16.- Geometría de masas.

16.- Geometría de masas.
§16.1. Distribuciones discretas y continuas de materia (457); §16.2. Centro de masa (458);
§16.3. Teoremas concernientes al centro de masa (461); §16.4. Momentos de inercia (470);
§16.5. Radio de giro (472); §16.6. Productos de inercia (472); §16.7. Matriz de inercia
(473); §16.8. Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia (474);
§16.9. Teoremas de Steiner (477); §16.10. Momento de inercia respecto a un eje cualquiera
(479); Problemas (484)
En las lecciones que siguen, que estarán dedicadas a la Dinámica de los Sistemas de Partículas
y del Sólido Rígido, veremos la conveniencia de definir los conceptos de centro de masa y de
momento de inercia. Comprenderemos la importancia y significado de tales conceptos cuando
aparezcan de una forma natural al desarrollar la Dinámica de los Sistemas de Partículas. En esta
lección tan solo nos ocuparemos de los aspectos formales y técnicas matemáticas asociadas con la
definición "geométrica" de tales conceptos.
§16.1. Distribuciones discretas y continuas de materia.- Una distribución
discreta de materia es aquélla en la que las partículas están netamente diferenciadas
por la existencia de espacios vacíos entre ellas. Una distribución discreta de materia
quedará definida mediante las coordenadas de posición de todas y cada una de las
partículas que la integran, como se ilustra en la Figura 16.1. Desde un punto de vista
microscópico esa es la situación real, puesto que la materia presenta una estructura
esencialmente discreta.
Sin embargo, desde un punto de vista macroscópico, podemos y debemos
considerar el caso de una distribución continua de materia, i.e., una distribución de
materia sin espacios vacíos o soluciones de continuidad. En este caso, veremos que
en muchas ocasiones será necesario descomponer el sistema material en un número
infinito de porciones elementales (infinitesimales), de masa dm, como se ilustra en
la Figura 16.4.
Para caracterizar una distribución continua de materia, definimos la densidad
volúmica ρ, la densidad superficial σ y la densidad lineal λ, correspondientes a una
distribución cúbica, superficial y lineal de materia, respectivamente, por
ρ
dm
dV
σ
dm
dS
Física Universitaria
λ
dm
ds
[16.1]
457
458
Lec. 16.- Geometría de masas.
donde dV, dS y ds representan, respectivamente, los elementos de volumen, de
superficie y de longitud, correspondientes al elemento de masa dm. En general, la
densidad del sistema material (ρ, σ o λ) variará de una zona a otra del sistema
material; esto es, la densidad será una función de punto ρ(x,y,z), σ(x,y,z) o λ(x,y,z),
y deberemos conocer dicha función para que el sistema material quede bien definido.
Aun cuando sea razonable la aproximación de un sistema material mediante una distribución
continua de materia, nos encontramos con una complicación de tipo conceptual cuando tratamos
de utilizar el proceso matemático de paso al límite, propio del Cálculo Diferencial e Integral. En
efecto, al disminuir gradualmente el tamaño del elemento material, reencontramos la estructura
discreta de la materia. Evitaremos este inconveniente entendiendo por elemento infinitesimal de
materia una cantidad muy pequeña de ésta, pero suficientemente grande, en comparación con las
distancias intermoleculares, como para no tener que considerar la estructura discreta de la materia.
Estos elementos se llaman macroscópicos, pero serán considerados como infinitesimales en el
sentido matemático, a fin de poder utilizar los recursos del Cálculo Diferencial e Integral.
§16.2. Centro de masa.- Consideremos un sistema de partículas, compuesto
por N de ellas, cuyas masas designaremos por mi (i = 1, 2, ... N) y sea ri el vector de
posición de la partícula i-ésima respecto al
origen O de un referencial dado. Definimos
el centro de masa1 de un tal sistema de
partículas como el punto del espacio, que
designamos por CM (o por G, cuando así
convenga), cuyo vector de posición
respecto a O es
N
r cm
Figura 16.1
i 1
mi r i
[16.2]
N
i 1
mi
donde M = mi representa, evidentemente,
la masa total del sistema de partículas.
TEOREMA I.- La posición del centro de masa de un sistema es independiente
del referencial que utilicemos y depende solamente de las masas de las
partículas y de las posiciones de unas respecto a otras.
En efecto, de acuerdo con el carácter vectorial de la definición [16.2] del centro de masa, y
puesto que no hemos hecho referencia alguna a ningún conjunto particular de ejes, la posición del
centro de masa no dependerá de la orientación del sistema de ejes, con origen en O, que elijamos.
Pero, además, debemos demostrar que la posición del centro de masa no depende tampoco de la
elección del origen. Para demostrar esto último, consideraremos dos puntos O y O′, orígenes de dos
referenciales (Figura 16.2), y sean ri y ri′ los vectores de posición de una partícula genérica, mi,
respecto a cada uno de esos orígenes. La relación existente entre los vectores ri y ri′ es
1
El centro de gravedad de un cuerpo se define como el punto de aplicación de la resultante
de las fuerzas gravitatorias que actúan sobre él. Así pues, el centro de masa y el centro de
gravedad son conceptualmente diferentes y no debemos confundirlos. Sin embargo, las posiciones
de ambos centros suelen coincidir en la mayor parte de las situaciones prácticas. Insistiremos en
este asunto en §20.5.
459
§16.2.- Centro de masa.
r i′
ri
[16.3]
OO′
Los centros de masa CM y CM′ estarán
definidos por los vectores de posición rcm y
r′cm relativos a O y O′, con
N
rcm
′
mi r i′
i 1
[16.4]
N
i 1
[16.2]
mi
Sustituyendo la expresión [16.3] en la
tenemos
rcm
1
M
N
i 1
mi (r i′ OO′)
1
M
Figura 16.2
N
i 1
1 N
( m ) OO′
M i 1 i
mi r i′
rcm′
[16.5]
OO′
de modo que rcm y r′cm determinan un mismo punto (CM ≡ CM′) respecto a O y O′, por lo que el
centro de masa es único.
En coordenadas cartesianas, que son las utilizadas más comúnmente, la posición
del centro de masa del sistema de partículas viene dada por
N
xcm
i 1
N
mi xi
i 1
ycm
mi
i 1
N
mi yi
i 1
zcm
mi
i 1
mi zi
i 1
[16.6]
mi
Ejemplo I.- El ejemplo más simple corresponde al de dos partículas, de masas m1 y m2,
respectivamente. Tomaremos como eje x la recta
definida por las dos partículas. En estas condiciones, al
ser y1 = y2 = 0 y z1 = z2 = 0, serán ycm = 0 y zcm = 0, de
modo que el centro de masa estará situado sobre el eje
x, siendo su posición
m1 x1
xcm
m2 x2
m1
m2
Figura 16.3
Las distancias d1 y d2, de cada una de las partículas al
centro de masa CM, son
d1
de modo que
x1
xcm
m2
m1
m2
(x2
x1)
d2
d1
m2
d2
m1
x2
xcm
m1
m1
m2
(x2
x 1)
[16.7]
[16.8]
y el centro de masa está situado entre ambas partículas, siendo la distancia a cada una de ellas
inversamente proporcional a sus masas.
460
Lec. 16.- Geometría de masas.
Las expresiones [16.2] y [16.6] sólo son
utilizables para el cálculo de la posición del
centro de masa de una distribución discreta de
materia. En el caso de una distribución continua
de materia, el cálculo del centro de masa exige
la descomposición de la distribución de materia
en un número infinito de porciones elementales
(infinitesimales), de masa dm, como se ilustra
en la Figura 16.4. En estas condiciones, los
sumatorios que aparecen en las expresiones
[16.2] y [16.6] se convierten en integrales, resultando
Figura 16.4
xcm
⌠ x dm
⌡R
⌠ dm
⌡R
rcm
⌠ r dm
⌡R
⌠d m
⌡R
ycm
⌠ y dm
⌡R
⌠ dm
⌡R
[16.9]
⌠ z dm
⌡R
⌠ dm
⌡R
zcm
[16.10]
extendiéndose las integraciones a toda la región R ocupada por la distribución
continua de materia.
Si tenemos en cuenta las definiciones dadas anteriormente para la densidad
volúmica ρ, la densidad superficial σ y la densidad lineal λ, correspondientes a
distribuciones cúbica, superficial y lineal de la masa, la expresión [16.9] se escribirá
en las respectivas formas:
rcm
⌠ ρ r dV
⌡V
⌠ ρ dV
⌡V
rcm
⌠ σ r dS
⌡S
⌠ σ dS
⌡S
xcm
⌠ σ x dS
⌡S
⌠ σ dS
⌡S
rcm
⌠ λ r ds
⌡s
⌠ λ ds
⌡s
[16.11]
xcm
⌠ λ x ds
⌡s
⌠ λ ds
⌡s
[16.12]
y para la componente xcm se tendrá
xcm
⌠ ρ x dV
⌡V
⌠ ρ dV
⌡V
con expresiones similares para ycm y zcm.
En general, la densidad del sistema material (ρ, σ o λ) variará de un punto a
otro del sistema; esto es, la densidad será una función de punto ρ(x,y,z), σ(x,y,z) o
λ(x,y,z), y deberemos conocer dicha función para poder evaluar las integrales de
[16.11] o [16.12].
Cuando el sistema es homogéneo, de modo que la densidad tiene un valor
constante en todo el recinto de integración, las expresiones [16.11] se reducen a
461
§16.2.- Centro de masa.
rcm
⌠ r dV
⌡V
V
rcm
⌠ r dS
⌡S
S
rcm
⌠ r ds
⌡s
s
[16.13]
donde V, S y s representan el volumen, la superficie y la longitud, respectivamente,
del recinto de integración, o sea, de la región del espacio ocupada por el sistema
material. En estas condiciones (cuerpos homogéneos), la posición del centro de masa
depende tan sólo de la forma geométrica del cuerpo, y el centro de masa recibe el
nombre de centroide.
§16.3. Teoremas concernientes al centro de masa.- El estudio de las
técnicas matemáticas necesarias para el cálculo del centro de masa de una
distribución continua de materia encuentra su lugar adecuado en un curso de Cálculo
Diferencial e Integral, y tales problemas constituyen excelentes ejercicios de esa
rama del Cálculo. En general, la evaluación de una integral de algunos de los tipos
de [16.11] nos conducirá a una integración de línea, doble o triple, según que la masa
esté distribuida sobre una línea, sobre una superficie o en un volumen. En ocasiones,
será suficiente la elección de coordenadas cartesianas (x,y,z) para valorar dichas
integrales. Sin embargo, en muchos casos se conseguirá una notable simplificación
del problema mediante la adopción de un sistema de coordenadas curvilíneas
(coordenadas polares, cilíndricas, ...) adaptadas lo mejor posible a la geometría del
cuerpo cuyo centro de masa queremos determinar. No es nuestro propósito hacer una
digresión sobre el significado y las técnicas de evaluación de integrales dobles y
triples, ni sobre los distintos sistemas de coordenadas curvilíneas; el alumno deberá
consultar una obra de Cálculo Diferencial e Integral. En la página 462 se resumen
las propiedades más importantes, en lo que aquí nos interesa, de los sistemas de
coordenadas cartesianas, cilíndricas, polares esféricas y polares planas, y al final de
este artículo resolveremos algunos problemas que ilustrarán el uso de las técnicas de
cálculo asociadas con la determinación del centroide de algunas formas geométricas
notables.
Aparte de las técnicas matemáticas generales, a las que acabamos de hacer
referencia, existen varios teoremas que facilitan, en ocasiones, la localización del
centro de masa de una distribución discreta o continua de materia, a partir de las
ecuaciones [16.6] o [16.10]. Entre estos teoremas figura, evidentemente, el ya
demostrado al comienzo de este artículo, que nos permite elegir libremente los ejes
coordenados y el origen. Estos teoremas se demuestran tanto para una distribución
discreta de materia como para una distribución continua caracterizada por una
densidad (volúmica, superficial o lineal) que es una función de las coordenadas (x,y,z,
por ejemplo) de cada elemento de masa de la distribución. Cualquiera que sea el
punto de vista que adoptemos para demostrarlos, siempre podremos hacer una
demostración paralela, con simples cambios en la notación, desde el otro punto de
vista. En lo que sigue, adoptaremos el punto de vista de una distribución discreta de
materia para la demostración de los teoremas.
TEOREMA II.- El momento estático de un sistema de partículas respecto a
cualquier plano que pasa por su centro de masa es nulo.
462
Lec. 16.- Geometría de masas.
COORDENADAS CARTESIANAS (x,y,z)
elemento de volumen:
dV = dx dy dz
elementos de superficie:
dSx = dy dz
dSy = dx dz
dSz = dx dy
elemento de longitud:
ds = dx i + dy j + dz k
ds2 = dx2 + dy2 + dz2
COORDENADAS CILÍNDRICAS (r, θ, z)
ec. de transformación:
⎧ x
⎪
⎨ y
⎪
⎩ z
r cos θ
r sen θ
z
⎧
⎪
⎪ r
⎪
⎨
⎪ θ
⎪
⎪
⎩ z
Figura 16.5
x2
y2
y
arctg
x
z
elemento de volumen:
dV = r dr dθ dz
elementos de superficie:
dSr = r dθ dz
dSθ = dr dz
dSz = r dr dθ
elemento de longitud:
ds = dr er + r dθ eθ + dz k
ds2 = dr2 + r2 dθ2 + dz2
Figura 16.6
COORDENADAS POLARES PLANAS (r, θ)
Como las coordenadas cilíndricas, con z = 0.
ec. de transformación:
⎧ x
⎨
⎩ y
r cos θ
r sen θ
⎧
⎪
⎪ r
⎨
⎪
⎪ θ
⎩
elemento de superficie:
dSz = r dr dθ
elemento de longitud:
ds = dr er + r dθ eθ
ds2 = dr2 + r2dθ2
x2
y2
y
arctg
x
Figura 16.7
463
§16.3.- Teoremas concernientes al centro de masa.
COORDENADAS POLARES ESFÉRICAS (r, θ, φ)
ec. de transformación:
⎧ x
⎪
⎨ y
⎪
⎩ z
⎧
⎪
⎪ r
⎪
⎪
⎨ θ
⎪
⎪
⎪
⎪ φ
⎩
r sen θ cos φ
r sen θ sen φ
r cos θ
x2
y2
x2
arctg
arctg
z2
y2
z
y
x
elemento de volumen:
dV = r2 senθ dr dθ dφ
elementos de superficie:
dSr = r2 senθ dθ dφ
dSθ = r senθ dr dφ
dSφ = r dr dθ
elemento de longitud:
ds = dr er + r dθ eθ + r senθ dφ eφ
ds2 = dr2 + r2 dθ2 + r2 sen2θ dφ2
Figura 16.8
El momento estático (µ) de un sistema de partículas respecto a un plano2 se define como la
suma de los productos de las masas de las partículas por sus distancias respectivas, con signo
incluido, al plano (Figura 16.9); esto es,
Para demostrar el teorema, consideremos un plano que
pase por el centro de masas del sistema de partículas,
expresado por su ecuación normal:
x cos α
y cos β
z cos γ
δ
0
[16.15]
donde α, β y γ son los ángulos directores del vector
normal al plano y δ es la distancia de éste al origen de
coordenadas. Las coordenadas de una partícula genérica del
sistema son (xi,yi,zi) y su distancia al plano es
δi
xi cos α
yi cos β
zi cos γ
Figura 16.9
δ [16.16]
El momento estático del sistema de partículas respecto al plano es
N
µ
cos α
i 1
N
i 1
2
mi (xi cos α
mixi
cos β
yi cos β
N
i 1
miyi
zi cos γ
cos γ
N
i 1
mizi
δ)
δ
[16.17]
N
i 1
mi
Análogamente se define el momento estático con respeto a un eje o a un punto.
464
Lec. 16.- Geometría de masas.
de modo que, teniendo en cuenta las expresiones
N
M
i 1
N
mi
M xcm
N
i 1
mi xi
M ycm
i 1
N
mi yi
M zcm
i 1
mi zi
[16.18]
se obtiene finalmente
µ
M (xcm cos α
ycm cos β
zcm cos γ
δ)
[16.19]
y como, por hipótesis, el centro de masa está contenido en el plano [16.15], es
xcm cos α
de donde se sigue que
µ
ycm cos β
0
zcm cos γ
δ
0
c.q.d.
[16.20]
[16.21]
Resulta fácil demostrar el teorema recíproco del anterior; esto es,
TEOREMA III.- Si el momento estático de un sistema de partículas respecto
a un plano dado es nulo, entonces, el centro de masa del sistema está situado
sobre dicho plano.
En efecto, si µ = 0, la expresión [16.19] nos asegura que las coordenadas del centro de masa
satisfacen la ec. [16.20], por ser M ≠ 0, lo que significa que el centro de masa está situado sobre
el plano dado.
Como consecuencia de estos dos teoremas se siguen inmediatamente los llamados
teoremas de Arquímedes:
TEOREMA IV.- Si un cuerpo tiene un plano de simetría, su centro de masa
está en dicho plano.
La simetría respecto a un plano significa que para cada partícula situada a un lado del plano
existe otra de la misma masa que está situada en su imagen especular respecto al plano. Si se trata
de una distribución continua de masa, la simetría respecto a un plano significa que la densidad en
cualquier punto es igual a la densidad en su imagen especular respecto al plano.
Para demostrar el teorema, basta observar que un plano de simetría es un plano respecto al
cual es nulo el momento estático del cuerpo; entonces, de acuerdo con el TEOREMA III, el centro
de masa estará situado sobre dicho plano de simetría.
COROLARIO.- Si un cuerpo tiene dos planos de simetría, su centro de masa
está en la recta de intersección de ambos planos.
TEOREMA V.- Si un cuerpo tiene un eje de simetría, su centro de masa está
en dicho eje.
En efecto, el momento estático del cuerpo será nulo respecto a cualquier plano que pase por
un eje de simetría, de donde se sigue el teorema.
TEOREMA VI.- Si un cuerpo tiene un centro de simetría, ese punto coincide
con su centro de masa.
Basta observar que el momento estático del cuerpo será nulo respecto a cualquier plano que
pase por el centro de simetría, de donde se sigue el teorema.
Los teoremas anteriores nos permiten localizar inmediatamente, sin necesidad del
cálculo, el centro de masa en algunos casos (una varilla homogénea, una lámina
rectangular, un cilindro, una esfera, ...) o bien reducir el problema al cálculo de sólo
465
§16.3.- Teoremas concernientes al centro de masa.
una o dos coordenadas en otros casos. Es conveniente, pues, observar las simetrías
que puede tener un cuerpo a fin de simplificar el problema.
Existen otros teoremas que son útiles para simplificar el problema de localización
del centro de masa de un cuerpo. El teorema que sigue hace referencia a la propiedad
distributiva del centro de masa; dice así:
TEOREMA VII.- Si un cuerpo se compone de dos o más partes, cuyos centros
de masa están perfectamente localizados, podemos determinar el centro de
masa del cuerpo compuesto considerando esas partes como partículas
localizadas en sus respectivos centros de masa.
Consideremos un cuerpo o sistema de partículas compuesto por N partes, cuyas masas
respectivas sean M1, M2, ... MN, y supongamos que la parte Mk está a su vez constituida por Nk
partículas, de masas mk1, mk2, ... mkNk, situadas en los puntos rk1, rk2, ... rkNk, respectivamente.
El centro de masa de la parte Mk estará localizado en
rk,cm
1
Mk
Nk
i 1
Nk
mkir ki
con Mk
i 1
[16.22]
mki
El centro de masa del sistema compuesto completo estará localizado en
⎞
⎛N
⎟
1 N ⎜
m
r
⎟
⎜
M k 1 ⎝ i 1 ki ki⎠
N
k
rcm
con Mk
Nk
k i i 1
[16.23]
mki
Teniendo en cuenta las expresiones [16.22], las expresiones [16.23] adoptan la forma definitiva
rcm
1
M
Nk
N
k 1
Mk rk,cm
con Mk
i 1
[16.24]
mki
que constituyen la expresión matemática del enunciado del teorema.
Todos los teoremas enunciados anteriormente pueden aplicarse en la determinación del centro de masa de distribuciones discretas o continuas de materia, homogéneas o heterogéneas. En cambio, los dos teoremas que siguen, conocidos como teoremas de PAPUS-GULDIN, son aplicables exclusivamente a la determinación del centro
de masa de distribuciones continuas y homogéneas de materia, y relacionan el centroide de una curva plana y de una superficie plana con el área y el volumen engendrados por ellas al girar alrededor de un eje de su plano. Dicen así:
TEOREMA VIII.- El área S de la superficie
engendrada por una curva plana al girar
alrededor de un eje de su plano que no la
corta es igual al producto de la longitud s
de la curva por la longitud L de la
circunferencia descrita por su centroide.
En efecto, suponiendo que el eje de giro sea el x (Figura 16.10), el área generada por el elemento de longitud ds
de la curva en su rotación alrededor del eje es
dS
2π y ds
[16.25]
Figura 16.10
466
Lec. 16.- Geometría de masas.
de modo que
2π ⌠ y ds
⌡s
S
[16.26]
y la longitud de la circunferencia descrita por el centroide de la curva es
L
[16.27]
2π ycm
Pero, de acuerdo con la definición del centroide de una curva,
ycm
⌠ y ds
⌡s
⌠ ds
⌡s
S
de donde se sigue el teorema:
⌠ y ds
⌡s
s
2π ycm s
S
2π s
[16.28]
[16.29]
Ls
TEOREMA IX.- El volumen V engendrado por una superficie plana al girar
alrededor de un eje de su plano que no la corta es igual al producto del área
S de la superficie por la longitud L de la circunferencia descrita por su
centroide.
En efecto, suponiendo como antes que el eje de
giro sea el x (Figura 16.11), el volumen engendrado por
el elemento de área dS = dx dy al girar alrededor del eje
x es
dV
de modo que
V
2π y dS
[16.30]
2π ⌠ y dS
⌡S
[16.31]
y la longitud de la circunferencia descrita por el centroide de la superficie plana es
L
Figura 16.11
2π ycm
[16.32]
Ahora bien, de acuerdo con la definición del centroide
de una superficie plana es
ycm
de donde se sigue el teorema:
Figura 16.12
⌠ y dS
⌡S
⌠ dS
⌡S
V
⌠ y dS
⌡S
S
2π ycm S
LS
V
2π S
[16.33]
[16.34]
Ejemplo II.- Determinar el centro de masa de una
varilla rectilínea, de sección transversal constante, va
aumentando linealmente conforme nos distanciamos de
uno de sus extremos.
Tomemos el eje x a lo largo de la varilla; la
densidad lineal vendrá expresada en la forma
§16.3.- Teoremas concernientes al centro de masa.
λ
λ0
467
kx
donde k es una constante y λ0 es la densidad en el extremo x = 0. Teniendo en cuenta que dm=
λ dx, la posición del centro de masa vendrá dada por
L
xcm
L
L
xcm
L
L
⌠ dm
⌡0
⌠ (λ
⌡0 0
⌠ λ dx
⌡0
⌠ (λ
⌡0 0
1
λ L2
2 0
kx) x dx
3λ0L
2kL 2
6λ0
3kL
1 2
kL
2
λ0L
kx) dx
L
⌠ λ x dx
⌡0
de modo que
⌠ λ x dx
⌡0
L
⌠ λ dx
⌡0
resultando que
L
⌠ x dm
⌡0
1 3
kL
3
2kL ⎞⎟
L
3kL ⎟⎠
⎛ 3λ
⎜ 0
⎜ 6λ
⎝ 0
Si k = 0 (varilla homogénea), será xcm = L/2.
Si λ0 = 0, será xcm = 2L/3.
Ejemplo III.- Determinar el centro de masa
(centroide) de un arco completo de cicloide,
como el representado en la Figura 16.13.
Las ecuaciones paramétricas de la cicloide son:
x
a (φ
senφ )
y
a (1
cosφ )
de modo que
dx
a (1
Figura 16.13
cosφ )dφ
dy
a senφ dφ
y el elemento de longitud ds es
ds
dx 2
dy 2
⌠ ds
⌡s
de donde se sigue
a 2 (1
cosφ ) dφ
2π
⌠ 2a sen φ dφ
⌡0
2
⌠ 2a 2 (φ
⌡0
⌠ y ds
⌡s
⌠ 2a 2 (1
⌡0
φ
dφ
2
8a
senφ ) sen
φ
dφ
2
8π a 2
cosφ ) sen
φ
dφ
2
32 2
a
3
2π
⌠ x ds
⌡s
2 a sen
2π
y el centroide del arco completo de cicloide está localizado en
468
Lec. 16.- Geometría de masas.
⌠ x ds
⌡s
⌠ ds
⌡s
xcm
8π a 2
8a
πa
⌠ y ds
⌡s
⌠ ds
⌡s
ycm
32
3
a2
4
a
3
8a
Ejemplo IV.- .- Determinar la posición del centro de masa de la
lámina homogénea que se muestra en la Figura 16.14.
Se trata de un disco de radio R y masa (completa) m1 = σS
= σπR2, cuyo centro de masa se encuentra en x1=0, al que le falta
un disco de radio R/4 y masa m2 = σS′ = σπR2/16, cuyo centro
de masa está en x2=3R/4. El centro de masa resultante se
encuentra sobre la línea que une los dos centros de masa parciales;
i.e., sobre el eje x, en una posición xcm dada por [16.24]
xcm
Figura 16.14
(σπ R 2)(0) ( σπ R 2/16)(3R/4)
(σπ R 2) ( σπ R 2/16)
R
20
Ejemplo V.- Determinar el centro de masa de una lámina plana y homogénea cuya forma es la de
una semielipse de semiejes a y b.
Las ecuaciones de las líneas que delimitan dicha superficie pueden escribirse, mediante una
adecuada elección de los ejes xy, en la forma
z
x2
a2
0
y2
b2
1
En esas condiciones, el centro de masa se
encontrará situado sobre el eje y (por ser
dicho eje de simetría), de modo que xcm = 0.
Para ycm tenemos
Figura 16.15
⌠⌠ dx dy
⌡⌡S
con3
3
⌠ y dS
⌡S
⌠ dS
⌡S
ycm
a
⌠ dx⌠b
⌡ a ⌡0
⌠ a2
⌡
x 2 dx
2 2
⎯1 ⎯x ⎯/a ⎯
a
dy
⎛
1⎜
2
⎜x a
2⎝
⌠ b
⌡a
x2
1
x2
dx
a2
a 2 arcsen
⎞
x ⎟
⎟
a ⎠
⌠⌠ y dx dy
⌡⌡S
⌠⌠dx dy
⌡⌡S
1
π ab
2
469
§16.3.- Teoremas concernientes al centro de masa.
⌠⌠ y dx dy
⌡⌡S
a
⌠ dx⌠b
⌡ a ⌡0
2 2
⎯1 ⎯x ⎯/a ⎯
⎛
a
2
⌠ b ⎜1
⌡a 2 ⎜
⎝
y dy
⎞
x2 ⎟
⎟ dx
a2 ⎠
2 2
ab
3
de modo que
2
ycm
3
1
2
ab 2
4
b
3π
π ab
Ejemplo VI.- Determinar el centroide de un cascarón hemiesférico de radio R.
Las coordenadas polares esféricas se adaptan perfectamente a la geometría del cuerpo. El
elemento de superficie sobre la esfera de radio R viene expresado en coordenadas polares esféricas
por:
R 2 senθ dθ dφ
dS
El centroide del cascarón hemiesférico
estará situado sobre su eje de simetría, de
modo que, de acuerdo con la elección de los
ejes en la Figura 16.16, es xcm = 0 e ycm = 0.
Para la coordenada zcm tenemos
⌠z dS
⌡S
⌠dS
⌡S
zcm
con
z
Figura 16.16
R cos θ
Al resolver las integrales anteriores, resulta:
⌠dS
⌡S
⌠z dS
⌡S
o sea
⌠⌠R 2 senθ dθ dφ
⌡⌡S
π /2
R 2⌠
⌡0
⌠⌠(R cosθ) (R 2 senθ dθ dφ )
⌡⌡S
zcm
2π
senθ dθ ⌠ dφ
⌡0
π /2
R 3⌠
⌡0
πR3
2π R 2
2π R 2
2π
senθ cosθ dθ ⌠ dφ
⌡0
π R3
R
2
Ejemplo VII.- Aplicar el primer teorema de Pappus-Guldin para determinar el centroide de una
semicircunferencia de radio R.
Tomando los ejes cartesianos xy como se indica en la Figura 16.17, el centroide del arco de
circunferencia se encontrará situado sobre el eje y (o sea, xcm = 0), por ser dicho eje un eje de
simetría; bastará con determinar ycm.
El área de la superficie de revolución engendrada por la semicircunferencia al girar alrededor
del eje x es la de una esfera; esto es,
470
Lec. 16.- Geometría de masas.
4π R 2
S
y la longitud de la línea es
s
πR
de modo que, sustituyendo en la expresión [16.29], tenemos
2π ycmπ R
4π R 2
⇒
2
R
π
ycm
Figura 16.17
Ejemplo VIII.- Aplicar el segundo teorema de Pappus-Guldin para determinar el centroide del área
sombreada en la Figura 16.18, limitada por la semicircunferencia de radio a y la semielipse de
semiejes a y b.
Obviamente, el centroide de esa figura se encontrará situado sobre el eje y (o sea, xcm = 0);
bastará con determinar ycm.
El volumen de cuerpo de revolución engendrado
por el área sombrada al girar alrededor del eje x es el de
una esfera menos el de un elipsoide de revolución;
4 3
πa
3
V
4
π ab 2
3
4
π a (a 2
3
b 2)
y el área de la superficie sombrada es
S
Figura 16.18
1 2
πa
2
1
π ab
2
1
π a (a
2
b)
de modo que, sustituyendo en la expresión [16.34],
tenemos
4
π a (a 2
3
b 2)
2π ycm
1
π a (a
2
b)
⇒
ycm
4 a2
3π a
b2
b
4
(a
3π
b)
§16.4. Momentos de inercia.- De un modo completamente general
se define el momento de inercia de una distribución de materia con respecto
a un punto, a un eje o a un plano como la suma de los productos obtenidos
multiplicando la masa de cada una de las partículas que constituyen el
sistema material por el cuadrado de su distancia a dicho punto, eje o plano,
respectivamente.
Estos momentos de inercia suelen recibir los nombres de polar, axial y
planario, respectivamente; están siempre representados por un número positivo, y sus
unidades en el sistema S.I. son kg m2.
El momento de inercia de una distribución discreta de materia con respecto a un
punto, a un eje o a un plano cualquiera se calculará utilizando la expresión
471
§16.4.- Momentos de inercia.
mi δ i
2
I
[16.35]
i
donde δi representa la distancia de la partícula i-ésima, de masa mi, al punto, eje
(Figura 16.19) o plano (Figura 16.9) considerado.
El momento de inercia polar respecto del origen O de un sistema de coordenadas
cartesianas xyz, que representaremos por IO, viene dado por
2
IO
2
mi (xi
2
yi
zi )
[16.36]
i
Los momentos de inercia axiales con respecto a los ejes cartesianos x, y y z, que
designaremos por Ixx, Iyy e Izz, respectivamente, se calcularán mediante las expresiones
siguientes:
2
Ixx
2
mi (yi
zi )
2
Iyy
2
mi (xi
i
zi )
2
Izz
2
mi (xi
i
yi )
[16.37]
i
Los momentos de inercia planarios con respecto a los planos cartesianos x=0
(plano yz), y=0 (plano xz) y z=0 (plano xy) los representaremos por Ix, Iy e Iz,
respectivamente, y se calculan mediante las expresiones siguientes:
2
Ix
mi xi
2
Iy
i
mi yi
i
Figura 16.19
2
Iz
mi zi
[16.38]
i
Figura 16.20
Para una distribución continua de materia, sustituiremos los sumatorios de las
expresiones anteriores por integrales extendidas a todo el recinto ocupado por la
distribución. Esto es, la expresión [16.35] pasa a ser
I
⌠ δ 2 dm
⌡R
[16.39]
Así, tendremos una integral de línea, de superficie o de volumen según se trate de
un cuerpo con una distribución lineal, superficial o cúbica de su masa. Por tanto,
472
Lec. 16.- Geometría de masas.
tendremos en cuenta la masa del elemento de línea, de superficie o de volumen,
respectivamente
dm
λ ds
σ dS
dm
dm
ρ dV
[16.40]
donde λ, σ y ρ son la densidad lineal, superficial y cúbica y ds, dS y dV los
elementos de longitud, de área y de volumen, correspondientes. Así, tendremos
I
⌠ λ δ 2 ds
⌡C
I
⌠ σ δ 2 dS
⌡S
⌠ ρ δ 2 dV
⌡V
I
[16.41]
En el caso de que la distribución continua de materia sea homogénea, la densidad
será constante y podemos escribir
I
λ ⌠ δ 2 ds
⌡C
I
σ ⌠ δ 2 dS
⌡S
I
ρ ⌠ δ 2 dV
⌡V
[16.42]
de modo que la integral se reduce a un factor geométrico para todos los cuerpos
homogéneos de la misma forma y tamaño.
§16.5. Radio de giro.- Una magnitud estrechamente relacionada con el
momento de inercia respecto a un eje es el radio de giro K, definido por
I
mK 2
→
K
I
m
[16.43]
donde I es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje considerado y m es la
masa del cuerpo. El radio de giro K representa la distancia del eje a la que debería
encontrarse una masa igual a la del cuerpo para que tuviera el mismo momento de
inercia que el cuerpo respecto a dicho eje.
§16.6. Productos de inercia.- De un modo completamente general,
se definen los productos de inercia de un sistema material respecto a dos
planos ortonormales como la suma, cambiada de signo, de los productos
obtenidos multiplicando la masa de cada una de las partículas que constituyen el sistema material por sus distancias (con signo) a dichos planos.
Los productos de inercia pueden tener valores positivos o negativos y sus
unidades en el sistema S.I. son kg m2.
El producto de inercia de una distribución discreta de materia con respecto a dos
planos ortonormales, π1 y π2 (Figura 16.21), se calcula utilizando la expresión
mi δ 1,i δ 2,i
I12
[16.44]
i
donde δ1,i y δ1,i son las distancias de la partícula i-ésima, de masa mi, a los planos
π1 y π2, incluyéndose el signo negativo en la definición.
473
§16.6.- Productos de inercia.
En particular, los productos de inercia de un
sistema material con respecto a los planos cartesianos x=0 (plano yz), y=0 (plano xz) y z=0 (plano xy)
los representaremos por Ixy, Iyz e Izx y se calculan
mediante las expresiones:
Ixy
Iyx
Ixz
Izx
Iyz
Izy
i
i
i
mi xi yi
mi xi zi
[16.45]
mi yi zi
Figura 16.21
En el caso de una distribución continua de
materia, los sumatorios de las expresiones anteriores serán sustituidos por integrales
extendidas a todo el recinto R ocupado por el cuerpo. Esto es
⌠ δ δ dm
⌡R 1 2
I12
[16.46]
y las expresiones [16.45] se escriben en la forma
Ixy
Iyx
⌠ x y dm
⌡R
Iyz
Izy
Ixz
Izx
⌠ y z dm
⌡R
⌠ x z dm
⌡R
[16.47]
Así, pues, tendremos que resolver, como para los momentos de inercia, una integral
de línea, de superficie o de volumen según tengamos una distribución lineal,
superficial o cúbica de la masa del cuerpo. Si, además, el sistema material es
homogéneo, las integraciones se reducen a un factor geométrico.
Podemos decir que dos planos son planos principales de inercia de un cuerpo
cuando son perpendiculares entre sí y el producto de inercia respecto de ellos es nulo.
La intersección de dos planos principales de inercia es un eje principal de inercia.
Si se verifica que todos los productos de inercia con respecto de los planos
coordenados son nulos, entonces los planos coordenados son los plano principales
de inercia relativos al punto O. Las intersecciones de dichos planos, dos a dos (i.e.,
los ejes coordenados), son entonces los ejes principales de inercia en el punto O.
§16.7. Matriz de inercia.- La notación con doble subíndice para los momentos
y productos de inercia de una distribución de masas nos sugiere organizar dichos
elementos en la forma de una matriz cuadrada de 3 × 3. En efecto, en un sistema de
coordenadas cartesianas xyz, con origen en el punto O, podemos disponer los
momentos de inercia respecto de los ejes cartesianos como los elementos diagonales
de una matriz y los productos de inercia con respecto de los planos coordenados
como los elementos no diagonales; i.e.,
474
Lec. 16.- Geometría de masas.
⎛
⎞
⎜ Ixx Ixy Ixz ⎟
⎜
⎟
⎜ Iyx Iyy Iyz ⎟
⎜
⎟
⎜I I I ⎟
⎝ zx zy zz ⎠
I
[16.48]
siendo II la matriz de inercia que, como veremos en la Lec. 20, juega un papel
relevante en la Dinámica del Sólido Rígido.
Obsérvese que la matriz de inercia es simétrica, ya que se cumple que
Ixy
Iyx
Ixz
Izx
Iyz
Izy
por lo que queda definida tan sólo por seis elementos.
§16.8. Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia.En general, la evaluación de una integral de algunos de los tipos de [16.41] y [16.47]
nos conducirá a una integración de línea, doble o triple, según que la masa esté
distribuida sobre una línea, sobre una superficie o en un volumen. En ocasiones, será
suficiente la elección de coordenadas cartesianas (x,y,z) para valorar dichas integrales.
Sin embargo, en muchos casos se conseguirá una notable simplificación del problema
mediante la adopción de un sistema de coordenadas curvilíneas (coordenadas polares,
cilíndricas, ...vide página 462) que convenga a las características geométricas del
cuerpo cuyos momentos de inercia deseamos determinar. Al final de este epígrafe
resolveremos algunos problemas que ilustrarán el uso de las técnicas de cálculo
asociadas con la determinación de momentos de inercia de algunas formas
geométricas notables.
Aparte de los recursos generales del Cálculo, existen varios teoremas que
facilitan, en ocasiones, la evaluación de los momentos y productos de inercia. Estos
teoremas se demuestran tanto para una distribución discreta de materia como para una
distribución continua caracterizada por una densidad (volúmica, superficial o lineal)
que es una función de las coordenadas (x,y,z, por ejemplo) de cada elemento de masa
de la distribución. Cualquiera que sea el punto de vista que adoptemos para
demostrarlos, siempre podremos hacer una demostración paralela, con simples
cambios en la notación, desde el otro punto de vista.
TEOREMA I.- La suma de los momentos de inercia con respecto a tres planos
ortonormales que se interceptan en un punto es igual al momento de inercia
con respecto a dicho punto de intersección.
En efecto, sumando miembro a miembro las tres expresiones [16.38], concernientes a los
momentos de inercia respecto a los tres planos coordenados cartesianos, se obtiene
Ix
Iy
Iz
2
i
mi (xi
2
yi
2
2
zi )
i
miri
IO
[16.49]
de modo que dicha suma es isótropa, i.e., independiente de la orientación del cuerpo respecto a los
planos coordenados. Obsérvese que el sumatorio del segundo miembro de [16.49] es el momento de
inercia del cuerpo respecto al origen de coordenadas o momento de inercia polar, de donde se sigue
el teorema.
475
§16.8.- Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia.
TEOREMA II.- La suma de los momentos de inercia con respecto a tres ejes
perpendiculares que se interceptan en un punto es igual al doble del
momento de inercia con respecto a dicho punto de intersección.
En efecto, sumando miembro a miembro las tres expresiones [16.37] concernientes a los
momentos de inercia respecto a los tres ejes coordenados (ortogonales) se obtiene
Ixx
Iyy
Izz
2
2
i
2
mi (xi
2
yi
zi )
2
2
i
miri
2 IO
[16.50]
de modo que dicha suma es isótropa, i.e., independiente de la orientación del cuerpo respecto a los
ejes coordenados. Obsérvese que el sumatorio del segundo miembro de [16.50] es el momento de
inercia del cuerpo respecto al origen de coordenadas o momento de inercia polar, de donde se sigue
el teorema.
En muchos problemas nos resultará útil el llamado Teorema de los Planos
Perpendiculares, que se enuncia así:
TEOREMA III.- El momento de inercia con respecto a un eje es igual a la
suma de los momentos de inercia con respecto a dos planos normales que
contengan al eje.
En efecto, de acuerdo con la definición del momento de inercia de un cuerpo respecto de un
plano, los momentos de inercia respecto de los planos coordenados yz (de ecuación x = 0), xz (de
ecuación y = 0) y xy (de ecuación z = 0), que designaremos respectivamente por Ix, Iy y Iz, son
2
Ix
i
mi xi
2
Iy
i
mi yi
Iz
2
mi zi
i
[16.51]
Sumando miembro a miembro dos cualesquiera de los momentos de inercia respecto a los planos
coordenados se obtiene
Iy
Iz
2
i
2
mi (yi
zi )
Ix
Iy
Ixx
i
Iz
mi (x
2
i
2
Ix
2
i
y)
i
mi (zi
2
xi )
Iyy
[16.52]
Izz
lo que demuestra el teorema.
Una variante del teorema anterior, llamada Teorema de los Ejes Perpendiculares
es muy útil para el cálculo de momentos de inercia de láminas planas delgadas.
TEOREMA IV.- La suma de los momentos de
inercia de una lámina plana respecto a dos
ejes perpendiculares entre sí y contenidos en
el plano de la lámina es igual al momento de
inercia de la lámina respecto a un eje
perpendicular a su plano y que pasa por el
punto de intersección de los dos ejes
anteriormente citados.
Tomemos un sistema de ejes ortogonales de forma que
la lámina se encuentre situada en el plano xy (Figura 16.22).
Los momentos de inercia de la lámina con respecto a cada
uno de los ejes coordenados son
Figura 16.22
476
Lec. 16.- Geometría de masas.
2
Ixx
i
mi yi
2
Iyy
i
mi xi
2
Izz
i
mi (xi
2
yi )
[16.53]
de modo que, evidentemente, se cumple
Ixx
Iyy
[16.54]
Izz
Figura 16.24
Figura 16.23
En relación con los planos y ejes principales de inercia, tenemos los siguientes
teoremas:
TEOREMA V.- Si un cuerpo posee un plano de simetría, el producto de inercia respecto de dicho plano y de otro perpendicular es nulo. Dichos planos
son planos principales de inercia del cuerpo.
En efecto, si elegimos como plano xy el de simetría (Figura 16.23), a todo elemento de masa
mi de coordenadas (xi,yi,zi) le corresponde otro elemento de la misma masa de coordenadas (xi,yi,-zi),
de modo que al extender las sumas
Ixz
Izx
mi xi zi
0
Iyz
Izy
mi yi zi
i
0
i
a todo el cuerpo, el resultado será cero.
COROLARIO 1.- Si un cuerpo posee dos
planos de simetría, la intersección de dichos
planos es un eje principal de inercia del
cuerpo (Figura 16.24).
COROLARIO 2.- Todo plano de simetría de un
cuerpo es perpendicular a un eje principal del
mismo.
TEOREMA VI.- Si un cuerpo posee un eje de
simetría de revolución, dicho eje es eje
principal de inercia.
Figura 16.25
En efecto, si el sólido tienen simetría de revolución alrededor del eje z (Figura 16.25), entonces
será Ixz= 0 y Iyz= 0, puesto que para cualquier elemento de masa mi situado en (xi,yi,zi) existe otro
elemento de la misma masa situado en (-xi,-yi,zi) de modo que al efectuar las sumas
Ixz
Izx
i
mixizi
0
Iyz
Izy
i
miyizi
0
477
§16.8.- Teoremas concernientes a los momentos y productos de inercia.
extendidas a todos los elementos del sólido, el resultado será cero. En consecuencia, los planos xz
e yz son planos principales de inercia y su intersección (el eje z) es un eje principal de inercia.
§16.9. Teoremas de Steiner.- Los momentos de inercia de un sistema material
con respecto a un punto, eje o plano dependen de la distribución de la masa del
sistema con relación a dicho punto, eje o plano. Si cambiamos de punto, eje o plano,
los momentos de inercia también cambiarán. A continuación vamos a relacionar los
momentos de inercia de un cuerpo con respecto a un punto, un eje o un plano arbitrarios con los momentos de inercia con respecto al centro de masas y a un eje o un
plano que sean paralelos a los anteriores y que pasen por el centro de masa.
TEOREMA VII.- Teorema de Steiner para los momentos planarios. El momento de inercia con respecto a un plano cualquiera es igual al momento de
inercia respecto a un plano paralelo al anterior que pase por el centro de
masa más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia
entre ambos planos.
Consideremos un sistemas de ejes coordenados Oxyz arbitrario y otro sistema de ejes
coordenados Gξηζ paralelos a los anteriores y cuyo origen está situado en el centro de masas de
la distribución de materia. Sean xcm, ycm y zcm las coordenadas del centro de masa (G) del sistema
material en el referencial Oxyz (Figura 16.26). Las coordenadas de un elemento material genérico, de
masa dm, en los dos sistemas de ejes coordenados están relacionadas por
x
ξ
xcm
y
ycm
η
z
ζ
zcm
[16.55]
El momento de inercia del sistema material respecto
del plano Oxy es
⌠z 2 dm ⌠(z
ζ)2 dm
⌡
⌡ cm
2 ⌠
⌠ζ 2 dm 2 z ⌠ζ dm zcm
dm
cm ⌡
⌡
⌡
Iz
pero
⌠ζ dm
⌡
[16.56]
0 , por representar la posición del centro
de masa en el referencial del centro de masa; por consiguiente podemos escribir
Iz
Iζ
2
[16.57]
m zcm
Figura 16.26
lo que demuestra el teorema. Del mismo modo:
Ix
Iξ
2
m xcm
Iy
Iη
2
m ycm
[16.58]
TEOREMA VIII.- Teorema de Steiner para los momentos axiales. El momento de inercia con respecto a un eje cualquiera es igual al momento de
inercia respecto a un eje paralelo al anterior que pase por el centro de masa
más el producto de la masa del cuerpo por el cuadrado de la distancia entre
ambos ejes.
En efecto, de acuerdo con el Teorema III, el momento de inercia con respecto al eje z será
Izz
Ix
Iy
Iξ
Iη
2
m (xcm
2
ycm)
Iζζ
2
m (xcm
2
ycm)
[16.59]
478
Lec. 16.- Geometría de masas.
Figura 16.27
479
§16.9.- Teoremas de Steiner.
siendo (x2cm+y2cm) el cuadrado de la distancia entre los ejes z y ζ, lo que demuestra el teorema. Del
mismo modo:
Ixx
Iξξ
2
m (ycm
2
zcm)
Iyy
2
Iηη
m (xcm
2
zcm)
[16.60]
TEOREMA IX.- Teorema de Steiner para los momentos polares. El
momento de inercia con respecto a un punto cualquiera es igual al momento
de inercia respecto al centro de masa más el producto de la masa del cuerpo
por el cuadrado de la distancia entre ambos puntos.
De acuerdo con el Teorema I, el momento de inercia con respecto al punto O viene dado por
IO
Ix
Iy
Iz
esto es,
Iξ
IO
Iη
IG
2
Iζ
m (xcm
2
ycm
2
zcm)
m D2
[16.61]
[16.62]
siendo D la distancia OG, lo que demuestra el teorema.
En el Problema 16.24 proponemos la demostración del siguiente teorema:
TEOREMA X.- Teorema de Steiner para los productos de inercia. El producto de inercia de un cuerpo respecto a un par de planos perpendiculares
es igual al producto de inercia respecto a otro par de planos paralelos a los
anteriores y que pasan por el centro de masa del cuerpo, menos el producto
de la masa del cuerpo por las distancias entre los respectivos planos.
Esto es, si tenemos un sistema de ejes cartesianos (x,y,z) y otro sistema de ejes (ξ,η,ζ) que
es una simple traslación del sistema de ejes anterior hasta llevar su origen al centro de masa del
cuerpo (Figura 16.26), se verifica:
Ixy
Iξη
m xcmycm
Iyz
Iηζ
m ycmzcm
Izx
Iζξ
m zcmxcm
[16.63]
§16.10. Momento de inercia respecto a
un eje cualquiera.- Ahora vamos a relacionar
el momento de inercia de un cuerpo respecto a
un eje cualquiera con los momentos y productos
de inercia del cuerpo respecto a un sistema de
ejes coordenados xyz concurrente con el eje
dado.
Sea e el versor en la dirección del eje. Dicho
versor vendrá expresado en función de los cosenos
directores por
e
cos α cos β cos γ
[16.64]
xyz
Figura 16.28
Consideremos el elemento de masa dm y sea r su vector
de posición respecto al origen de coordenadas. El momento de inercia del cuerpo respecto al eje
dado es
I
⌠ δ 2 dm
⌡R
⌠ (r × e)2 dm
⌡R
[16.65]
ya que δ2 = (r×e)2 es el cuadrado de la distancia del elemento de masa dm al eje dado. Como
480
Lec. 16.- Geometría de masas.
δ2
(r×e)2
z cosβ )2
(y cosγ
(y 2 z 2)cos2α
⎡⎛ x ⎞ ⎛ cos α ⎞⎤2
⎟⎥
⎢⎜ ⎟ ⎜
⎟⎥
⎢⎜ ⎟ ⎜
⎢⎜ y ⎟×⎜ cos β ⎟⎥
⎟⎥
⎢⎜ ⎟ ⎜
⎣⎝ z ⎠ ⎝ cos γ ⎠⎦
(x 2 z 2)cos2β
2xy cosα cosβ
(z cosα
⎛ y cosγ
⎜
⎜
⎜ z cosα
⎜
⎝ x cosβ
x cosγ )2
⎞2
z cosβ ⎟
⎟
x cosγ ⎟
⎟
y cosα ⎠
y cosα)2
(x cosβ
(x 2 y 2)cos2γ
2xz cosα cosγ
[16.66]
2yz cosβ cosγ
de modo que la expresión [16.65] nos conduce, después de sustituir las expresiones de definición de
los momentos y productos de inercia, a la relación
I
Ixx cos2α
2Ixy cosα cosβ
Iyy cos2β
Izz cos2γ
2Ixz cosα cosγ
[16.67]
2Iyz cosβ cosγ
que nos permite determinar el momento de inercia con respecto a un eje definido por sus cosenos
directores si conocemos los momentos y productos de inercia del cuerpo respecto a un sistema de
ejes coordenados concurrentes con el eje dado.
Utilizando la notación matricial podemos escribir la expresión [16.67] haciendo
intervenir la matriz de inercia; i.e.,
I
cos α cos β cos γ
o sea
I
xyz
⎛
⎞
⎜ Ixx Ixy Ixz ⎟ ⎛⎜ cos α
⎜
⎟
⎜ Iyx Iyy Iyz ⎟ ⎜⎜ cos β
⎜
⎟
⎜ I I I ⎟ ⎜⎝ cos γ
⎝ zx zy zz ⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠ xyz
[16.68]
[16.69]
e I e
como el lector puede comprobar sin más que efectuar los productos matriciales.
Ejemplo IX.- Varilla o barra delgada.- Calcular el momento de inercia de una varilla homogénea
respecto de un eje perpendicular a la misma y que pasa: a) por uno de sus extremos; b) por su
centro de masa.
a) Consideremos el elemento de longitud dm = λ ds
= λ dx, como se indica en la figura. El momento de
inercia pedido será
L
I
⌠ x 2 dm
⌡0
1
λ L3
3
Figura 16.29
L
λ ⌠ x 2 dx
⌡0
1
(λ L) L 2
3
⎛ x3 ⎞L
λ ⎜ ⎟
⎝ 3 ⎠0
1
mL 2
3
b) Podemos proceder como en el apartado anterior,
sin más que extender la integración entre -L/2 y +L/2, o
bien aplicar el teorema de Steiner:
481
§16.10.- Momento de inercia respecto a un eje cualquiera.
Icm
⎛ L ⎞2
m⎜ ⎟
⎝2⎠
1
mL 2
3
mD 2
IO
1
mL 2
12
Ejemplo X.- Lámina rectangular delgada.- a) Determinar los momentos y productos de inercia para
una lámina rectangular, delgada y homogénea, respecto de los ejes indicados en la figura.
b) Calcular el momento de inercia respecto de una diagonal de la lámina.
Figura 16.30
Figura 16.31
Comenzamos calculando el momento de inercia respecto del eje x. Para ello, descomponemos
la lámina en estrechas bandas paralelas al eje x (sombreado claro en la figura), de modo que toda
la masa de cada una de dichas bandas equidista del eje x. Sea dy el espesor de una banda genérica
situada a una distancia y del eje x; su masa será dm = σdS = σa dy. Entonces
Ixx
⌠ y 2 dm
⌡S
b
2
⎡y 3 ⎤
σa ⎢ ⎥
⎣3 ⎦
σ a ⌠ y 2 dy
⌡b
2
y, análogamente, se obtiene
b
2
1
b3
σa
3
4
b
2
1
σ ab b 2
12
1
mb 2
12
1
ma 2
12
Iyy
El Teorema IV (ejes perpendiculares) nos permite determinar
Izz
Ixx
Iyy
1
m (a 2
12
b2)
Por estar contenida toda la masa de la lámina en el plano z = 0, serán nulos los siguientes productos
de inercia:
Ixz
Izx
0
Iyz
Izy
0
Para calcular Ixy consideramos un elemento de superficie dS = dx dy, cuya masa es dm = σ dx dy,
Ixy
Iyx
⌠ xy dm
⌡S
a
2
b
2
σ ⌠ x dx ⌠ y dy
⌡a
⌡b
2
2
⎡x 2 ⎤
σ ⎢ ⎥
⎣2 ⎦
a
2
a
2
⎡y 2 ⎤
⎢ ⎥
⎣2 ⎦
b
2
0
b
2
como era de esperar, ya que para cada elemento de superficie dS de coordenadas (x,y,0) existe otro
de coordenadas (-x,y,0), lo que hace que sea Ixy = 0.
482
Lec. 16.- Geometría de masas.
La matriz de inercia es
⎛ b2 0
0
⎜
1
⎜
2
m ⎜ 0 a
0
12
⎜
2
2
⎝ 0 0 a b
I
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
b) Para determinar el momento de inercia respecto de una diagonal (v.g., PQ), comenzamos
por determinar el versor correspondiente a esa dirección; i.e.,
1
e
a2
a b 0
b2
de modo que, aplicando [16.69], tenemos
Id
1
e I e
a
1
m
12 a 2 b 2
2
⎛ b2 0
0
⎜
1
⎜
2
m ⎜ 0 a
0
12
⎜
2
2
⎝ 0 0 a b
a b 0
b
2
a b 0
⎛ b2 0
0
⎜
⎜ 0 a2
0
⎜
⎜
2
2
⎝ 0 0 a b
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛a ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜b ⎟
⎜ ⎟
⎝0 ⎠
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎛a ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜b ⎟
⎜ ⎟
⎝0 ⎠
1
a
2
1
2 a2 b2
m
12
a2 b2
b2
1
a2 b2
m
6
a2 b2
Ejemplo XI.- Esfera hueca.- a) Calcular el momento de inercia
de una esfera hueca y homogénea respecto de uno cualquiera de
sus diámetros. b) Determinar la matriz de inercia en el centro de
la esfera.
a) Puesto que toda la masa de la esfera se encuentra a la
misma distancia del centro de la esfera (O), el momento polar
en dicho centro será
Figura 16.32
IO
mR 2
por lo que al aplicar el Teorema II, teniendo en cuenta que los
momentos de inercia son iguales respectos de cualquier diámetro de la esfera, se sigue
Ixx
Iyy
Izz
3 Id
2 IO
→
Id
2
I
3 O
2
mR 2
3
b) Como consecuencia de la simetría de revolución, es fácil comprender que todos los
productos de inercia son nulos, por lo que escribiremos
I
⎛1 0 0 ⎞
⎟
⎜
2
⎟
⎜
mR 2 ⎜ 0 1 0 ⎟
3
⎟
⎜
⎝0 0 1 ⎠
483
§16.10.- Momento de inercia respecto a un eje cualquiera.
Ejemplo XII.- Esfera maciza.- Determinar el momento de
inercia de una esfera maciza y homogénea respecto a:
a) uno cualquiera de sus diámetros, b) un eje tangente a la
superficie de la esfera.
a) Consideremos la esfera maciza compuesta por
infinitas esferas huecas o capas esféricas concéntricas. Sea
dr el espesor de una capa esférica genérica de radio r; su
masa es
ρ dV
dm
ρ 4π r 2dr
Figura 16.33
y su momento polar en el centro de la esfera (O) es
dIO
r 2 dm
r 2 (ρ 4π r 2 dr)
ρ 4π r 4 dr
de modo que el momento polar en O de la esfera vale
R
⌠ dI
⌡0 O
IO
R
ρ 4π ⌠ r 4 dr
⌡0
⎡ r 5 ⎤R
ρ 4π ⎢ ⎥
⎣ 5 ⎦0
ρ
4
πR5
5
3 4
ρ πR3 R2
5 3
3
mR 2
5
por lo que a aplicar el Teorema II, teniendo en cuenta que los momentos de inercia son iguales
respectos de cualquier diámetro de la esfera, se sigue
Ixx
Iyy
Izz
3 Id
⇒
2 IO
Id
2
I
3 O
23
mR 2
35
2
mR 2
5
b) Aplicando el teorema de Steiner tenemos
I′
2
mR 2
5
mR 2
7
mR 2
5
Ejemplo XIII.- Cilindro macizo.- Determinar el momento de inercia de un cilindro recto circular
y homogéneo con respecto a un eje perpendicular a su eje de simetría de revolución y que pasa por
su centro.
Un breve reflexión nos descubrirá que el
momento de inercia del cilindro respecto del
plano z=0 (i.e., Iz) está dado por la misma
expresión que el momento de inercia de una
varilla o barra delgada respecto a un eje
perpendicular a la misma y que pasa por su
centro; esto es
Iz
1
mL 2
12
y, análogamente, el momento de inercia del
cilindro respecto del plano x=0 (i.e., Ix) está
dado por la misma expresión que el momento
de inercia de una lámina circular respecto de
uno de sus diámetros; esto es
Figura 16.34
484
Lec. 16.- Geometría de masas.
1
mR 2
4
Ix
Entonces, aplicando el Teorema III (Planos Perpendiculares) el momento pedido es la suma
de los dos anteriores:
Iyy
Ix
Iz
1
mR 2
4
1
mL 2
12
Ejemplo XIV.- Cono circular.- Calcular el momento de inercia de
un cono recto de base circular, macizo y homogéneo con respecto
a su eje de revolución.
Tomamos como elemento de volumen una rodaja del cono
cortada perpendicularmente a su eje de revolución, como se ilustra
en la figura. La masa elemental es
dm
ρ dV
ρ π r 2 dz
El momento de inercia elemental respecto del eje z (i.e., dIzz) es el
de un disco de masa dm y radio r:
dIzz
1 2
r dm
2
1
ρ π r 4 dz
2
Figura 16.35
de modo que el momento de inercia del cono, Izz, se obtiene por
integración:
Izz
⌠ 1 r 2 dm
⌡V 2
1
ρ π ⌠ r 4 dz
⌡V
2
Para poder integrar, puesto que aparecen dos variables en el integrando, haremos
r
z tgα
→
dr
dz tgα
R
dz
H
o sea
Izz
1
ρ π ⌠ r 4 dz
⌡V
2
1
H ⌠R 4
ρπ
r dr
2
R ⌡0
1
H R5
ρπ
2
R 5
3 ⎛1
⎞
ρ ⎜ π R 2 H⎟ R 2
10 ⎝ 3
⎠
donde hemos tenido en cuenta el valor del volumen del cono, i.e.,
1
π R 2 H.
3
3
mR 2
10
485
Problemas
Problemas
16.1.- Cuatro partículas, cuyas masas respectivas son 1, 2, 3 y 4 unidades, están situadas en
los puntos (1,2,0), (3,1,0), (1,1,3) y (0,4,2),
respectivamente. Determinar la posición del
centro de masa de las cuatro partículas.
16.2.- Tres partículas idénticas están situadas
en los vértices de un triángulo. Demostrar que
el centro de masa de las partículas está localizado en el punto de intersección de las tres
medianas del triángulo.
16.3.- Tres partículas, cuyas masas son m1, m2
y m3, están situadas en los vértices de un
triángulo. Sean a1, a2 y a3 las longitudes de los
lados opuestos a cada uno de los vértices del
triángulo. Demostrar que el centro de masa del
sistema se encuentra en el punto de
intersección de las tres bisectrices del triángulo
si y sólo si m1/a1 = m2/a2 = m3/a3.
16.4.- Arcos de circunferencia. Determinar la
posición del centroide de las curvas siguientes:
a) un arco de circunferencia de semiamplitud
angular α, b) un cuadrante de circunferencia
y c) una semicircunferencia.
16.5.- Bastón. Determinar la posición del
centro de masa de un bastón hecho con una
barra de sección transversal y densidad constante cuyo puño tiene forma semicircular, de
radio R, siendo L la longitud del mástil.
16.6.- Baricentro del triángulo. Demostrar
que el centro de masa de una lámina plana y
homogénea de forma triangular se encuentra
en el punto de intersección de las tres medianas (baricentro) de dicho triángulo.
16.7.- Porciones de círculo. Determinar la
posición del centroide de las siguientes superficies: a) un sector circular de semiamplitud
angular α, b) un cuadrante de círculo, c) un
semicírculo, d) un segmento circular de una
base, e) un segmento circular de dos bases.
16.8.- Determinar el centroide del segmento
parabólico limitado por la parábola y = ax2 y
la recta y = H, en el plano xy.
16.9.- Cicloide. Localizar el centroide de la
superficie limitada por un arco completo de la
cicloide
x = a(φ - senφ)
y = a(1 - cosφ)
y el eje x.
16.10.- Hipocicloide. Determinar la posición
del centro de masa de una lámina plana y
homogénea cuya
forma es la del
cuadrante de
hipocicloide
2
2
2
x3
y3
a3
sombreado en la
figura adjunta.
Prob. 16.10
Nota: las ecuaciones paramétricas
de la hipocicloide son: x=acos3φ, y=asen3φ.
16.11.- Conos. Determinar la posición del
centro de masa de los siguientes cuerpos,
continuos y homogéneos: a) un cono recto de
base circular, b) un tronco de cono.
16.12.- Localizar el centro de masa de un tetraedro regular.
16.13.- Porciones de esfera. Determinar la
posición del centro de masa de las siguientes
porciones de una esfera maciza y homogénea:
a) un segmento esférico de una base, b) un
segmento esférico de dos bases, c) un sector
esférico, d) una hemiesfera (maciza), e) un
octante de esfera (maciza).
16.14.- Calcular la apertura angular de un
sector esférico (macizo) cuyo centroide se
encuentre justamente en el centro de la superficie de conjunción del cono y del segmento
esférico que lo forman.
16.15.- Cascarón esférico. Determinar la
posición del centroide de un cascarón hemiesférico de paredes gruesas, siendo R1 y R2 los
radios interior y exterior, respectivamente.
16.16.- Porciones de superficie esférica. Determinar la posición del centroide de las
siguientes porciones de una superficie esférica:
a) una zona esférica de una base, b) una zona
esférica de dos bases, c) una luna esférica.
16.17.- Láminas esféricas. Determinar la
posición del centro de masa de una lámina
delgada y homogénea cuya forma es la de:
486
Lec. 16.- Geometría de masas.
a) una hemiesfera, b) un octante de superficie
esférica.
16.18.- En una esfera
de madera, maciza y de
radio R, la carcoma ha
hecho un hueco
esférico, de radio R/2,
tangente a la superficie
de la esfera, como se
indica en la figura
adjunta. Localizar el
centro de masa de la
esfera ahuecada.
16.19.- Cortamos
una hemiesfera de
radio a de un
cubo de arista b >
2a, como se
muestra en la
figura. Localizar
el centro de masa
del cubo así
ahuecado.
Prob. 16.18
lelos a los anteriores y que pasan por el centro
de masa del cuerpo, menos el producto de la
masa del cuerpo por las coordenadas de posición de dicho centro de masa respecto a los
ejes primitivos. Esto es, si tenemos un sistema
de ejes cartesianos (x,y,z) y otro sistema de
ejes (ξ,η,ζ) que es una simple traslación del
sistema de ejes anterior hasta llevar su origen
al centro de masa del cuerpo, se verifica:
Ixy
Iyz
Izx
Iξη
Iηζ
Iζξ
m xcmycm
m ycmzcm
m zcmxcm
16.25.- Determinar el momento de inercia de
una barra recta y homogénea respecto a un eje
que forma un ángulo θ con la barra y que
pasa por: a) su centro; b) uno de sus extremos.
Prob. 16.19
16.20.- Dos partículas de masas respectivas m1
y m2 está unidas por una varilla ligera de
longitud r. Demostrar que el momento de
inercia de este sistema con respecto a un eje
perpendicular a la varilla y que pasa por el
centro de masa del sistema viene dado por µr2,
siendo µ la masa reducida del sistema.
16.21.- Determinar el momento de inercia de
una lámina plana, de masa m, cuya forma es la
de una corona circular, de radios R1 y R2, con
respeto a: a) un eje diametral; b) un eje
tangencial a su borde y contenido en su mismo
plano.
16.22.- La densidad de una varilla recta aumenta en proporción directa a la distancia a
uno de sus extremos, en el que es nula. Determinar el momento de inercia de la varilla con
respecto a un eje perpendicular a ella y que
pasa por: a) uno y otro de sus extremos; b) su
centro de masa; c) su centro geométrico.
16.23.- La densidad de un esfera aumenta
radialmente en proporción directa a la distancia a su centro, siendo nula en éste. Determinar el momento de inercia de la esfera con
respeto a: a) el centro de la esfera; b) un plano
diametral; c) un plano tangente; d) un eje
diametral; e) un eje tangencial a la esfera.
16.24.- Teorema de Steiner para los productos de inercia.- Este teorema establece que el
producto de inercia de un cuerpo respecto a un
par de ejes perpendiculares es igual al producto de inercia respecto a otro par de ejes para-
16.26.- Una lámina circular de radio R y masa
M tiene una densidad superficial variable dada
por σ = σ0 (1 + r/R), siendo r la distancia de
un punto al centro de la lámina. Calcular el
momento de inercia y el radio de giro de la
lámina circular respecto a: a) un eje perpendicular al plano de la lámina y que pasa por su
centro; b) un diámetro.
16.27.- El cuadro de un
galvanómetro
D’Arsonval está formado por 250 espiras de
hilo conductor muy
apretadas. Las dimensiones del cuadro son
2 cm × 3 cm, como se
indica en la figura y la
densidad lineal del hilo
es de 0.5 g/cm. Con
estos datos, calcular el
momento de inercia del
cuadro respecto a su
eje de rotación.
Prob. 16.27
16.28.- Lámina triangular. Determinar el
momento de inercia de una lámina plana y
homogénea, cuya forma es la de un triángulo
rectángulo isósceles, con respecto cada uno de
los ejes que se indican: a) cada uno de los
lados de la lámina; b) cada uno de los ejes
definidos por las bisectrices de los ángulos del
triángulo; c) un eje perpendicular a la lámina
en el vértice del ángulo recto de la misma;
d) ídem en otro de los vértices; e) ídem por el
centro de la lámina.
16.29.- Lámina elíptica. Determinar la matriz
de inercia en el centro de una lámina plana y
homogénea, de forma elíptica, siendo a y b sus
semiejes.
Problemas
16.30.- Cubo homogéneo. Determinar el
momento de inercia de un cubo homogéneo
respecto a cada uno de los ejes siguientes:
a) eje que pasa por el centro de dos caras
opuestas; b) eje que coincide con una de las
aristas; c) una de las diagonales interiores del
cubo.
16.31.- Determinar el momento de inercia de
un cono recto circular, macizo y homogéneo,
de altura H y radio R, con respecto a: a) un
eje perpendicular al eje de simetría en el
vértice del cono; b) un diámetro de su base.
Prob. 16.32
16.32.- La barra delgada y homogénea de la
figura pesa 8 kg y está soportada en A y B
mediante soportes de cuenca y bola. a) Determinar la matriz de inercia. b) Calcular el
momento de inercia de la barra con respecto al
eje de rotación AB. c) Determinar los
momentos y los ejes principales de inercia.
* 16.33.- Consideremos la matriz de inercia
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
1
1
(A B)
(A B) 0 ⎟
2
2
⎟
⎟
1
1
⎟
(A B)
(A B) 0 ⎟
2
2
⎟
⎟
0
0
C ⎠
Efectuemos una rotación del sistema de coordenadas, girándolo un ángulo arbitrario θ
alrededor del eje z. a) Evaluar la matriz de
inercia en el nuevo sistema de coordenadas.
b) Demostrar que la matriz se diagonaliza en
A, B y C si elegimos θ=π/4.
487
488
Lec. 16.- Geometría de masas.