Las ondas de materia propuestas por de Broglie

Enseñanza
Las ondas de materia propuestas por de Broglie
Jesús Unturbe
Louis de Broglie put forward the idea of wave-particle duality in 1923-24, less than two years before the advent of Quantum
Mechanics. This last theory assumes that duality, but in a more abstract and counter-intuitive manner than de Broglie did. In this
article the wave behavior of matter is presented in a didactic way following de Broglie´s ideas. This kind of presentation may (hopefully) be helpful to better understand the quantum features in a more intuitive way. It is shown that this wave mechanics, in the framework of the theory of relativity, is compatible with Planck´s quantum and explains as well the particle´s dynamics, provided the
uncertainty relations are properly incorporated. The main difficulty with this view lies in its interpreting the wave as a non-local
entity.
Una característica fundamental de la Física Cuántica es la
dualidad onda-corpúsculo. Esto significa que una partícula
puede ser descrita alternativamente como onda o como corpúsculo. Este anti-intuitivo concepto fue visualizado a principios de los años 20 del siglo pasado por Luis de Broglie en
una tesis [2] que maravilló al propio Einstein. “Creo que es
el primer tenue rayo de luz para el peor de nuestros enigmas
físicos” (carta de Einstein a H.A. Lorentz, del 16 de diciembre de 1924, [9], p. 438). Probablemente la novedad de estas
ideas hizo dudar a Langevin el aceptar dicho trabajo como
Tesis Doctoral y pidió a de Broglie que enviase una copia a
Einstein. La opinión de Einstein convenció a Langevin. Así
pues, como dice Pais, Einstein no sólo es un padre sino el
padrino de la mecánica ondulatoria. Lo verdaderamente sorprendente es que, haciendo intervenir la Teoría de la
Relatividad (especial), de Broglie deduce una descripción
ondulatoria para la materia que es compatible con la corpuscular clásica y con el cuanto de acción: las ondas de materia.
[Con motivo de la conmemoración del centenario de su nacimiento en 1892, la Revista Española de Física le dedicó
unos artículos [10]; [12], incluyendo la reproducción de uno
de sus artículos originales [6]].
Tras haber contribuido al desarrollo de la mecánica ondulatoria de la física cuántica, de Broglie se desmarcó de la
interpretación ortodoxa de Copenhague apostando por una
interpretación mecanicista de la función de onda. Para él la
onda no es sólo un instrumento matemático representando
una amplitud de probabilidad, sino un sustrato físico de una
energía muy tenue que serviría de 'guía' al corpúsculo o concentración de energía. Enfrentándose a los problemas planteados por los sistemas de partículas (desigualdad de Bell) y
al problema de la medida, siguió investigando prácticamente en solitario, teorizando una termodinámica oculta de la
partícula aislada, una mecánica no lineal y una evolución
estocástica [3]; [4]; [5]. Legado de su inspiración son, por
ejemplo, las investigaciones de D. Bohm, J.P. Vigier, S.
Bergia y L. Smolin.
Pero pasemos al origen de la noción de dualidad ondacorpúsculo. Hace casi exactamente un siglo, basándose en
los resultados del efecto fotoeléctrico, Einstein propuso una
teoría revolucionaria acerca de la naturaleza corpuscular de
las ondas electromagnéticas en la que intervenía de manera
fundamental el cuanto de acción de Planck (Einstein, 1905).
“Entre 1905 y 1923 [Einstein] fue un hombre aparte, por ser
el único, o casi el único, que tomó seriamente el quantum de
luz” (Pais, 1984, p. 361). Otra aplicación del cuanto de
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acción de Planck fue la de 'cuantizar' las trayectorias de los
electrones en el átomo (modelo de Bohr) explicándose el
espectro y la constante de Rydberg del átomo de hidrógeno,
en abril de 1913, y para el átomo de hélio de un solo electrón, en octubre. Al conocer esto último, Einstein dijo:
“entonces, es uno de los mayores descubrimientos”. Este
programa vertebró la primera física cuántica, basado en el
'principio de correspondencia', según el cual, la Física era
fundamentalmente cuántica y el comportamiento clásico era
un resultado de los grandes números. “Einstein estaba particularmente impresionado con el enunciado y manejo, por
parte de Bohr, del principio de correspondencia” ([9], p. 419).
Hacia 1922 ya se disponía de fuerte evidencia sobre desviaciones de la imagen clásica, lo que impulsó a Compton y
a Debye, independientemente, a seguir la alternativa cuántica, deduciendo un año después, la cinemática relativista para
la dispersión de un fotón por un electrón en reposo [el efecto Compton]. “El apoyo experimental a la teoría –concluyó
Compton (1923)–, indica en forma convincente que un quantum de radiación porta con él, además de energía, un impulso con dirección”. La reacción de Einstein ([9], p. 416) es
una antesala de la dualidad: “El resultado positivo del experimento de Compton demuestra que la radiación se comporta como si consistiese en proyectiles discretos de energía, no
solamente en cuanto a la transferencia de energía, sino también en cuanto a la Stosswirkung [acción de choque] (...)
Ahora hay por lo tanto dos teorías de la luz, las dos indispensables y –como hay que admitir a pesar de veinte años de
tremendos esfuerzos por parte de los físicos teóricos– sin
conexión lógica alguna.” Entonces llegó de Broglie, quien
retomando y dando la vuelta al argumento de Einstein, generalizó la dualidad onda-corpúsculo para la materia. Así
como la luz (clásicamente ondulatoria) poseía una naturaleza corpuscular, la materia (clásicamente corpuscular) debía
tener asimismo una naturaleza ondulatoria. Como comenta
de Broglie en el prefacio a su tesis: “Después de larga reflexión en soledad y meditación, tuve bruscamente la idea,
durante el año 1923, de que el descubrimiento hecho en 1905
por Einstein debía generalizarse a todas las partículas materiales, y especialmente a los electrones”. Lo comunicó en
dos trabajos en septiembre de 1923 y presentó su tesis 12
meses después. De esta concepción, generalización natural
de la de Einstein, es de la que tratamos en este trabajo. [Hubo
sólo un precedente, en 1909 Einstein fue el primero en subrayar la necesidad de incorporar una dualidad partícula-onda
en los fundamentos de la teoría cuántica. Pais, 1984, p. 445.]
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Así, las ondas de materia, que se estudian en toda introducción a la Mecánica Cuántica (MQ), no sólo tienen un
interés histórico, sino que –como dijo John Bell–, nos ayuda
a la hora de entender un poco mejor esta disciplina, siempre
y cuando no nos dejemos llevar por la intuición más de lo
necesario. Incluso, para todo estudiante de espíritu independiente, puede servir como un punto de partida para hipótesis
de trabajo alternativas, siempre que valoremos adecuadamente sus dificultades. Por tanto, en este trabajo expondremos de manera didáctica y sencilla una visualización de las
ondas de materia. Veremos que la hipótesis del cuanto de
acción de Planck no es un añadido ad hoc con calzador en la
Mecánica Clásica, sólo forzado por los datos empíricos, sino
más bien casi una necesidad lógica que unifica formalmente
las representaciones [clásicas] ondulatoria y corpuscular.
Las ondas de materia fueron retomadas por Erwin Schrödinger quien propuso en enero de 1926 la ecuación de ondas
que lleva su nombre, la cual describe la dinámica de las partículas de manera universal, aunque en la aproximación norelativista. Simultáneamente, las investigaciones de física
cuántica de la llamada escuela de Copenhague (Niels Bohr,
Werner Heisenberg, Pascual Jordan, Wolfgang Pauli), culminan con la Mecánica Matricial, que propone un formalismo
algebraico de operadores, igualmente universal a la hora de
explicar la física atómica. Se había dado una vuelta de 180
grados en el modo de entender la Física, pues dicho formalismo era incompatible con el de la Mecánica Clásica. Había
pues dos concepciones rivales, de un lado la Mecánica
Ondulatoria introducía el descubrimiento de la naturaleza
ondulatoria de la materia, acomodándose al cuerpo del paradigma conceptual clásico; y de otro lado la Mecánica
Matricial, abiertamente incompatible con los conceptos clásicos (p.e., desaparecía la noción de trayectoria).
La tensión llegó al límite cuando se demostró que ambas
teorías (Ondulatoria y Matricial) eran formalmente equivalentes, gracias al propio Schrödinger y a P.A.M. Dirac.
Finalmente, a lo largo de este año [1926] terminaría por
resolverse el 'pulso' con la interpretación de Born: el cuadrado de la función de ondas ψ representa la probabilidad de
localización de la partícula. En consecuencia, ψ no representa la materia sino el conocimiento que tenemos de ella. Se
consolida la MQ y la ecuación de Schrödinger pasa a formar
parte de su cuerpo doctrinal.
A partir de aquí, la MQ comienza una vertiginosa carrera
de éxitos tanto en el terreno empírico como en el teórico (los
debates Bohr -Einstein). Einstein había dicho una vez que
“cuanto más éxito tiene la teoría cuántica, más tonta me
parece” ([9], p. 402). Él, que fue su germen, seguiría pensando que la MQ era una teoría incompleta (“el buen Dios no
juega a los dados”). Hubo una serie de autores que como él
se apartaron de la 'ciencia establecida' de la MQ investigando su completitud mediante 'variables ocultas', que en ultima
instancia explicarían la MQ en términos más clásicos e intuitivos (Einstein, de Broglie, Schrödinger, David Bohm, John
Bell). La puntilla llegaría con el teorema de la desigualdad
de Bell, en 1964 (Véase, Bell, 1992), que demuestra la imposibilidad de que la MQ pueda ser descrita en términos de
variables ocultas clásicas (locales). Y los experimentos de
Alain Aspect en 1981 y 1982 demostrarían empíricamente
que la MQ viola las desigualdades de Bell.
Una demarcación importante hay que hacer respecto a la
'ciencia establecida'. El desarrollo formal de las ondas de
materia, que veremos a continuación, está perfectamente
aceptado y lo podemos asumir sin más. Lo que lo diferencia
de la MQ es la interpretación de esta onda como una entidad
física existente. Debe quedar claro que para la MQ la función
de onda describe una amplitud de probabilidad y no puede
interpretarse como un campo.
Frecuencia angular de las ondas planas relativa
a un observador en movimiento
Una onda, en su sentido abstracto, es una oscilación de
una magnitud en los puntos que constituyen un espacio. El
punto del ciclo en que se encuentra la oscilación en un
momento dado lo denominamos fase y al valor de máxima
oscilación lo denominamos amplitud. Haciendo el símil de
las olas del mar, podríamos representar la oscilación en un
punto de su superficie mediante un corcho flotando, el cual
oscila arriba y abajo alrededor de una posición de equilibrio.
La fase sería indicada, en cada momento, por la distancia
respecto a la posición de equilibrio, y la amplitud por el valor
máximo de esta distancia (esto es, el tamaño de la ola). Una
'ecuación de ondas' asegura el comportamiento de la onda,
esto es, de la fase y amplitud: la fase oscila en el tiempo y
cambia de manera continua (sin saltos) de un punto del espacio a su contiguo (p.e., la forma sinoidal de las olas); la
amplitud puede cambiar de un punto al contiguo de manera
más suave. También las amplitudes pueden evolucionar en el
tiempo, por ejemplo, al tirar una piedra a un estanque, al
principio el agua empieza a oscilar con una gran amplitud en
el lugar donde cae la piedra y, gradualmente, las oscilaciones
van perdiendo amplitud en dicho lugar.
Nosotros vamos a considerar, por motivos didácticos,
ondas planas, es decir, un tipo de solución de la ecuación de
ondas que mantiene la misma amplitud en todos los puntos
del espacio y que no varía a través del tiempo. Asimismo, el
periodo de oscilación T de una onda plana también es constante a través del espacio y del tiempo. La fase Φ en un punto
dado, por ejemplo en x = 0, será una función lineal del tiempo, Φ = ωt, donde ω es la 'frecuencia angular' ω = 2π/T. De
esta manera, cuando pasa un tiempo t = T, la fase adquiere el
valor 2π radianes (equivalente a 360°), esto es, un ciclo completo.
El interés teórico por el comportamiento y propiedades
de las ondas planas no se debe únicamente a que se trata de
un caso particularmente sencillo de onda que puede aplicarse a regiones concretas de ondas más complejas; por ejemplo, el frente de ondas de una onda esférica puede aproximarse a una onda plana en una región pequeña del espacio.
De mucho mayor alcance es el teorema de Fourier, según el
cual toda onda puede descomponerse en una suma de ondas
planas.
Esta onda plana se 'propaga' en una dirección dada, digamos a lo largo del eje X. Al igual que las olas del mar que
oscilan arriba y abajo, podemos encontrar un sistema de
referencia que visualice las ondas como 'estacionarias', por
ejemplo un barco desplazándose 'a la vez' que las olas. Esto
significa que todo móvil que se desplace a lo largo del eje X
con una determinada velocidad u (velocidad de fase) encon-
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traría que la fase no oscila en el tiempo. La expresión de la
fase de una onda plana obedece este requisito:
Φ = ω(t – x/u)
(2)
es decir, que el valor de la fase Φ(xo, to) en un punto del espacio-tiempo es independiente del sistema de referencia inercial del observador. En nuestro ejemplo, si en un punto dado
del mar y en un instante dado de tiempo la ola está, digamos,
en su punto máximo, cualquier observador verá lo mismo.
La ecuación (1) está definida en el sistema de referencia
X. Supongamos ahora que quiero estudiar la fase de dicha
onda desde un sistema de referencia X' que se mueve a lo
largo del eje X con velocidad βc (siendo c la velocidad de la
luz, y β un número menor que uno). Entonces, las coordenadas x y t se transformarán en x' y t' de acuerdo con las transformaciones de Lorentz:
x' = γ(x – βct),
t' = γ(t – xβ/c),
γ = (1 – β2)–1/2.
donde
(3)
A partir de las transformaciones (3) es fácil ver (tomando
u = x/t y u' = x'/t') que la velocidad u se transformará en
u' = (u – βc)/(1 – uβ/c).
(4)
La fase que el móvil observa a su paso será Φ' = ω'(t' –
x'/u'), que sustituyendo (3) y (4) da lugar a
Φ' = ω'(t' – x'/u') = ω'(t – x/u) / γ(1 – βc/u).
(5)
Ahora, teniendo en cuenta que el valor de la fase es la
misma desde los dos sistemas de referencia, tenemos que
sustituir las expresiones (1) y (5) en (2), obteniendo la
siguiente expresión para la transformación de la frecuencia
angular ω:
ω' = γ ω (1 − βc/u).
(6)
Esta sería la 'velocidad de oscilación' que vería el móvil
a su paso. En nuestro ejemplo, desde una boya se observaría
una frecuencia ω de las olas del mar y desde una lancha surcando las olas, se observaría una frecuencia ω' diferente.
Estudiemos detenidamente la ec. (6) y preguntémonos qué
velocidad debería tener el móvil que persigue las ondas para
que observase la mínima oscilación de estas. Obviamente, si
el móvil adquiriese la velocidad de las olas, esto es βc = u,
entonces vería a éstas estáticas respecto de él; es lo que le
sucede al surfista. Efectivamente, introduciendo esto en (6)
obtenemos ω' = 0.
Sin embargo, y aquí reside mi modesta contribución, calculemos matemáticamente la velocidad βc del móvil que
minimiza ω', considerando la posibilidad de una velocidad
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βc = c2 / u.
(1)
Efectivamente, aquel movimiento que cumple x = xo + ut
observará, a su paso, una fase estacionaria, ya que sustituyendo x en (1) obtenemos, Φ = ω(t – (xo + ut)/u) = ω(–xo / u),
que es independiente del tiempo.
Ahora vamos a describir la fase de la onda plana desde un
sistema de referencia inercial (esto es, desde un móvil a velocidad constante) que se mueve con una velocidad relativista
(esto es, que pueda ser cercana a la de la luz). En lo que sigue
vamos a suponer que la fase es invariante Lorentz,
Φ = Φ'
de fase superlumínica. Para lo cual hemos de hacer dω'/dβ = 0.
Esto nos da una velocidad βc aparentemente superlumínica:
(7)
Esta interpretación hemos de descartarla inmediatamente
dado que partimos de que βc < c. Sin embargo existe otra
posibilidad: una onda con velocidad de fase u superlumínica; lo cual, como después veremos, no es nada del otro
mundo. [Se trata de un mínimo ya que, para el valor dado por
(7), d 2ω'/dβ2 = γ3 > 0.]
Resumiendo, habría tres clases de ondas planas: (i) con
velocidad de fase inferior a la de la luz (u < c). Es el caso de
las conocidas ondas mecánicas, como las olas del mar. Un
observador desplazándose a la velocidad de fase, vería un
panorama estático (ω' = 0; como el surfista). (ii) Ondas con
velocidad de fase superior a la de la luz (u > c). En este caso,
la velocidad del móvil que observa la frecuencia mínima es
c2 / u (como veremos más adelante, este será el caso de las
ondas de materia). (iii) Ondas a la velocidad de la luz (u = c).
Es el caso de las ondas electromagnéticas. Aquí no existe un
sistema de referencia privilegiado. Einstein llegaría a la teoría de la relatividad hace un siglo tras esfuerzos infructuosos
de resolver el problema de considerar la luz (de tipo iii)
como una onda de tipo (i), es decir, un observador que persiguiese un rayo de luz no llegaría nunca a ver un campo electromagnético estático.
Características de las ondas planas de
velocidad de fase superlumínica
Consideremos el sistema de referencia X' en el que la frecuencia de la onda ω' se observa mínima y veamos qué
aspecto tiene la onda. Llamaremos ωo a esta frecuencia mínima y Xo al sistema de referencia en que esto ocurre.
Podemos fácilmente imaginar, e incluso construir, una sencilla onda de fase superlumínica. Esto no debería extrañarnos
si tenemos en cuenta que la definición de velocidad de fase
es u = λ/T (donde λ, la longitud de onda, representa la distancia entre dos crestas consecutivas en un instante de tiempo). El problema es el mismo que cuando vemos un anuncio
luminoso consistente en una hilera de luces que se encienden
y se apagan de tal manera que hace el efecto de que un punto
luminoso se traslada de un extremo al otro. El desplazamiento del 'efecto óptico' puede ser superlumínico y esto no
significa que nada tenga que trasladarse a dicha velocidad, ni
energía, ni información.
Un móvil en reposo respecto al sistema de referencia en
que la onda tiene frecuencia mínima tendrá, obviamente,
velocidad nula (βc = 0), y por (7) una velocidad de fase u
infinita. Un conjunto de osciladores vibrando todos en fase
lo ilustra. En nuestro ejemplo del anuncio luminoso, todas
las bombillas intermitentes parpadearían al unísono. En un
instante de tiempo todas las luces se encenderían simultáneamente, un tiempo dado después se apagarían y así sucesivamente. Como todos los osciladores están en la misma
cresta llenando todo el espacio, λ será infinito. Así es como
veríamos una onda de este tipo en el sistema de referencia Xo
en el que se observa la frecuencia mínima ωo. Aunque se
pudiese objetar que no es una 'onda' por no tener ni crestas
ni valles, no puede negarse que se trata de una 'vibración'. En
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otras palabras, en el sistema Xo la onda no tiene aspecto
'ondulatorio' en el espacio pero sí lo tiene en el tiempo.
Por supuesto, de la expresión (7) sabemos que la velocidad de fase será superlumínica siempre que el observador no
lo sea, esto es, siempre. En otras palabras, no es posible
hallar un sistema de referencia desde el que un sistema de
osciladores en fase se observen como una ondulación estática, a diferencia del mar visto por el surfista. Las ondas de
fase superlumínica son en cierto modo, vibraciones intrínsecas, ya que desde ningún punto de vista dejan de vibrar.
De enorme importancia es notar que la expresión (7) es
sólo posible en un espacio-tiempo minkowskiano, es decir,
teniendo en cuenta la teoría de la relatividad especial. Desde
el marco de la mecánica newtoniana, un conjunto de osciladores en fase seguirá estando en fase en todos los sistemas
de referencia (esto es u = ∞). En cambio, por pequeña que
sea la velocidad βc, la mecánica relativista predice que aparece un aspecto ondulatorio en el espacio, una λ finita. Esto
se debe a que la noción de simultaneidad en relatividad, que
se puede definir siempre para todo el espacio, sólo puede
definirse desde un sistema de referencia dado. En otras palabras, habrá un sistema de referencia en el que las superficies
de simultaneidad sean paralelas a las de igual fase. Por tanto,
al cambiar dicho sistema de referencia, las superficies de
simultaneidad intersecarán las superficies de igual fase, y
atravesarán crestas diferentes, esto es, una λ finita.
La paradoja de la frecuencia
Consideremos la fórmula de la transformación de la frecuencia angular (6) respecto al sistema de referencia Xo
donde la frecuencia es mínima, ω' = ωo. Esto es, sustituyendo (7) en (6), obtenemos que un observador que se desplace
a una velocidad βc registrará una frecuencia para la onda:
ω = γ ωo
(9)
Ahora bien, como ωo = 2π/(t2 – t1), denominando ω' =
2π/(t'2 – t'1), tenemos que la frecuencia de un oscilador vista
desde un móvil es
ω' = ωo / γ,
Velocidad de grupo
Se define velocidad de grupo de una onda como v = dω / dk
donde k es el 'número de ondas', esto es, k = 2π / λ. Ahora,
teniendo en cuenta que u = λ / T = ω / k, y que si partimos del
sistema de referencia en que ω = ωo, entonces cualquier otro
sistema a velocidad βc observará una velocidad de fase u=c/β.
Por tanto, se obtiene la relación ω = ck / β. Sustituyendo esto
en (8) se obtiene la transformación de k con la velocidad:
k = γ ωo β / c .
(8)
es decir, en reposo la frecuencia es ωo y a medida que
aumenta la velocidad la frecuencia aumenta, primero suavemente, y se hace considerablemente grande para velocidades
cercanas a la luz.
Sin embargo, la expresión (8) es justo la contraria de la
transformación de la frecuencia dada por la relatividad, lo
cual le llamó extraordinariamente la atención a de Broglie.
Para verlo vamos a aplicar la transformación de Lorentz (3)
a la frecuencia. Sea un oscilador de frecuencia ωo en un
determinado sistema de referencia y sea un móvil que pasa a
su lado a velocidad βc, ¿qué frecuencia observará? Sea t2 – t1
el periodo de tiempo que emplea el oscilador en completar
un ciclo, y t'2 – t'1 el tiempo de ese ciclo medido por el observador móvil. Usando (3) se obtiene
t'2 – t'1 = γ(t2 – xβ/c) – γ(t1 – xβ/c) = γ(t2 – t1),
campo de osciladores. Así, en el sistema de referencia en que
la onda tiene frecuencia mínima ωo los osciladores están en
fase y un móvil los observa en conjunto y no por separado,
como si avanzaran con él. El resultado es una frecuencia
mayor. Algo así como una lancha surcando el mar que a
medida que aumente su velocidad podrá atravesar las olas
con más frecuencia.
Finalmente, estamos ahora en situación de entender la
concordancia entre diferentes observadores de la onda plana.
Supongamos que nosotros estamos en el sistema donde la
onda tiene frecuencia mínima ω = ωo. Entonces un móvil
observará, según (8), ω = γ ωo. Supongamos ahora que la
oscilación que observa dicho móvil se registra 'on-line' en un
oscilador que lleva consigo. La frecuencia que nosotros
observamos de su oscilador en movimiento será, según (10),
ω' = ω/γ, y por tanto, ω' = (γωo) / γ = ωo. Es decir, observaremos que todos lo móviles registran la misma frecuencia ωo
que observamos nosotros directamente. En conclusión, ωo es
un invariante de la onda y su sistema de referencia está privilegiado. Esto no sucede desde otros observadores, donde
ω ≠ ωo. Como veremos, este sistema privilegiado no debe
ser interpretado como un nuevo 'eter', sino como algo mucho
más tangible: materia.
(10)
que es lo opuesto de (8), esto es, en reposo la frecuencia es
ωo y a medida que aumenta la velocidad, se observa una
ralentización de la frecuencia.
La aparente paradoja se resuelve, claro está, porque una
onda no es un oscilador, aunque puede representarse por un
(11)
Si ahora eliminamos β de las ecuaciones (8) y (11) llegamos a una expresión de la frecuencia en función de k, ω =
ω(k),
(12)
ω2 = ωo2 + c2 k2.
Ahora estamos en condiciones de hallar la velocidad de
grupo. v = dω/dk = c2k / ω = βc. Es decir, la velocidad de
grupo coincide con la velocidad del observador respecto al
sistema de referencia donde es mínima la frecuencia de la
onda. Pasemos a interpretar este resultado.
De entrada, encontramos una consecuencia de lo más
relevante: la velocidad de grupo no puede superar la velocidad de la luz. Hasta aquí hemos considerado la onda como
un campo, es decir, hay unos valores oscilantes en los puntos de un espacio. Cuando modifico el sistema de referencia,
en virtud de las transformaciones de Lorentz, estos de valores oscilantes me muestran otro panorama, pero en teoría de
campos no es correcto hablar de 'velocidad del campo' porque el campo no se mueve. Ahora, desde el concepto de
velocidad de grupo, sí podemos hablar de movimiento de la
onda. Según este resultado, la velocidad de la onda se 'localizaría' en el sistema de referencia donde su frecuencia es
mínima (y con velocidad de fase u = ∞); en cualquier otro
sistema de referencia (donde la onda tendría una velocidad
de fase finita u) podríamos decir que la onda se 'mueve' con
velocidad v = c2/ u.
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Naturalmente, cuando uso el término 'localización' referido a una onda plana que llena todo el espacio, me estoy refiriendo al sistema de referencia privilegiado, esto es, a una
velocidad más que a una región espacial. No obstante, cuando se trabaja con un pulso de ondas, esto es, cuando la amplitud de la onda es diferente de cero sólo en una región del
espacio, la velocidad de grupo coincide con la velocidad del
desplazamiento de ese pulso, con lo que el término localización adquiere un sentido espacial más preciso. En palabras
de Feynman, “las modulaciones, siempre que sean suficientemente lentas, irán a la velocidad de grupo”. [Para casos
especiales en que se consiguen velocidades de grupo superlumínicas (pero nunca velocidad de señal superlumínica),
véase [13].]
La luz
En caso que la onda tenga velocidad de fase u = c, ya que
u = λ / T = ω / k, tenemos que ω = ck. Ahora, si sustituimos
en (12) obtenemos ωo = 0. El sistema de referencia en que la
frecuencia se hace cero tendría que tener la velocidad de la
luz, por lo que podemos decir que la luz no privilegia a ningún sistema de referencia; lo cual es consistente con los
supuestos de la relatividad, que hemos asumido.
Sabemos por la teoría de ondas que la energía de una
onda es proporcional al cuadrado de la amplitud. Sin embargo, aplicado a la luz esto trajo una interesante paradoja en la
radiación del cuerpo negro a finales del siglo XIX, que sólo
parecía solucionarse con la hipótesis del cuanto propuesta
por Max Planck en 1900. Fue confirmado por Einstein en
1905 en su trabajo sobre el efecto fotoeléctrico, por el que
recibirá el premio Nobel, que la luz se concentra en cuantos
indivisibles de energía Eluz = ωluz, la acumulación de los
cuales proporciona una energía proporcional al cuadrado de
la amplitud (recuperando el comportamiento clásico).
Asimismo, dado que Eluz = pluz c = ωluz = c kluz, tenemos
también que un cuanto de luz posee momento pluz = h kluz (
es la constante de Planck dividida por 2π). Este trabajo, fue
revolucionario no sólo por demostrar el aspecto corpuscular
de la luz, sino porque sería el origen de la física cuántica,
esto es, invalidó las leyes de la mecánica clásica para energías y momentos del orden o inferiores a los que intervienen
en los sucesos elementales.
El origen ondulatorio de la materia
De Broglie, inspirado en este trabajo, como mencionamos en la introducción, toma el argumento al revés, y postula una naturaleza ondulatoria para la materia. Aquí, no obstante, no seguiremos su línea argumental, sino que seremos
consistentes con la que parte del comportamiento abstracto
de las ondas para llegar, por deducción, al comportamiento
de la materia.
Tomando en cuenta este conocimiento revolucionario
añadido, según el cual la realidad física se comporta como
una acumulación de cuantos elementales, aplicaremos este
principio cuántico a las ondas. Tomemos una onda de tan
baja intensidad que se corresponda con un cuanto elemental.
Entonces, la expresión para la velocidad de grupo, v = c2k / ω,
puede reescribirse como
pc2 = E v,
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(13)
donde hemos definido E = ω, p = k, lo cual cumple el caso
particular de la luz, E = pc. Es decir, si hubiésemos partido
de la dinámica de la partícula (13) y de la cinemática de la
onda (v = c2k/ω), entonces tendríamos que E/ω = p/k es un
invariante, que en el caso particular de la luz es . Por tanto,
no hay inconsistencia al aplicar el principio cuántico a las
ondas en cuestión (las de fase superlumínica). Una consecuencia de esto es que, dado que k = 2π / λ, podemos reescribir p = k como
λ = h / p,
(14)
que es la longitud de onda que de Broglie calculó para la
onda asociada a la partícula.
Definamos ahora el concepto 'masa inercial', m, como la
proporcionalidad entre el momento p y la velocidad de grupo
v, esto es, p = mv. (En esta definición no estamos presuponiendo, de manera subrepticia, ninguna propiedad invariante
para la masa inercial; de hecho, no es invariante.)
Sustituyendo esto en (13) se obtiene nada menos que
E = m c2,
(15)
que en el sistema de referencia donde la velocidad de grupo
es cero, pasa a ser Eo = moc2.
Ahora, multiplicando la expresión (12) por 2 obtenemos
2
E = (ωo)2 + p2c2. Pero la energía en el sistema de referencia donde la velocidad de grupo es cero es Eo = ωo, y en
consecuencia, E2 = Eo2 + p2c2, o bien,
E2 = mo2c4 + p2c2.
(16)
Sorprendentemente, las expresiones (13, 15 y 16), son las
de la dinámica de la partícula relativista. Es chocante, porque hasta ahora no hemos introducido en ningún momento la
noción de corpúsculo. Ahora, sustituyendo la expresión (15)
en (16) con p = mv, obtenemos m = γmo, donde γ = (1 –
(v/c)2)–1/2, que es la conocida fórmula relativista de la masa.
Ahora bien, como ωo es un invariante para la onda y dado
que Eo = moc2 = ωo, mo será también un invariante y la
podemos denominar 'masa en reposo' respecto a la velocidad
de grupo.
Es conocido el límite newtoniano de bajas velocidades,
v « c, donde γ ≈ 1 + v2/2c2, y por tanto, E = mc2 = γ moc2 ≈
moc2 + ½ mov2. En una palabra, la energía cinética asociada
a la onda de materia elemental sería Ec = mc2 – moc2 ≈ ½ mov2.
Y si definimos el concepto de fuerza como F = dp/dt, entonces F ≈ mo dv/dt = mo a, la ecuación fundamental de la dinámica newtoniana.
Cuantización del momento angular y origen
del espín
Consideremos ahora las características fundamentales
para una onda giratoria. Sea un sistema de referencia inercial
O tal que, en su origen, la onda tenga frecuencia mínima.
Tomemos ahora un sistema de referencia O' con sus ejes
rotando alrededor del origen del sistema O, a velocidad
angular constante. Si O' es 'co-rotante' con la onda, en todos
sus puntos se observará la frecuencia mínima ωo y oscilarán
en fase. Un punto del sistema O' alejado del origen una distancia R, observado desde el sistema de referencia inercial O,
registrará una frecuencia mayor ω y una longitud de onda λ
a lo largo de la circunferencia para un instante dado. (Nota:
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Las ondas de materia propuestas por De Broglie
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la distancia R no será modificada por las transformaciones
de Lorentz porque su desplazamiento es perpendicular.)
Ahora viene el punto importante: en un instante dado de
tiempo desde el inercial O, sobre la circunferencia de longitud 2πR, la fase de la onda no debe pegar saltos. Como
sabemos de mecánica ondulatoria, sólo caben dos posibilidades. La primera es que el número de longitudes de onda a
lo largo de la circunferencia sea un número entero n. La
segunda posibilidad es un número semientero de longitudes
de onda, es decir, una onda estacionaria. Por tanto, 2πR = n λ.
Ahora, insertando esto en la expresión de la velocidad de
fase u = λ/T = λω/2π = c2/v, se obtiene, n = R v ω / c2. Multiplicando esta expresión por y teniendo en cuenta (13), llegamos a que n = R v ω / c2 = R v E / c2 = R p, que no es otra
cosa que el momento angular L. Esto es,
L = n ,
el momento angular de una onda debe estar cuantizado,
tomará valores discretos. Si los intercambios de energía han
de estar constreñidos por números enteros de , las ondas
elementales con n entero no podrán pasar a tenerlo semientero y viceversa. Estos dos tipos de 'partículas elementales'
serán llamadas bosones y fermiones, donde se dice que poseen un 'espín' entero o semientero, respectivamente.
El principio de incertidumbre
Hasta aquí hemos considerado una onda plana, esto es,
que posee un único valor para la frecuencia y la longitud de
onda. Ahora consideremos un 'paquete' de ondas, esto es, una
onda donde su amplitud es apreciablemente distinta de cero
en una región localizada del espacio. Como apunté antes, la
velocidad de grupo coincide con la velocidad de desplazamiento de este paquete. Por todo lo que hemos visto, un
paquete de ondas se comporta como un corpúsculo: posee
una masa inercial invariante en el sistema de referencia del
paquete, momento, fuerza y energía cinética. No obstante,
hay ciertas limitaciones en la analogía corpuscular, ya que un
paquete de ondas no posee un número de ondas k ni una frecuencia ω bien definidos. Efectivamente, como demuestra el
teorema de Fourier, un paquete puede expresarse como una
suma infinita de ondas planas, cada una con su frecuencia y
número de ondas bien definidos.
Se puede demostrar con toda generalidad que para construir un único pulso hay que superponer muchas ondas con
frecuencias y número de ondas distribuidos en un pequeño
rango en torno a unos valores centrales. Si designamos el
tamaño del 'paquete' por ∆x, se puede demostrar que existe
una relación inversa con el número de ondas, de manera que
cuanto más 'comprimido' esté el paquete, mayor dispersión
tendrá el número de ondas,
∆x ∆k ≥ 1.
(17)
Ahora, recordando que v = dω/dk = cte, defino ∆ω de tal
manera que v = ∆ω/∆k. De la misma manera, dado v = dx/dt
= cte, defino ∆t tal que ∆x = v ∆t. Con estas definiciones,
∆x∆k = v ∆t ∆k = ∆ω ∆t, y por tanto,
∆ω ∆t ≥ 1.
(18)
Finalmente, como dp/dk = y dE/dω = , podemos escribir, ∆p = ∆k y ∆E = ∆ω, y sustituyendo en (17) y (18),
obtenemos:
∆p ∆x ≥ /2
∆E ∆t ≥ /2.
(19)
Nota: el factor ½ depende de la definición precisa de la
anchura ∆.
Estas son las famosas relaciones de incertidumbre que
halló Heisenberg en 1927, durante una convalecencia, a partir del formalismo de la MQ. Expresan las limitaciones de la
descripción de la analogía corpuscular. Cuanto más 'localizada' esté una onda, –esto es, cuanto más estrecho sea el
paquete de ondas– más indefinidos estarán el momento y la
energía. A la inversa, una onda plana, que tiene un momento
y una energía bien definidos, ocupa el espacio entero, todo el
tiempo.
Debemos entender con cuidado la relación de incertidumbre energía-tiempo. Tal como las hemos deducido significa que la indefinición de la energía de un paquete está en
relación inversa con el tiempo ∆t que éste tarda en pasar por
un punto fijo. Si ahora tomamos la relación de incertidumbre
energía-tiempo en el sistema de referencia donde v = 0, para
una onda plana, según (16), tendrá una energía moc2 donde el
valor de mo está bien definido, es decir, ∆mo = 0. Como consecuencia ∆t = ∞, es decir que siempre estaremos 'dentro' de
la onda; lo cual sólo puede significar una cosa: la estabilidad
de la onda elemental. A la inversa, una onda elemental con
una 'masa en reposo' indefinida ∆mo > 0, tendrá una vida
media dada por τ ≈ / ∆moc2, puesto que tendría que desaparecer como tal al cabo de dicho tiempo: se desintegrará. Por
último, en el caso de que ∆mo ≈ mo, se podrían crear ondas
elementales durante un tiempo ∆t ≈ / moc2.
Discusión
Partiendo sólo de la descripción del movimiento ondulatorio desde distintos sistemas de referencia inerciales, hemos
visto no sólo la compatibilidad con la naturaleza cuántica de
la energía electromagnética, sino también que un cierto tipo
de ondas (con velocidad de fase superlumínica) se comportan como corpúsculos materiales dentro de ciertos límites
dados por las relaciones de incertidumbre, pero siempre
sujetos a las leyes de la mecánica (relativista). Es importante destacar que no hemos usado en ningún momento el concepto de partícula ni tampoco hemos utilizado nada del formalismo de la MQ ni, mucho menos, de la Teoría Cuántica
de Campos (TCC). En síntesis, el modelo ondulatorio relativista predice el comportamiento corpuscular clásico de la
materia, los límites dentro de los que este modelo es válido,
y fuera de estos límites, naturalmente, el comportamiento
ondulatorio (p.e., el fenómeno de interferencia), las interacciones entre 'partículas' materiales y luz (p.e., efecto
Compton), la cuantización del momento angular, e incluso
quedan apuntadas algunas propiedades de la TCC (creación
de pares virtuales).
Hemos expuesto el modelo de De Broglie de una manera
didáctica, eludiendo su concepción heterodoxa donde se postula la existencia de un corpúsculo añadido a la onda. Como
hemos visto, este añadido es absolutamente innecesario. El
modelo aquí expuesto tiene la ventaja de permanecer dentro
del camino ortodoxo y, al ser previo al formalismo de la MQ,
permanece intuitivo. Es importante notar que en el modelo
de De Broglie es imprescindible el principio de relatividad
de Einstein, esto es, la relatividad de los sistemas de referen-
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REF Diciembre 2006
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Enseñanza
cia inerciales de Galileo más la invariancia de la velocidad
de la luz respecto a dichos sistemas de referencia. En otras
palabras, sin la relatividad sería absolutamente imposible
deducir, a partir sólo de ondas, un modelo de la materia aproximadamente corpuscular. No obstante, el camino por el que
Einstein llegó al modelo corpuscular de las ondas electromagnéticas fue a partir de fluctuaciones estadísticas de la
radiación del cuerpo negro en dos pasos: en el primero dedujo la cuantización de la energía (1905) y en el segundo la
cuantización del momento (1916). No usó la relatividad
especial. Incluso, en el año 1924, estudiando el caso del gas
cuántico, llegó a “enunciar la necesidad de ondas de materia
por el análisis de fluctuaciones” ([9], p. 439), un camino
independiente del tomado por de Broglie.
A pesar del éxito predictivo del modelo ondulatorio, formalmente correcto, –modelo en el que podríamos incluir el
caso especial no relativista de la ecuación de ondas de
Schrödinger–, queda como problema insoluble la interpretación de las ondas elementales como partículas elementales
de materia. Una onda elemental (extensa) que representa un
electrón atravesando una cámara de niebla, ioniza a su paso
el vapor sobresaturado de agua, dejando el rastro definido de
una trayectoria, perfectamente visible; se dice que la onda se
ha colapsado. Este cambio instantáneo de la forma de la
onda elemental es un escollo insalvable del modelo.
En cambio, la MQ ya no trata con ondas de materia sino
de probabilidad, por lo que la aparición de los rastros de las
partículas elementales en la cámara de niebla no supone ninguna paradoja: en lugar de colapsarse la materia, se ha actualizado una probabilidad.
No obstante, permanece en MQ el problema de la medida como su continuación. La MQ, que se asume como fundamento de toda la física, predice la superposición de estados macroscópicos: se puede estar en dos sitios a la vez, o en
dos estados (vivo y muerto). La inobservabilidad de estos
estados sólo puede conciliarse mediante una construcción
metafísica: la existencia paralela de universos. Cada estado
existe en un universo separado. Así, soy consciente de estar
en un sitio pero no del yo que está en el otro sitio, y viceversa. Aunque el problema teórico es grave, para todos los efectos prácticos la superposición de estados macroscópicos es
indetectable. “Pero aunque la MQ es capaz de rendir cuenta
de estos aspectos del mundo macroscópico con una aproximación extremadamente buena –dijo John Bell en 1973–, no
puede ir más allá de eso. La serpiente no puede engullirse a
sí misma por la cola. Permanece este embarazoso hecho: la
teoría es sólo aproximadamente inequívoca, sólo aproximadamente auto-consistente” ([1], cap. 5).
Lo que no cabe duda, es que la MQ tiene su ámbito hegemónico indiscutible en los 'modestos' términos de la interpretación de Copenhague, esto es, la física atómica, nuclear
y partículas elementales. Y es compatible con la Física
Clásica dentro de los límites de las relaciones de incertidumbre. Sin embargo, cuando pretende erigirse en teoría última
REF Diciembre 2006
no puede sustituir completamente a las enormes aportaciones de la Física Clásica (Teoría de la Relatividad General). A
este respecto es interesante la perspectiva de Károlyházy
(1966) y otros, que lejos de intentar reducir un paradigma al
otro, tratan de armonizarlos partiendo de ambos y modificándolos ligeramente (véase [11]).
Siguen vigentes las palabras de John Bell en 1966:
“Hacemos hincapié no sólo en que nuestro punto de vista es
minoritario, sino también en que el interés actual acerca de
estas cuestiones es pequeño. El físico típico cree que han
sido respondidas hace tiempo y que él entendería completamente cómo, si dispusiera de veinte minutos para pensar
sobre ello” ([1], cap. 3). Queda por escribir el último capítulo de la física teórica, que como nos tiene acostumbrados,
terminará por remitirnos a un segundo volumen aún más fascinante.
Agradecimientos
Quiero agradecer los valiosos comentarios de José Luis
Sánchez-Gómez (UAM) en la elaboración de este trabajo,
bien entendido que toda deficiencia corre de mi cuenta.
Referencias
[1] BELL, J.S. (1990). Lo decible y lo indecible en Mecánica Cuántica.
Madrid: Alianza Universidad. [Orig. 1987]
[2] DE BROGLIE, L. (1927). Recherches sur la théorie des quanta. J. Physique (serie 6) VIII (5), 225, Thése de Doctorat. París: Masson, 1924.
[3] DE BROGLIE, L. (1964a). La Thermodynamique de la particule isolée.
París: Gauthier-Villars.
[4] DE BROGLIE, L. (1964b). La Thermodynamique cachée des particules,
Ann Inst Henri Poincaré, I (1), 1-19.
[5] DE BROGLIE, L. (1970). The reinterpretation of wave mechanics.
Foundations of Physics, 1, 5.
[6] DE BROGLIE, L. (1992). Radiations. Ondes et Quanta. 6 (2), 62.
[7] Einstein, A. (1905). Sobre un punto de vista heurístico referente a la
generación y conversión de la luz. Annalen der Physik, 17, 132. [en
alemán]
[8] KÁROLYHÁZY, F. (1966). Nuovo Cimento A, 42, 390.
[9] PAIS, A. (1984). 'El Señor es sutil...' Barcelona: Ariel. (Orig. 1982)
[10] SÁNCHEZ-GÓMEZ, J.L. (1992). La interpretación de la mecánica cuántica de De Broglie-Bohm desde una perspectiva actual. Revista
Española de Física, 6(2), 57.
[11] SÁNCHEZ-GÓMEZ, J.L. Y UNTURBE, J. (1999). Gravitacionally induced
decoherence in macroscopic systems. Foundations of Physics Letters,
12, 233-250.
[12] SÁNCHEZ RON, J.M. (1992). Louis de Broglie, entre la física clásica y
la cuántica. Revista Española de Física, 6(2), 53.
[13] SÁNCHEZ SOTO, L.L., G. BJÖRK Y A.B. KLIMOV (2005). Controlando la
velocidad de la luz: luz rápida, luz lenta. Revista Española de Física,
19(1), 39-42.
Jesús Unturbe
está en el Grupo Especializado de Información Cuántica
Real Sociedad Española de Física
Madrid
http://www.rsef.org