A1 FAp 2015

FÍSICA APLICADA. PRIMER PARCIAL 18 - MARZO – 2015
CUESTIONES TEORÍA
1.- Contestar razonadamente a las siguientes preguntas acerca del movimiento armónico
simple (MAS):
1A (0.25 p).- Si el periodo de un MAS es T = 1 s y se empieza a contar el tiempo desde el
momento en que el oscilador pasa por un extremo, ¿al cabo de cuánto tiempo será
máxima su energía cinética?
1B (0.25 p).- Si la amplitud de un MAS se duplica, ¿en cuánto varía la velocidad máxima
del oscilador?
1C (0.25 p).- Si la amplitud de un MAS se cuadruplica, ¿en cuánto varía la frecuencia del
oscilador?
1D (0.25 p).- Comparar cualitativamente la gráfica de un MAS ideal y la de un MAS con
pequeño amortiguamiento.
2.- En la figura se representa, en función de la posición y para t = 0, la gráfica de una onda
viajera que se propaga en una cuerda tensa a 50 m/s.
2A (1 p).- ¿Cuál es el número de ondas y la frecuencia? Escribir la ecuación de la onda si
la amplitud es A = 10 cm.
2B (1 p).- Si la frecuencia de la onda fuese la mitad, ¿cuál sería el aspecto de la gráfica?
Explicar razonadamente.
FÍSICA APLICADA. PRIMER PARCIAL 18 - MARZO – 2015
PROBLEMAS
PROBLEMA 1.- Un disco homogéneo de radio R = 10 cm se cuelga de un
clavo por un pequeño orificio situado a una distancia R/2 por encima de
su CM (punto E en la figura) y se deja oscilar libremente con una
amplitud de 10º (suponemos que la fricción es despreciable).
(a) Calcular cuántas oscilaciones realiza en 1 minuto. (1 p)
(b) Calcular qué velocidad y qué aceleración tiene el CM cuando el
disco pasa por la vertical. (1 p)
Recordatorio. El momento de inercia de un disco respecto al centro de masas es ½ mR2.
PROBLEMA 2 (2 p).- El oído humano puede percibir ondas sonoras de una frecuencia de 1000
Hz en el rango de intensidades comprendido entre 10-12 W·m-2 (umbral de audición) y 1 W·m-2
(umbral de dolor). Calcular las amplitudes de presión y los desplazamientos máximos
asociados con estos dos límites para ondas sonoras de esa frecuencia que se propagan en el
aire a 22 ºC. Datos del aire. Densidad 1.20 kg·m-3; masa molecular 28.9 g·mol-1; coeficiente
adiabático  = 1.40.
PROBLEMA 3.- En el laboratorio de física disponemos de dos cuerdas flexibles A y B de
densidades lineales de masa A = 5.0 gramos/metro y B = 3.2 gramos/metro. Un tramo de la
cuerda A de 2 m de longitud se coloca horizontalmente, sujeto por ambos extremos y
sometido a una tensión T =2 N, y se hace vibrar (con una amplitud de 6 cm) cambiando la
frecuencia hasta que aparece el segundo armónico.
(a) ¿Cuál es la frecuencia del segundo armónico? Escribir la ecuación de la onda
estacionaria en la cuerda A. (1 p)
(b) Si se monta el experimento con la cuerda B (misma longitud, misma tensión, misma
amplitud), ¿a qué frecuencia aparecerá el segundo armónico? Escribir la ecuación de la
onda estacionaria en la cuerda B. (1 p)
(c) Explicar en cuál de las dos cuerdas será mayor la velocidad máxima de vibración
transversal para el segundo armónico (puede explicarse razonadamente sin necesidad
de cálculos). (1 p)
CUESTIONES TEORÍA
1.- Contestar razonadamente a las siguientes preguntas acerca del movimiento armónico
simple (MAS):
1A (0.25 p).- Si el periodo de un MAS es T = 1 s y se empieza a contar el tiempo desde el
momento en que el oscilador pasa por un extremo, ¿al cabo de cuánto tiempo será
máxima su energía cinética?
1B (0.25 p).- Si la amplitud de un MAS se duplica, ¿en cuánto varía la velocidad máxima
del oscilador?
1C (0.25 p).- Si la amplitud de un MAS se cuadruplica, ¿en cuánto varía la frecuencia del
oscilador?
1D (0.25 p).- Comparar cualitativamente la gráfica de un MAS ideal y la de un MAS con
pequeño amortiguamiento.
1A.- La energía cinética del oscilador armónico es máxima cuando pasa por su posición de
equilibrio, y es nula cuando está en uno de los extremos (elongación igual a la amplitud). Todo
movimiento armónico pasa por la posición de equilibrio un ¼ de periodo después de haber
pasado por uno de los extremos, así que como el periodo aquí es T = 1 s, la respuesta a la
pregunta es que la energía cinética será máxima en este caso concreto 0.25 segundos después
de comenzar a contar el tiempo.
1B.- La ecuación del MAS = cos( + ) nos da la posición en función del tiempo, y su
primera derivada ̇ = −
sin ( + ) nos da la velocidad del oscilador. Véase que la
velocidad máxima es igual al valor absoluto de la velocidad cuando la función seno es igual a la
unidad ̇
=
, es decir, la velocidad máxima es proporcional a la amplitud, por lo que si
la amplitud se duplica, la velocidad máxima también se duplica.
1C.- La frecuencia del oscilador no es una función de la amplitud, sino una característica
intrínseca del mismo. Por lo tanto aunque la amplitud varíe, la frecuencia no variará.
1D.- El MAS amortiguado tiene un término sinusoidal y un término exponencial decreciente.
Resultado: la amplitud decrece a medida que transcurre el tiempo.
2.- En la figura se representa, en función de la posición y para t = 0, la gráfica de una onda
viajera que se propaga en una cuerda tensa a 25 m/s.
2A (1 p).- ¿Cuál es el número de ondas y la frecuencia? Escribir la ecuación de la onda si
la amplitud es A = 10 cm.
2B (1 p).- Si la frecuencia de la onda fuese la mitad, ¿cuál sería el aspecto de la gráfica?
Explicar razonadamente.
2A.- El eje x está escalado en metros. Véase que en el intervalo de 0 a 2 m hay cuatro ondas,
por lo tanto el número de ondas es k = 4 m-1. Forma alternativa: a partir de los datos gráficos
sobre el eje x, la longitud de onda es
=
Si la onda se propaga a v = 50 m/s, como
de onda será
fase inicial.
=
cos(
−
=
=
m. Por tanto
→
=
·
=
=
/
=4m .
= 200 rad/s. Así que la ecuación
± ) = 0.1 cos(4 − 200 ± ) y debemos determinar la
Para esto último véase en primer lugar que la onda está atrasada, porque los máximos de la
función representada en la gráfica cos(4 ± ) ocurren en un tiempo posterior a los máximos
de la función cos 4 (los cuales ocurren en x =0, , 2, etc…). Por lo tanto  ha de ser negativo,
y la función de onda será = cos( −
− ) = 0.1 cos(4 − 200 − ). Además, véase
en la gráfica que cuando x = 0  y = 0.5A = A cos (-), y por lo tanto  = -/3 ( = -60º).
= 0.1 cos(4 − 200 − /3) (Unidades S.I., x e y en m, t en s)
2B.- La velocidad v de propagación en la
cuerda es fija, y como debe cumplirse que
= , si la frecuencia fuese la mitad, entonces
también  sería la mitad, y por consiguiente k
también se reduciría a la mitad. Puesto que
= , si k se reduce a la mitad, el valor de 
se dobla. La gráfica resultante aparece en trazo
continuo rojo en la figura, superpuesta a la
figura original en trazo discontinuo.
PROBLEMA 1.- Un disco homogéneo de radio R = 10 cm se cuelga de
un clavo por un pequeño orificio situado a una distancia R/2 por
encima de su CM (punto E en la figura) y se deja oscilar libremente
con una amplitud de 10º (suponemos que la fricción es despreciable).
(a) Calcular cuántas oscilaciones realiza en 1 minuto. (1 p)
(b) Calcular qué velocidad y qué aceleración tiene el CM cuando
el disco pasa por la vertical. (1 p)
Recordatorio. El momento de inercia de un disco respecto al centro de masas es ½ mR2.
=2
(a) El periodo de un péndulo físico de masa m es
, donde d es la distancia desde
el centro de masas hasta el eje perpendicular E que pasa por el punto de suspensión e IE es
el momento de inercia respecto a dicho eje. El momento de inercia se calcula aplicando el
teorema de Steiner (ejes paralelos)
=2
Periodo del péndulo
depende de la masa, pues el cociente
=
+
→
=2
→
=
+
.
=2
=
= 0.777 s (véase que no
.
no depende de la masa).
El número de oscilaciones en un minuto es:
=
=
(b) Conocido el periodo, calculamos la frecuencia angular:
.
= 77.2
=
= 8.09
Si tomamos el origen de tiempos cuando el péndulo está en una posición extrema, t = 0
cuando
dada por
= 10º =
=
rad, entonces la fase inicial es igual a cero y la ecuación del MAS está
cos
=
cos 8.09 . A partir de esta ecuación podemos calcular
velocidad y aceleración en cualquier instante.
Velocidad CM 
Aceleración CM 
( )= ̇· =−
( )= ̈·
=−
· sin
· cos
= −7.06 · 10
sin 8.09
= −0.57 cos 8.09
Cuando el péndulo pasa por la posición de equilibrio
=
ó
=
(recuérdese que el
origen de tiempos t = 0 se ha tomado cuando  = A), por lo tanto la velocidad y la
aceleración del CM al pasar por la vertical son
= −
· sin
= −
· cos
= 7.06 · 10
m/s
= 0.
Se ha tomado valor absoluto para cubrir las dos posibilidades
=
ó
=
PROBLEMA 2.- El oído humano puede percibir ondas sonoras de una frecuencia de 1000 Hz
en el rango de intensidades comprendido entre 10-12 W·m-2 (umbral de audición) y 1 W·m-2
(umbral de dolor). Calcular las amplitudes de presión y los desplazamientos máximos
asociados con estos dos límites para ondas sonoras de esa frecuencia que se propagan en el
aire a 22 ºC. Datos del aire. Densidad 1.20 kg·m-3; masa molecular 28.9 g·mol-1; coeficiente
adiabático  = 1.40.
Velocidad de propagación del sonido en el aire: c 
 RT
1.4 · 8.314 · (22  273)

 344.7 m/s
M
28.9 ·10 3
La relación entre la amplitud de presión Pm de una onda sonora y el desplazamiento máximo
sm de las moléculas del medio a través del cual se transmite es
Pm    c sm
sm 
Pm
c
La intensidad de la onda y el desplazamiento máximo sm están relacionados mediante:
1
Pm2
2 2
I    sm c 
2
2 c
De aquí podemos relacionar la amplitud de presión Pm y la intensidad I
Pm umbral 
Pm dolor 
2  c I umbral
2  c I dolor
 2 ·1.2 · 344.7 ·10 12  2.88 ·10 5 Pa
 2 ·1.2 · 344.7 ·1  28.8 Pa
Cálculo del desplazamiento máximo sm
sm umbral 
sm dolor 
Pm umbral
c
Pm dolor
c


2.88 ·10 5
 1.1·10 11 m
1.20 · 2 ·1000· 344.7
28.8
 1.1·10 5 m
1.20 · 2 ·1000· 344.7
PROBLEMA 3.- En el laboratorio de física disponemos de dos cuerdas flexibles A y B de
densidades lineales de masa  A = 5.0 gramos/metro y  B = 3.2 gramos/metro. Un tramo de la
cuerda A de 2 m de longitud se coloca horizontalmente, sujeto por ambos extremos y
sometido a una tensión T =2 N, y se hace vibrar (con una amplitud de 6 cm) cambiando la
frecuencia hasta que aparece el segundo armónico.
(a) ¿Cuál es la frecuencia del segundo armónico? Escribir la ecuación de la onda
estacionaria en la cuerda A. (1 p)
(b) Si se monta el experimento con la cuerda B (misma longitud, misma tensión, misma
amplitud), ¿a qué frecuencia aparecerá el segundo armónico? Escribir la ecuación de la
onda estacionaria en la cuerda B. (1 p)
(c) Explicar en cuál de las dos cuerdas será mayor la velocidad máxima de vibración
transversal para el segundo armónico (puede explicarse razonadamente sin necesidad
de cálculos). (1 p)
=
(a) Longitud de onda del armónico n = 2 
→
=
=
=
=2m
Conocemos la densidad lineal y la tensión  calculamos la velocidad de propagación de
=
las ondas transversales en la cuerda A 
=
·
= √400 = 20
Relación entre velocidad de propagación, frecuencia y longitud de onda:
20
=
=
= 10 Hz
2
Ecuación 2º armónico:
= 0.06 sin
sin
= 0.06 sin
sin 2
= 0.06 sin
sin 20
=
·
(cuerda A)
(b) Si se utiliza la cuerda B, la velocidad de propagación de las ondas en ella será distinta ya
que la densidad de masa es diferente:
=
=
. ·
= √625 = 25
Puesto que la cuerda tiene también longitud L = 2 m, la longitud de onda del segundo
armónico sigue siendo la misma que antes, lo que cambiará es la frecuencia a la que
aparece porque la velocidad de propagación ya no es la misma del apartado (a).
Frecuencia 
= 0.06 sin
=
sin
=
= 12.5 Hz y la ecuación del 2º armónico será
= 0.06 sin
sin 2
= 0.06 sin
sin 25
(cuerda B)
(c) La velocidad de vibración transversal máxima es la de los vientres de la cuerda (que están
situados a las distancias de los extremos) cada vez que pasan por la posición de
equilibrio. Las partículas situadas en esas posiciones deben de recorrer una distancia igual
a dos veces la amplitud en cada ciclo, es decir, que cada segundo recorrerán una distancia
igual al doble de la amplitud multiplicada por la frecuencia. Por lo tanto, la mayor
velocidad corresponderá a la que tenga mayor frecuencia, que es la que tiene que hacer
un recorrido mayor en un mismo intervalo de tiempo. En este caso, la de mayor velocidad
de vibración transversal máxima será la cuerda B.