TURBULENCIA TURBULENCIA

TURBULENCIA
TURBULENCIA
•
Es una condición irregular del flujo en
el cual las diversas variables sufren
variaciones aleatorias en el tiempo y
en el espacio.
Turbulento
HINZE 1975
Laminar
1
TURBULENCIA
1.
Reynolds (1880)
No es posible resolver las
ecuaciones de Reynolds pues
aparecen más incógnitas que
ecuaciones (Problema de cierre).
Re =
2.
VL
ν
Prandtl y Taylor (1925)
– Dan significado de las correlaciones
difusión.
3. Kolmogorov (1941)
Relaciona las escalas con la
turbulencia. Transmisión de la
energía de las escalas grandes a
las pequeñas.
4. Kolmogorov, Monin y otros
Energía de los remolinos E(k) , se
asocía a cada escala k con el
tamaño de los remolinos.
K≈
2π
λ
u 'v ' →
2
TURBULENCIA
• (1962) Aparición de los modelos de cierre
k −ε
y k − ω krarchman
• RECIENTEMENTE
Formalismos matemáticos de la turbulencia
Hopf, Malkus ,
Teoría estadística
Panchev, Monin, Yaglam
Estructuras coherentes
Hussaim
Turbulencia en fluidos estratificados
Thorpe, Turner, etc
3
TURBULENCIA
•
“Es una condición irregular del flujo en el cual las diversas variables
sufren variaciones aleatorias en el tiempo y en el espacio”.
(Hinze - 1975)
CARACTERISTICAS
1.
Irregularidad
La irregularidad del flujo + aleatorio,
un acercamiento determinístico
imposible.
2.
Difusividad
Gran difusividad, mezcla rápida,
aumenta la velocidad de
transferencia de momento, calor y
masa.
Re =
VL
ν
Se produce para valores elevados
del número de Re.
U .∇U ≅ ν∇ 2U
Inestabilidad del flujo determinada por la
interacción entre los términos no lineales
(Movimiento) y los viscosos.
3.
4. Disipación
El flujo turbulento es altamente
disipativo. Suministro de energía para
mantener la turbulencia. Viscosidad
muy activa en pequeños remolinos.
La turbulencia disipa la energía desde
los remolinos grandes hasta los
pequeños en donde la viscosidad es
importante.
Fenómeno continuo
NS
4
TURBULENCIA
Richardson
“Big whirls have little whirls that feed upon their
velocity and little whirls have lesser whirls and so on
to viscosity.”
Leche o tinta
La turbulencia no es una
propiedad de los fluidos, es de
los flujos de fluidos.
5
TURBULENCIA
MÉTODOS DE ANÁLISIS
1. Análisis dimensional
Es una herramienta potente para el
análisis de la estructura de la
turbulencia . Se pueden relacionar
parámetros y escalas
2. Descomposición de
Reynolds
Los valores medios de las
variables
cumplen
las
ecuaciones del movimiento
3. Invarianza asintótica
Caracteriza el flujo para valores elevados
de Reynolds.
Re → ∞
El flujo se independiza de la viscosidad
4. Invarianza local
Las características del flujo turbulento son
controladas por su entorno más inmediato.
Las escalas de longitud y tiempo varían
lentamente aguas abajo. La producción
local de energía se iguala a las pérdidas.
5. Métodos semiempíricos
6. Teoría Estadística
7. Observación y experimentación
6
TURBULENCIA
MÉTODOS DE ANÁLISIS
1. Difusión de la turbulencia
Las velocidades de
transferencia y mezcla
son varios órdenes de
magnitud mayores que
la difusión molecular.
2. Difusión molecular
∂S
∂t
∂2S
= Ds
∂x j xi
∆s
= Ds
Tm
Tm =
∆S
L2
L2
Ds
3. Sal en agua
Ds= 1.4 × 10
−5
402
Tm
=
=
1.4 ×10−5
cm 2
s
L
= 40 cm
3.6 años
7
TURBULENCIA
Flujo laminar turbulento
El tamaño máximo del
vórtice es de 40 cm
tt
L
=
Supongamos V
V
1
cm
s
=
tt 40 s tm ≈ tt
tm L2V VL VL ν
=
=
=
⋅
= Re = Pe
Se
tt Ds L Ds ν Ds
Número de Schmidt
Se
Número de Peclet
Pe
2
- 6 m
n = 10
: Se » 101 - 102 et c.
s 9
7
Re » 10 - 10 et c.
tm
» Re
tt

U
LAMINAR
FLUJO
GEOSTRÓFICO
L
∂U
∆p
+ U .∇U =ν∇ 2U −
+g
∂t
ρ
U .∇U =ν∇ 2U
{ aire
Difusión turbulenta
U 2  ν U 
 ν 
 L  ≅   2  ⇒ L ≅  UL 



  
1
2
=
Re
−1
2
8
TURBULENCIA
Convección
u
U

Difusión turbulenta
L
LAMINAR
FLUJO
GEOSTRÓFICO
 ≅ ut ≅ uL / U
 ≅u
L U
 ≅L
Tiempo difusivo igual al convectivo
u
U
 crece al ritmo de (ν t )
1
2
9
TURBULENCIA
PEQUEÑAS
PEQUEÑASESCALAS
ESCALASEN
ENTURBULENCIA
TURBULENCIA
• A pequeñas escalas la
viscosidad debe ser efectiva
suprimiendo las fluctuaciones
de velocidad.
• La más pequeña escala se
autoajusta(se
ajusta
automáticamente) a valores de la
viscosidad.
• Los términos no lineales de
las ecuaciones N.S actuan
para generar movimientos a
escalas más pequeñas que
son afectados por viscosidad.
LA VELOCIDAD
DE SUMINISTRO
DE ENERGÍA
DE
≡ VELOCIDAD
DISIPACIÓN
Sugiere
(
2
m
ε
s3
)
Velocidad de disipación
por unidad de masa
10
TURBULENCIA
PEQUEÑAS
PEQUEÑASESCALAS
ESCALASEN
ENTURBULENCIA
TURBULENCIA
ε se relaciona con ν (viscosidad en m/s)
1
12
en escalas espaciales y temporales en los
−1
τ  ν  1  ν u 2  2
2
=
=
=
Re


INTEGRAL
 
3 2
vórtices de pequeña escala.
t ε  t  u  
−1
V ν u3  4
−1
4
= =
Re

4
u u 
1
4
η [ L ] = ν ε 


=
V
1
τ [T ] = (ν ε ) 2
3
L T ] (νε ) 4
[=
1
ReG
⇓
Re I
⇓
Reη
11
TURBULENCIA
ReG
⇓
Re I
⇓
Reη
Flujo medio
Remolino medio
=1 en la Escala de Kolmogorov
12
TURBULENCIA
• Remolino
η →l
u
η
[ε ]
ML2T −2
= L2T −3
TM
u3
[ε ] =
l
3/ 4
=
l
l
 ν 3/ 4  1  ν 
Re −3/ 4
 1/=
=

4 
 ε  l  ul 
Re g
1
−1
τ  ν  1  ν u 
2
= =
=
Re
 3 2
INTEGRAL

t ε  t  u  
12
2
=
ηv
lu
LV
lV
ν
Reτ
=
ul
ν
Re
=
τ
ηv
≈1
ν
2
−1
V ν u3  4
−1
4
= =
Re
4 
u u 
13
TURBULENCIA
ε g=
υ S0 0.0037 m
=
Canal
Q = 0.05 m
3
s
y = 0.138 m
V=0.36m/s
Rh=0,1075m
Reg=135789
Disipación turbulenta
s
η = 0.14 mm
S0 = 0.001
Potencia del canal
s3
−6
η = 0.02
1 m
2
m
ν = 1.14 x 10
2
τ 0.017 s =
=
f 1= 56 l
T
s
m
v 0.008
8 mm
=
=
s
s
56 l/s
≈ γ Q S0
≈ ε Aρ
14
TURBULENCIA
ECUACIONES DE REYNOLDS
1. Continuidad
=
div v
∂ui
=
0
0
∂xi
3. Fluido Newtoniano. El Tensor de
esfuerzos
∂ui
∂u
+ uj i
∂t
∂x j
=
1 ∂
σ + bi
ρ ∂x j ij
2. Momentum
σ ij =
− P δ ij + 2 µij ε ij
1 0 0
δ ij =  0 1 0 
0 0 1


4. La velocidad de deformación se
define como:
=
ε
1  ∂ui ∂u j
+

2  ∂x j ∂xi



P: Presión
µ : Viscosidad dinámica
15
TURBULENCIA
ECUACIONES DE REYNOLDS
Substituyendo:
∂ui
∂u
∂ ui
1 ∂ρ
+ uj i =
−
+ν
+ bi
ρ ∂xi
∂t
∂x j
∂x j ∂x j
2
ν=
µi
µ
µ
ρ
Fluctuaciones (Descomposición
de Reynolds)
µi = µi + µ 'i
1
µi = lim
T →∞ T
1
µ 'i =
lim
T →∞ T
T0 + T
∫
µi dt
T0
T0 + T
∫ (µ
i
)
− µi dt =
µi − µ i  0
T0
La media de una fluctuación es cero
16
TURBULENCIA
ECUACIONES DE REYNOLDS
La media de un producto es :
P=
P + P ' ; ui =
ui + ui '
= u v + u 'v '
uv
∂ui
∂
∂
=
ui=
∂x j ∂x j
∂x j
(
)(
Ecuación de Momentum
(u + u ')=
i
i
∂
ui
∂x j
( )
)
uv = u + u ' ν + ν ' = u ν + u ' + ν ' + u ' v '
Ecuación de continuidad:
∂µi
∂µi
∂ 2 ui
1
+ uj
= − ρ ∇P + υ
+ bi
ρ
∂t
∂x j
∂x j ∂x j
∂ui
∂ui
∂ 2 ui
1
+ µj
=−
∇P + υ
+ bi
ρ
∂t
∂x j
∂x j ∂x j
∂ui
+
∂t
?
∂ 2 ui
1 ∂
=
−
+ bi
P +υ
∂x j ∂x j
ρ ∂x j
∂u j '
∂
div u = u j =
0⇒
=
0
∂x j
∂x j
17
TURBULENCIA
ECUACIONES DE REYNOLDS
∂u j
∂u
∂
u
u
u
=
+ uj i
(
i
j)
i
∂x j
∂x j
∂x j
∂u
∂
ui u j ) = u j i
(
∂x j
∂x j
∂ p
du i
∂2 ui
∂
=
−ρ
+µ
+
− ρ ui ' u j ' + bi
ρ
dt
∂x j
∂xi ∂x j ∂x j
(
∂u
∂
ui u j = u j i
∂x j
∂x j
∂
∂
=
u
u
ui u j + ui ' u j '
pero ∂x i j
∂
x
j
j
(
)
(
∂
ui
∂
∂
ui u j +
+
∂t ∂x j
∂x j

(
ui
)
⇒
Multiplicando por P
)
(
(u ' u ') =−
i
j
∂ 2 ui
1 ∂
P +ν
+ bi
ρ ∂x j
∂x j ∂x j
)
∂u
∂
µ i
∂x j ∂x j
∂
∂x j
 ∂ui
u
 ∂x j
+
)
∂
− ρ ui ' u j '
∂x j
(
)

− ρ ui ' u j ' 

∂ui
∂x j
18
TURBULENCIA
ECUACIONES DE REYNOLDS
Tensor de Reynolds
 µ1 ' µ '1

τ = − ρ  µ2 ' µ '1

 µ3 ' µ '1
Energía Cinética media de la turbulencia
µ1 ' µ2 '
µ1 ' µ3 ' 
µ 2 ' µ '2
µ2 ' µ '3 
µ 3 ' µ '2


µ3 ' µ '3 
(
1
1
ρ q '2 ≈ ρ u1'2 + u2'2 + u3'2
2
2
)
Por simetría
Correlaciones
u1 ' u2 ' = u2 ' u1 '
µi ' µ j '
ui ' u j ' = u j ' ui '
19
TURBULENCIA
20
TURBULENCIA
(a)
(b)
ti
1
U i = ∫ udt
ti 0
(c)
21
TURBULENCIA
22
TURBULENCIA
23
TURBULENCIA
24
TURBULENCIA
Autocorrelación se define
Escala integral puede definirse
u ( x , y ) ui ( x + ∆x , y + ∆y )
Rij ( ∆x , ∆y ) =i
∞
L f = ∫ f ( x1 ) dx1
σ iσ j
σi
Desviación típica si i = j
0
varianza
σ2
R ( 0, 0 ) = 1
Correlación espacial
f ( x0 ) =
v1' ( x0 ) v1' ( x0 + x1 )
σ 1'2
25
TURBULENCIA
Correlación temporal
R( z) =
∞
ui' ( t ) ui' ( t + τ )
σ i'2
Le = ∫ Re ( z ) dz
Hipótesis de Taylor (Turbulencia homogénea)
x1 = uτ valida u  u '
⇒ f ( x1 ) = Re (τ )
L f = uLe
0
u
MEDIDA TEMPORAL
MEDIDA ESPACIAL
26
TURBULENCIA
27
TURBULENCIA
Pendientes en los rangos inerciales para los dos
métodos de cálculo
10 3
Potencias (db)
10 2
10 1
10 0
10 -2
10 -1
10 0
Frecuencias (HZ)
10 1
10 2
28
TURBULENCIA
29
TURBULENCIA
Saint Venant
54
Ecuación del flujo gradualmente variable en canales no prismáticos
ACELERACION
LOCAL
∂ A

∂t  Q

+

NIVEL
O MAGNITUD FÍSICA
ACELERACION
CONVECTIVA
 Q

∂  2

Q

∂x 
+ gI1 
 A

FLUJO DE
DICHA MAGNITUD
FUERZAS PARED
0


 − gA ( S0 − S1 ) + gI1
FUERZAS
PESO


+ gI 2 
FUERZAS
FRICCIÓN
∂µ ∂
+
f +T =
0
∂t ∂x
FORMA CONSERVATIVA O DIVERGENTE
30
TURBULENCIA
Saint Venant
55
FORMA NO CONSERVATIVA
c2 = g
∂u
∂
+ A (u ) + T =
0
∂t
∂x
 A
u = 
Q
∂f ( µ ) ∂f ∂µ
=
∂x
∂µ ∂x
1 

∂f

= A=
( u )  Q 2
A
Q
∂u
2 
− 2 + g
B
A
 A
0
A
B
1

2ν 
Ancho superficial
C:
Velocidad de propagación
de una onda de gravedad
ECUACIONES DE SAINT- VENANT
E.C.M
E.C.C.M
0

A (u ) =  2 2
 −ν + c
B:
∂A ∂Q
+
=
0
∂t ∂x
1 ∂Q 1 ∂  Q 2 
∂y
+
+
g
− g ( S0 − S f ) + gI i


A ∂t A ∂x  A 
∂x
31
TURBULENCIA
Saint Venant
56
FORMA CANÓNICA DE LAS ECUACIONES DE SAINT- VENANT
dQ
dA
− ( v − C ) = gA ( S0 − S f ) + gI 2
dt
dt
+
(1)
 dx 
 =
 dt 
(v + C )
dQ
dA
− ( v + C ) = gA ( S0 − S f ) + gI 2
dt
dt
( 2)
VALIDA A LO LARGO DE
−
VALIDA A LO LARGO DE  dx 
 =
 dt 
ν
C+
ν> 0
(v − C )
C−
ν> 0
ν< 0
ν< 0
32
TURBULENCIA
Saint Venant
57
FORMA CANÓNICA DE LAS ECUACIONES DE SAINT- VENANT
PARA CANAL RECTANGULAR
gI 2 =→
0
C2 = g
ECUACIÓN DINÁMICA DE C-
∂B
=
0
∂x
d
dt
( v − 2C )
= g ( S0 − S f
)
A
B
En caso de
=
S0 0,=
S f 0 ó S0 
Sf ó
dQ
dv
dA
= A +v
dt
dt
dt
EN LAS C+
v + 2C =
j+
ECUACIÓN DINÁMICA DE C+
d
dt
( v + 2C )
= g ( S0 − S f
)
EN LAS C-
v − 2C =
j−
33
TURBULENCIA
Saint Venant
58
PLANO DE ESTADO O PLANO
MONOGRÁFICO
C=
gA
=
B
gy ⇒
C2
y=
g
Q
Flujo de masa (CAUDAL) o cantidad de movimient
B
Q
Q =v A =v B y = v C 2 ⇒ Pu =g =v C 2
g
B
Flujo de cantidad de movimiento
Ι=
u
CUASI- INVARIANTES DE RIEMANN
v ± 2=
C
∫ g (S
t1
t1
0
− S f ) dt
)
Fuerza específica
Flujo de energía
Ε u=
VARIABLE
DE ESTADO
(
2
C
g = C 2 v2 + C
2
B
2
g Ε= C 2 + v
2
Energía específica
34
TURBULENCIA
Saint Venant
59
CAUDAL
µ=v
µ = 64
µ = −64
 d ( 2C ) 
1
=
−


Fr
 dv  p
µ = 27
µ = −27
µ = −8
µ=8
dPu
=
dS −
1
C 2 ( Fr + 1)
2C
µ=1
µ = −1
µ=0
dPu
=
dS +
1
C 2 ( Fr − 1)
2C
35
TURBULENCIA
Saint Venant
60
FUERZA ESPECÍFICA
 d ( 2C ) 
2 Fr

 = 2
 dv Ι Fr + 1
µ=C ( v + C )
µ = 384
dΙ
=
dS −
1 3
C ( Fr + 1)
2
µ = 121.5
µ = 24
µ = 1.5
dΙ
=
dS +
1 3
C ( Fr − 1)
2
36
TURBULENCIA
Saint Venant
61
ENERGÍA ESPECÍFICA
 d ( 2C ) 

 = − Fr
dv

Ε
µ= c + v
µ= 24.06
µ= 13.5
dΕ
=
dS −
1
C ( Fr + 1)
2
µ= 5.95
µ= 1.46
dΕ
=
dS +
1
C ( Fr − 1)
2
37
TURBULENCIA
TURBULENCIA
62
CONTRADICCIÓN ENTRE ENERGÍA Y FUERZA ESPECÍFICA EN EL FLUJO
38
TURBULENCIA
TURBULENCIA
63
RESALTO HIDRÁULICO
υ µ C µ2 = υ D C 2
D
 2 C µ2 
 2 C D2 
2
C µ υ µ +
= C D υ D +


2
2




2
39
TURBULENCIA
TURBULENCIA
64
CONVENCIÓN DE SIGNOS
v = vp
dx
= cte
dt
ONDAS DE COMPRESIÓN
 dx 
∆  > 0
 dt 
40
TURBULENCIA
TURBULENCIA
65
Ecuación de C+
+
dx
= v+c
dt
Mantener J- constante en la pared.
cte → J − =v − 2c
dv = 2dc
−
 dx 
dv + dc ≈ ∆  
 dt 
+
−
En la sección → J
−
 dx 
 dx 
∆  = dc si dc > 0 ∆   > 0
 dt 
 dt 
0 = dv − 2c ⇒ dv = 2 dc
De
J− →
⇒
 dx 
∆  =
 dt 
+
3 dc...dc > 0
+
 dx 
∆  > 0
 dt 
2 gy0 = 2c0
La característica en la sección de la
pared aumenta de pendiente (conv. Sig.)
Ecuación de C- (Muere en la pared).
−
 dx 
dv − dc
∆  =
dt
 
ONDA DE
CLASE I
•DESACELERACIÓN ESPACIAL DEL FLUJO
•TIPO COMPRESIVO
41
TURBULENCIA
TURBULENCIA
66
ANÁLISIS DEL MISMO TIPO CONDUCEN A
ONDA CLASE I
Perturbación
AGUAS ARRIBA
Invariante J-
CONSTANTE
Onda
COMPRESIVA SE DESPLAZA
(ABAJO)
C+
ONDA CLASE III
Perturbación
AGUAS ARRIBA
Invariante J-
CONSTANTE
Onda
DESCOMPRESIVA SE DESPLAZA
(ABAJO)
C+
DIVERGENTES
CONVERGENTES
ONDA CLASE IV
ONDA CLASE II
Perturbación
AGUAS ABAJO
Invariante J+
CONSTANTE
Perturbación
AGUAS ABAJO
Onda
COMPRESIVA SE DESPLAZA
(ARRIBA)
Invariante J-
CONSTANTE
Onda
DESCOMPRESIVA SE DESPLAZA
(ARRIBA)
C+
DIVERGENTE
C-
CONVERGENTE
42
TURBULENCIA
TURBULENCIA
67
FORMACIÓN DE UN FRENTE
γ
γ
γ
43
TURBULENCIA
TURBULENCIA
68
REFLEXIÓN DE UNA ONDA
υ
υ
44
TURBULENCIA
TURBULENCIA
69
ECUACIONES DEL FLUJO RÁPIDAMENTE VARIABLE
Ec. Conservación de la cantidad de movimiento
CANAL RECTANGULAR:
θ
Ec. Conservación de la masa
45