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Programación
Programación yy Métodos
Métodos Numéricos:
Numéricos:
Integración
Integración Numérica
Numérica –– Fórmulas
Fórmulas de
de
Newton-Cotes
Newton-Cotes –– Fórmulas
Fórmulas de
de Gauss
Gauss
Prof. Carlos Conde Lázaro
Prof. Arturo Hidalgo López
Prof. Alfredo López
Marzo, 2007
Departamento de Matemática Aplicada y Métodos Informáticos – ETSIM - UPM
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Programa
Programa
•
•
•
•
•
•
•
Generalidades
Fórmulas de integración numérica
Fórmulas de integración de tipo interpolatorio
Relación entre el orden de exactitud y los puntos
del soporte en las fórmulas de integración numérica de tipo interpolatorio.
Análisis del error en las fórmulas de tipo
interpolatorio
Obtención de fórmulas de integración numérica
Fórmulas gaussianas.
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Fórmulas
Fórmulas de
de Newton-Cotes:
Newton-Cotes: definición
definición
Se denominan fórmulas de Newton-Cotes a todas las fórmulas
de integración numérica de tipo interpolatorio construidas sobre
soportes equidistantes centrados en el intervalo de integración.
Las fórmulas de Newton-Cotes se clasifican en:
*
Fórmulas de Newton-Cotes cerradas: El soporte
*
Fórmulas de Newton-Cotes abiertas: los extremos
incluye a los dos extremos del intervalo de integración.
del intervalo de integración no se incluyen entre las
abscisas que forman el soporte.
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Fórmulas
Fórmulas de
de Newton-Cotes
Newton-Cotes cerradas.
cerradas.
h
a = x0
h
h
x1 ………
h
xi
h
h
xi+1 ………
h
xn-1 xn = b
h = (b-a)/n
xi = a + i·h
(i = 0, 1, ……, n)
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66
Fórmulas
Fórmulas de
de Newton-Cotes
Newton-Cotes cerradas.
cerradas.
b
b−a
∫a f(x)dx = D
n αj
(j=0, ..., n)
1 1
1
2 1
4
1
3 1
3
3
1
4 7
32
12
32
∑ α ·f( x ) + R ((a,b))
i
i= 0
D
2
5 19 75
6
n
6
50 50
8
7
90
75 19
288
41 216 27 272 27 216 41
840
i
f
Rf((a,b))
( h / 12 )·f ''( ξ)
( h / 90 )·f ( ξ)
( 3h / 80 )·f ( ξ)
( 8h / 945 )·f ( ξ)
( 275h / 12096 )·f ( ξ)
( 9h / 1400 )·f ( ξ)
3
5
(iv
5
(iv
7
( vi
7
9
Nombre
Trapecio
Simpson
Re gla 3 / 8
Mi ln e
( vi
( viii
Weddle
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Fórmulas
Fórmulas de
de Newton-Cotes
Newton-Cotes cerradas.
cerradas.
COMENTARIOS
Las más usadas son la del trapecio y las que tienen un número impar
de puntos de soporte (pues añadir un punto más no reduce el orden
del error)
Las fórmulas de Newton-Cotes cerradas con más de 7 puntos son
muy sensibles a los errores de redondeo y por este motivo apenas
son utilizadas.
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Fórmulas
Fórmulas de
de Newton-Cotes
Newton-Cotes abiertas.
abiertas.
h
a
h
h
x0 ………
h
xi
h
h
xi+1 ………
h
xn
b
h = (b-a)/(n+2)
xi = a + (i+1)·h
(i = 0, 1, ……, n)
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Fórmulas
Fórmulas de
de Newton-Cotes
Newton-Cotes abiertas.
abiertas.
b
b−a
∫a f(x)dx = D
n
αj (j=0,..., n)
0 1
D
1
1 1
1
2
2 2
−1 2
3
3 11 1
1 11 24
n
∑ α ·f( x ) + R ((a,b))
i= 0
i
i
f
Rf((a,b))
( h / 3)·f "( ξ)
( 3h / 4 )·f "( ξ)
(14h / 45 )·f ( ξ)
( 95h / 144 )·f ( ξ)
3
3
5
5
Fórmula del
Punto medio
(o de Poncelet)
(iv
(iv
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Fórmulas
Fórmulas de
de integración
integración de
de Gauss
Gauss
Se denominan fórmulas de integración de Gauss a toda
fórmula de integración de tipo interpolatorio construida
sobre soportes {x0, ……, xn} de (n+1) puntos que verifican
las (n+1) igualdades siguientes:
b
∫ (x − x
0
)·...·(x − xn )·dx = 0
a
b
∫ x·(x − x
0
a
b
∫
)·...·(x − xn )·dx = 0
………………………………………
Son fórmulas
de orden (2·n+1)
(ver teorema 2)
x n·(x − x0 )·...·(x − xn )·dx = 0
a
NOTA: Este tipo de fórmulas se denominan también fórmulas de Gauss-Legendre.
Existen otras fórmulas llamadas de Gauss-Lobato, Gauss-Radau, ……
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Fórmulas
Fórmulas de
de integración
integración de
de Gauss
Gauss
Propiedad
Las abscisas del soporte de las fórmulas de integración gaussiana
son simétricas respecto al punto medio del intervalo de integración.
Comentarios:
1º. Si el soporte tiene un número impar de puntos, el punto medio
del intervalo de integración es una de las abscisas del soporte.
2º. Es habitual calcular las fórmulas en el intervalo [-1, 1] para
facilitar los cálculos de los puntos y pesos de la fórmula para
después generalizarlas a intervalos genéricos.
3º. En las referencias bibliográficas se pueden encontrar tabulados
los pesos y puntos de fórmulas gaussianas en [-1, 1] con 1, 2,
3, …. puntos.
4º. Por su alto orden de exactitud, las fórmulas de Gauss son muy
utilizadas en la práctica.
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Fórmulas
Fórmulas de
de integración
integración de
de Gauss
Gauss
∫
n
ξj
0
0
1
−1
g( ξ).dt ≈
n
∑ γ .g( ξ )
j= 0
j
(j=0, …, n)
j
γj
(j=0, …, n)
2
1
3
1
±
2
−
3
− 525 + 147000
− 525 − 147000
ξ0 =
, ξ1 =
35
35
1 ,
3
, 0 ,
5
3
5
ξ2 = -ξ1 , ξ3 = -ξ0
1
5/9, 8/9, 5/9
γ0 = γ3 =
5 − 270
,
6· 30
γ1 = γ2 =
5 + 270
6· 30
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