Ejercicios resueltos de Análisis Combinatorio

TEMA 1: TEORÍA DE LA PROBABILIDAD
EJERCICIO 1
Un entrenador cuenta con 7 defensas, 4 centrales y 4 delanteros para
componer su equipo de fútbol. El entrenador duda entre utilizar la táctica 43-3 o 5-3-2, en referencia al número de defensas, centrocampistas y
delanteros a utilizar.
a) ¿Cuántos equipos diferentes podría formar dependiendo de la táctica a
utilizar?
Táctica
433
532
C(7,4)
35
C(7,5)
21
Combinaciones
C(4,3)
C(4,3)
4
4
C(4,3)
C(4,2)
4
6
Total
560
504
b) El entrenador decide fijar 3 defensas, 2 centrales y 1 delantero como
titular. ¿Cuántos equipos diferentes podría formar ahora con los
suplentes de los que dispone?
Táctica
433
532
Combinaciones
C(4,1)
C(2,1)
C(3,2)
4
2
3
C(4,2)
C(2,1)
C(3,1)
6
2
3
Total
24
36
c) Un defensa y un delantero del equipo no titular son del mismo pueblo.
Si el entrenador adopta la táctica 433 6 de cada 10 partidos, y 522 en el
resto, ¿cuál es la probabilidad de que ambos coincidan en la titulación
de la próxima semana?¿Y cuál es la probabilidad de que sólo juegue
uno de ellos?
Para que coincidan los dos:
Táctica
433
532
C(3,0)
1
C(3,1)
3
Combinaciones
C(2,1)
C(2,1)
2
2
C(2,1)
C(2,0)
2
1
Favorables
4
6
P(coincidan los 2)= P(coincidan los 2| 433) x P(433) +
P(coincidan los 2| 532) x P(532)=
1
6
4
⋅ 0,6 + ⋅ 0,4 =
6
36
24
Problemas de Estadística: Teoría de la Probabilidad
2
Para que juegue 1:
•
Juega el defensa y no juega el delantero:
Táctica
433
532
•
C(3,0)
1
C(3,1)
3
Combinaciones
C(2,1)
C(2,2)
2
1
C(2,1)
C(2,1)
2
2
Juega el delantero y no juega el defensa:
Táctica
433
532
Def ∩ Del
C(3,1)
3
C(3,2)
3
Favorables
2
12
Def ∩ Del
Combinaciones
C(2,1)
C(2,1)
2
2
C(2,1)
C(2,0)
2
1
Favorables
12
6
P ( juegue1) = P (( Def ∩ Del ) ∪ ( Def ∩ Del )) =
P ( Def ∩ Del ) + P ( Def ∩ Del ) − P (( Def ∩ Del ) ∩ ( Def ∩ Del )) =
P ( Def ∩ Del ) + P ( Def ∩ Del )
=P(juegue sólo defensa)+P(juegue sólo delantero)=
=P(defensa|433)*P(433)+ P(defensa|532)*P(532)+P(delantero|433)*P(433)+
P(delantero|532)*P(532)=
18
14
6
12
12
2
⋅ 0 .6 + ⋅ 0 .4 +
⋅ 0 .6 + ⋅ 0 .4 =
⋅ 0.6 + ⋅ 0.4 = 0.55
36
24
36
24
36
24
Problemas de Estadística: Teoría de la Probabilidad
3
EJERCICIO 2
El montaje de un conjunto se realiza uniendo 2 piezas A y B, piezas que
recibe un operario de forma separada. Las piezas A son compradas a 3
proveedores (piezas A1, A2 y A3), mientras que las B a 2 proveedores
(piezas B1 y B2). Un último estudio ha revelado que sólo los siguientes
montajes son correctos:
A\B
1
2
3
1
C
C
2
C
C
siendo las siguientes las probabilidades de llegada de los diferentes tipos
de piezas:
P
1
2
3
A
0,5
0,25
0,25
B
0,6
0,4
a) ¿Cuál es el porcentaje de montajes correctos?
P(C)= P(A1∩(B1∪B2))+ P(A2∩B1)+ P(A3∩B2)=
P(A1)*P(B1∪B2)+ P(A2)*P(B1)+ P(A3)*P(B2)=
0.5*(0.6+0.4) + 0.25*0.6 + 0.25*0.4=0.75
Otra forma: P(C)=1-P(D)=1- (P(A2∩B2)+ P(A3∩B1))=1-0.25*0.4-0.25*0.6=0,75
b) La inspección manual de cada pieza es costosa, por lo que se prefiere
seguir tomando las piezas al azar. Se presentan 2 opciones:
• Prescindir del proveedor de piezas A2, manteniendo la proporción
entre A1 y A3.
• Prescindir del proveedor de piezas A3, manteniendo la proporción
entre A1 y A2.
¿Cuál de las opciones reducirían en mayor medida el porcentaje de
defectuosos?
Eliminar A2:
P
1
2
3
A
0,5
0,25
0,25
2/3
0
1/3
B
0,6
0,4
P(D)=P(A3∩B1)=1/3*0,6=0,2
B
0,6
0,4
P(D)=P(A2∩B2)=1/3*0,4=0,132
P ( A3) =
0,25
1
=
0,50 + 0,25 3
Eliminar A3:
P
1
2
3
A
0,5
0,25
0,25
2/3
1/3
0
P ( A2) =
0,25
1
=
0,50 + 0,25 3
Problemas de Estadística: Teoría de la Probabilidad
4
c) Tomando el porcentaje inicial de A2 igual a 25%, y manteniendo los de
B1 y B2, ¿Cuáles deberían ser los porcentajes iniciales de A1 y A3 para
que las tasas de defectos calculadas en el apartado b fueran iguales?
•
Eliminando A2
P(D)=P(A3∩B1)= 0,6
•
PI A3
PI
= 0,6 A3
75
PI A1 + PI A3
Eliminando A3
P(D)=P(A2∩B2)= 0,4 ⋅
25
PI A 2
= 0,4 ⋅
PI A1 + PI A 2
PI A1 + 25
Luego,
0,6 ⋅
PI A3
25
= 0,4 ⋅
75
PI A1 + 25
25
1250
2
PI A3 = ⋅ 75 ⋅
=
PI A1 + 25 PI A1 + 25
3
PI A1 + PI A3 = PI A1 +
1250
= 75
PI A1 + 25
PI A21 + 25 PI A1 + 1250 = 75 PI A1 + 1875
PI A21 − 50 PI A1 − 625 = 0
50 ± 50 2 + 4 ⋅ 625
PI A1 =
= 60,35
2
Los porcentajes iniciales deben ser:
PIA1= 60,35%; PIA2=25%; PIA3=14,65%
y el porcentaje de defectuosos, bien prescindiendo del proveedor A2, bien
prescindiendo de A3, es: P(D)=0,1172=11,72%
Problemas de Estadística: Teoría de la Probabilidad
5
EJERCICIO 3
En el pasado festival de cine de San Sebastián se presentaron 19 películas
en la Sección Oficial. En dicha sección se otorgaban 7 premios.
Imaginemos que realizamos un sorteo para elegir nuestro reparto de
premios.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que nuestra elección coincida con el fallo
del Jurado si una película puede obtener un máximo de 1 premio? ¿Y la
probabilidad de que acertemos en la Concha de Oro con el Jurado?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que nuestra elección coincida con el fallo
del Jurado si una película puede obtener un máximo de 2 premios?
a) Máximo 1 premio por película
a1) Acertar todos los premios
19 PL, 7 PR
PR 1
PR 2
PR 3
PR 4
PR 5
PR 6
PR 7
PL 6
PL 1
PL 2
PL 18
PL 11
PL 7
PL 8
V197
•
•
Todos los casos en los que puede fallar el Jurado:
V197 = 19 ⋅ 18 ⋅ ... ⋅ (19 − 7 + 1) = 19 ⋅ 18 ⋅ ... ⋅ 13
Casos favorables
Cuando coincidimos con el Jurado: 1
P(coincidir con el Jurado)=
1
19 ⋅ 18 ⋅ ... ⋅ 13
a2) Acertar el Premio de la Concha de Oro
Si acertamos ese premio quedarían 6 premios a repartir entre 18 películas.
• Todos los casos en los que puede fallar el Jurado:
V197 = 19 ⋅ 18 ⋅ ... ⋅ (19 − 7 + 1) = 19 ⋅ 18 ⋅ ... ⋅ 13
•
Casos favorables
V186 = 18 ⋅ 17 ⋅ ... ⋅ (18 − 6 + 1) = 18 ⋅ 17 ⋅ ... ⋅ 13
Problemas de Estadística: Teoría de la Probabilidad
6
V186 18 ⋅ 17 ⋅ ... ⋅ 13 1
P(coincidir con Jurado)=
=
=
V197 19 ⋅ 18 ⋅ ... ⋅ 13 19
Otra forma intuitiva, directamente decir 1 entre 19 películas que puede elegir
el jurado.
b) Máximo 2 premio por película
Todos los casos posibles son:
• 3 películas ganan 2 premios, y 1 película 1 premio (2-2-2-1)
3 películas (PL), 6 premios (PR)
C72
PR 3 PR 5
PL 1
16 PL, 1 PR
C52
C32
PR 1 PR 6
PR 2 PR 7
PL 6
PR 4
PL 14
C193
16
C19,3 ⋅ C7,2 ⋅ C5,2 ⋅ C3,2⋅ 16 = 9.767.520
•
2 películas ganan 2 premios y el resto 1 premio (2-2-1-1-1)
17 PL, 3 PR
2 PL, 4 PR
C72
C52
PR 3 PR 5
PR 1 PR 6
PL 1
PL 6
C192
PR 2
PL 11
PR 7
PR 4
PL 3
PL 8
V173
C19,2 ⋅ C7,2 ⋅ C5,2 ⋅ V17,3= 146.512.800
7
Problemas de Estadística: Teoría de la Probabilidad
•
1 película gana 2 premios y el resto 1 premio (2-1-1-1-1-1)
•
Todas las películas 1 premio
C19,1 ⋅ C7,2 ⋅ V18,5= 410.235.840
19 PL, 7 PR
PR 1
PR 2
PR 3
PR 4
PR 5
PR 6
PR 7
PL 6
PL 1
PL 2
PL 18
PL 11
PL 7
PL 8
V197
V19,7= 253.955.520
Luego, los casos totales=
C19,3 ⋅ C7,2 ⋅ C5,2 ⋅ C3,2⋅ 16 + C19,2 ⋅ C7,2 ⋅ C5,2 ⋅ V17,3+ C19,1 ⋅ C7,2 ⋅ V18,5+ V19,7= 820.471.680
Casos favorables=1
P(coincidir con Jurado)=
1
CasosTotales