A
R2 I B
2
I3
E1
+
IA
R3
IB
R5
Ec. Malla B
Ec. Malla C
R AB
R BB
R CB
IC
+
E2
C
R AC   I A   E A 
    
R BC  ⋅  IB  =  EB 
R CC   I C   EC 
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
Rik: suma de todas las
resistencias comunes a las
mallas i y k cambiadas de
signo
Rii: suma de todas las
resistencias de la malla i.
I4
D
 R AA

 R BA
R
 CA
De forma matricial:
I6
I5
R4
Ec. Malla A
R6
E2
IA(R1 + R3) – IB R3
Ec. Malla C
R 1 I1
+
Ec. Malla A
3 incógnitas
3 ecuaciones
I6
I4
D
0 = R3I3 – E1 + I1R1
R6
I5
R3
I4
D
R2 I
2 B
A
εi: suma
de todas
las f.e.m.
de la
malla i.
 ε A   R AA
  
 εB   R BA
.   .
 =
.   .
  
.   .
 ε  R
 m   mA
R AB
R BB
.
.
.
R mB
. . . R Am   I A 
  
. . . R Bm   IB 
. . .
.   . 
⋅ 
. . .
.   . 
  
. . .
.   . 
. . . R mm   Im 
• Calcular las intensidades de malla Ii.
• Calcular las intensidades de cada rama.
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
Ii:
corriente
ficticia de
la malla i.
3.3.1.- Método de las Corrientes de Mallas: Ejemplo
3.3.1.- Método de las Mallas:
I3
A.- Planteamiento de las ecuaciones de malla:
- Pasar todas las fuentes de intensidad a fuentes de tensión
I1
IA
IB
I A = I1
IA
I1
+
IA
30 V
4Ω
2Ω I
2
5 Ω I1
Formalmente el método de las mallas tiene dos fases:
I6
I1 = I A
I2 = - IB
I5
IB
IC
6Ω
5Ω
+
20 V
I4 = IB
I5 = IB - IC
I4
IB
I 3 = I A – IB
I6 = - I C
I A – I B = I1
- Identificar una intensidad de malla con cada malla.
- Escribir las condiciones impuestas a las conexiones por la segunda
ley de Kirchhoff en función de las intensidades de malla a lo largo
de una malla.
B.- Resolver el circuito
- Hallar las intensidades de cada una de las ramas (que son las
verdaderas incógnitas)
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
 R AA

 R BA
R
 CA
R AB
R BB
R CB
R AC   I1   E A 
    
R BC  ⋅  I2  =  EB 
R CC   I 3   EC 
 10 − 5 0   I A   30 
   


 − 5 13 − 6  ⋅  IB  =  0 
 0 − 6 10   I   − 20 
  C 


I1 = IA= 3,22 A
I2 = - IB = - 0,435 A
IA = 3,22 A
I 3 = I A – IB =
IB = 0,435 A
I4 = IB = 0,435 A
IC = -1,74 A
I5 = IB - IC
I6 = - IC = 1,74 A
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.3.1.- Método de las Corrientes de Mallas: Ejemplo
5Ω
2Ω
4Ω
+
+
30 V
5Ω
6Ω
20 V
3.3.2.- Método de los Nudos:
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.3.2.- Método de los Nudos:
R1
E1
1
+
R2
3.3.2.- Método de los Nudos:
R6
2
+
R5
R3
E2
R4
3
0
1
1.- Pasamos las fuentes de tensión a f.d. Intensidad
R2
2
2.- Unimos un nudo a tierra
3.- Cambiamos las resistencias a conductancias
R1
R5
R3
R4
4.- Aplicamos LKI a todos los nudos menos al de
referencia
3
0
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.3.2.- Método de los Nudos:
3.3.2.- Método de los Nudos:
R1
E1
1
+
R2
R6
2
1
2
+
R5
R3
E2
R13
R20
R4
3
0
0
1
R1
R2
3
2
R5
R3
1
R6
R1
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
R2
2
R5
R3
R4
3
R6
R4
0
3
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
0
R6
3.3.2.- Método de los Nudos:
1
3.3.2.- Método de los Nudos:
2
R13
G12
1
I13
R20
2
G20
G13
G30
0
I20
0
3
3
1.- Pasamos las fuentes de tensión a f.d. Intensidad
1.- Pasamos las fuentes de tensión a f.d. Intensidad
2.- Unimos un nudo a tierra
2.- Unimos un nudo a tierra
3.- Cambiamos las resistencias a conductancias
3.- Cambiamos las resistencias a conductancias
4.- Aplicamos LKI a todos los nudos menos al de
referencia
4.- Aplicamos LKI a todos los nudos menos al de
referencia
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.3.2.- Método de los Nudos:
3.3.2.- Método de los Nudos:
1
R13
2
I13
R20
G13
G30
0
3
G12
1
Tierra
2
G20
I20
0
3
1.- Pasamos las fuentes de tensión a f.d. Intensidad
1.- Pasamos las fuentes de tensión a f.d. Intensidad
2.- Unimos un nudo a tierra
2.- Unimos un nudo a tierra
3.- Cambiamos las resistencias a conductancias
3.- Cambiamos las resistencias a conductancias
4.- Aplicamos LKI a todos los nudos menos al de
referencia
4.- Aplicamos LKI a todos los nudos menos al de
referencia
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.3.2.- Método de los Nudos:
G12
1
3.3.2.- Método de los Nudos:
2
7
R 17
I
1
I13
G20
G13
I20
I
6
R 16
I12 - U13G13 - U14G14 - I15 - U16G16 - U17G17 = 0
15
5
12
R 14
G30
2
0
4
R 13
3
3
Nudo 1:
7
I13 - U12G12 - U13G13 = 0
R 17
6
R 16
I12 - U13G13 - U14G14 - I15 - U16G16 - U17G17 = 0
I13 - (U1 - U2) G12 - (U1 - U3) G13 = 0
I
despejando:
I13 = U1 (G12 + G13) - U2 G12 - U3 G13
5 I -I
12
13
R 14
R 13
2
- U14G14 - I15 - U16G16 - U17G17 = 0
4
3
3.3.2.- Método de los Nudos:
G12
15
12
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
1
I
1
3.3.2.- Método de los Nudos:
2
7
R 17
6
R 16
I12 - U13G13 - U14G14 - I15 - U16G16 - U17G17 = 0
I
1
I13
G13
G30
G20
I20
I
5
U1 = U10 No es una incógnita
12
+
0
15
R 14
U
2
4
3
nudo 1
nudo 2
nudo 3
I13 = U1 (G12 + G13) - U2 G12 - U3 G13
7
R 17
I12 - I13 - U14G14 - I15 - U16G16 - U17G17 = 0
I20 = U2 (G20 + G12) - U 1G12
3 incógnitas
I
1
- I13 = U3 (G30 + G13) - U 1G13
3 ecuaciones
I
+
2
15
5
I13 es una incógnita
12
U13
3
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
6
R 16
R 14
U1 - U3 = U13 es una ecuación mas
4
Métodos de Análisis de Circuitos en su totalidad
RESUMEN
Método
Nº de ecuaciones
3.3.3.- Teorema de Thevenin:
Cualquier red activa lineal con dos bornes (dipolo)
es equivalente a una fuente de tensión de f.e.m. UT
en serie con una resistencia RT
ej
Kirchhoff r = nº de ramas
6
Mallas
e = nº de mallas
3
Operaciones simples en ramas
Nudos
N -1 = nº de nudos principales
3
Operaciones simples en nudos
A IAB
+
•
Dependiendo de la topología usaremos uno u otro método.
•
Mallas: si existen fuentes de intensidad en las ramas estas nos
pueden servir de datos de partida.
•
Nudos: si existen fuentes de tensión en las ramas estas nos
pueden servir de datos de partida.
RT
UAB
UT
R
B
Dipolo Activo
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.3.3.- Teorema de Thevenin:
Como se determina los parámetros UT y RT :
A
3.3.3.- Teorema de Thevenin:
+
A
RT
RT
UAB=UT
UT
B
Dipolo
Activo
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
RAB=RT
UT=0
B
Dipolo Pasivo
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.3.3.- Teorema de Thevenin: Demostración
IAB
Dipolo
Activo
I’AB
A
(1)
R
Dipolo
Activo
R
I’’AB
Dipolo
Activo
I’AB
A
R
(4)
UAB
UAB
+
B
Dipolo
Activo
UAC=UAB
+
I’’AB= I1+ I2 +.. + IN+IN+1+IN+2
B
I’AB= I1+ I2 +… + IN+ IN+1= 0
IAB
A
(1)
R
Dipolo
Pasivo
B
I’’AB
Dipolo
Activo
R
UAB
UAB
+
B
+
I’’AB= IN+2
B
Dipolo
Activo
Dipolo
Activo
A
R
(5)
UAB
UAB
+
B
I’’AB= I1+ I2 +.. + IN+IN+1+IN+2
I’’AB= IN+2
IAB
A
R
I’’AB= IAB = IN+2
IAB
A
R
I’’AB
R
(5)
UAB
UAB
UAB
+
IAB= I1+ I2 + I3+… + IN
A
B
Dipolo
Activo
I’’AB
A
R
(4)
UAB
UAB
+
R
(4)
(1)
B
B
A
+ RT
UAB
I’’AB= I1+ I2 +.. + IN+IN+1+IN+2
I’AB= 0
UAB
UAB
UAB
I’’AB
A
(4)
R
B
3.3.3.- Teorema de Thevenin: Demostración
(6)
+
IAB= I1+ I2 + I3+… + IN
+
I’’AB
I’AB= 0
IAB
R
UAB
A
(4)
+
+
3.3.3.- Teorema de Thevenin: Demostración
Dipolo
Activo
Dipolo
Activo
I’’AB= IN+2
I’AB= 0
R
I’’AB
A
A
(6)
(1)
IAB= I1+ I2 + I3+… + IN
R
(3)
Dipolo
Activo
IAB
A
B
B
I’AB= 0
IAB
C
A
(2)
B
IAB= I1+ I2 + I3+… + IN
3.3.3.- Teorema de Thevenin: Demostración
B
+
Dipolo
Activo
B
A
R
(5)
UAB
UAB
B
I’’AB= I1+ I2 +.. + IN+IN+1+IN+2
I’’AB= IAB = IN+2
I’AB= 0
I’’AB= IN+2
I’’AB= IAB = IN+2
3.3.4.- Teorema de Norton:
Cualquier red activa lineal con dos bornes (dipolo)
es equivalente a una fuente de INTENSIDAD de
parámetro IN en paralelo con una resistencia RN
3.4.- Teorema de la Máxima
A IAB
IN
UAB
RN
Transferencia de Potencia:
R
B
Dipolo Activo
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.4.- Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia
Generador
A IAB
Teorema de Thevenin
Teorema de Norton
+ RT
dual
UAB
A IAB
Receptor
UAB
R
A IAB
B
+
IN
UAB
RN
RT
Dipolo Activo
Dipolo Pasivo
UAB
UT
dual
B
B
Dipolo Activo
Dipolo Activo
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.4.- Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia
Generador
Receptor
3.4.- Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia
Generador
A IAB
+ RT
UAB
Receptor
A IAB
+ RT
UAB
UAB
UT
RC
B
RC
B
Dipolo Activo
Dipolo Pasivo
Dipolo Activo
[
Dipolo Pasivo
U AB =
RC
UT
RT + RC
I AB =
U AB
UT
=
RC
RT + RC
PAB = U AB I AB =
]
U2T R C
(R T + R C )2
(R C + R T )2 − 2R C (R C + R T ) U2T (R 2T − R 2C ) U2T
∂PAB
=
=
=0
∂R C
(R C + R T )4
(R C + R T )4
Tendremos máxima potencia si RT=RC, o sea, si la resistencia de la carga
es igual a la resistencia de la fuente, siendo la potencia máxima disponible:
PMAX =
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
U2T
U U
I
U
= T T = MAX MAX
4R T
4R T
4
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.4.- Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia
Generador
Receptor
A IAB
+ RT
UT
UAB
RC
B
Dipolo Activo
Dipolo Pasivo
U AB =
RC
UT
RT + RC
I AB =
U AB
UT
=
RC
RT + RC
PAB = U AB I AB
U2T R C
=
(R T + R C )2
UMax ?
Para RC =hΩ, U es máxima: UAB = UMax = UT
IMax ?
Para RC = 0 Ω , I es máxima: IAB = IMax = ICC= UT/RT
PMax ?
3.5.- Métodos para transformar
circuitos:
∂PAB
=0
∂R C
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.5.- Métodos para transformar circuitos
3.5.- Métodos para transformar circuitos
Siempre que se pueda hay que simplificar el
circuito lo máximo posible
A
Elementos pasivos en estrella:
IA
Resto
del
C.A.
circuito
A) Sustitución de elementos activos:
IC
• Conversión de fuentes de tensión en fuentes de corriente
R3
R1
R2
N
C
B
IB
y viceversa.
• Teorema de Millman
A
B) Sustitución de elementos pasivos:
B
C
• SERIE • PARALELO R1
• Estrella Estrella
• Triangulo R2
R3
Triangulo
TEOREMA DE KENNELLY
N
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.5.- Métodos para transformar circuitos
3.5.- Métodos para transformar circuitos
Elementos pasivos en estrella:
A
Elementos pasivos en estrella:
A
C.A.
IC
IC
R3
C
R1
R2
N
B
IB
IA
Resto
del
circuito
IA
Resto
del
C.A.
circuito
R3
C
IB
N
R1
R2
D
R1
B
A
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
D
D
R2
B
D
A
R3
C
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
R1
C
R2
B
R3
3.5.- Métodos para transformar circuitos
3.5.- Métodos para transformar circuitos
Elementos pasivos en triangulo:
A
Elementos pasivos en triangulo:
A
IA
Resto
del
circuito
C.A.
IC
C RA
RC
RB
C RA
B
B
RC
RB
IC
IA
Resto
del
C.A.
circuito
A
B
B
C
RC
A
B
RA
RC
C
RC
A
RA
B
RA
B
RB
RB
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
3.5.- Métodos para transformar circuitos
3.5.- Métodos para transformar circuitos
Resto
C.A.
del
circuito
IA
IC
B
A
TEOREMA DE KENNELLY:
A
Elementos pasivos en triangulo:
B
RB
C RA
Estrella
RC
B
IA
IC
R3
C
N
IB
C
Estrella
RC
RA
TEMA 3: TEOREMAS DE LA TEORIA DE CIRCUITOS
RB
Triangulo
A
A
Resto
del
C.A.
circuito
R1
R2
C
RB
Resto
del
C.A.
circuito
B
IA
IC
RB
C RA
RC
B
B
Triangulo
R1 =
R BR C
R A + RB + R C
R A = R 2R 3 (
1
1
1
+
+
)
R1 R2 R 3
R2 =
R CR A
R A + RB + R C
R B = R 3R 1 (
1
1
1
)
+
+
R1 R 2 R 3
R3 =
R AR B
R A + RB + R C
R C = R 1R 2 (
1
1
1
)
+
+
R1 R2 R 3
3.5.- Métodos para transformar circuitos
3.5.- Métodos para transformar circuitos
TEOREMA DE KENNELLY: Aplicación
TEOREMA DE KENNELLY: Demostración
E
U
R4
A
+
E
RB
RC
R5
D
B
C
RA
R6
U
R4
IA
+
C.A.
IC
R5
D
A
A
A
B
C
R3
N
C
C.A.
IC
B
IB
R6
IA
R1
R2
IA, IB, IC
G1G3
G2 G3
UB
UA +
G1 + G2 + G3
G1 + G2 + G3
Calculamos IC en la estrella:
IC =
Calculamos IC en el triangulo:
IC = GB UA + GA UB
G2 G3
G1 + G2 + G3
GA =
Igualando y comparando:
GB =
3.5.- Métodos para transformar circuitos
3.5.- Métodos para transformar circuitos
TEOREMA DE KENNELLY: Aplicación
TEOREMA DE KENNELLY: Demostración
E
U
R4
A
+
RB
RC
R5
D
C
R6
E
U
E
R4
B
RA
A
A
A
IA
+
C.A.
IC
R5
D
G1G3
G1 + G2 + G3
B
C
R3
C
N
IB
R1
R2
IA
C.A.
IC
B
RB
RC
C RA
B
R6
A
+
D
U
R4
B
C RA
B
IA, IB, IC
Para cualquier d.d.p.:
RC
RB
E
R1
RDN
N
U
R4
C
R6
R A = R 2R 3 (
GB =
G3 G1
G1 + G2 + G3
R B = R 3R 1 (
1
1
1
+
+
)
R1 R 2 R 3
R C = R 1R 2 (
1
1
1
)
+
+
R1 R2 R 3
R1
R5
D
G2 G3
G1 + G2 + G3
A
+
R3
N
B
R2
1
1
1
+
+
)
R1 R2 R 3
GA =
GC =
G1G2
G1 + G2 + G3
Conductancias
Resistencias
B
3.5.- Métodos para transformar circuitos
3.5.- Métodos para transformar circuitos
TEOREMA DE KENNELLY: Ejercicio
TEOREMA DE KENNELLY: Ejercicio
A
A
IA
C.A.
R3
R3=0,33Ω
IC
R1 =1Ω
R2 =0,5Ω
N
C
A
R1
RC
RB
C
C.A.
IC
B
IB
C.A.
B
C RA
3
R3= 1RΩ
IC
R1 =1Ω
R2 =1Ω
N
C
R A = R 2R 3 (
1
1
1
+
+
) = 1Ω
R1 R2 R 3
R B = R 3R 1 (
1
1
1
) = 2Ω
+
+
R1 R2 R 3
A
R1
RC
RB
1
1
1
) = 3Ω
+
+
R1 R2 R 3
C
C.A.
R B = R 3R 1 (
1
1
1
) = 3Ω
+
+
R1 R2 R 3
A
C.A.
IC
C
IB
Si R1 = R2 = R3 = RE
N
IA
C.A.
B
R A = R 2R 3 (
3 R E = RT
C RA
1
1
1
)
+
+
R1 R2 R 3
1
1
1
)
+
+
R1 R2 R 3
Resistencias
IA
RC
1
1
1
+
+
)
R1 R2 R 3
R C = R 1R 2 (
A
A
B
R B = R 3R 1 (
R A = RB = RC = R T
IC
RB
1
1
1
) = 3Ω
+
+
R1 R2 R 3
B
RA
TEOREMA DE KENNELLY: Demostración
R1
R2
B
C.A.
IC
B
1
1
1
+
+
) = 3Ω
R1 R2 R 3
TEOREMA DE KENNELLY: Demostración
R3
C RA
R A = R 2R 3 (
3.5.- Métodos para transformar circuitos
IA
RC
RB
B
3.5.- Métodos para transformar circuitos
A
IC
R C = R 1R 2 (
R2
R3
IA
B
IB
B
RA
IA
RC
RB
B
R C = R 1R 2 (
R2
R3
IA
A
A
R3
C
N
IB
Estrella
R1
R2
IA
C.A.
IC
B
RB
C RA
RC
B
B
Triangulo
1
1
1
+
+
)
R1 R2 R 3
R1 =
R BR C
R A + RB + R C
R A = R 2R 3 (
R2 =
R CR A
R A + RB + R C
R B = R 3R 1 (
R3 =
R AR B
R A + RB + R C
R C = R 1R 2 (
1
1
1
)
+
+
R1 R 2 R 3
1
1
1
)
+
+
R1 R 2 R 3
3.5.- Métodos para transformar circuitos
3.5.- Métodos para transformar circuitos
TEOREMA DE KENNELLY: Ejercicio
TEOREMA DE KENNELLY: Ejercicio
A
A
IA
C.A.
R3
IC
R3
N
C
IA
R1
R2
C.A.
IC
B
IB
C RA
R BR C
RA + RB + RC
R2 =
R CR A
= 0,5Ω
R A + RB + RC
R3 =
RA
B
= 1Ω
R1
RB
R AR B
= 0,333Ω
+ RB + RC
C
RC
R2
R3
C.A.
B
RA
IC
R3
C
R3
N
IA
R1
R2
C.A.
C.A.
IC
IB
R1 =
R BR C
R A + RB + R C
R2 =
R CR A
R A + RB + R C
R3 =
R AR B
R A + RB + R C
R3
C
N
R1
R2
R1 =
R BR C
RA + RB + RC
R2 =
R CR A
=1Ω
R A + RB + RC
R3 =
R AR B
=1Ω
+ RB + RC
RA
R1
RB
C
B
C.A.
IC
RB
C RA
B
RA
RC
B
FIN
TEMA 3
Si RA=RB=RC=RT RE = RT / 3
3 R E = RT
RC
R2
R3
B
RA= 3 Ω
RB= 3 Ω
RC= 3 Ω
=1Ω
A
IA
C RA
A
TEOREMA DE KENNELLY: Demostración
IA
RC
RB
B
3.5.- Métodos para transformar circuitos
A
IC
B
IB
RA= 1Ω
RB= 2Ω
RC= 3Ω
B
A
R1 =
IA
RC
RB
A
A
B
Dado el circuito de la figura, determinar la intensidad de la corriente que
atraviesa la resistencia R2. Resolverlo por Kirchoff, Mallas, Nudos,
Superposición, Transformación del circuito, Thevenin y Norton.
Si el parámetro característico de la fuente E2 tiene una variación de un
±10% determinar el valor máximo y mínimo de la intensidad pedida.
Cual debe ser el valor de E2 para que la intensidad que circule por R2 sea
nula.
I1
Por mallas:
16 Ω
I1 = IA
I3 = - IB
I2 = IA – IB
= 27 V
I3
A
=
18 V
I2
IA
IB
12 Ω
4Ω
8Ω
A
B
R 4 = 16 Ω
12 (IA – IB) - 27 +24 IA = 0 Ec. Malla A
E2 = 18 V
IA = 0,5 A
IB = 0,75 A
18 + 4 IB -12 (IA – IB) = 0 Ec. Malla B
E1 = 27 V
R3 = 4 Ω
R2 = 12 Ω
IA = 0,5 A
IB = - 0,75 A
R1 = 8 Ω
I1 = IA
I3 = - IB
I2 = IA – IB = 1,25 A
I2 =1,25 A
B
I1
Por Kirchoff:
A
R 4 = 16 Ω
I3
I2
E1 = 27 V
E2 = 18 V
R2 = 12 Ω
I1
Por transformación
del circuito
A
R 4 = 16 Ω
R3 = 4 Ω
I3
I2
E1 = 27 V
E2 = 18 V
R3 = 4 Ω
R2 = 12 Ω
R1 = 8 Ω
R1 = 8 Ω
B
B
Por Kirchoff:
A
I1 + I3 - I2 = 0
Nudo A
E1 = I1 (R4 + R1) + I2 R2
Ec. Malla Izq.
E2 = I3 R3 + I2R2
Ec. Malla Der.
24 I1 + 12 I2 = 27
12 I2 + 4 I3 = 18
4Ω
24 Ω
27 V
+
I2
27/24 A
24 Ω
16/4 A
R2 = 12 Ω
4Ω
18 V
B
I2 =1,25 A
2
12 Ω
+
I1 - I 2 + I3 = 0
A
I
B
I1
Por transformación
del circuito
A
R 4 = 16 Ω
I3
I2
E1 = 27 V
A
Por Nudos
R 4 = 16 Ω
E2 = 18 V
R3 = 4 Ω
R2 = 12 Ω
E2 = 18 V
E1 = 27 V
R1 = 8 Ω
R1 = 8 Ω
B
B
A
1.- Pasamos todas las f.d.t. a f.d.i.
A
I2
R2 = 12 Ω
3,43 Ω
24 Ω
27/24 A
16/4 A
R2 = 12 Ω
4Ω
U AB
24
2.- Unimos un nudo a tierra
A
I2
5,62 A
R3 = 4 Ω
R2 = 12 Ω
3.- Aplicamos LKI a todos los
nudos menos al de referencia
27/24 A
U AB
12
U AB
4
R2 = 12 Ω
24 Ω
16/4 A
4.- Resolvemos el sistema
B
B
B
4Ω
27 U AB U AB 16 U AB
=0
−
−
−
−
24 24
12
4
4
UB =0
UAB = 15 V
I2 = UAB/R2 =15/12 = 1,25 A
I1
Por transformación
del circuito
A
R 4 = 16 Ω
I3
I2
E1 = 27 V
I1
Por Superposición
R 4 = 16 Ω
E2 = 18 V
R2 = 12 Ω
R3 = 4 Ω
B
I'1
I2
R2 = 12 Ω
B
A
R 4 = 16 Ω
A
3,43 Ω
R3 = 4 Ω
R2 = 12 Ω
R1 = 8 Ω
B
5,62 A
E2 = 18 V
I2
E1 = 27 V
R1 = 8 Ω
I3
A
3 ,43
= 1,25 A
3 , 43 + 12
(por división de intensidad)
R2 = 12 Ω
A
R 4 = 16 Ω
I'2
E1 = 27 V
I 2 = 5 ,62
I''1
I'3
I''
3
I''2
R3 = 4 Ω
R2 = 12 Ω
R1 = 8 Ω
R1 = 8 Ω
B
I’2 = 0,25 A
E2 = 18 V
B
I’’2 = 1 A
I2 = I’2 + I’’2 = 1,25 A
R3 = 4 Ω
A
Por Thevenin
R 4 = 16 Ω
Determinar IAB:
E2 = 18 V
E1 = 27 V
R2 = 12 Ω
Si U2 = 35 V
–> IAB=
Si U2 = 1,1×
×35 V –> IAB=
R3 = 4 Ω
×35 V –> IAB=
Si U2 = 1,2×
R1 = 8 Ω
B
D
A IAB
RT
RT = 3,43 Ω
UAB
UT
R
I AB
42 V
(RAB del dipolo pasivo)
19 ,286
= I2 =
= 1,25 A
3 ,43 + 12
A
12 Ω
+
UT = 19,2 6 V (UAB a circuito abierto)
+
I1
C
I2
6Ω
A
U2
B
+
Dipolo Activo
B
I3
3Ω
A
3.17
A
Por Norton
R 4 = 16 Ω
Determinar IAB:
E2 = 18 V
E1 = 27 V
R2 = 12 Ω
Si U2 = 35 V
Si U2 = 1,1×
×35 V –> IAB=
R3 = 4 Ω
Si U2 = 1,2×
×35 V –> IAB=
R1 = 8 Ω
D
B
IN
UAB
RN
IT = 5,625 A
(IAB a cortocircuito)
RTN = 3,43 Ω
(RAB del dipolo pasivo)
R
I AB = I 2 = 5 ,62
B
A
12 Ω
+
A IAB
–> IAB=
U1 = 42 V
6Ω
C
3 ,43
= 1,25 A
3 ,43 + 12
A
U2
+
B
Dipolo Activo
3.17
3Ω
A
Determinar IAB:
Si U2 = 35 V
Hallar la resistencia equivalente entre A y B
–> IAB=
Si U2 = 1,1×
×35 V –> IAB=
×35 V –> IAB=
Si U2 = 1,2×
3Ω
A
D
A
A
A
12 Ω
+
C
1Ω
1Ω
3Ω
U1 = 42 V
C
A
6Ω
D
+
3Ω
D
3Ω
IAB
U2
3Ω
3Ω
A
C
C
+
3Ω
3Ω
3Ω
3Ω
3Ω
E
B
E
B
3Ω
3Ω
3Ω
42 V
U2
1Ω
3Ω
12 Ω
6Ω
+
A
C
A
B
B
3.17
Hallar la resistencia equivalente entre A y B
3Ω
A
Hallar la resistencia equivalente entre A y B
A
C
C
1Ω
1Ω
D
3Ω
D
3Ω
3Ω
3Ω
1Ω
1Ω
3Ω
3Ω
3Ω
1Ω
B
E
3Ω
3Ω
3Ω
1Ω
3Ω
E
C
1Ω
1Ω
3Ω
3Ω
A
1Ω
3Ω
B
E
B