7.0

Análisis de Correspondencias Simples / AC0 El AFG (Análisis Factorial General) .
1
AF (Análisis Factorial)
Objetivo:
Dada una nube de puntos de Rp (filas de X),
el AF da la mejor representación posible
en un espacio de dimensión menor.
Criterio de buena representación en un subespacio:
Máxima separación (dispersión) entre las proyecciones.
Utilizo como medida de calidad de una dirección la…
Inercia recogida sobre esta dirección u (dispersión) :
n
Iu =  d2 (0,proyu xi) = || Xu ||2 =utXtXu.
i 1
Problema analítico:
Soluciones
/ Iu= máx  u=u1 Iu11
/ Iu= máx  u=u2 Iu22
paso 1 Busco u
paso 2 Busco u ortogonal a u1
...
/ Iu= máx  u=up Iu p p
paso p Busco u ortogonal a u1 , .. up-1
t
v. y v. p. de X X.
Solución:
Direcciones: u1, u2, .. up vectores propios de XtX.
Inercias:
1,  2, ..  p valores propios de XtX.
1- La matriz a diagonalizar es XtX.
En un ACP los datos se centran. XtX es la matriz de covarianzas muestrales.
En un ACP Normado los datos se centran y escalan. XtX es m. corr. muestrales.
2- Cada dirección (factor principal) es una c.l. de las variables originales
(con coeficientes dados por las componentes de u.
3- Los n valores del factor  observado en los n individuos de la muestra se
denominan “Factores calculados”: F= X u
La dispersión de estos valores Fes la inercia recogida por el eje
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Iu =|| F||2 =|| Xu ||2 = utXt .Xu.
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Análisis de Correspondencias Simples / AC0 El AFG (Análisis Factorial General) .
2
AFG (Análisis Factorial General)
Objetivo:
Hace lo mismo que un AF, pero…
con pesos pi (que forman la matriz diagonal N)
y métrica M (para calcular distancias y proyectar)
(El AFG con pesos iguales y métrica habitual N=M=I es un AF)
Criterio de buena representación en un subespacio: El mismo.
Máxima separación (dispersión) entre las proyecciones.
Inercia recogida sobre una dirección u (dispersión) :
n
Iu =  pi d2 (0,proy Mu xi) = || XMu ||2 N =utMXtNXMu.
i 1
Problema analítico:
paso 1 Busco u
paso 2 Busco u M-ortogonal a u1
Soluciones
/ Iu= máx  u=u1 Iu11
/ Iu= máx  u=u2 Iu22
...
paso p Busco u M-ortogonal a u1 , .. up-1 / Iu= máx  u=up Iu p p
t
(v. y v. p. de X NXM.)
Solución:
Direcciones: u1, u2, .. up vectores propios de XtNXM.
Inercias:
1,  2, ..  p valores propios de XtNXM.
Notas:
1- La matriz a diagonalizar es ahora XtNXM.
2- Cada dirección (factor principal) sigue siendo una c.l. (con coeficientes
ude las variables originales.
3- Los n valores del factor  observado en los n individuos de la muestra se
denominan “Factores calculados”: F= XMu
La dispersión, con pesos N, de estos valores Fes la inercia recogida por
el eje Iu =|| F||2 N =|| XMu ||2N = utM XtNXMu.
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