Funciones de dos variables: Límites. Continuidad. Derivadas
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Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Funciones de dos variables: Lı́mites. Continuidad. Derivadas parciales. Derivadas de orden superior. Juan Ruiz Álvarez1 1 Departamento de Matemáticas. Universidad de Alcalá de Henares. Matemáticas (Grado en Biologı́a) Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Contenidos 1 Introducción 2 Lı́mites Propiedades de lı́mites 3 Continuidad de funciones de 2 variables 4 Derivadas parciales Interpretación geométrica 5 Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Índice 1 Introducción 2 Lı́mites Propiedades de lı́mites 3 Continuidad de funciones de 2 variables 4 Derivadas parciales Interpretación geométrica 5 Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Introducción Al igual que para funciones de una variable, para funciones de varias variables es necesario estudiar conceptos tales como el de lı́mite, continuidad o diferenciabilidad. Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Propiedades de lı́mites Índice 1 Introducción 2 Lı́mites Propiedades de lı́mites 3 Continuidad de funciones de 2 variables 4 Derivadas parciales Interpretación geométrica 5 Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Propiedades de lı́mites Definición intuitiva de lı́mite en 2 variables Decimos que una función de dos variables f (x, y ) tiene lı́mite L en un punto (x0 , y0 ), si la función tiende a L sea cual sea la dirección que tomemos al aproximarnos a (x0 , y0 ). Ejemplo: Calcular el lı́mite, x2 − y2 , (x,y )→(0,0) x 2 + y 2 lı́m a través de las trayectorias (x, 0) e (0, y ). Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Propiedades de lı́mites Propiedades de lı́mites Linealidad: lı́m (x,y )→(x0 ,y0 ) (af (x, y ) + bg (x, y )) = a + b lı́m f (x, y ) lı́m g (x, y ) (x,y )→(x0 ,y0 ) (x,y )→(x0 ,y0 ) Lı́mite de un producto: lı́m (x,y )→(x0 ,y0 ) f (x, y )·g (x, y ) = Juan Ruiz Álvarez lı́m (x, y )· (x,y )→(x0 ,y0 ) lı́m (x,y )→(x0 ,y0 ) Matemáticas (Grado en Biologı́a) g (x, y ) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Propiedades de lı́mites Propiedades de lı́mites Lı́mite de un cociente: lı́m(x,y )→(x0 ,y0 ) f (x, y ) f (x, y ) = lı́m(x,y )→(x0 ,y0 ) g (x, y ) (x,y )→(x0 ,y0 ) g (x, y ) lı́m Siempre y cuando lı́m (x,y )→(x0 ,y0 ) g (x, y ) 6= 0 . Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Índice 1 Introducción 2 Lı́mites Propiedades de lı́mites 3 Continuidad de funciones de 2 variables 4 Derivadas parciales Interpretación geométrica 5 Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Continuidad de funciones de 2 variables Definición Decimos que una función f de dos variables es continua en un punto (x0 , y0 ) si f (x0 , y0 ) es igual al lı́mite de f (x) cuando (x, y ) tiende a (x0 , y0 ). Es decir, si lı́m (x,y )→(x0 ,y0 ) f (x, y ) = f (x0 , y0 ) Ejemplo: ¿Es continua la función Juan Ruiz Álvarez 5x 2 y x 2 +y 2 en (1, 2)? Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Si k es un número real y f y g son funciones continuas en x0 , y0 , las funciones siguientes son continuas en (x0 , y0 ): Múltiplo escalar k · f Suma y diferencia f ± g Producto f · g Cociente f g si g (x0 , y0 ) 6= 0 Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Continuidad de la función compuesta Si h es continua en (x0 , y0 ) y g es continua en h(x0 , y0 ), la función compuesta (g ◦ h)(x, y ) = g (h(x, y )) es continua en (x0 , y0 ). Es decir: lı́m g (h(x, y )) = g (h)x0 , y0 )) (x,y )→(x0 ,y0 ) Notar que h es función de 2 variables y g es función de una variable. Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Interpretación geométrica Índice 1 Introducción 2 Lı́mites Propiedades de lı́mites 3 Continuidad de funciones de 2 variables 4 Derivadas parciales Interpretación geométrica 5 Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Interpretación geométrica Derivadas parciales Si z = f (x, y ), las primeras derivadas parciales de f respecto de x e y son las funciones fx y fy , definidas como f (x + ∆x, y ) − f (x, y ) ∂f (x, y ) = fx (x, y ) = lı́m ∆x→0 ∂x ∆x f (x, y + ∆y ) − f (x, y ) ∂f (x, y ) = fy (x, y ) = lı́m ∆y →0 ∂y ∆y Siempre que el lı́mite exista. Esta definición significa que para calcular fx debemos considerar y como constante y derivar respecto a x. Análogamente, para calcular fy debemos considerar x como constante y derivar respecto a y . Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Interpretación geométrica Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de f (x, y ) = 3x − x 2 y 2 + 2x 3 y Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Interpretación geométrica Si y = y0 , z = f (x, y0 ) es la curva de intersección de la superficie z = f (x, y ) con el plano y = y0 . Por tanto, fx (x0 , y0 ) es la pendiente de esa curva en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). Análogamente, si x = x0 , z = f (x0 , y ) es la curva de intersección de la superficie z = f (x, y ) con el plano x = x0 . Por tanto, fy (x0 , y0 ) es la pendiente de esa curva en el punto (x0 , y0 , f (x0 , y0 )). Por lo tanto, fx (x0 , y0 ) y fy (x0 , y0 ) nos proporcionan las pendientes de la superficie en las direcciones x e y. Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Índice 1 Introducción 2 Lı́mites Propiedades de lı́mites 3 Continuidad de funciones de 2 variables 4 Derivadas parciales Interpretación geométrica 5 Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Derivada parcial segunda respecto a x: ∂ ∂f ∂2f = fxx = ∂x ∂x ∂x 2 Derivada parcial segunda respecto a y ∂ ∂f ∂2f = fyy = ∂y ∂y ∂y 2 Derivada parcial cruzada o mixta ∂ ∂f ∂2f = fyx = ∂x ∂y ∂x∂y Derivada parcial cruzada o mixta ∂ ∂f ∂2f = fxy = ∂y ∂x ∂y ∂x Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Si f es una función de x e y , con fxy , fy ,x continuas en un entorno de (x0 , y0 ), entonces , fxy (x, y ) = fyx (x, y ), en ese entorno. Ejemplo: Calcular todas las derivadas parciales de f (x, y ) = 3xy 2 − 2y + 5x 2 y 2 f (x, y , z) = ye x + xln(z) Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Ejemplo: El área de un paralelogramo de lados adyacentes a y b, con ángulo α entre ellos, viene dada por A = ab sin(α): Calcular el ritmo de cambio de A respecto de a para a = 10, b = 20, y α = π6 . Calcular el ritmo de cambio de A respecto de α para a = 10, b = 20, y α = π6 . Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a) Introducción Lı́mites Continuidad de funciones de 2 variables Derivadas parciales Derivadas parciales de orden superior Igualdad de las derivadas parciales cruzadas Roland E. Larson. Calculo volumen II. Ed. Mc Graw Hill. Juan Ruiz Álvarez Matemáticas (Grado en Biologı́a)
