Propagación de ondas electromagnéticas

Propagación
de ondas
electromagnéticas
Jordi Bonastre Muñoz
PID_00159139
CC-BY-SA • PID_00159139
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Propagación de ondas electromagnéticas
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Índice
Introducción 

Objetivos .................................................................................................
7
1. Propagación de ondas electromagnéticas en un medio ........
1.1. Propagación de ondas electromagnéticas
9
armónicas planas en el vacío .......................................................
9
1.1.1. Espectro electromagnético ................................................
11
1.2. Propagación de ondas electromagnéticas armónicas
planas en medios materiales no conductores ..............................
12
1.2.1. Velocidad de propagación .................................................
13
1.2.2. Índice de refracción ...........................................................
14
1.3. Propagación de ondas electromagnéticas armónicas
planas en medios materiales conductores ....................................
15
1.3.1. Absorción y profundidad de penetración .........................
16
1.4. ¿Qué hemos aprendido? ...............................................................
21
2. Polarización ......................................................................................
2.1. Concepto de polarización .............................................................
22
22
2.2. Polarización lineal ........................................................................
23
2.3. Polarización circular .....................................................................
26
2.4. ¿Qué hemos aprendido? ...............................................................
27
3. Reflexión y transmisión de ondas planas en un cambio
de medio ............................................................................................
3.1. Condiciones de frontera ...............................................................
28
28
3.1.1. Condiciones de frontera para el campo eléctrico .............
29
3.1.2. Condiciones de frontera para el campo magnético ..........
31
3.1.3. Visión global y casos particulares .....................................
32
3.2. Reflexión y transmisión a la interfaz entre dos medios ...............
33
3.2.1. Deducción de las leyes de reflexión y refracción
de la óptica para cualquier onda
electromagnética ...............................................................
34
3.2.2. Reflexión y transmisión de ondas polarizadas
con el campo eléctrico perpendicular al plano
de incidencia .....................................................................
38
3.2.3. Reflexión y transmisión de ondas polarizadas con
el campo eléctrico paralelo al plano de incidencia ...........
44
3.2.4. Ángulo de Brewster ...........................................................
51
3.2.5. Ángulo crítico ....................................................................
55
3.3. ¿Qué hemos aprendido? ................................................................
57
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4. Reflexión y transmisión por una capa fina:
interferencia ....................................................................................
4.1. Concepto de interferencia ............................................................
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59
59
4.2. Estudio de las reflexiones y transmisiones
en una capa fina ...........................................................................
62
4.3. ¿Qué hemos aprendido? ...............................................................
68
5. Guías de onda ...................................................................................
5.1. Guías de onda de sección rectangular ..........................................
69
69
5.1.1. Modos transversales eléctricos (TE) ...................................
73
5.1.2. Modos transversales magnéticos (TM) ..............................
78
5.1.3. Atenuación en una guía de onda. Modos guiados,
modos de corte y modo dominante .................................
81
5.2. ¿Qué hemos aprendido? ...............................................................
84
6. Cavidades resonantes .....................................................................
6.1. Cavidades resonantes con forma de paralelepípedo
85
regular ...........................................................................................
85
6.2. ¿Qué hemos aprendido? ...............................................................
92
7. Problemas resueltos ........................................................................
7.1. Enunciados ...................................................................................
93
93
7.2. Soluciones .....................................................................................
93
Resumen .................................................................................................. 100
Ejercicios de autoevaluación ............................................................. 103
Solucionario ........................................................................................... 105
Glosario ................................................................................................... 105
Bibliografía ............................................................................................ 106
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Propagación de ondas electromagnéticas
Introducción
Ya hemos introducido el concepto de ondas electromagnéticas como un flujo
de energía que se intercambia entre el campo eléctrico y el campo magnético
Podéis ver el concepto de ondas
electromagnéticas y de ondas
electromagnéticas planas armónicas
en el módulo “Leyes de Maxwell”.
a
y que se propaga por el espacio. También dedujimos la expresión matemática
a partir de las leyes de Maxwell. Sin embargo, no entramos en ningún momento en cómo se produce esta propagación.
En este módulo nos centraremos precisamente en este aspecto, es decir, estudiaremos la propagación de las ondas electromagnéticas y los fenómenos que
se producen a causa de esta propagación. Limitaremos el estudio, eso sí, a ondas electromagnéticas planas armónicas, que ya os introdujimos. No obstante,
buena parte de los conceptos que veremos son extrapolables a cualquier tipo
de ondas electromagnéticas.
En el apartado 1 analizaremos cómo se produce la propagación de una onda
electromagnética en un único medio, tanto en el caso de un material dieléc-
Podéis ver el índice de refracción
en el módulo “Óptica”.
a
trico como de un conductor. Durante el análisis nos reencontraremos con el
concepto de índice de refracción que ya estudiamos. Aquí, no obstante, lo veremos aplicado a una onda electromagnética en general. También veremos
cómo y por qué la intensidad de las ondas se atenúa cuando se propagan por
ciertos materiales.
En el apartado 2 veremos que los campos eléctrico y magnético pueden estar
orientados de muchas maneras respecto a la dirección de propagación. Estudiaremos lo que denominaremos estado de polarización.
En el apartado 3 daremos un paso más allá y analizaremos qué sucede cuando
una onda atraviesa la interfaz entre dos medios materiales diferentes. Entre
otras cosas, volveremos a deducir las propiedades geométricas que ya os explicamos para la luz, pero ahora lo haremos desde el punto de vista de la teoría
electromagnética y aplicadas a las ondas electromagnéticas en general.
En los últimos apartados estudiaremos tres casos específicos de configuraciones que podemos encontrar en algunos dispositivos habituales y analizaremos
cómo se comportan en ellos las ondas electromagnéticas:
• El primer ejemplo (apartado 4) corresponde a una capa fina de un material
dieléctrico. En este tipo de configuraciones se producen interferencias, un
concepto que ya vimos en el módulo “Ondas” y que aquí volveremos a explicar. Deduciremos cómo son las interferencias debidas a una capa fina y
veremos algunas de las aplicaciones que utilizan este fenómeno.
Podéis ver cómo la luz atraviesa la
interfaz entre medios diferentes en
el módulo “Óptica”.
a
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• El segundo ejemplo que estudiaremos (apartado 5) son las guías de onda.
Se trata de dispositivos en los que un material dieléctrico está envuelto de
un material conductor en todas las direcciones excepto en una. Esta configuración permite la propagación de ciertas ondas electromagnéticas de una
manera eficiente. En este módulo analizaremos qué características presentan las ondas que se pueden propagar en estas situaciones.
• El último ejemplo que estudiaremos son las cavidades resonantes. Veremos
que se trata de una configuración muy similar a una guía de onda, con la
diferencia de que ahora el material conductor limita el dieléctrico por todas
las direcciones, es decir, es una región cerrada. Comprobaremos que en estos dispositivos se producen ondas estacionarias y estudiaremos qué características presentan.
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Objetivos
Los materiales didácticos contenidos en este módulo proporcionan los conocimientos necesarios para que el estudiante adquiera los objetivos siguientes:
1. Conocer el mecanismo de propagación de las ondas electromagnéticas y su
tratamiento matemático en medios naturales, tanto dieléctricos como conductores.
2. Saber determinar, de manera cuantitativa, la atenuación que se produce en
una onda electromagnética a causa de la conductividad del material por el
que se propaga.
3. Entender el concepto de esta polarización de una onda electromagnética,
conocer los diferentes tipos que hay y saber relacionarlos con las configuraciones posibles de los campos eléctrico y magnético.
4. Entender las propiedades de los campos eléctrico y magnético en las zonas
interfaciales entre dos medios materiales diferentes y saber aplicarlas a la
deducción del comportamiento de las ondas electromagnéticas en estas zonas interfaciales.
5. Saber aplicar los conceptos del punto 4 a la deducción de las relaciones entre las amplitudes y las intensidades de las ondas incidente, reflejada y
transmitida en una interfaz entre dos medios.
6. Conocer la dependencia de las relaciones del punto 5 respecto al ángulo de
incidencia y saber deducir la existencia de unos ángulos “especiales”, el ángulo de Brewster y el ángulo límite o de reflexión total, y entender su significado físico.
7. Entender el comportamiento de una onda electromagnética cuando atraviesa una lámina muy fina de un material dieléctrico y saber determinar las
interferencias que se producen allí en función de los parámetros de diseño
y de las características de la onda.
8. Entender el funcionamiento físico de las guías de onda y el comportamiento de las ondas electromagnéticas en su interior. Conocer los modos de
propagación que se pueden producir en ellas y las frecuencias de las ondas
que se pueden propagar por ellas.
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9. Entender el fundamento físico de las cavidades resonantes y el comportamiento de las ondas electromagnéticas estacionarias que se establecen en
su interior. Saber determinar las características de los modos de vibración
posibles y las frecuencias características asociadas.
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Propagación de ondas electromagnéticas
1. Propagación de ondas electromagnéticas en un medio
Ya hemos deducido, a partir de las ecuaciones de Maxwell, que la energía electromagnética se propaga mediante ondas electromagnéticas. También “descu-
a
Podéis ver las ecuaciones de Maxwell en
el módulo “Leyes de Maxwell”.
brimos” que la velocidad de propagación de estas ondas en el vacío es
precisamente la velocidad de la luz en el vacío.
Sin embargo, en la vida cotidiana a la que estamos acostumbrados, el concepto de
vacío se convierte en una mera aproximación teórica, ya que buena parte de las
ondas electromagnéticas se propagan en un medio material. Incluso el aire (quizá
el medio que, de manera intuitiva, encontraréis más cercano a estas características
“ideales”), se debe considerar como un medio material diferente del vacío.
En este módulo trabajaremos el comportamiento de las ondas electromagnéticas que se propagan en medios materiales y encontraremos respuesta a algunos de los fenómenos que podéis observar a menudo en la naturaleza y que se
explican por la presencia de estos medios (y, de manera especial, de transiciones entre medios diferentes) en el camino que siguen las ondas.
Comenzaremos el módulo estudiando, en el primer apartado, la propagación
de las ondas electromagnéticas en un único medio y dejaremos para más adelante los fenómenos que se producen cuando estas ondas atraviesan una interfaz entre dos medios diferentes. Limitaremos el estudio, eso sí, a ondas
electromagnéticas armónicas y planas. Este caso es el más simple de tratar y
nos servirá para entender los fenómenos y conceptos que veremos y que son
extrapolables a una onda electromagnética cualquiera.
1.1. Propagación de ondas electromagnéticas armónicas planas en
el vacío
Ya hemos visto que una onda electromagnética armónica plana se comporta
y se propaga como una onda transversal; es decir, su dirección de “vibración”
Podéis ver las ondas transversales en el
módulo “Leyes de Maxwell”.
a
o de oscilación es perpendicular a la dirección de propagación. Para verlo, observad la figura 1.
Figura 1
Figura 1
Representación esquemática
de una onda electromagnética.
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Propagación de ondas electromagnéticas
En el dibujo podéis observar que, para una onda electromagnética armónica

plana que se propaga a lo largo del eje z, tanto el campo eléctrico E (indicado

con color gris claro) como el campo magnético B (indicado con color gris oscuro) siempre tendrán una dirección perpendicular a este eje y, además, siem-
Atención
No confundáis el vector
 unitario en la dirección z, k , con la
constante de onda k .
pre serán perpendiculares entre sí.
Recordad que también vimos que la expresión matemática de esta onda plana

armónica es, para una onda que se propaga en la dirección k :

  j  k  r t 
E  E0e
(1)

  j  k · r t 
B  B0e
(2)
j en lugar de i como
unidad de los números
imaginarios
Cuando se trabaja en el ámbito
del electromagnetismo se utiliza j para indicar la unidad imaginaria i. El motivo de este
convenio es para que no se
produzca confusión con la corriente eléctrica, que se indica
también con i o I.
Fijaos en que tanto las expresiones para el campo eléctrico (1) como para el
campo magnético (2) están estructuradas de la misma manera:


• El primer factor ( E0 o B0 ) corresponde a las amplitudes de oscilación, es
decir, a los valores máximos que pueden alcanzar los campos. También in-
dica su dirección.
• El segundo factor ( e
 
j k · r t

 ) recibe el nombre de fasor y se trata de un nú-
mero complejo cuyo módulo es siempre 1 y que indica la fase o el desfase
Recordad
Un término del tipo ej es un
número complejo equivalente
a:
ej  cos   j sen 
donde j es la unidad imaginaria
( j  1 y j2  1).
de la onda en un punto y un instante determinados.

• Los parámetros k y  son los que determinan las características de la onda
y su significado es idéntico al que ya vimos con las ondas mecánicas. Si re-

Podéis ver los parámetros k y  para
una onda mecánica en el módulo
“Ondas”.
a
cordáis,  es la frecuencia angular y corresponde al ritmo con el que varía

la fase en función del tiempo en una posición determinada. k es la constante de onda. Su dirección indica la dirección de propagación y su módulo
(que a partir de ahora, y para simplificar, denominaremos simplemente k)
es el análogo de la frecuencia angular pero en el espacio, es decir, corresponde al ritmo con el que varía el desfase en función del espacio.

Sin embargo, aunque son los parámetros k y  los que aparecen en las ecuaciones (1) y (2), en la vida cotidiana es mucho más habitual oír hablar de otros
dos parámetros: la longitud de onda () y la frecuencia (f).
La longitud de onda () es la distancia, a lo largo de la dirección de propagación, entre dos puntos consecutivos que tienen el mismo desfase (por ejem-
 es la letra griega lambda.
plo, la distancia entre dos máximos). Se puede calcular a partir del módulo de
la constante de onda:
Recordad

2
k
(3)
 corresponde a una distancia
y, por tanto, se mide en unidades de longitud (m, mm, μm,
nm, etc.).
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Propagación de ondas electromagnéticas
La frecuencia (f) es el número de ciclos que realiza una onda por unidad de
tiempo. Su relación con la frecuencia angular (), que ya hemos introducido,
también es directa:

f 
2
(4)
Los valores de la longitud de onda () y de la frecuencia (f) y, en consecuencia,
también de la constante de onda (k) y de la frecuencia angular (), están relacionados entre sí mediante el valor de la velocidad de propagación de la onda (v):
v  f 

k
Podéis ver la frecuencia angular en el
módulo “Ondas”.
a
Recordad
f se mide, en el SI, en hercios
(Hz), mientras que  ese mide
en radianes por segundo (rad/s).
(5)
En otras palabras, podéis comprobar que la longitud de onda () y la frecuencia (f), a pesar de poder tomar cualquier valor de manera individual, en conjunto han de cumplir la condición (5). De esta manera, una onda de alta
frecuencia presentará una longitud de onda pequeña, mientras que una onda
de baja frecuencia presentará una longitud de onda grande.
1.1.1. Espectro electromagnético
Anteriormente dedujimos que la velocidad de propagación de una onda electromagnética que se propaga en el vacío es:
1
c 0 0
(6)
donde 0 y 0 son, respectivamente, la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del vacío. Podéis comprobar que el resultado de la expresión anterior da una magnitud bien conocida: la velocidad de la luz en
el vacío (c = 2,998 · 108 m/s).
La relación (5) entre , f y c es aplicable a cualquier onda electromagnética en
el vacío, sea cual sea su frecuencia y longitud de onda. Como el valor de c (velocidad de la luz) es constante, lo que tendremos es que los diferentes valores
para las frecuencias (f) determinarán diferentes valor en la longitud de onda
(), y estas diferencias determinarán si tendremos un tipo de onda u otro. Así,
por ejemplo, los rayos X corresponden a ondas electromagnéticas con una
longitud de onda muy pequeña y, por tanto, una frecuencia muy alta, mientras que las ondas de radio son ondas con una longitud de onda muy grande
y, por tanto, una frecuencia muy baja.
Denominamos espectro electromagnético al conjunto de rangos de
frecuencias posibles de las ondas electromagnéticas.
a
Podéis ver la velocidad de propagación
de una onda en el módulo “Leyes de
Maxwell”.
0 y 0 se leen “mu sub cero” y
“épsilon sub cero”.
Recordad
0 = 8,854 · 1012 C2/Nm2
0 = 4 · 107 N/A2
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Los distintos tipos de ondas electromagnéticas que conocemos de la vida cotidiana no son más que divisiones que se han hecho en el espectro electromagnético en función de la frecuencia (f) o de la longitud de onda ().
En la tabla 1.1 os mostramos los diferentes tipos de ondas electromagnéticas
y las partes del espectro, es decir, los rangos de frecuencias o longitudes de onda, a las que corresponden.
Tabla 1.1. Espectro electromagnético
Región del espectro
Radio
Rango de
longitudes de
onda ()
Rango de
frecuencias (f)
Onda larga
 10 m
 30 MHz
Onda corta
10 cm - 10 m
30 MHz - 3 GHz
Aplicaciones más
habituales
Señales de radio (AM)
Comunicación submarina
Señales de radio (FM)
Señales de TV
Radar
Microondas
1 mm - 10 cm
3 - 300 GHz
Redes sin hilos (WiFi)
Hornos de microondas
Observaciones
Se reflejan en la ionosfera y, por
tanto, pueden viajar largas
distancias. Por ello se utilizan para
comunicar dos puntos lejanos de
la Tierra.
No se reflejan en la ionosfera y,
por tanto, solo se pueden utilizar
para distancias cortas.
Presentan mucha atenuación en la
atmósfera y, por tanto, sólo se
pueden utilizar para distancias
muy cortas.
Termografías
Infrarrojos
700 nm - 1 mm
3 · 1011 - 4 · 1014 Hz
Visión nocturna
Emisión térmica.
Controles remotos
Luz visible
400 - 700 nm
4 · 1014 - 7 · 1014 Hz
Ultravioletas
10 - 400 nm
7 · 1014 - 3 · 1016 Hz
Rayos X
0,01 - 10 nm
3 · 1016 - 3 · 1019 Hz
Rayos 
 1011 m
 3 · 1019 Hz
Instrumentos ópticos
Medicina
Espectrofotometría
Radiografía diagnóstica
Cristalografía
Esterilización
Radioterapia
Radiación visible por el ojo
humano y el de la mayoría de los
seres vivos.
La materia los absorbe muy
fácilmente.
Generados por radiación de
ionización, su longitud de onda
está dentro de la escala de los
átomos y los cristales atómicos.
Generados por interacciones
subatómicas.
Todo lo que hemos explicado hasta aquí se ha hecho teniendo en cuenta que
las ondas se propagan en el vacío. A continuación, estudiaremos qué modificaciones se deben considerar para explicar el comportamiento de las ondas
electromagnéticas en presencia de materia.
Si os acordáis, anteriormente hicimos una división de los materiales en dos
grupos básicos: dieléctricos (o no conductores) y conductores. A continuación
Podéis ver los materiales dieléctricos y
conductores en el módulo “Leyes de
Maxwell”.
a
trataremos estos dos casos por separado.
1.2. Propagación de ondas electromagnéticas armónicas planas en
medios materiales no conductores
De manera análoga a como procedimos anteriormente, comenzaremos el estudio del comportamiento de las ondas electromagnéticas en un medio material con el caso de que se propagan por un medio dieléctrico o no conductor
a
Podéis ver el comportamiento de las
ondas en el módulo “Leyes de Maxwell”.
Podéis ver el índice de refracción en el
módulo “Óptica”.
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Propagación de ondas electromagnéticas
y dejaremos para más adelante el caso de medios conductores. Analizaremos
primero cómo es la velocidad de propagación en un medio material y volveremos a trabajar con el concepto de índice de refracción (n), pero ahora lo veremos aplicado a las ondas electromagnéticas en general.
1.2.1. Velocidad de propagación
Si recordáis, anteriormente os explicamos el efecto de introducir un material
dieléctrico en una región del espacio donde están presentes campos eléctricos
a
Podéis ver el efecto de un material
dieléctrico en presencia de campos en el
módulo “Leyes de Maxwell”.
o magnéticos. Los valores de la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética para el vacío (0 y 0) se sustituyen por sus equivalentes correspondientes al medio en cuestión ( y ).
Esta sustitución es aplicable a todas las expresiones donde aparecen los conceptos de permitividad o permeabilidad y, por tanto, también a la expresión
para la velocidad de propagación de una onda electromagnética (6). Así pues,
podréis encontrar la velocidad de propagación de las ondas en un medio cualquiera si conocéis los valores de la permitividad eléctrica () y la permeabilidad
magnética () correspondientes.
La velocidad de propagación (v) (también denominada velocidad de fa-
 y  son las letras griegas mu y
épsilon, respectivamente.
se) de una onda electromagnética en presencia de un medio material es:
1
v 
(7)
donde  y  son, respectivamente, la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica absolutas del material.
Podéis comprobar que si sustituís, en la expresión (7), los valores de la permitividad eléctrica () y la permeabilidad magnética () por los valores correspondientes al vacío (y ), obtendréis la expresión que ya habíamos visto
para la velocidad de propagación en el vacío (6). Esto quiere decir que en el
fondo esta última es un caso particular de la primera.
Así pues, podéis ver que la velocidad de propagación (v) de las ondas varía de
vyc
En este módulo utilizaremos v
para indicar la velocidad de
propagación de una onda en
un medio cualquiera y limitaremos c para indicar la velocidad
de propagación de la onda en
el vacío (c  2,998 · 10 8 m/s).
manera significativa entre un medio y otro, ya que también lo hacen los valores de  y de. Es más, incluso dentro de un mismo medio, si este no es i. h.
l., la velocidad puede variar entre un punto y otro, ya que tanto la permeabilidad () como la permitividad () dependen de muchos factores, como la densidad o la temperatura.
La velocidad de propagación (v) de una onda electromagnética en un medio es
un parámetro muy importante en el estudio de su comportamiento. Podemos
encontrar multitud de tablas y documentos con los valores de esta velocidad
para la mayoría de los materiales conocidos. No obstante, igual que sucedía con
Recordad
Un medio i. h. l. es un medio:
• Isótropo: sus características
electromagnéticas no dependen de la dirección de
propagación.
• Homogéneo: sus características son las mismas en cualquier punto del medio.
• Lineal: sus características eléctricas y magnéticas dependen
linealmente de los campos
eléctrico y magnético.
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la permeabilidad () y la permitividad (), lo más habitual es encontrar valores
en términos relativos, es decir, comparados con su equivalente para el vacío.
Por ejemplo, encontraréis que la velocidad de propagación de una onda por un
medio es x veces inferior que la que tendría si lo hiciera por el vacío. Aquí entra
en juego el concepto de índice de refracción de un medio.
El concepto de índice de refracción ya lo introdujimos, pero lo volveremos a
explicar en este módulo, incluyendo ahora su relación con los conceptos de
Podéis ver el concepto de índice de
refracción en el módulo “Óptica”.
a
permeabilidad y permitividad.
1.2.2. Índice de refracción
Ya hemos mencionado que resulta muy habitual encontrar las características
eléctricas o magnéticas de un medio en forma relativa, es decir, en comparación con las del vacío. De hecho, el índice de refracción (n) de un medio es
a
Podéis ver las características eléctricas o
magnéticas de un medio en forma
relativa en el subapartado 1.2.1 de este
módulo.
una medidad de la velocidad relativa de una onda electromagnética respecto
a la que tendría en el vacío (c  2,998 · 108 m/s):
n
c
v
(8)
donde v es la velocidad de propagación de la onda en el medio en cuestión y c
es la velocidad de la misma onda en el vacío, que siempre es c  2,998 · 108 m/s.
El índice de refracción (n) de un medio material se define como el cociente entre la velocidad de propagación de una onda electromagnética
en el vacío (c  2,998 · 108 m/s) y la velocidad que tiene en este medio:
n
c
v
(9)
Dado que tanto c como v son magnitudes de velocidad y se miden con
las mismas unidades, el índice de refracción es adimensional (es decir,
no tiene unidades).
El concepto de índice de refracción de un medio ya lo vimos, pero aplicado
sólo a la luz. Ahora podéis comprobar que este concepto se puede aplicar a
cualquier tipo de onda electromagnética.
Podéis desarrollar la expresión (9) y sustituir los valores de las velocidades (c y
v) por sus relaciones con las permeabilidades () y permitividades () respectivas que habéis visto en las ecuaciones (6) y (7). Obtendréis:
n
c

v
1
 0 0
1

(10)
Podéis ver el concepto de índice de
refracción en el módulo “Óptica”.
a
15
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Propagación de ondas electromagnéticas
Si juntáis los términos que se encuentran dentro de la raíz, os quedará:
1
0 0

 
  
n 1
 0 0
0  0

(11)
Si os fijáis bien, los dos cocientes que aparecen dentro de la raíz no son otra
cosa que sus permeabilidad y permitividad relativas, r y r, que ya vimos. Re-
r y r se leen “mu sub erre”
y “épsilon sub erre”.
cordad que eran:


r 
i r 
0
0
(12)
El índice de refracción (n) de un medio cualquiera está relacionado con
la permeabilidad magnética (r) y la permitividad eléctrica (r) relativas
del medio:
n   r  r
(13)
Podéis comprobar que tanto r como r son magnitudes adimensionales (es
decir, no tienen unidades). Por tanto, el resultado de la operación (13) también lo será, tal como ya habíamos visto.
Hasta aquí hemos estudiado la propagación de ondas electromagnéticas en el
vacío y en medios dieléctricos. En ambos casos, hemos supuesto que las ondas
se propagan de manera indefinida, sin atenuación en su amplitud de oscilación. Sin embargo, seguro que habréis observado en la vida cotidiana que hay
objetos que dejan pasar la luz, otros que no y otros que lo hacen de manera
parcial. Decimos que los cuerpos presentan un cierto grado de opacidad, es decir, que hay cuerpos más opacos que otros. Lo mismo se puede aplicar a otros
tipos de ondas electromagnéticas, como las ondas de radio o los rayos X (respecto a estos últimos, sólo es necesario que os imaginéis una radiografía, donde se puede ver que la piel deja pasar “la luz”, los rayos X, mientras que los
huesos son opacos).
Los medios conductores en general presentan una alta opacidad respecto a las
ondas electromagnéticas. A continuación estudiaremos este caso.
1.3. Propagación de ondas electromagnéticas armónicas planas en
medios materiales conductores
El estudio de la propagación de una onda electromagnética en un medio conductor es muy similar al que hemos realizado hasta ahora para el caso del va-
Podéis ver la permeabilidad y la
permitividad relatives en el módulo
“Leyes de Maxwell”.
r  1, n 
a
r
A excepción de los materiales
ferromagnéticos, la mayoría de
los materiales presentan una
permeabilidad magnética relativa muy cercana a 1 (r  1).
Por este motivo, en algunos
ámbitos, como la óptica, encontraréis a menudo la expresión para el índice de
refracción aproximada a:
n  r
16
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
cío de un medio dieléctrico. La diferencia más notable radica en que hemos de
tener en cuenta que la conductividad del material ahora no es insignificante.
La consecuencia principal de encontrarse en un medio material con una conductividad diferente de cero es que la onda electromagnética interacciona con
el material y parte de su energía se consume durante el proceso. Podríamos decir que la onda “se desgasta” a medida que se propaga. Y eso se traduce en una
reducción de su intensidad. Lo veremos a continuación.
1.3.1. Absorción y profundidad de penetración
Un mismo medio material puede ser más o menos opaco en función de su grosor; de hecho, si cortáis un material muy opaco y muy delgado, puede llegar a
ser transparente. Es decir, es como si la onda electromagnética se fuera “desgastando” a medida que se adentra en el medio material. Lo que en realidad
está sucediendo es que la onda electromagnética va cediendo parte de su ener-
Podéis ver también el fenómeno de la
atenuación en el módulo “Óptica”.
a
gía al medio, fenómeno que recibe el nombre de atenuación.
Atención
Para la cuantificación de esta atenuación, podemos redefinir el concepto de
índice de refracción para introducir en él un término que incluya la atenuación de parte de la energía de las ondas (las “pérdidas”). Estos efectos se pueden englobar en un nuevo valor del índice de refracción, que ahora será un
número complejo, que simbolizaremos ñ:
n  n  jk
(14)
La parte real de este índice de refracción complejo (ñ) corresponde al índice de
refracción “normal” (n) que hemos visto hasta ahora. La parte imaginaria (k)
se denomina coeficiente de extinción y explica las “pérdidas” o la reducción en
la amplitud de la onda a medida que se propaga por un medio. Este fenómeno
se denomina atenuación y lo detallaremos a continuación.
No las confundáis. Fijaos en

que tenemos tres “k”, la k ,
vector unitario en la dirección
z, la k correspondiente al número de onda, y la k coeficiente de extinción. Fijaos en que la
primera es un vector, la segunda puede aparecer como vector o módulo y la tercera es un
escalar.
ñ se lee “ene tilde”.
Recordad
Un número complejo z es un
número del tipo z  a  jb,
donde a y b son números
reales y j es la unidad de los
números imaginarios
( j  1 y j2  1).
Cuando se produce atenuación, la intensidad de la onda, I, viene regida por la
expresión siguiente:
I  I0ex
(15)
Podéis ver el índice de refracción en el
subapartado 1.2.2 de este módulo.
Recordad
e  2,718281828459...
donde I0 es la intensidad inicial,  es el coeficiente de atenuación del medio
material y x es la distancia recorida por la onda dentro del medio.
En la figura 2 podéis observar una representación gráfica de la expresión anterior. Podéis comprobar que, a medida que la onda penetra una distancia x den-
 es la letra griega alfa.
a
17
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Propagación de ondas electromagnéticas
tro del medio, su intensidad se va reduciendo de manera exponencial, de
modo que cuanto más grande es el valor del coeficiente de atenuación (), más
rápidamente se atenúa la onda.
Figura 2
Figura 2
Representación gráfica de la reducción de la intensidad de
una onda a causa de la atenuación por parte del medio.
El coeficiente de atenuación () es una característica de cada medio material y
mide la rapidez con la que se reduce la intensidad de una onda electromagnética cuando se propaga por el medio.
No obstante, a menudo resulta muy interesante hablar del concepto inverso a
la atenuación, es decir, de la capacidad de una onda de penetrar dentro de un
medio sin experimentar pérdidas significativas. Así, por ejemplo, en la gráfica
de la figura 2 podéis observar que cuando la onda penetra una distancia correspondiente a cuatro marcas del eje horizontal, la intensidad es un 20% del
valor original (o, lo que es lo mismo, se ha reducido en un 80%). Para un medio con un coeficiente de atenuación () muy grande, esta misma caída se produce en poca distancia y, por tanto, podríamos decir que la onda penetra
menos distancia dentro del medio. Por el contrario, en un medio con un coeficiente  muy pequeño sucede todo lo contrario: la onda recorre mucha más
distancia antes de reducirse en un mismo factor.
Así pues, ya hemos visto, desde el punto de vista cualitativo, que existe un
concepto de profundidad de penetración, es decir, una distancia que puede recorrer una onda dentro de un medio antes de atenuarse un cierto factor. Sin
embargo, desde el punto de vista cuantitativo, la determinación exacta de esta
distancia varía según qué valor tomemos como factor de reducción de referencia. Por ejemplo, en la figura 2 no es lo mismo calcular la distancia recorrida
para una reducción del 50% que la distancia para una reducción del 80%.
Como este valor de referencia es arbitrario, hay que definir un parámetro estándar para poder cuantificar esta distancia de penetración y permitir la comparación entre medios diferentes. Este parámetro se denomina profundidad de
penetración () y se define como el valor inverso del coeficiente de atenuación:

1

(16)
 es la letra griega delta minúscula.
18
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Propagación de ondas electromagnéticas
La profundidad de penetración () es un parámetro que depende tanto de las
características del material como de la onda que lo atraviesa. Su valor es:

1
f
(17)
Recordad
  3,141592658979...
donde encontramos los parámetros siguientes:
• La conductividad del medio (). Cuanto mejor conductor es el medio,
menos podrá penetrar en él una cierta onda electromagnética. En un conductor ideal o perfecto (  0), la onda sería completamente incapaz de penetrar. Por el contrario, en un medio dieléctrico, donde la conductividad
es muy pequeña y se puede aproximar a cero (  0), la onda podrá penetrar
de manera casi indefinida. El caso extremo sería el vacío (  0), donde la
onda no experimentaría ningún tipo de atenuación y, por tanto, la profun-
Recordad
La conductividad eléctrica 
es la “facilidad” con la que las
cargas eléctricas pueden circular por un cierto material.
 correspondería a un
conductor perfecto, mientras
que 0 correspondería a un
aislante perfecto.
didad de penetración () sería infinita.
• La permeabilidad magnética del medio (). Cuanto más magnético es el
medio, menor es la profundidad de penetración (). Así, por ejemplo, una
misma onda se atenuará de manera mucho más rápida en un material ferromagnético que en un material no ferromagnético (suponiendo que el
resto de los parámetros son iguales).
Recordad
Los materiales ferromagnéticos
presentan en general una permeabilidad magnética muy
grande ().
• La frecuencia de la onda que se propaga (f). A diferencia de los dos factores anteriores, que dependen de las características del medio, este tercer
factor depende de las características de la onda que se propaga. Como podéis comprobar a partir de la expresión (17), cuanto más alta es la frecuencia, menor es la profundidad de penetración (). Por tanto, las ondas de
baja frecuencia tendrán una atenuación más pequeña y una penetración
mucho más grande en el medio. Por el contrario, en las ondas de alta frecuencia, el valor de  puede reducirse de manera significativa.
Podéis comprobar, a partir de la expresión (15), que la profundidad de penetración () corresponde a la distancia que ha de recorrer la onda para que su
intensidad disminuya un factor e.
La reducción de la intensidad de una onda electromagnética cuando
esta se propaga por un medio material se denomina atenuación. La intensidad de la onda (I) a una distancia (x) al interior del medio es:
I  I0e

x

(18)
donde I0 es la intensidad inicial y  es la profundidad de penetración,
que es igual a:

1
f
(19)
donde  y  son la permeabilidad magnética y la conductividad eléctrica del medio material, respectivamente, y f es la frecuencia de la onda.
Recordad
e  2,718281828459...
19
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Propagación de ondas electromagnéticas
Ejemplo de absorción y profundidad de penetración
El agua de mar presenta una conductividad aproximadamente mil veces mayor que la del
agua corriente, a causa de la elevada concentración de sales que contiene. Esta alta conductividad dificulta en gran medida la comunicación con los submarinos.
La intensidad (I) de una onda electromagnética que llega a un receptor sumergido en el
agua disminuye exponencialmente según la ecuación (18):
I  I 0e

x

donde  es la profundidad de penetración, un parámetro que disminuye con el valor de
la frecuencia de la onda transmitida, según la ecuación (19):

1
f
Si sabemos que para una frecuencia f = 10 kHz, la profundidad de penetración es  = 2,25
m, mientras que para una frecuencia 100 veces más grande (f = 1 MHz) tenemos que  =
0,22 m, determinad:
a) La intensidad de una onda I (expresada en % respecto a la intensidad inicial I0) a una
profundidad de 1 m, para las dos frecuencias anteriores.
b) La profundidad a la que ha de llegar la segunda onda (f = 10 kHz) para experimentar
la misma atenuación que la primera (f = 1 MHz).
c) Repetid el apartado anterior para dos frecuencias cualesquiera.
Solución
a) Para determinar la intensidad a una cierta profundidad, hay que conocer o bien el valor del coeficiente de atenuación () o bien su valor inverso, la profundidad de penetración (). En este ejemplo, conocemos el segundo.
Como solo necesitamos determinar el valor de la intensidad en términos relativos, es decir, queremos saber el porcentaje respecto al valor total, hemos de calcular el cociente entre las intensidades final e inicial. Lo encontraremos a partir de la expresión (18):
I  I0e

x
  I
I0
e

x

(20)
Por tanto, sólo nos queda sustituir el valor de la distancia recorrida (x  1 m) y la profundidad de penetración correspondiente:
Para la onda de 10 kHz ( = 2,25 m): I
Para la onda de 1 MHz ( = 0,22 m): I
I0
I0
e
e


x

x

e
e


1
2,25
1
0,22
 0,064  6,4 %
 0,011  1,1 %
b) La intensidad relativa de la primera onda después de haber recorrido una distancia x1
es, según la expresión (20):
x1

I1
 e 1
I0
(21)
Para la segunda onda, la intensidad después de haber recorrido una distancia x2 es:
x2

I2
 e 2
I0
(22)
20
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Propagación de ondas electromagnéticas
Como hemos de comparar las distancias recorridas por cada una de las ondas cuando estas han experimentado exactamente la misma reducción en la intensidad, hay que igualar las expresiones (21) y (22):

e
x1
1
e

x2
2
(23)
Podemos igualar directamente los exponentes, ya que a los dos lados está la misma base:

x1
x
 2
1
2
(24)
Si separamos las distancias recorridas (x1 y x2) a un lado y las profundidades de penetración ( y ) al otro, quedará:
x2 2

x1 1
(25)
Y, finalmente, sustituiremos los valores de las profundidades de penetración correspondientes ( y ):
x2 2,25

 10 veces
x1 0,22
Es decir, la onda con f = 10 kHz ha de recorrer una distancia 10 veces superior que la de
f = 1 MHz para experimentar la misma atenuación.
c) Para repetir el apartado anterior para el caso de dos frecuencias cualesquiera, hay que
proceder de la misma manera. Por tanto, partiremos de la ecuación (25) y continuaremos
a partir de ella. Utilizaremos el subíndice 1 para la primera onda y el 2 para la segunda:
x2 2

x1 1
(26)
Ahora, hemos de sustituir los valores de  y  por las expresiones generales de la profundidad de penetración (19):
x2 2


x1 1
1
f2 
1
f1
(27)
Podemos simplificar:
1
f
x2
 2 
1
x1
f1
f1
f2

f1
f2
(28)
Por tanto, la relación entre las distancias recorridas por dos ondas de frecuencia diferente
para que experimenten la misma atenuación será:
x2

x1
f1
f2
(29)
Podéis comprobar que la distancia recorrida disminuye con la frecuencia, ya que la proporcionalidad es inversa: cuanto mayor sea la frecuencia 2 respecto a la 1, más pequeña
será la longitud de penetración. Así pues, para una buena recepción submarina, es preferible utilizar ondas de baja frecuencia, ya que presentan una profundidad de penetración mayor.
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21
1.4. ¿Qué hemos aprendido?
En este apartado hemos visto cómo se propaga una onda electromagnética
tanto por el vacío como por un medio material. También hemos visto que este
tipo de ondas siempre son ondas transversales (podéis recordar la figura 1). Es
decir, que las direcciones de oscilación o de “vibración” son perpendiculares
a la dirección de propagación.
Sin embargo, hasta ahora no hemos entrado en detalle sobre cómo son estas
direcciones de oscilación. Pensad que, para una dirección determinada, existen infinitas direcciones perpendiculares. En el siguiente apartado explicaremos este aspecto.
Propagación de ondas electromagnéticas
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22
Propagación de ondas electromagnéticas
2. Polarización
Anteriormente vimos que en una onda electromagnética tanto el campo eléctrico como el campo magnético son perpendiculares a la dirección de propa-
a
Podéis ver la perpendicularidad entre el
campo eléctrico y el campo magnético
en el módulo “Leyes de Maxwell”.
gación y también perpendiculares entre sí (podéis recordar la figura 1). Pero la
pregunta que nos podemos hacer es: ¿quiere esto decir que si conocemos la dirección de propagación conoceremos por fuerza la dirección de los campos
eléctrico y magnético?
Para responder a esta pregunta, podéis observar la figura 3. Fijaos en que todas


las combinaciones de vectores E y B que hemos dibujado satisfacen las dos
condiciones:
•
•


E y B son perpendiculares entre sí,


E y B son perpendiculares a la dirección de propagación.
Figura 3
Figura 3
Representación gráfica de la
polarización lineal.

Todos
los pares de vectores E

y B son perpendiculares entre
sí y perpendiculares a la dirección de propagación.
Por tanto, dada una dirección de propagación específica, existen infinitas configuraciones posibles para los campos eléctrico y magnético. En otras palabras,
los campos pueden “estar puestos” de muchas maneras.
En este apartado estudiaremos las diferentes configuraciones de campo eléctrico y magnético que podemos encontrar en una onda electromagnética. Es
Observación
No debéis confundir la polarización de una onda electromagnética con la polarización
eléctrica en un dieléctrico. A
pesar de tener nombres idénticos, son conceptos diferentes.
lo que denominamos polarización de una onda.
A continuación explicaremos este concepto de polarización y más adelante estudiaremos los tipos que hay. En concreto, limitaremos el análisis a los dos
más importantes: la polarización lineal y la polarización circular.
2.1. Concepto de polarización

Como ya hemos dicho, en una onda electromagnética los campos eléctrico E

y magnético B “vibran” siempre en direcciones perpendiculares a la dirección
Podéis ver la polarización en el
módulo “Ondas”. Podéis ver la
polarización eléctrica en un
dieléctrico en el apartado 1 del
módulo “Leyes de Maxwell”.
a
CC-BY-SA • PID_00159139
23
Propagación de ondas electromagnéticas
de propagación y perpendicular entre ellos. También hemos visto que existen
infinitas orientaciones posibles que satisfacen estas dos condiciones. La pregunta que nos hacemos ahora es: ¿los campos mantienen la misma dirección
a medida que una onda electromagnética se propaga?
La respuesta es que depende del caso. Por ejemplo:
• Podemos encontrarnos con que, efectivamente, los campos mantengan
(oscilen en) la misma dirección todo el tiempo. Este es el caso de la polarización lineal, que veremos más adelante.
a
Podéis ver la polarización lineal en el
subapartado 2.2 de este módulo.
• Pero también podría suceder que las direcciones de los campos eléctrico y
magnético no se mantuvieran constantes, sino que fueran variando. Eso sí,
siempre lo harían respecto a un plano perpendicular a la dirección de propagación como el de la figura 3, ya que en caso contrario ya no sería una
onda transversal. A continuación veremos que este tipo de configuración
corresponde a las polarizaciones circular o elíptica (esta última la citaremos
Podéis ver la polarización circular en el
subapartado 2.3 de este módulo.
a
pero no la estudiaremos).
Por otra parte, no podemos olvidar que buena parte de las ondas electromagnéticas que se crean de manera natural no se pueden englobar en ninguno de
los casos anteriores. Esto se debe a que estas ondas electromagnéticas son, en
realidad, superposiciones de muchas ondas producidas por un número muy
grande de fuentes diferentes y dispuestas de manera aleatoria (por ejemplo, los
átomos de una bombilla de incandescencia). En consecuencia, estas ondas están polarizadas en todas direcciones, aunque lo que decimos es que se trata de
ondas “no polarizadas”.
El conocimiento del concepto de polarización es vital y necesario para entender
bien otros conceptos que veremos más adelante. Por ejemplo, en una interfaz
de cambio de medio, dos ondas electromagnéticas aparentemente similares se
pueden comportar de manera diferente en función de su polarización.
A continuación, veremos los dos tipos de polarización más importantes: la polarización lineal y la circular. Para simplificar el texto, en el estudio nos referire
mos siempre a las direcciones solo del campo eléctrico ( E ) y obviaremos las del

campo magnético ( B ). Este hecho no afecta al resultado, ya que, como ya hemos visto, el campo magnético siempre tiene dirección perpendicular al campo
eléctrico y a la dirección de propagación. Por tanto, si conocemos las características de uno de los dos y la dirección de propagación, tendremos las del otro.
2.2. Polarización lineal
El primer estado de polarización que estudiaremos será la polarización lineal.
Decimos que una onda electromagnética presenta este estado de polarización
Recordad

Los campos eléctrico E

y
magnético B siempre son perpendiculares entre ellos.
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24
Propagación de ondas electromagnéticas

si su campo eléctrico ( E ) siempre oscila o “vibra” en la misma dirección a media que la onda se propaga.
En la figura 4a podéis observar un ejemplo de una onda electromagnética con
polarización lineal. Podéis comprobar que si observamos la onda “desde delante”, es decir, si nos ubicamos en un punto en el camino de propagación de

la onda, lo que veremos es que los vectores de los campos eléctrico ( E ) y mag
nético ( B ) trazan siempre una línea recta. De aquí viene el nombre de polarización lineal.
Figura 4
Figura 4
Representación gráfica de la
polarización lineal.
¡Cuidado! Solo hemos dibujado la proyección del campo
eléctrico E. Recordad que el
campo magnético B es perpendicular.
En la figura 4b mostramos también una onda electromagnética con polarización lineal pero ahora hemos hecho que la dirección del campo no coincida
con ninguno de los ejes de coordenadas. De esta manera, podéis comprobar
que sus componentes respecto a estas direcciones “dibujan” ambas una forma
sinusoidal y, además, se encuentran en fase entre sí. En otras palabras, para
una onda que se propaga en la dirección z, cuando el campo es máximo en el
eje x también lo es en el eje y, y lo mismo sucede para los mínimos. Este último
punto es importante; implica que podemos considerar una onda polarizada linealmente en una cierta dirección como una suma de dos (o más) ondas polarizadas de forma lineal en direcciones diferentes, siempre y cuando estas se
encuentren en fase. Utilizaremos esta propiedad más adelante.
Figura 5
Figura 5
Descomposición de un campo
eléctrico polarizado linealmente en dos componentes independientes también
polarizadas de forma lineal.
25
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
En la figura 5 os mostramos un ejemplo de un campo eléctrico que está polarizado linealmente, es decir, que oscila en una misma dirección, marcado por
el ángulo  respecto al eje x. Podéis comprobar que este campo se puede repre
sentar como una composición de una componente que “vibra” en el eje x ( Ex )

y de otra que lo hace en el eje y ( Ey ).
Un ejemplo donde está involucrada la polarización lineal lo podéis encontrar
en la luz solar que se refleja sobre la superficie del agua, que después de reflejarse queda, en buena parte, polarizada linealmente. Si observamos el agua
con una cámara o unas gafas que dispongan de un filtro que impida el paso
de ondas con esta polarización, no veremos toda esta luz solar reflejada en el
agua. En consecuencia, el agua se verá mucho más transparente que cuando
la observamos a simple vista (de hecho, muchas fotografías de aguas supuestamente cristalinas están hechas con filtros de este tipo, precisamente para eliminar buena parte de los reflejos de la luz solar).
Otro aspecto que subraya la importancia de la polarización lineal es el hecho
de que cuando las ondas inciden sobre una interfaz entre dos medio materiales, la onda reflejada está polarizada linealmente de manera parcial o incluso
total. Esto quiere decir que buena parte de las ondas que detectamos (la luz
misma, por ejemplo), como en general son el resultado de múltiples reflexiones sobre los objetos que existen alrededor, estarán a menudo polarizadas de
manera lineal. Por este motivo muchas gafas de sol se construyen con vidrios
que incluyen filtros para luz polarizada, ya que de esta manera se aumenta la
eficacia sobre lo que interesa filtrar (por ejemplo, la luz reflejada sobre la nieve) pero no sobre el resto.
Decimos que una onda electromagnética presenta polarización lineal
si el campo eléctrico (o magnético) siempre oscila en una misma dirección.
Esto es equivalente a decir que, para una onda que se propaga a lo largo
de la dirección z, las componentes del campo eléctrico (o magnético) en
las direcciones x e y se encuentran en fase entre ellas.

 j kz t 

E  Exi  Ey j e 



 j kz t 

B  Bxi  By j e 


(30)
Una vez introducida la polarización lineal, en la que el campo eléctrico siempre oscila en una misma dirección, pasaremos a estudiar un caso un poco más
complejo: la polarización circular.
26
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Propagación de ondas electromagnéticas
2.3. Polarización circular
Como ya hemos mencionado, decimos que una onda electromagnética presenta polarización circular si los campos eléctrico o magnético no oscilan
Podéis ver el concepto de polarización
en el subapartado 2.1 de este módulo.
a
siempre en la misma dirección a medida que la onda se propaga, y además varían de una determinada manera, que veremos a continuación.
En la figura 6a podéis visualizar un ejemplo de una onda con polarización circular. En el primer esquema podéis comprobar que, para una onda que se propaga a lo largo del eje z, las componentes del campo eléctrico en las


direcciones x e y ( Ex y Ey ) están desfasadas un ángulo /2. En otras pala

bras, cuando la componente Ex es máxima, la componente Ey es mínima, y
al revés. En el segundo esquema, las flechas corresponden a la composición de
estas dos componentes desfasadas.
Figura 6
Figura 6
Representación gráfica de la
polarización circular.
¡Cuidado! Solo hemos representado las dos componentes
del campo eléctrico y no hemos representado el campo
magnético.
Por otra parte, la figura 6b muestra el dibujo imaginario que traza el vector del
campo eléctrico. Como podéis comprobar, la proyección sobre un plano perpendicular a la dirección de propagación (el plano de la parte inferior de la figura), corresponde a una circunferencia y de aquí proviene la denominación
polarización circular.
Decimos que una onda electromagnética presenta polarización circular si la proyección del campo eléctrico (o magnético) respecto a un plano perpendicular a la dirección de propagación “dibuja” un círculo.
Eso es equivalente a decir que, para una onda que se propaga a lo largo
de la dirección z, las componentes del campo eléctrico (o magnético) en
las direcciones x e y se encuentran desfasadas un ángulo /2:


 j  kz t   
j kz t 
2
E  Ex i e 
 Ey j e
 j kz t 
 j  kz t   

2
B  Bxi e 
 By j e
(31)
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2.4. ¿Qué hemos aprendido?
En este apartado hemos estudiado el concepto de polarización de las ondas
electromagnéticas. Este concepto detalla cómo “están puestos” los campos
eléctrico y magnético respecto a la dirección de propagación de la onda.
Hemos estudiado los dos tipos de polarización más comunes: la polarización
lineal y la polarización circular.
Existe un tercer tipo de polarización que denominamos polarización elíptica.
No entraremos en detalle sobre este tipo de polarización porque queda fuera
de los objetivos de la asignatura, pero sí diremos que se trata de un caso general que engloba las dos polarizaciones anteriores.
Propagación de ondas electromagnéticas
Recursos en Internet
Más información sobre polarización (en inglés):
http://hyperphysics.phyastr.gsu.edu/hbase/phyopt/
polclas.html#c1
Podéis ver la polarización lineal en el
subapartado 2.2 de este módulo.
Podéis ver la polarización circular en el
subapartado 2.3 de este módulo.
a
CC-BY-SA • PID_00159139
28
Propagación de ondas electromagnéticas
3. Reflexión y transmisión de ondas planas en un
cambio de medio
Hasta aquí hemos visto cómo se propagan las ondas electromagnéticas por un
único medio. Sin embargo, una onda electromagnética que se propaga por un
medio material generalmente entra en él a través de una superficie de separación que lo separa de otro medio (por ejemplo, el aire o el vacío). Es en estas
interfaces de separación donde se producen los fenómenos más interesantes
desde el punto de vista del comportamiento de las ondas electromagnéticas.
Ya os mostramos un pequeño avance de estos fenómenos cuando os describimos el comportamiento de la luz al pasar de un medio a otro con un índice de
refracción diferente. No obstante, nos limitamos a describirlo y no explicamos
el porqué de estos comportamientos. Esto es lo que haremos en este apartado.
En el primer apartado retomaremos las ecuaciones de Maxwell que os hemos
introducido en el módulo anterior y las estudiaremos en el caso concreto que
necesitamos: la frontera entre dos medios. Más adelante aplicaremos este resultado para analizar el comportamiento de una onda electromagnética al incidir sobre una interfaz.
3.1. Condiciones de frontera
Las ondas electromagnéticas, al pasar de un medio a otro, deben satisfacer una
serie de condiciones. Estas condiciones son aplicables a los campos eléctrico y
magnético en toda la región cercana a la zona de separación de los dos medios,
que denominaremos a partir de ahora zona interfacial o interfaz de cambio de
medio y se deducen a partir de las ecuaciones de Maxwell. Para facilitar el estudio
de estas condiciones haremos el análisis de las componentes normales (perpendiculares a la interfaz) y tangenciales (paralelas a la interfaz) por separado. Para
entender mejor cómo son estas componentes, podéis observar la figura 7.
En el esquema podéis visualizar una interfaz entre dos medios materiales y las

respectivas componentes del campo eléctrico ( E ) a ambos lados:

• En el medio 1, el campo eléctrico es E1 , y sus componentes normal y tan

gencial a la superficie son E1n y E1t , respectivamente.



• En el medio 2, el campo total es E2 y las componentes son E2n y E2t .
Para simplificar la imagen, sólo hemos incluido las componentes del campo
eléctrico, pero el mismo procedimiento es aplicable también al campo magné
tico B .
a
Podéis ver un avance de la reflexión en el
módulo “Óptica”.
CC-BY-SA • PID_00159139
29
Figura 7
Propagación de ondas electromagnéticas
Figura 7
Representación gráfica de las
componentes normal y tangencial del campo eléctrico en
la zona interfacial.
A continuación, estudiaremos por separado las condiciones que deben satisfacer el campo eléctrico, por una parte, y el campo magnético, por la otra, en la
zona interfacial entre dos medios cualesquiera. Como ya hemos dicho, para
cada estudio analizaremos por separado las componentes normales y las componentes tangenciales a la superficie de contacto. Comenzaremos primero
con el análisis de las del campo eléctrico y, después, haremos lo mismo con las
del campo magnético.
3.1.1. Condiciones de frontera para el campo eléctrico
Las componentes normales (o perpendiculares) y tangenciales (o paralelas) a
la superficie de separación, del campo eléctrico, deben satisfacer, en la zona
interfacial entre dos medios cualesquiera, una serie de condiciones. Para encontrarlas procederemos con el razonamiento siguiente:
Suponed en primer lugar que no existe ninguna carga eléctrica en la zona interfacial. Esto quiere decir que el número de líneas de campo que entran en la
interfaz por un lado es el mismo que las que salen por el otro. Es decir, el campo eléctrico es el mismo en los dos lados.
Ahora suponed que sí que existen cargas en la zona interfacial. Bajo este supuesto, sí que habrá generación o destrucción de líneas de campo y, por tanto,
el campo eléctrico no será el mismo en ambos lados. Es decir, habrá una discontinuidad en el valor del campo eléctrico. En la figura 8 podéis ver un ejemplo simplificado con una sola carga puntual (en realidad, hay carga en toda la
superficie de separación, pero dibujamos sólo una porque así se ve mejor la
idea que queremos transmitir).
En el dibujo, fijaos en la descomposición del campo eléctrico en componentes
normales y tangenciales (líneas discontinuas) a la superficie de separación de
los dos medios. Podéis comprobar que las componentes tangenciales o parale 
las a la interfaz ( E1t i E2t ) son idénticas en los dos lados, mientras que las com 
ponentes normales ( E1n iE2 n ) presentan una cierta discontinuidad (un
“salto”) en la magnitud, ya que en un lado apuntan en un sentido y en el otro
apuntan al otro.
30
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
La determinación del valor exacto de este “salto” en el valor del campo no la
haremos en detalle. Sí que os diremos que se puede deducir a partir de la ley
a
Podéis ver la ley de Gauss para el campo
electrostático en el módulo “Leyes de
Maxwell”.
de Gauss para el campo electrostático, que ya vimos.
Figura 8
Figura 8
Representación gráfica de las
componentes normal y tangencial del campo eléctrico en
presencia de una carga eléctrica en la interfaz entre dos medios
Las componentes normales (o perpendiculares) del campo eléctrico en
cada uno de los dos lados de una interfaz entre dos medios materiales
(32)
donde  y  son las permitividades eléctricas de los dos medios y  es
la densidad superficial de carga en aquella región de la zona interfacial.
Esta misma expresión se puede reescribir en términos del campo de desplazamiento eléctrico D:
D1n  D2n  
(33)
Por lo que respecta a la componente tangencial, ya hemos dicho que es idéntica en los dos lados de la interfaz.
Las componentes tangenciales (o paralelas) del campo eléctrico a la
zona interfacial entre dos medios materiales (E1t y E2t) son idénticas en
las dos caras de la interfaz:
E1t  E2t

vectorial E
(E1n y E2n) deben cumplir la condición siguiente:
E1n  E2n  
Para facilitar la claridad de las
expresiones, utilizaremos
simplemente E para indicar el
módulo de una magnitud
(34)
Una vez determinadas las condiciones que debe satisfacer el campo eléctrico
en una zona interfacial, procedemos a estudiar las del campo magnético.
Recordad

El campo eléctrico ( E ) y el
campo de desplazamiento

eléctrico ( D ) están relacionados por la permitividad del medio material (), según la
expresión siguiente, si el material es isótropo, homogéneo y
lineal:


D  E
31
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
3.1.2. Condiciones de frontera para el campo magnético
Para determinar las condiciones correspondientes al campo magnético, se
puede aplicar el mismo razonamiento que hemos aplicado para el campo eléctrico en el apartado anterior. Sin embargo, si os acordáis, vimos que no existen
“cargas magnéticas” y, por tanto, las líneas de campo magnético no se pueden
generar ni destruir en ningún lugar.
En la figura 9 podéis observar un ejemplo de un campo magnético creado por
una corriente eléctrica que circula por la interfaz entre dos medios. La dirección de la corriente eléctrica es perpendicular al plano del papel y el símbolo
Recordad
En un diagrama, para representar vectores o direcciones
perpendiculares al plano del
papel se utiliza la notación siguiente:
 o  para indicar que el sentido es hacia dentro (del lector
hacia el papel),
 o ● para indicar que el sentido es hacia fuera (del papel
hacia al lector).
 indica que el sentido de la corriente es hacia dentro. Hemos mostrado sólo
un caso muy simplificado con un único “hilo” de corriente puntual; en realidad, hay corriente en toda la superficie, pero dibujaremos sólo una porque así
Podéis ver el razonamiento de por qué
no existen “cargas magnéticas” en el
módulo “Leyes de Maxwell”.
a
se ve mejor la idea que queremos transmitir. Podríamos llegar a la misma conclusión si la corriente fluyera por toda la interfaz.
Figura 9
Figura 9
Representación gráfica de las
componentes normal y tangencial del campo magnético
en presencia de una corriente
eléctrica en la interfaz entre
dos medios.
En el dibujo podéis comprobar que la discontinuidad (el “salto”) en la magnitud
del campo magnético se produce solo en la componente tangencial, mientras que
la componente normal se mantiene igual en los dos lados de la interfaz.
Las componentes normales (o perpendiculares) del campo magnético
en la zona interfacial entre dos medios materiales (B1n y B2n) es idéntica
en los dos lados:
B1n  B2n
(35)
La determinación de la expresión exacta del “salto” en la componente tangencial en la superficie de separación no la explicaremos en detalle, pero sí que
avanzaremos que se puede deducir a partir de la ley de inducción de Faraday
y de la ley de Ampère-Maxwell, que ya os explicamos.
Podéis ver la ley de Faraday y la ley de
Ampère-Maxwell en el módulo “Leyes
de Maxwell”.
a
32
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
La diferencia entre las componentes tangenciales (o paralelas) de los campos magnéticos en cada uno de los lados de una interfaz entre dos medios
materiales (B1t y B2t) es proporcional a la componente perpendicular de la
densidad superficial de corriente en aquella región de la interfaz:
B1t B2t

 j
1
2
Densidad de corriente
En la figura 9 habéis visto un
ejemplo de una densidad de
corriente perpendicular a la
componente tangencial (j).
(36)
donde 1 y 2 son las respectivas permeabilidades magnéticas y j es la
densidad de corriente que circula por la interfaz. Esta misma expresión
se puede reescribir en términos de la intensidad de campo magnético H:
H1t  H2t  j
(37)
Recordad

La densidad de corriente j tiene el mismo papel que la densidad de carga en
el caso de las condiciones de frontera para el campo eléctrico. Sin embargo, fijaos en el subíndice . Este símbolo quiere decir “perpendicular” y aquí se utiliza para indicar que solo hay que tener en cuenta la componente de la
corriente eléctrica perpendicular a la dirección que se ha tomado como componente tangencial.
Este matiz es necesario porque, a pesar de que solo existe una única dirección
normal en la interfaz, hay infinitas direcciones que se pueden considerar
como tangenciales o paralelas. Imaginaos, por ejemplo, que el plano del papel
que estáis leyendo corresponde a una interfaz entre dos medios materiales.
Cualquier raya que dibujéis en ella seguirá una línea paralela a este plano y,
por tanto, se podrá considerar como componente tangencial.
3.1.3. Visión global y casos particulares
Ahora que ya hemos visto cómo son las condiciones que deben satisfacer tanto el campo eléctrico como el magnético, las visualizaremos en conjunto en la
tabla 3.1.
Tabla 3.1
Campo eléctrico
Componentes
normales
Componentes
tangenciales
1E1n  2E2n  
D1n  D2n  
E1t  E 2t
Campo magnético
B1n  B2n
B1t B2t

 j
1 2
H1t  H2t  j
Hemos optado por mostrar algunos elementos de la tabla 3.1 de las dos maneras posibles. El motivo es que, a pesar de que en este texto utilizaremos la pri

mera forma (es decir, sólo en función de E y B ), es muy habitual encontrar
en muchos textos las condiciones escritas de la segunda forma (es decir, en

función de los campos de desplazamiento eléctrico D y de la intensidad de

campo magnético H ).
El campo magnético ( B ) y la
intensidad
de campo magnéti
co ( H ) están relacionados por
la permeabilidad del medio
material (), según la expresión siguiente:

 B
H

33
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Propagación de ondas electromagnéticas
Resulta interesante estudiar las condiciones de continuidad de la tabla para un
caso particular: cuando no hay ninguna carga ( 0) ni corriente (j  0) sobre
la interfaz. Esta situación es muy habitual y, dado que las expresiones se simplifican de manera notable, vale la pena analizarla.
Las condiciones de continuidad para interfaces donde no hay ninguna carga
( 0) ni ninguna corriente eléctrica (j  0) son:
Tabla 3.2
Componentes
normales
Campo eléctrico
Campo magnético
1E1n  2E2n
D1n  D2n
B1n  B2n
Componentes
tangenciales
E1t  E2t
B1t B2t

1  2
H1t  H2t
Una vez conocidas las condiciones que deben satisfacer los campos eléctrico y
magnético en una zona interfacial, y que son consecuencia directa del cumplimiento de las leyes de Maxwell, pasaremos a aplicarlas en el estudio del
comportamiento de las ondas electromagnéticas cuando se encuentran con
una interfaz de cambio de medio.
3.2. Reflexión y transmisión a la interfaz entre dos medios
Cuando una onda electromagnética incide en una superficie de cambio de medio, su comportamiento no será aleatorio, sino que vendrá determinado por
las condiciones de frontera que os acabamos de introducir.
a
Podéis ver las condiciones de frontera en
el subapartado 3.1 de este módulo.
Anteriormente vimos que el comportamiento de la luz cuando incide sobre
una superficie de cambio de medio se rige por unas leyes determinadas. A continuación, deduciremos estas mismas leyes a partir de estas condiciones de
frontera y, de esta manera, podremos comprobar que se pueden aplicar a cualquier tipo de onda electromagnética.
En primer lugar, haremos una serie de suposiciones que nos simplificarán la
deducción. Son las que enunciamos a continuación.
1) La zona interfacial se puede considerar como un único plano infinito, es decir, como una zona suficientemente delgada, infinitamente extensa y completamente plana.
2) En la zona interfacial no hay ninguna carga eléctrica (  0) ni ninguna corriente eléctrica (j  0). Esto quiere decir que se pueden aplicar
las condiciones de frontera de la tabla 3.2.
3) Los dos lados de la zona interfacial son suficientemente extensos
como para negligir las posibles reflexiones múltiples que se pudieran
producir a causa de la presencia del otro extremo.
a
Podéis ver el comportamiento de la luz
al cambiar de medio en el módulo
“Óptica”.
34
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
4) Los medios de los dos lados son i. h. l. (isótropos, homogéneos y lineales) y no magnéticos.
5) La onda incidente es una onda armónica plana y está polarizada linealmente.
Ninguna de las suposiciones anteriores afecta de manera significativa al resultado final y las pocas modificaciones que introducen quedan fuera del objetivo de este módulo.
Recordad
Un medio i. h. l. es un medio:
• Isótropo: sus características
electromagnéticas no dependen de la dirección de
propagación.
• Homogéneo: sus características son las mismas en
cualquier punto del medio.
• Lineal: sus características
eléctricas y magnéticas dependen linealmente de los
campos eléctrico y magnético.
Una vez consideradas estas simplificaciones, veamos qué sucede cuando una
onda electromagnética incide sobre la interfaz. La experiencia cotidiana nos
dice que parte de la onda se reflejará y parte se transmitirá hacia el segundo
medio. Estudiaremos las características tanto de la onda reflejada como de la
onda transmitida. En ambos casos podréis comprobar que llegaremos al mismo resultado que encontramos anteriormente.
a
Podéis ver las características de las ondas
reflejadas y de las ondas transmitidas en
el módulo “Óptica”.
3.2.1. Deducción de las leyes de reflexión y refracción de la óptica
para cualquier onda electromagnética
Como ya hemos dicho, cuando una onda electromagnética incide sobre una
interfaz de cambio de medio, una parte se refleja y no llega a penetrar en el
segundo medio, mientras que la otra parte atraviesa la interfaz y continúa propagándose por el segundo medio. A continuación, estudiaremos las características de estas dos ondas.
Para simplificar, trabajaremos solo con el campo eléctrico. Recordad que la dirección del campo magnético se puede determinar directamente a partir de la
del campo eléctrico.
a
Recordad

Los campos
eléctrico E y mag
nético ( B ) siempre son perpendiculares entre sí.
Comenzamos por escribir las expresiones de los campos eléctricos correspondientes a las ondas incidente (38), reflejada (39) y transmitida (40). Como ya
hemos dicho, estamos suponiendo que se trata de ondas armónicas planas con
polarización lineal:


 j k 
Ei  E0ie i

r it

(38)
 
j kr · r r t




(39)
Er  E0 r e
 

 j k · r t t 
Et  E0t e t
(40)
 




donde E0i , E0r y E0t son las amplitudes, ki , kr y kt son las constantes de
onda y i, r y t son las frecuencias angulares de las ondas incidente, reflejada y transmitida, respectivamente. Por tanto, fijaos en que el subíndice i quiere decir “incidente”, el subíndice r, “reflejada” y el subíndice t, “transmitida”.
En la figura 10 podéis visualizar un esquema con las ondas incidente, reflejada
y transmitida.
Recordad
 
k  r  k x x  ky y  k z z
CC-BY-SA • PID_00159139
35
Propagación de ondas electromagnéticas
En el esquema de la figura podéis identificar los elementos siguientes:
• Plano de la interfaz: plano que contiene la interfaz de separación entre los
dos medios. En el dibujo, corresponde al plano xz.
• Plano de incidencia: más adelante veremos que las ondas incidente, reflejada y transmitida se propagan sobre un mismo plano, este es el plano de
incidencia. Se trata de un plano perpendicular a la interfaz. En el dibujo,
corresponde al plano xy.
• Ángulos de incidencia (i), de reflexión (r) y de transmisión (t): ángulos
que forman las direcciones de propagación de las ondas incidente, reflejada y
 es la letra griega theta minúscula
(pronunciada como la zeta
castellana).
transmitida respecto a una dirección perpendicular al plano de incidencia.
Figura 10a
Figura 10
Representación gráfica de las
ondas incidente, reflejada y
transmitida.
Figura 10b
Recordad
El símbolo indica una flecha
entrando en el papel; y el símbolo  indica una flecha saliendo del papel.
Corte transversal
36
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Propagación de ondas electromagnéticas
Durante el instante preciso en el que la onda entra en contacto con la interfaz,
las tres ondas presentes (incidente, reflejada y transmitida) coexisten y, como
se encuentran en la zona interfacial, los campos eléctrico y magnético han de
satisfacer las condiciones de frontera que ya os hemos introducido. En concreto, analizaremos la condición que debe satisfacer la componente tangencial
del campo eléctrico, que recordemos que había de ser idéntica a los dos lados
de la interfaz (E1t  E2t). Por tanto, tendremos:
Eit  Ert Ett
(41)
donde Eit es la componente tangencial del campo eléctrico de la onda incidente, Ert es la de la onda reflejada y Ett es la de la onda transmitida. Fijaos en que,
dado que solo hemos tomado una componente del vector, no hay que poner
la flechita de vector.
Dado que la condición de la expresión (41) se debe satisfacer en cualquier instante y en cualquier punto de la interfaz, a partir de las ecuaciones (38), (39)
y (40) deducimos que:
it  rt tt
(42)
     
ki  r  kr  r  kt  r
(43)
La condición (42) implica que las frecuencias de oscilación son las mismas
para las tres ondas. La condición (43) lleva a las consecuencias siguientes:
1) La onda incidente, la onda reflejada y la onda transmitida se propagan en
el mismo plano. Este plano lo denominamos plano de incidencia y ya lo hemos
mencionado en la figura 10.
Figura 10c
Proyección en los ejes
a
Podéis ver las condiciones de frontera en
el subapartado 3.1 de este módulo.
37
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
   
2) Como ki  r  kr  r , tendremos que:
kiz sen i  krz sen r
(44)
 
es decir, que la proyección en el eje z de k y r es igual a la componente z de
 
kr  r , que es equivalente a:


n1z seni  n1z sent
c
c
Recordad
Como k 
(45)

c
i n  :
v
v
k

n
c
y, por tanto:
sen i  sen r
i  r
(46)
Es decir, que el ángulo de reflexión debe ser igual al ángulo de incidencia, que
Podéis ver el módulo “Óptica
geométrica” de esta asignatura.
es la ley de la reflexión que ya vimos.
a
   
3) Como ki  r  kt  r , tendremos que
kiz sen i  ktz sen t
(47)
que es equivalente a:
Recordad


n1z seni  n2 z sent
c
c
(48)
Como k 

c
i n  :
v
v
k
y, por tanto:
n1 sen i  n1 sen t

n
c
(49)
La relación (49) es la ley de Snell que ya vimos, aplicada a la luz, y que aquí
podemos comprobar que se puede ampliar a cualquier onda electromagnética.
a
Podéis ver la ley de Snell aplicada a la luz
en el módulo “Óptica”.
De hecho, lo que habéis podido ver también es que hemos llegado a las mismas de la Óptica pero ahora a partir de las leyes de Maxwell.
Cuando una onda electromagnética incide sobre una interfaz de contacto entre dos medios no conductores, las direcciones de las ondas incidente, reflejada y transmitida deben satisfacer las condiciones de la
óptica geométrica que ya estudiamos:
1) La onda incidente, la onda reflejada y la onda transmitida se propa-
gan en el mismo plano (denominado plano de incidencia).
2) El ángulo de reflexión debe ser igual al ángulo de incidencia: i  r.
3) El ángulo de transmisión se relaciona con el ángulo de incidencia
mediante la ley de Snell: n1 sen i  n2 sen t.
Podéis ver las condiciones de la óptica
geométrica en el módulo “Óptica”.
a
CC-BY-SA • PID_00159139
38
Propagación de ondas electromagnéticas
i, r y t son los ángulos de las ondas incidente, reflejada y transmitida
medidos desde un plano perpendicular a la superficie. n1 y n2 son los
índices de refracción de los medios respectivos.
En resumen, podéis ver que se puede determinar en todo momento el recorrido que seguirán tanto la onda reflejada como la onda transmitida solo con el
conocimiento de:
• el ángulo de incidencia (i),
• los índices de refracción de los dos medios involucrados (n1 y n2).
No obstante, enseguida toparéis con algunas cuestiones que aún no se han resuelto:
• ¿Cómo son las intensidades de los haces reflejado y transmitido? Es decir,
¿cómo varía la amplitud de la onda?
• ¿Habrá siempre el mismo comportamiento según cuáles sean las características de la onda incidente?
Reflexionemos primero un poco respecto a la segunda pregunta. Si analizáis
las condiciones de frontera que ya hemos visto y que hemos resumido en las
tablas 3.1 y 3.2, podéis deducir que los campos presentan comportamientos
diferentes en la zona interfacial en función de cómo están orientados respecto
a la superficie. Esto quiere decir que, en efecto, observaremos diferencias en el
comportamiento de las ondas según la orientación de los campos, es decir, se-
a
Podéis ver la condiciones de frontera en
el subapartado 3.1 de este módulo.
gún su polarización.
A pesar de que, a priori, el análisis completo de la incidencia sobre una interfaz
puede parecer muy complicado, recordad que ya os explicamos que una onda po-
a
Podéis ver la polarización en el apartado
2 de este módulo.
larizada en una dirección se puede descomponer como la suma de distintas ondas
polarizadas en diferentes direcciones. Por tanto, podemos estudiar por separado
el comportamiento de cada una de estas ondas en las que se ha descompuesto.
Dado que la descomposición se puede hacer en cualquier número de componentes y respecto a cualquier dirección, hay que elegir una configuración que simplifique los cálculos y nos sea de utilidad. Las direcciones que elegiremos son:
• polarización con el campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia,
• polarización con el campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.
A continuación, analizaremos las componentes de cada uno de estos dos casos
específicos. Más adelante los veremos de manera conjunta y también estudiaremos algunos casos particulares.
3.2.2. Reflexión y transmisión de ondas polarizadas con el campo
eléctrico perpendicular al plano de incidencia
La primera configuración que analizaremos será la de una onda que está polarizada de forma lineal con su campo eléctrico perpendicular al plano de inci-
a
Podéis ver de manera conjunta estas dos
polarizaciones y algunos de sus casos
particulares en los subapartados 3.2.4 y
3.2.5 de este módulo.
39
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
dencia. El objetivo que perseguimos es ver cómo varía la amplitud de la onda
al reflejarse y refractarse. En la figura 11 podéis visualizar esta configuración.
En el dibujo podéis comprobar que la dirección perpendicular al plano de incidencia corresponde a la dirección del eje z y, por tanto, es paralela al plano de la
interfaz. Esto quiere decir que, en esta configuración, el campo eléctrico solo tendría componente tangencial respecto a la interfaz del cambio de medio.
Figura 11a
Figura 11
Ondas incidente, reflejada y
transmitida en una interfaz entre dos medios para el caso en
el que la onda incidente está
polarizada con el campo eléctrico perpendicular al plano de
incidencia.
Figura 11b
Recordad
El símbolo indica una flecha
entrando al papel.
El símbolo  indica una flecha saliendo del papel.
Tall transversal
Condiciones de frontera del campo eléctrico
Si aplicáis la condición de frontera para la componente tangencial del campo
eléctrico (podéis consultar la tabla 3.2), tendréis que:
Ei  Er  Et
(50)
40
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
donde Ei, Er y Et son, respectivamente, los campos eléctricos para las ondas incidente, reflejada y transmitida.
La ecuación (50) muestra la relación entre los campos eléctricos de las ondas
incidente, reflejada y transmitida. Sin embargo, podéis observar que esta expresión no es suficiente para determinar el valor exacto de los campos eléctricos reflejado y transmitido, ya que tenemos dos incógnitas (Er) y (Et).
Necesitamos, pues, encontrar una segunda condición.
Condiciones de frontera del campo magnético
La segunda condición la podéis encontrar si procedéis de manera análoga con
el campo magnético. En este caso, la aplicación de las condiciones de frontera para las componentes tangenciales resulta (podéis consultar la tabla 3.2):
Bi cos i Br cos r Bt cos t


1
1
2
(51)
donde Bi, Br y Bt son los campos magnéticos para las ondas incidente, reflejada
y transmitida, i y t son los ángulos de incidencia y de transmisión y, como
suponemos que se trata de medios no magnéticos, podemos hacer 1  2  0
en la ecuación (51) y simplificar:
Bi cos i Br cos r Bt cos t


0
0
0
(52)
Y utilizando que i = r (ecuación (46)) tenemos:
(Bi  Br)cos i  Bt cos t
(53)
Para encontrar las relaciones entre las amplitudes de los campos eléctricos, utilizamos la relación entre los campos eléctrico y magnético que ya vimos:
Recordad
La relación entre los campos
eléctrico y magnético es:
n1
n
 Ei  Er  cos i  2 Et cos t
c
c
(54)
1
B E
v
y, por tanto:
Si simplificáis el término c, que se encuentra en los dos lados, obtendréis la segunda condición buscada:
n1(Ei  Er)cos i  n2Et cos t
(55)
Así pues, con las ecuaciones (50) y (55) lo que hemos encontrado son dos relaciones entre parámetros: los campos eléctricos de la onda incidente (Ei), de
la onda reflejada (Er) y de la onda transmitida (Et). Os las volvemos a mostrar
una al lado de la otra:
Ei  Er  Et
(56)
n1(Ei  Er)cos i  n2Et cost
(57)
B
n
E
c
Podéis ver la relación entre los campos
eléctrico y magnético en el módulo
“Leyes de Maxwell”.
a
41
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
En las expresiones (56) y (57) hay dos parámetros desconocidos, Er y Et, y un tercero que sí que es conocido, Ei. Podéis combinar estas expresiones para encontrar
una expresión individual para cada uno de los valores desconocidos.
Determinación de la onda reflejada
Para encontrar la primera relación, la que determina la amplitud de la onda
reflejada, sustituid el valor de Et de la ecuación (56) dentro de la ecuación (57):
n1(Ei  Er)cos i  n2(Ei  Er)cos t
(58)
A continuación, agrupad en un lado los términos dependientes de Er y en el
otro los de Ei y sacad factor común:
n1Er cos i  n2Ercos t  n1Ei cos i  n2Eicos t
(n1cos i  n2cos t)Er  (n1cos i  n2cos t)Ei
(59)
Así encontraréis la primera de las relaciones que estábamos buscando, la relación entre la onda reflejada y la onda incidente:
Er n1 cos i  n2 cos t

Ei n1 cos i  n2 cos t
(60)
Determinación de la onda transmitida
Para encontrar la segunda relación, la de la amplitud de la onda transmitida,
ahora debéis aislar el valor de Er en la ecuación Ei  Er  Et (56):
Er  Et  Ei
(61)
I sustituimos este valor en la ecuación (57):
n1(Ei  Et  Ei)cos i  n2Et cos t
(62)
Como antes, podéis agrupar en un lado los términos que dependen de Et y en
el otro los que dependen de Ei y después sacar el factor común:
n1Et cos i  n2Et cos t  2n1Ei cos i
n1cos i  n2cos t)Et  (2n1cos i)Ei
(63)
Y así encontramos la segunda de las relaciones que estábamos buscando:
Et
2n1 cos i

Ei n1 cos i  n2 cos t
(64)
Las ecuaciones (60) y (64) demuestran que se pueden determinar, en todo momento, los cocientes entre las amplitudes de las ondas reflejada e incidente y de
la onda transmitida e incidente, respectivamente, si se conocen únicamente los
índices de refracción de los dos medios (n1 y n2) y el ángulo de incidencia (i).
Bien, en la figura también aparece el ángulo de transmisión, (t), pero este lo podemos encontrar a partir del ángulo de incidencia mediante la ley de Snell (49).
42
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Estos cocientes se denominan coeficientes de Fresnel para polarización perpendicular, y se simbolizan, de manera respectiva, rs para la onda reflejada y
ts para la onda transmitida.
Los coeficientes de Fresnel de reflexión (rs) y transmisión (ts) para
una onda con polarización perpendicular al plano de incidencia son:
rs 
Er n1 cos i  n2 cos t

Ei n1 cos i  n2 cos t
(65)
ts 
Et
2n1 cos i

Ei n1 cos i  n2 cos t
(66)
Subíndice ‘s’
Habitualmente se utiliza la letra
s en lugar de p para indicar que
la polarización es perpendicular al plano, y así diferenciarla
de la polarización paralela (que
sí que utiliza la letra p). La elección de la letra s viene de la palabrá alemana senkrecht, que
significa ‘perpendicular’.
donde i y t son los ángulos de incidencia y transmisión, respectivamente, y n1 y n2 son los índices de refracción de los dos medios.
Los coeficientes de Fresnel (rs) y (ts) expresan la relación entre las amplitudes
de las ondas reflejada y transmitida respecto a la amplitud de la onda incidente. Cabe señalar, también, que lo que conocemos de modo habitual como intensidad de una onda no es esta amplitud, sino el valor medio del flujo de
energía por unidad de área, como veremos a continuación.
Determinación de las intensidades
Si recordáis, anteriormente os explicamos que este flujo de energía venía de
terminado por el vector de Poynting ( S ), y que este era proporcional al pro-
Podéis ver el vector de Poynting en el
módulo “Leyes de Maxwell”.
a
ducto entre el campo eléctrico y el campo magnético. Además, estos dos
campos son proporcionales entre sí:

I S ;

 


S  E  B ; B  E
(67)
a  b se lee “a
es proporcional a b”.
Por tanto, la intensidad de una onda electromagnética es proporcional al cuadrado de su amplitud.
La intensidad de una onda electromagnética es proporcional al cuadrado de su amplitud:

I E
2
(68)
Por ello, en la práctica, se definen unos coeficientes análogos a los coeficientes
de Fresnel anteriores pero aplicados a la intensidad en lugar de la amplitud.
Son las denominadas reflectancia (Rs) y transmitancia (Ts):
I
Rs  r
Ii
(69)
Intensidad y amplitud
El concepto de intensidad de
una onda como el cuadrado de
la amplitud ya lo visteis en el
módulo “Ondas y Acústica”,
donde se aplicaba a ondas mecánicas.
43
CC-BY-SA • PID_00159139
Ts 
Propagación de ondas electromagnéticas
It
Ii
(70)
Fijaos en que, dado que la intensidad de la onda reflejada o transmitida no
pueden ser nunca más grandes que la incidente, tanto la reflectancia (Rs)
como la transmitancia (Ts) serán más pequeñas que 1.
Así pues, hemos encontrado que el valor de la reflectancia (Rs) corresponde al cociente de los cuadrados de las amplitudes de las ondas reflejada e incidente (69):
Rs 
I r Er 2

Ii Ei2
(71)
Y así, encontramos una relación directa entre la reflectancia (Rs) y el coeficiente de Fresnel de reflexión (rs):
Rs  rs2
(72)
La reflectancia (Rs) para una onda electromagnética polarizada con el

campo eléctrico ( E ) perpendicular al plano de incidencia es:
2
Rs 
 n cos i  n2 cos t 
Ir
 rs2   1

Ii
 n1 cos i  n2 cos t 
(73)
donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios 1 y 2, i y t
son los ángulos de incidencia y transmisión, respectivamente, y rs es el
coeficiente de Fresnel de reflexión para polarización perpendicular.
Para encontrar el valor de la transmitancia (Ts), debéis aplicar el principio de
conservación de la energía. En otras palabras, hay que considerar que toda la
energía de la onda incidente se debe “repartir” entre la onda reflejada y la
onda transmitida. Esto se traduce en que:
Rs  Ts  1
(74)
Y, por tanto:
Ts  1  Rs
Ts  1  rs2
(75)
Si sustituís rs por su valor:
2
 n cos i  n2 cos t 
Ts  1   1

 n1 cos i  n2 cos t 
(76)
Después de hacer algunas operaciones, acabaréis obteniendo la expresión siguiente:
n cos t
Ts  2
n1 cos i
2


2n1 cos i


n
cos


n
cos

2
i
t 
 1
(77)
44
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Podéis comprobar, a partir de la expresión (66), que el contenido del interior
del paréntesis corresponde al valor de ts. Por tanto:
Ts 
n2 cos t 2
ts
n1 cos i
(78)
La transmitancia ( Ts ) para una onda electromagnética polarizada con

el campo eléctrico ( E ) perpendicular al plano de incidencia es:
2
Ts 

It n2 cos t 2 n2 cos t 
2n1 cos i
ts 



Ii n1 cos i
n1 cos i  n1 cos i  n2 cos t 
(79)
donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios 1 y 2, i y t
son los ángulos de incidencia y transmisión, respectivamente, y tS es el
coeficiente de Fresnel de transmisión.
Ya hemos visto cómo se comporta, al llegar a una zona interfacial, una onda
polarizada con el campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia. Durante el estudio hemos introducido los coeficientes de Fresnel (rs y ts), que
muestran las relaciones entre las amplitudes de las ondas incidente, reflejada
y transmitida, y también los conceptos de reflectancia (Rs) y transmitancia
(Ts), que hacen lo mismo para las intensidades. A continuación, repetiremos
el estudio para el caso en el que la onda está polarizada con el campo eléctrico
paralelo al plano de incidencia.
3.2.3. Reflexión y transmisión de ondas polarizadas con el campo
eléctrico paralelo al plano de incidencia
El estudio de la componente con polarización paralela al plano de incidencia
podría parecer, a priori, un poco más complicado que la perpendicular. Observad la figura 12.
Figura 12a
Figura 12
Ondas incidente, reflejada y
transmitida en una interfaz entre dos medios para el caso en
el que la onda incidente está
polarizada con el campo eléctrico paralelo al plano de incidencia.
45
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Figura 12b
Recordad
El símbolo indica una flecha
entrando al papel; y el símbolo
 indica una flecha saliendo
del papel.
Corte transversal
Como podéis ver en el dibujo, a diferencia del caso anterior, en el que podíamos ver que una dirección perpendicular al plano de incidencia (el plano yz)
siempre era paralela al plano de la interfaz (el plano xz), una dirección paralela
al plano de incidencia puede estar en cualquier orientación respecto al plano
de la interfaz. Es decir, puede ser tanto paralela como perpendicular u oblicua.
Esta indeterminación hace difícil su simplificación.
De todos modos, hay un camino alternativo que simplifica el análisis: podéis
utilizar el campo magnético en lugar del campo eléctrico. Recordad que, en una
onda electromagnética, ambos campos son perpendiculares entre sí. Esto quiere
decir que una onda polarizada con su campo eléctrico paralelo al campo de incidencia (plano yz) tendrá su campo magnético perpendicular a este plano y, en
concreto, en la dirección del eje y. En la figura 12 lo podéis visualizar.
Condiciones de frontera del campo magnético
Como en el caso de la polarización perpendicular, volveremos a suponer que
no hay ninguna carga ni corriente eléctrica en la interfaz. Por tanto, la condición de frontera del campo magnético tangencial a la superficie es, según la
Recordad
expresión de la tabla 3.2:
Bi  Br  Bt
(80)
donde Bi, Br y Bt son los campos eléctricos para las ondas incidente, reflejada
y transmitida, respectivamente.
Para encontrar las relaciones entre las amplitudes de los campos eléctricos usa-
La relación entre los campos
eléctrico y magnético es:
B
1
E
v
Y, por tanto:
B
n
E
c
mos, como antes, la relación entre los campos eléctrico y magnético que ya
vimos:
n1
n
n
Ei  1 Er  2 Et
c
c
c
Podéis ver la relación entre los campos
eléctrico y magnético en el módulo
“Leyes de Maxwell”.
a
46
CC-BY-SA • PID_00159139
n1(Ei  Er) n2Et
Propagación de ondas electromagnéticas
(81)
Esta es la primera condición que necesitamos. Como contiene dos incógnitas
(Er y Et), hay que obtener una segunda. Aplicaremos la condición de frontera
para la componente tangencial del campo eléctrico.
Condiciones de frontera para el campo eléctrico
En la zona interfacial, la componente tangencial del campo eléctrico debe satisfacer la condición correspondiente de la tabla 3.2. Por tanto,
Ei cos i  Er cos i Et cos t
(Ei  Er) cos i Et cos t
(82)
Ya tenemos, pues, las dos condiciones que buscábamos. Las volvemos a mostrar una al lado de la otra:
n1(Ei  Er) n2Et
(Ei  Er) cos i Et cos t
(83)
(84)
Podéis comprobar que en las expresiones n1(Ei  Er) n2Et (83) y (84) hay dos
parámetros desconocidos, Er y Et y un tercero que sí que es conocido, Ei. De
forma análoga a como hemos procedido anteriormente, podéis combinarlas
para encontrar una expresión individual para la amplitud de la onda reflejada
y de la onda transmitida.
Determinación de la amplitud de la onda reflejada
Para encontrar la primera relación, comenzad por aislar el valor de Et en la
ecuación n1(Ei  Er) n2Et (83):
Et 
n1  Ei  Er 
n2
(85)
Y ahora sustituid Et en la ecuación (84):
 Ei  Er  cos i 
n1  Ei  Er 
cos t
n2
(86)
Podéis agrupar en un lado los términos que dependen de Er y en el otro los que
dependen de Ei y sacar el factor común:
n1
n
Er cos t   Ei cos i  1 Ei cos t
n2
n2
(87a)




n1
n
cos t  Er    cos i  1 cos t  Ei
 cos i 
n
n
2
2




(87b)
Er cos i 
Y de aquí encontramos la expresión siguiente:
n
 cos i  1 cos t
Er
n2

n
Ei
cos i  1 cos t
n2
Podéis ver el procedimiento de
condiciones de frontera en el
subapartado 3.2.2 de este módulo.
a
47
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Para acabar, podéis “arreglarla” un poco si multiplicáis arriba y abajo por n2,
y obtendréis la primera de las relaciones que estábamos buscando:
Er n2 cos i  n1 cos t

Ei
n2 cos i  n1 cos t
(88)
Determinación de la amplitud de la onda transmitida
Para encontrar la segunda relación (Er/Ei), tenéis que aislar el valor de Er en la
ecuación n1(Ei  Er) n2Et (83):
Er  Ei 
n2 Et
n1
(89)
Y ahora sustituir Er en la ecuación (84):

n2 Et 
 Ei  Ei 
 cos i  Et cos t
n1 

(90)
Como antes, podéis agrupar en un lado los términos dependientes de Et y en
el otro, los de Ei y sacar factor común:

n2
Et cos i  Et cos t  2 Ei cos i
n1
 n2

 cos i  cos t  Et   2 cos i  Ei
n
 1

(91)
Y de aquí encontramos la expresión siguiente:
Et
2 cos i

Ei n2 cos   cos 
i
t
n1
Podéis multiplicar arriba y abajo por n1 y obtendréis la segunda de las relaciones que estábamos buscando:
Et
2n1 cos i

Ei n2 cos i  n1 cos t
(92)
De manera análoga a como hemos visto para el caso de la polarización perpendicular, podéis comprobar que las relaciones (88) y (92) demuestran que se
pueden determinar, en todo momento, los cocientes entre las amplitudes de
las ondas reflejada e incidente, y de las ondas transmitida e incidente, respectivamente, si se conocen únicamente los índices de refracción de los dos medios (n1 y n2) y el ángulo de incidencia (i). Por lo que respecta al valor de t
que aparece en (92), se puede obtener a partir de la ley de Snell (49).
Estos cocientes se denominan coeficientes de Fresnel para polarización paralela, y se simbolizan, de forma respectiva, rp para la onda reflejada y tp para
la onda transmitida.
Podéis ver el procedimiento para
polarización perpendicular en el
subapartado 3.2.2 de este módulo.
a
48
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Los coeficientes de Fresnel de reflexión (rp) y transmisión (tp) para
polarización paralela son:
rp 
Er n2 cos i  n1 cos t

Ei
n2 cos i  n1 cos t
(93)
Et
2n1 cos i

Ei n2 cos i  n1 cos t
(94)
tp 
donde i y t son los ángulos de incidencia y transmisión, respectivamente, y n1 y n2 son los índices de refracción de los dos medios.
Determinación de las intensidades
Los coeficientes de Fresnel (rp) y (tp) expresan la relación entre las amplitudes
de las ondas reflejada y transmitida respecto a la amplitud de la onda incidente. Tal como hemos visto para la polarización perpendicular, también podéis
definir la reflectancia (Rp) y la transmitancia (Tp) como el cociente entre las intensidades de las ondas:
Rp 
Ir
Ii
Tp 
It
Ii
(95)
Recordad que el valor de la reflectancia (Rp) corresponde al cociente de los cuadrados de las amplitudes de las ondas reflejada e incidente:
Rp 
I r Er 2

I i Ei2
(96)
Por tanto:
R p  rp2
(97)
La reflectancia (Rp) para una onda electromagnética polarizada con el

campo eléctrico ( E ) paralelo al plano de incidencia es:
Rp 
 n cos i  n1 cos t 
Ir
 rp2   2

Ii
 n2 cos i  n1 cos t 
2
(98)
donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios 1 y 2, 1 y 2
son los ángulos de incidencia y transmisión, respectivamente, y rs es el
coeficiente de Fresnel de reflexión para polarización paralela.
Podéis ver el procedimiento para
polarización perpendicular en el
subapartado 3.2.2 de este módulo.
a
49
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Para encontrar el valor para la transmitancia (Tp) debéis aplicar la relación Tp
 1  R p:
2
 n cos i  n1 cos t 
Tp  1   2

 n2 cos i  n1 cos t 
(99)
Después de hacer algunas operaciones, acabaréis obteniendo la expresión siguiente:
Tp 
n2 cos t
n1 cos i


2n1 cos i


n
cos


n
cos

1
i
t 
 2
2
(100)
Podéis comprobar, a partir de la expresión (94), que el contenido del interior
del paréntesis corresponde al valor de tp. Por tanto,
Tp 
n2 cos t 2
tp
n1 cos i
(101)
Para una onda electromagnética con polarización perpendicular y
que incide sobre una interfaz entre dos medios, la transmitancia (TS)
es el cociente entre las intensidades de la onda transmitida y de la onda
incidente:
Tp 
It n2 cos t 2 n2 cos t

tp 
Ii n1 cos i
n1 cos i
2


2n1 cos i





n
cos
n
cos
 2
i
t 
1
(102)
donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios 1 y 2, i y t
son los ángulos de incidencia y transmisión, respectivamente, y tp es el
coeficiente de Fresnel de transmisión.
Ya hemos estudiado los dos casos que consideramos como “bases”. En la tabla
3.3 podéis visualizar de manera conjunta los coeficientes que acabamos de estudiar para los dos casos.
Tabla 3.3
Polarización perpendicular al
plano de incidencia
Coeficiente de
Fresnel de
reflexión (r)
Coeficiente de
Fresnel de
transmisión
(t)
Transmitancia
n cos t 2
T  2
t
n1 cos i
rs 
n1 cos i  n2 cos t
n1 cos i  n2 cos t
rp 
n2 cos i  n1 cos t
n2 cos i  n1 cos t
ts 
2n1 cos i
n1 cos i  n2 cos t
tp 
2n1 cos i
n2 cos i  n1 cos t
 n cos i  n2 cos t 
Rs   1

 n1 cos i  n2 cos t 
Reflectancia
R = r2
Ts 
Polarización paralela al plano
de incidencia
2

n2 cos t 
2n1 cos i


n1 cos i  n1 cos i  n2 cos t 
 n cos i  n1 cos t 
Rp   2

 n2 cos i  n1 cos t 
2
Tp 
2

n2 cos t 
2n1 cos i


n1 cos i  n2 cos i  n1 cos t 
2
50
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Propagación de ondas electromagnéticas
Para todas las expresiones, n1 y n2 son los índices de refracción respectivos de los
medios 1 y 2, y i y t son los ángulos de incidencia y de refracción. Recordad que
los ángulos siempre se miden respecto a la perpendicular al plano de la interfaz.
Anteriormente ya vimos que cualquier onda electromagnética se puede considerar como una combinación de varias ondas con polarizaciones lineales en
a
Podéis ver la polarización en el apartado
2 de este módulo.
direcciones diferentes, como por ejemplo estos dos casos que hemos estudiado. Así pues, el conocimiento del comportamiento por separado de las polarizaciones perpendicular y paralela nos permite determinar de modo completo
el comportamiento de cualquier onda en una interfaz de cambio de medio.
Vale la pena estudiar un caso particular para las expresiones anteriores: el de
una onda que se propaga en una dirección perpendicular a la interfaz de cambio de medio. Este caso se denomina de manera habitual incidencia normal.
Los motivos para estudiarlo son:
• Es un caso muy habitual.
• Las expresiones se simplifican considerablemente.
• Ayuda a entender bien los conceptos de reflectancia y transmitancia.
Para determinar las expresiones correspondientes a este caso, simplemente
hay que tomar el caso general para la polarización perpendicular de la tabla
3.3 y hacer la sustitución i  0 y t  0 (este último valor se obtiene a partir
del de incidencia mediante la ley de Snell (49)).
Tabla 3.4
Coeficiente de
Fresnel de
reflexión (r)
rs 
n1 cos i  n2 cos t
n1 cos i  n2 cos t

rn 
n1  n2
n1  n2
Coeficiente de
Fresnel de
transmisión (t)
ts 
2n1 cos i
n1 cos i  n2 cos t

tn 
2n1
n1  n2
 n cos i  n2 cos t 
Rs   1

 n1 cos i  n2 cos t 
Transmitancia
n cos t 2
T  2
t
n1 cos i
Ts 
n2 cos t
n1 cos i
2


2n1 cos i


n
cos
n
cos



2
i
t 
 1
Recordad que en el estudio de
la reflexión y transmisión, los
ángulos siempre se miden respecto a la perpendicular a la interfaz. Por tanto, en el caso de
incidencia normal, el ángulo es
  0.
Coeficientes para
incidencia normal
(  0 )
Expresión para el caso general
Reflectancia
R = r2
¿  0° o   90°?
n n 
Rn   1 2 
 n1  n2 

2

Tn 
2
n2  2n1 


n1  n1  n2 
2
Podéis comprobar que, igual que en los casos que hemos estudiado anteriormente, en este caso particular también se cumple que Rn  Tn  1 para cualquier valor de n1 y n2.
Ejemplo de determinación de las intensidades
Sobre un vidrio (n  1,5) incide, perpendicularmente, un haz de radiación electromagnética de intensidad 50 W/m2. Calculad:
a) La intensidad de la radiación reflejada.
b) La intensidad de la radiación transmitida al interior del vidrio.
Podéis ver la reflexión y transmisión de
ondas polarizadas en los subapartados
3.2.2 y 3.2.3 de este módulo.
a
51
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Solución
Si leéis bien el enunciado del problema, podéis ver que se trata de una onda electromagnética que incide de forma perpendicular. Así pues, utilizaremos las expresiones correspondientes al caso de incidencia normal (  0).
Por otra parte, dado que tanto los datos de los que disponemos como los que se nos pide
encontrar son todo magnitudes de intensidad, quiere decir que deberemos trabajar con
la reflectancia (Rn), para la radiación reflejada, y la transmitancia (Tn), para la radiación
transmitida.
a) Lo primero que hemos de hacer es determinar la reflectancia para incidencia normal correspondiente a la interfaz. Como el enunciado no nos dice nada al respecto, supondremos
que el medio 1 es el aire (n1  1). Hacemos el cálculo a partir de la expresión de la tabla 3.4:
2
2
 n  n2 
 1  1,5 
Rn   1
 
  0,04
 1  1,5 
 n1  n2 
(103)
De la definición de reflectancia (73), podéis deducir que la intensidad de la radiación reflejada será:
IR  RnI0  0,04 · 50  2 W/m2
(104)
b) Para la determinación de la radiación transmitida, procedemos de manera análoga
pero ahora con el valor de la transmitancia:
2
Tn 
2
n2  2n1 
1,5  2 

 

  0,96
n1  n1  n2 
1  1  1,5 
(105)
También podríamos haberla determinado mediante la propiedad Rn  Tn  1:
Tn  1  Rn  1  0,04  0,96
(106)
Como en el punto (a), podemos determinar la intensidad de la radiación transmitida a
partir de la intensidad incidente y el valor de la transmitancia:
IR  TnI  0,96 · 50  48 W/m2
(107)
Podéis comprobar que la suma de los resultados de los dos apartados da la intensidad total (50 W/m2).
Ya hemos visto los coeficientes de Fresnel (r y t) y los conceptos de reflectancia
(R) y transmitancia (T). Hemos visto que todos estos parámetros dependen de:
• los índices de refracción de los dos medios (n1 y n2),
• el ángulo de incidencia de la onda (i).
El ángulo de transmisión (t), como ya hemos dicho varias veces, no lo tenemos en cuenta porque viene determinado directamente por el ángulo de incidencia, mediante la ley de Snell (49): n1 sin i  n2 sin t.
A continuación, analizaremos los coeficientes de la tabla 3.3 y veremos cómo
les afectan tanto los índices de refracción como el ángulo de incidencia. Comenzaremos por estudiar un fenómeno que depende solo de la polarización,
el ángulo de Brewster; y continuaremos con un caso que solo se da cuando
n1  n2 y que ya habéis visto anteriormente, el ángulo crítico.
3.2.4. Ángulo de Brewster
A partir de las expresiones de los coeficientes de Fresnel (r y t) y de la reflectancia (R) y la transmitancia (T) de la tabla 3.3, podemos estudiar la relación
entre las intensidades o las amplitudes de las ondas incidente, reflejada y
a
Podéis ver el ángulo crítico y la reflexión
interna total en el módulo “Óptica”.
52
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
transmitida para una interfaz entre dos medios no conductores y para cualquier ángulo de incidencia.
Centraremos el análisis en la expresión para la reflectancia (R), ya que es el parámetro más interesante y a partir del cual se deduce el resto. Estos otros pará-
Podéis ver la reflexión y transmisión de
ondas polarizadas en los subapartados
3.2.2 y 3.2.3 de este módulo.
a
metros se pueden calcular de manera directa a partir de las relaciones (74),
(73), (o (98)) y (79) y (o (102)), que os volvemos a recordar:
t
T1R
(108)
r R
(109)
n1 cos i
T
n2 cos t
(110)
A continuación, estudiaremos cómo es la reflectancia (R) para el caso particular
en el que el índice de refracción del primer medio es inferior al del segundo
(n1  n2) (el estudio es equivalente a hacerlo para n1  n2, pero este segundo caso
lo dejaremos para más adelante). Un ejemplo de este caso en el que n1  n2 podría
ser una onda que se propaga por el aire (n1  1) y entra en el agua (n2  1,33).
Recordad
El ángulo de incidencia (i) es
el ángulo que forma la dirección de propagación de la
onda con el plano de incidencia, no con el plano de la interfaz
En la figura 13 os mostramos gráficamente la reflectancia en función del ángulo de incidencia (i) para este ejemplo, tanto para la polarización perpendicular (RS) como paralela (Rp).
Figura 13
Si observáis las curvas tanto de la polarización perpendicular (Rs) como de la
paralela (Rp) en la figura 13a, podéis comprobar que, en ambos casos, los valores máximos de la reflectancia se encuentran para ángulos cercanos a   90°.
Esta situación se denomina incidencia rasante, y en ella la onda incidente se
propaga de forma paralela a la interfaz. Para ángulos cercanos a esta región, la
Figura 13
a. Reflectancia en función del
ángulo de incidencia para el
caso (n1  n2).
b. Ampliación de la región
próxima al ángulo de Brewster.
53
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Propagación de ondas electromagnéticas
reflectancia es grande y la transmitancia es casi nula. Este es el motivo por el
que, por ejemplo, un lago muy tranquilo actúa como un espejo cuando lo miramos desde su misma altura y, en cambio, no sucede lo mismo cuando lo observamos desde más arriba.
Pero si os fijáis de nuevo en la misma figura, veréis que también hay un valor mínimo de la reflectancia. ¿Dónde se encuentra este valor mínimo? Y, todavía más,
¿podemos llegar a encontrar algún ángulo para el que la reflectancia se haga 0? La
figura 13b muestra una ampliación de la región cercana a este mínimo.
Observad primero la curva para la polarización perpendicular (RS). Podéis ver
que el valor mínimo corresponde al caso   0°, denominado de incidencia normal o perpendicular, pero, incluso así, el valor de la reflectancia no llega a hacerse 0. La consecuencia es que siempre habrá una parte de la onda que se verá
reflejada, es decir, no tendremos nunca una transmisión completa (TS  1).
Por el contrario, si os fijáis en la curva para la polarización paralela (Rp), observaréis que el mínimo en la reflectancia ya no corresponde al ángulo   0°,
sino que existe otro ángulo de incidencia para el que no solo la reflectancia es
mínima, sino que incluso se hace cero (figura 13b). Este ángulo “especial” se
denomina ángulo de Brewster.
El ángulo de Brewster es un concepto nuevo que no habíamos visto, ya que
sus efectos se obtienen a partir de la polarización de la onda. Es decir, el ángulo
de Brewster no se puede mostrar desde un punto de vista puramente fenomenológico como el que habíamos utilizado anteriormente, en el caso de la óptica geométrica.
Determinemos, entonces, el valor exacto del ángulo de Brewster. Os debéis fijar en la expresión para la reflectancia Rs de la tabla 3.3:
2
 n cos t  n2 cos i 
Rp   1

 n1 cos t  n2 cos i 
(111)
El ángulo de Brewster corresponde al valor de i para el que la reflectancia es nula, es decir, el ángulo para el cual el numerador de la expresión (111) se hace cero. Este ángulo se puede encontrar a partir de la denominada ley de Brewster:
tan  B 
n2
n1
(112)
Como podéis comprobar, el valor exacto del ángulo de Brewster depende únicamente de los índices de refracción de los dos medios implicados.
  90° o  

?
2
Recordad que la forma más
adecuada de medir los ángulos
es en radianes, ya que es así
como están definidas las funciones matemáticas.
Sin embargo, en este texto haremos una excepción para los
ángulos geométricos y los especificaremos en grados sexagesimales (°), ya que es como
se suele hacer en el mundo cotidiano.
Eso sí, solo lo haremos para los
ángulos geométricos, nunca
en los desfases ya que, en este
caso, se deberían utilizar los radianes.
54
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Propagación de ondas electromagnéticas
Actividad
Deducid la ley de Brewster a partir de n1 cos t  n2 cos i  0 . Recordad que i y t se relacionan por medio de la ley de Snell. Ayuda: sin (2) = 2 sincos
El ángulo de Brewster (B) es el ángulo de incidencia para el que la reflectancia correspondiente a la polarización paralela al eje de incidencia
(Rp) se hace cero y solo se refleja la componente perpendicular. Por tanto, para este ángulo, la onda reflejada siempre presentará polarización
perpendicular.
Su valor exacto depende sólo de los valores de los índices de refracción
de los dos medios implicados y se puede encontrar mediante la ley de
Brewster:
n2
n1
tan  B 
(113)
donde n1 y n2 son los índices de refracción de los medios.
Ejemplo del ángulo de Brewster
Determinad el ángulo de Brewster para la interfaz entre el aire (n  1) y el agua (n  1,33).
Solución
Para encontrar el ángulo de Brewster para la interfaz aire-agua, debéis utilizar la ley de
Brewster (113):
tan  B 
n2
n1
Sólo hay que sustituir los valores de n1 y n2 correspondientes (n1  1 y n2  1,33):
tan  B 
1,33
  B  arctan1,33  53
1
En resumen, una onda con polarización lineal paralela al plano de incidencia
y que incide sobre una interfaz entre dos medios con un ángulo de inclinación
igual al ángulo de Brewster (B) correspondiente tendrá reflectancia nula y,
por tanto, se transmitirá completamente.
¿Pero qué sucede si la onda incidente no presenta este tipo de polarización? Por
ejemplo, suponed una onda “no polarizada”. Recordad que en realidad esto quie-
a
Podéis ver la polarización en el apartado
2 de este módulo.
re decir que la onda presenta polarización en infinitas direcciones. Recordad también que una polarización lineal en cualquier dirección de polarización se puede
representar como una combinación de polarización paralela y polarización perpendicular. Cuando esta onda incide con el ángulo de Brewster (B) su componente paralela no se verá reflejada, mientras que la componente perpendicular, sí.
Por tanto, la onda reflejada solo presentará polarización perpendicular.
Una vez hemos estudiado el comportamiento en el caso n1  n2, pasamos a
continuación a analizar el caso contrario: una interfaz en la que n1 n2. Veréis
que aparece un fenómenos nuevo que ya os describimos anteriormente y que
ahora explicaremos más detalladamente.
a
Podéis ver el ángulo crítico en el módulo
“Óptica”.
55
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Propagación de ondas electromagnéticas
3.2.5. Ángulo crítico
Podemos aplicar el mismo procedimiento que hemos seguido anteriormente
para determinar el comportamiento de una onda en el caso en el que el índice de refracción del primer medio es mayor que el del segundo (n1  n2).
Un ejemplo de este caso es la misma interfaz entre el agua (n  1,33) y el aire
(n  1) que hemos visto antes, pero ahora vista “desde el otro lado” (desde
dentro del agua).
Como antes, estudiaremos solo el valor de la reflectancia, ya que el resto de los
coeficientes se encuentran a partir de esta. Analicemos cómo evoluciona la reflectancia en función del ángulo de incidencia (i) según las expresiones de la
tabla 3.3:
2
 n cos i  n2 cos t 
Rs   1

 n1 cos i  n2 cos t 
2
 n cos t  n2 cos i 
Rp   1

 n1 cos t  n2 cos i 
(114)
Tal como hemos hecho en el caso anterior, os presentamos la figura 14, donde
hemos representado de manera gráfica las expresiones para las reflectancias
(114). Hemos utilizado como ejemplo la interfaz entre el agua (n1  1,33) y el
aire (n1  1). Notad que, a diferencia del caso del ángulo de Brewster, aquí la
onda va en sentido contrario, es decir, del agua al aire.
Figura 14
Podéis ver el procedimiento para el
ángulo de Brewster en el subapartado
3.2.4 de este módulo.
a
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Propagación de ondas electromagnéticas
Fijaos en que la forma de las curvas es muy similar al caso n1  n2 (figura 13)
e, incluso, volvemos a encontrar el ángulo de Brewster (eso sí, ahora con un
valor inferior al otro caso). Pero el fenómeno más relevante lo encontramos
para un ángulo más grande.
En efecto, podéis observar cómo hay toda una región, a partir de un ángulo
Figura 14
a. Reflectancia en función del
ángulo de incidencia para el
caso n1  n2.
b. Ampliación de la región
próxima al ángulo de Brewster
determinado, donde la reflectancia es 1. Es decir, existe un ángulo límite a partir del cual toda la onda se refleja y ya no hay onda transmitida. Este ángulo
se denomina ángulo crítico, ángulo límite o ángulo de reflexión total.
La determinación del valor exacto del ángulo crítico se puede hacer a partir de
cualquiera de las ecuaciones (114). Solo hay que imponer RS  1 (o Rp  1):
2
 n cos i  n2 cos t 
Rs   1
 1
 n1 cos i  n2 cos t 
(115)
La solución de la ecuación (115) nos da la relación para encontrar el ángulo
crítico (c):
sen c 
n2
n1
(116)
No hemos detallado el proceso de resolución de la ecuación (116) porque queda más allá de los objetivos de la asignatura, y hemos pasado directamente al
resultado. Sí que os diremos que ha sido necesario aplicar la ley de Snell (49),
n1sen1 n2sen2, y la identidad trigonométrica sin2  cos2  1.
Actividad
Obtened la ecuación (116).
El ángulo crítico, ángulo límite o ángulo de reflexión total (c) es el
ángulo de incidencia a partir del cual una onda que incide sobre una interfaz de separación de dos medios se refleja de forma total y no se
transmite hacia el otro medio. Su valor depende solo de los valores de
los índices de refracción de los dos medio implicados:
sen
n c 
n2
n1
(117)
donde n1 y n2 son los índice de refracción respectivos de los dos medios.
El ángulo límite solo aparece cuando el índice de refracción del primer
medio es mayor que el del segundo (n1  n2).
Como podéis comprobar, la relación (117) es la misma que ya vimos anteriormente, en el caso de la óptica geométrica.
a
Podéis ver el ángulo crítico y la reflexión
interna total en el módulo “Óptica”.
57
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Propagación de ondas electromagnéticas
Como en el caso del ángulo de Brewster, el valor específico del ángulo crítico
depende únicamente de los índices de refracción respectivos de los medios implicados (n1 y n2). El significado físico de este ángulo es que una onda que incide sobre una interfaz de separación de medios con un ángulo de incidencia
mayor que el ángulo crítico correspondiente experimenta el efecto de la reflexión total y no se transmite hacia el segundo medio. Un ejemplo de este fenómeno lo podéis encontrar si observáis la superficie del agua vista desde
abajo. Para ciertos ángulos, la superficie aparece como un espejo.
La existencia de un ángulo crítico es una propiedad muy interesante que se
utiliza en multitud de aplicaciones. Una de las más comunes es en el diseño
de fibras ópticas, donde lo que interesa es que la luz que se propaga se refleje
internamente de manera indefinida.
Ejemplo de ángulo crítico
Determinad el ángulo crítico para la interfaz entre el agua (n  1,33) y el aire (n  1).
Solución
Para determinar el ángulo crítico, debéis utilizar la relación (117):
sen c 
n1
n2
Si sustituís los valores de los índices de refracción correspondientes al agua (n1  1,33) y
al aire (n2  1), tendréis:
sen c 
1
 0,75
1,33
(118)
Para acabar, calculad el ángulo crítico a partir del resultado (118):
c  arcosen 0,75 = 49
3.3. ¿Qué hemos aprendido?
En este apartado hemos estudiado los comportamientos de las ondas cuando
inciden sobre una interfaz entre dos medios.
Para comenzar hemos visto las “bases” para este estudio, las condiciones de
frontera, es decir, las condiciones que los campos eléctrico y magnético han
de satisfacer obligatoriamente en las regiones próximas a las interfaces entre
dos medios. Estas condiciones son consecuencia directa de las leyes de Maxwell
que vimos en el módulo correspondiente, a pesar de que aquí las hemos mostrado desde un punto de vista más intuitivo.
A continuación hemos analizado el comportamiento de las ondas al atravesar
una interfaz y hemos deducido las mismas leyes de reflexión y refracción que
vimos anteriormente, pero ahora con más detalle y desde un punto de vista
de las ondas electromagnéticas.
Podéis ver las leyes de reflexión y de
refracción de la luz en el módulo
“Óptica”.
a
CC-BY-SA • PID_00159139
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Durante el estudio hemos comprobado que existen diferencias en el comportamiento entre una onda y otra según su polarización y, por tanto, hemos dividido el análisis en dos casos: uno para una onda con polarización lineal y
con el campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia y otro con el campo eléctrico paralelo. Estos dos casos son la “base” a partir de la cual se puede
estudiar el comportamiento general.
También durante el estudio hemos encontrado que existen algunos ángulos
concretos para los cuales se producen unos comportamientos específicos. Es el
caso del ángulo de Brewster, que corresponde al único ángulo de incidencia para
el cual una onda podría transmitirse completamente y no reflejarse. Y también
es el caso del ángulo crítico, ángulo a partir del cual sucede precisamente lo contrario, es decir, la onda se refleja completamente y no hay transmisión.
Propagación de ondas electromagnéticas
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Propagación de ondas electromagnéticas
4. Reflexión y transmisión por una capa fina:
interferencia
Hasta aquí hemos estudiado la propagación de las ondas electromagnéticas y
su comportamiento al encontrarse con una interfaz entre dos medio materiales diferentes. Ya tenemos, pues, las “herramientas” necesarias para poder ana-
a
Podéis ver la propagación de las ondas
electromagnéticas en los apartados 1 y 2
de este módulo.
Podéis ver su comportamiento al
encontrarse una interfaz en el apartado 3
de este módulo.
lizar algunas configuraciones concretas que se encuentran de modo habitual
en muchas aplicaciones cotidianas.
Si os acordáis, cuando dedujimos los coeficientes de Fresnel y los conceptos de
reflectancia y transmitancia, establecimos una serie de condiciones para sim-
a
Podéis ver los coeficientes de Fresnel en
el subapartado 3.2 de este módulo.
plificar el cálculo. Una de ellas hacía referencia a que los dos lados de la interfaz tenían una extensión infinita. Pero ¿qué sucedería si esta suposición no
fuera cierta, es decir, si el segundo medio tuviera un grueso determinado?
Esta configuración se denomina capa fina y, tal como podéis observar en la
figura 17, se trata de un sistema con tres medios materiales involucrados: el
medio de “entrada”, el medio del interior de la capa y el medio de “salida”.
También podéis observar que en el sistema están presentes dos interfaces de
cambio de medio.
Las capas finas son muy habituales en muchas aplicaciones de los ámbitos de
la telecomunicación y de la óptica, ya que, como veréis en este apartado, una
a
Podéis ver las interferencias aplicadas a
ondas mecánicas en el módulo “Ondas”.
de sus propiedades es que producen interferencias. Esto fenómenos, que ya os
introdujimos aplicado a ondas mecánicas, es el fundamento en el que se basan
buena parte de los mecanismos para separar o filtrar ondas de diferente longitud de onda.
En este apartado estudiaremos el comportamiento de una onda electromagnética cuando atraviesa una capa fina y cómo varía en función de las características tanto de la capa como de la onda misma. Antes volveremos a explicar el
concepto de interferencia en una onda.
4.1. Concepto de interferencia
Antes de entrar en el estudio de las interferencias debidas a una capa fina, es
necesario recordaros el concepto de interferencia. Este fenómeno ya lo vimos
y para explicaros mejor en qué consiste comenzaremos con un ejemplo. En la
figura 15 podéis observar dos ondas circulares con fuentes muy próximas y
que interfieren entre sí.
Podéis ver el concepto de interferencia
en el módulo “Ondas”.
a
CC-BY-SA • PID_00159139
60
Figura 15
Propagación de ondas electromagnéticas
Figura 15
Ejemplo de interferencias creadas por dos ondas circulares
La figura muestra las interferencias creadas por la acción conjunta de dos ondas (en este caso, circulares) de las mismas características pero provinientes
de dos fuenes independientes. Las zonas claras representan los máximos en
la amplitud de la onda, mientras que las zonas oscuras representan los mínimos. En la imagen podéis comprobar que existen puntos en los que la amplitud es siempre máxima y otros en los que es siempre mínima. No los debéis
confundir con los máximos y mínimos de las ondas. Estos últimos se desplazan a medida que la onda se propaga, mientras que los puntos en cuestión
permanecen en posiciones determinadas y fijas, que dependen de factores
geométricos.
La explicación de la existencia de estos puntos radica en que, dado que la distancia que debe recorrer cada una de las ondas desde su respectivo origen hasta llegar al punto en cuestión es diferente, también lo será su desfase.
Anteriormente os introdujimos el principio de superposición, que decía que la
magnitud de la onda resultante de la superposición de dos ondas es la suma
algebraica de las magnitudes de cada una en aquel instante. Esta suma se realiza teniendo en cuenta también el signo de las magnitudes, de tal modo que
si una onda llega con su magnitud positiva y la otra lo hace con la magnitud
negativa, se compensarán de manera parcial o incluso total. Por tanto, la magnitud de la onda resultante en un punto y en un instante determinados depende del desfase con el que llegan las ondas respectivas. Este fenómeno se
conoce como interferencia.
Para visualizar este fenómeno, vale la pena analizar los dos casos extremos:
cuando las ondas llegan en fase entre ellas y cuando las ondas llegan en contrafase. En la figura 16 os mostramos un ejemplo esquemático con estos dos
casos.
a
Podéis ver el principio de superposición
en el módulo “Ondas”.
61
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Figura 16
Figura 16
Explicación esquemática de los
conceptos de interferencia:
a) interferencia constructiva
b) interferencia destructiva
En la figura 16a, las dos ondas están completamente en fase. Esta situación sucede cuando el desfase es un múltiplo par de  (0, 2, 4, ..., 2n). En este caso,
la amplitud resultante es la suma de las dos amplitudes. Decimos que se trata
de una interferencia constructiva.
Recordad
sin   sin( + 2)
cos   cos( + 2)
ej ej(+2)
para cualquier valor de 
En la figura 16b las dos ondas tienen fases opuestas. Esta situación sucede
cuando el desfase es múltiplo impar de  (0, 3, ..., (2n  1)). En este caso, la
amplitud resultante es la diferencia entre las dos amplitudes. Decimos que se
trata de una interferencia destructiva.
Se dice que en un punto donde se propagan dos ondas de fuentes diferentes se produce una interferencia constructiva cuando la diferencia
en el desfase () de ambas es un múltiplo par de:
 2n
( 0, 2, 4, ...)
(119)
En los puntos donde se cumple esta condición, la amplitud de oscilación es máxima.
Se dice que en un punto donde se propagan dos ondas de fuentes diferentes se produce una interferencia destructiva cuando la diferencia
en el desfase () de ambas es un múltiplo impar de :
 (2n + 1)
( , 3, 3, ...)
(120)
En los puntos donde se cumple esta condición, la amplitud de oscilación es mínima.
Delta fi
 es la letra griega delta mayúscula y se suele utilizar para
indicar una diferencia o un
cambio en la magnitud a la
que acompaña.
Así,  indica una diferencia de
 y se lee “delta fi”.
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62
Propagación de ondas electromagnéticas
En el resto de los casos nos encontraremos en un término medio. Debéis tener
presente que la amplitud será más grande cuanto más se acerque a un múltiplo
par de , y más pequeña cuanto más se acerque a un múltiplo impar.
Una vez ya conocéis el concepto de interferencia, podemos proceder, ahora sí,
al estudio de las reflexiones y transmisiones sucesivas que se producen en una
capa fina.
4.2. Estudio de las reflexiones y transmisiones en una capa fina
Como ya vimos, cuando una onda incide sobre una superficie de cambio de
medio se genera una onda reflejada y otra transmitida. En el caso de una capa
a
Podéis ver las ondas reflejadas y las
ondas transmitidas en el apartado 3 de
este módulo.
fina, una vez la onda incidente ha atravesado la primera interfaz, se encuentra
con una segunda interfaz, correspondiente a la otra cara de la capa fina.
En la figura 17 podéis visualizar un ejemplo esquemático de una capa fina de
grueso l en cuyo interior hay un medio material B con índice de refracción n.
La capa está ubicada entre dos medio (A y C). Para simplificar, supondremos
que estos medios A y C son el aire, con un índice de refracción muy cercano
al del vacío (n  1); también supondremos que el medio B es un medio no conductor que no presenta absorción.
Figura 17
Figura 17
Esquema de las reflexiones y
transmisiones sucesivas en una
capa fina
En el dibujo podéis ver una onda (I) que viaja por un medio material A. Al incidir sobre la interfaz de separación con el medio B, se “divide” en dos ondas: una
reflejada (R0) que retorna hacia el medio A y una transmitida que se propaga por
el interior de B con un ángulo  respecto a la perpendicular a la superficie.
La onda que ha continuado su camino por el interior de B ahora se encuentra
con la segunda interfaz, la que separa B y C. En consecuencia, vuelve a generar
dos nuevas ondas: una nueva onda reflejada que “vuelve atrás” por el interior
CC-BY-SA • PID_00159139
63
Propagación de ondas electromagnéticas
de B y una onda transmitida (T0) que continúa su camino ya por el exterior
del medio C.
De la misma manera, la onda que ya ha sido reflejada una vez y se está propagando hacia atrás por el interior de B se reencuentra con la primera interfaz
entre A y B por donde ya ha pasado antes, pero ahora lo hace en sentido contrario. De nuevo, podéis ver que vuelven a generarse dos ondas: una nueva reflejada que continúa en el interior de B y una onda (R1) que atraviesa la
interfaz y continúa su camino por el exterior, A.
Este proceso se repite de manera indefinida y se generan las ondas R2, R3, etc.,
en el medio A y T1, T2, etc. en el medio C.
Limitaremos el análisis al último grupo de ondas (las del medio C), ya que son
las que nos interesan. A partir de la figura 18 podéis deducir que las ondas que
se propagan por el medio C (T0, T1, T2, ...) son todas ellas paralelas y su dirección de propagación es exactamente la misma que la de la onda incidente inicial l (desplazadas lateralmente, eso sí).
Figura 18
Figura 18
Esquema de las reflexiones y
transmisiones sucesivas en una
capa fina. Se han incluido los
ángulos involucrados.
En efecto, si analizáis bien la geometría de la imagen, podéis comprobar que
todos los ángulos de las reflexiones internas son iguales (). Por tanto, y dado
que los medios exteriores presentan el mismo índice de refracción (n  1), los
ángulos exteriores también han de ser iguales (0).
Ahora bien, ya sabemos que aparece un número indefinido de ondas paralelas
y equidistantes entre sí, pero ¿cómo son estas ondas? ¿Son todas iguales entre sí?
Para responder a esta pregunta, echad un vistazo a la figura 19, donde os mostramos los recorridos que hacen la onda T0, que no ha experimentado ninguna reflexión interna (figura 19a), y la onda T1, que ha experimentado dos
reflexiones internas (figura 19b).
64
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Propagación de ondas electromagnéticas
Figura 19
Podéis comprobar que ambas ondas hacen una parte de recorrido compartido,
en concreto hasta el punto b. A partir de aquí, la onda T1 hará un recorrido
“de más” respecto a la onda T0. A continuación analizaremos por separado
Figura 19
Comparativa de los recorridos
de las ondas T0 y T1.
cómo afecta este recorrido a la intensidad y la amplitud de la onda, por una
parte, y a su desfase, por otra.
Intensidad y amplitud
A lo largo del recorrido entre b y d, la onda T1 experimenta dos reflexiones
internas y, por tanto, su intensidad se verá reducida un cierto factor debido a
estas reflexiones. Si os acordáis, anteriormente (ecuaciones (73) o (98)) os introdujimos el concepto de reflectancia como el cociente entre las intensidades
de las ondas reflejada e incidente:
R
Ir
Ii
(121)
donde Ii y Ir son las intensidades de las ondas incidente y reflejada, respectivamente.
Por tanto, la reducción de la intensidad de la onda T1 respecto a la de T0 a causa de la distancia adicional recorrida entre b y d es:
I1
 R  R  R2
I0
(122)
donde I0 y I1 son las intensidades de las ondas T0 y T1, y R es la reflectancia de
las dos interfaces entre el medio interior B y los medios exteriores A y C. Fijaos
en que hemos multiplicado por R dos veces porque ha habido dos reflexiones.
El mismo razonamiento se podría aplicar a las sucesivas ondas T2, T3, ... Para
una hipotética onda Tm, la reducción de la intensidad a causa de las sucesivas
reflexiones internas sería:
Im
 R2 m
I0
(123)
a
Podéis ver el concepto de reflectancia en
el subapartado 3.2 de este módulo.
65
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
donde I0 y Im son las intensidades de las ondas T0 y Tm, y R es la reflectancia
de las dos interfaces entre el medio interior B y los medios exteriores A y C.
Notad que el exponente 2m se debe al hecho de que la onda Tm ha experimentado 2m reflexiones en el interior de la capa fina.
Para encontrar la reducción de la amplitud, debéis recordar que la intensidad
es proporcional al cuadrado de la amplitud (podéis consultar la ecuación (68)).
Por tanto, para la onda Tm, tendremos que:
Am
 R2 m  R m
A0
(124)
donde A0 y Am son las amplitudes (tanto del campo eléctrico como del campo
magnético) de las ondas T0 y Tm y R es la reflectancia de las dos interfaces entre
el medio interior B y los medios exteriores A y C.
Desfase
Hemos dejado para el final el aspecto de la onda más relevante para nuestro
propósito: su desfase. Si os acordáis, hemos iniciado este apartado introduciendo el concepto de interferencia y hemos visto que esta se debía al desfase
entre dos ondas que llegan a un mismo punto en un cierto instante. Por tanto,
es importante deducir el desfase de la onda para después poderlo comparar
con el del resto de las ondas que se han producido.
Anteriormente os explicamos el concepto de desfase y su relación con la distancia recorrida por la onda. Recordad que el desfase presente en una onda de-
a
Podéis ver el concepto de desfase en el
módulo “Ondas”.
bido al recorrido que ha efectuado al propagarse en la dirección x es:
k·x
(125)
donde k es la constante de onda en el medio interior (B) y x es la distancia
recorrida.
Para calcular el desfase  debido a la propagación a lo largo de todo el grueso
de la capa fina, debéis determinar la distancia recorrida para atravesarla. Observad de nuevo la figura 19. Si la onda se estuviera propagando en una dirección perpendicular a las interfaces, la distancia recorrida sería x  l. Pero, dado
que la onda se propaga por el interior con un ángulo , la distancia recorrida
será x  l
, entonces:
cos 
 k
l
cos 
(126)
Podéis comprobar, en la figura 19b, que la onda T1 atraviesa la capa fina dos
veces. Por tanto, el desfase será dos veces el de la expresión (126):

2 kl
cos 
(127)
Recordad
La constante de onda k es uno
de los parámetros de una onda
y está relacionada con su frecuencia (f) y su velocidad de
propagación (v):
k
f
v
66
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Propagación de ondas electromagnéticas
Para una hipotética onda Tm, el desfase será 2m veces el de la expresión (126):

2mkl
cos 
(128)
Sin embargo, no hemos acabado aquí con el desfase, ya que hay otra contribución al desfase que también debéis tener en cuenta. Si os fijáis en la figura
20a, el hecho de que las ondas transmitidas se propaguen en una dirección no
perpendicular a la superficie hace que los puntos de “salida” no estén a la misma distancia del frente de onda. Para que fuera así, la onda T1 debería tener el
punto de salida en e.
Figura 20
Figura 20
Comparativa de los recorridos
de las ondas T0 y T1.
En efecto, podéis comprobar cómo el punto d se encuentra avanzado una distancia l0 respecto al punto b. Este avance se traduce en el cálculo del desfase
como un término que hay que restar al desfase total que hemos calculado hasta ahora:
 k0l0
(129)
donde k0 es la constante de onda en el medio exterior (C).
Para determinar el valor exacto de esta distancia l0, es necesario que observéis
el esquema de la figura 20b. Si utilizáis las relaciones trigonométricas que se
indican, podréis comprobar que el valor de l0 es:
l0  2l · tan  sen 0
(130)
Si os fijáis, el último término se puede sustituir, mediante la ley de Snell (49),
que ya hemos visto, con la consideración de que el medio exterior es el aire
(n0  1):
sin 0 n sen 
donde n es el índice de refracción del medio interior (B).
(131)
Podéis ver la ley de Snell en el
subapartado 3.2 de este módulo.
a
67
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Propagación de ondas electromagnéticas
Si sustituís la igualdad (131) dentro de la expresión para l0 (130) tendréis:
l0  2nl · tan  sen 
(132)
Por tanto, el desfase total de la onda Tm será la resta de los desfases debidos a
(128) y a (132) combinados con (129):

2mkl
 k0 2nl tan  sen
cos 
(133)
Finalmente, podéis expresar las constantes de onda k y k0 en función de la longitud de onda () de la onda incidente y de los índices de refracción respecti-
Recordad
1. La constante de ondas (k) es:
vos:
k
k
2 n
2 n0 2 
; k0 




(134)
2. El índice de refracción (n) de
un medio es:
n
Donde n0 corresponde al índice de refracción de c que en nuestro caso es 1.
Si sustituís los valores de las igualdades (134) dentro del desfase total tendréis,
2πf
v
c
v
3. Y la relación entre la frecuencia f y la longitud de onda  es:
f   c
finalmente:
n m

  4l 
 tan  sen 
  cos 

(135)
Ya conocemos la variación en la amplitud (124) y en el desfase (135) que se
produce en la onda Tm al atravesar la capa fina. Podéis reunir ambos conceptos
en un único factor:
n m

j 4l 
 tan  sen 
Am
  cos 

 R me
A0
(136)
La expresión (136) es poco práctica, ya que interviene en ella el ángulo , que
es el ángulo de las reflexiones internas y no se puede medir directamente. Sin
embargo,la expresión se puede simplicar de manera considerable si suponemos valores pequeños de . Esta es una situación muy habitual, ya que para la
mayoría de las aplicaciones en las que se utilizan las capas finas, en general las
ondas inciden de manera perpendicular y, por tanto, se puede hacer la aproximación   0. Bajo esta suposición podéis hacer las sustituciones siguientes:
sen   0 ; cos   1 ; tan   0
(137)
La reducción en las magnitudes del campo eléctrico (E) o del campo
magnético (B) de una onda que experimenta m reflexiones internas en
una capa fina para ángulos de incidencia muy pequeños (  0) es:
jm
Em Bm

 R me
E0
B0
4
nl

(138)
Recordad
Cualquier número complejo se
puede representar de la forma
Aej. Cuando este número
multiplica una onda, el factor A
(módulo) solo modifica su amplitud, mientras que el factor
ej (fasor), lo que hace es modificar su desfase.
CC-BY-SA • PID_00159139
68
Propagación de ondas electromagnéticas
donde l es el grueso de la capa fina, n es el índice de refracción del medio
de su interior, R es la reflectancia entre el medio interior y el medio exterior y  es la longitud de onda de la onda incidente.
Hemos visto que cuando una onda electromagnética incide sobre una de las
caras de una capa fina, en el otro lado se genera una serie indefinida de ondas
paralelas con las mismas características que la onda inicial pero con valores de
amplitud y desfase diferentes.
Al principio del apartado hemos introducido el concepto de interferencia y
hemos explicado que cuando dos (o más) ondas llegan a un punto con amplitud y desfase diferente, se producirán interferencias. Este es precisamente el
efecto que se busca en una capa fina.
El desfase entre los diferentes haces que se producen depende, según la expresión (138), de la longitud de onda  de la onda incidente (también depende
de algunas características del propio dispositivo, como el grueso l o el índice
de refracción de su interior n, pero estas son fijas). Por tanto,lo que encontraremos es que algunas ondas producirán interferencia constructiva y otras producirán interferencia destructiva, según el valor de .
Los dispositivos que se basan en esta configuración de capa fina se denominan
interferómetros de Fabry-Pérot y se utilizan para la detección o el filtrado de
ondas con unas longitudes de onda determinadas.
4.3. ¿Qué hemos aprendido?
En este apartado hemos visto el primero de los ejemplos de configuraciones
básicas, una capa fina de un material dieléctrico, y hemos estudiado el comportamiento de las ondas electromagnéticas cuando inciden en ella.
Hemos comenzado explicando el concepto de interferencia y su funcionamiento físico para poderlo utilizar más adelante.
A continuación hemos analizado el comportamiento específico de las ondas
en el interior de una capa fina y hemos visto que el resultado es que las ondas
transmitidas producirán interferencias que podrán ser constructivas o destructivas en función de su longitud de onda.
Podéis ver el concepto de interferencia
en el subapartado 4.1 de este módulo.
a
a
Podéis ver el comportamiento de las
ondas en el interior de una capa fina en
el subapartado 4.2 de este módulo.
CC-BY-SA • PID_00159139
69
Propagación de ondas electromagnéticas
5. Guías de onda
Ya hemos estudiado el comportamiento de una onda electromagnética cuando incide sobre una capa fina. Hemos visto que esta configuración tiene muchas aplicaciones bastante interesantes, especialmente como filtros de ondas.
En este apartado estudiaremos una nueva configuración también muy habitual en el mundo cotidiano. Se trata de regiones limitadas por medios materiales en todas sus direcciones excepto en una. Es decir, como un tubo de
longitud indefinida. Esta configuración se denomina guía de onda.
En el mundo hay un gran número de estructuras que se pueden considerar o
catalogar como guías de onda. Estos elementos se utilizan principalmente para
propagar ondas electromagnéticas destinadas a transmitir información. Estas
“señales” son, en general, ondas de frecuencia elevada y a menudo nos encontramos con que no podrían ser transmitidas de otras formas, ya sea por la baja
eficiencia de los sistemas utilizados o porque producirían intereferencias sobre
otros dispositivos.
En este apartado estudiaremos el comportamiento de las ondas en estructuras
de este tipo y explicaremos el fundamento físico en el que se basan. Podríamos
decir, de manera muy simplificada, que una guía de ondas canaliza un cierto
tipo de ondas electromagnéticas y permite que se propaguen con una atenuación mínima. Por el contrario, otras frecuencias se verán muy atenuadas y, por
tanto, será casi imposible su propagación por la guía de onda. Eso explica, por
ejemplo, que nos sea muy difícil sintonizar una emisora de radio cuando circulamos por un túnel muy largo. Podríamos decir que el túnel está actuando
como una guía de onda y no deja pasar las ondas de radio porque, como veremos, las guías de onda solo propagan determinadas longitudes de onda.
¿De qué depende que unas ondas se puedan propagar por una guía de onda y
otras no? Depende de varios factores, los más relevantes de los cuales son su
geometría y sus dimensiones.
Para no alargar el texto de manera considerable, limitaremos el estudio al caso
más simple: las guías de onda de sección rectangular. El estudio de este caso es
suficiente para entender el fundamento físico general de las guías de onda.
5.1. Guías de onda de sección rectangular
Ya hemos dicho que una guía de onda es una región del espacio limitada por
un medio material en todas sus direcciones excepto en una. En una guía de
a
Podéis ver el comportamiento de una
onda al incidir sobre una capa fina en el
apartado 4 de este módulo.
CC-BY-SA • PID_00159139
70
Propagación de ondas electromagnéticas
onda de sección rectangular, la región está limitada por dos parejas de planos
paralelos entre sí de tal manera que, visto desde los lados abiertos, se observará
una sección con forma rectangular (en la figura 21 podéis visualizar un dibujo
esquemático). Las direcciones x e y son las que están limitadas, mientras que
la dirección z es la que se encuentra libre.
Figura 21
En el dibujo se muestran las diferentes secciones de una guía de onda rectangular
de dimensiones a y b. Veremos más adelante que precisamente los valores exactos
de a y b determinan las características de las ondas que se pueden propagar.
A continuación estudiaremos el comportamiento de las ondas electromagnéticas en el interior de una guía de onda rectangular. Puesto que el análisis completo puede llegar a ser bastante complicado, consideraremos una serie de
suposiciones y aproximaciones, que corresponden a las situaciones más habituales en la práctica y no afectan al resultado general de forma significativa.
Estas suposiciones son:
Figura 21
Esquema de una guía de onda
de sección rectangular.
a) Sección transversal, plano
xy, es decir, vista desde delante.
b) Longitudinal, plano yz, es
decir, como si lo hubieran cortado longitudinalmente desde
arriba.
c) Longitudinal desde arriba,
plano xz, es decir, como si lo
hubieran cortado para hacer
un bocadillo.
• Las paredes limitadoras son de un material conductor perfecto (  ).
Recordad que, según la ecuación (19), la conductividad de un material aumenta la atenuación sobre las ondas electromagnéticas que se propagan
por él. Un material con una alta conductividad presenta una atenuación
elevada, y eso quiere decir que las ondas no pueden penetrar en él. Por tanto, si las paredes de la guía de onda son conductores perfectos, la consecuencia es que las paredes actúan como “barreras”
• En el interior de la guía hay o bien el vacío o bien un material dieléctrico
i. h. l. Eso quiere decir que los valores correspondientes de la permitividad
eléctrica () y de la permeabilidad magnética () son constantes y reales.
Recordad
Un medio i. h. l. es un medio:
• Isótropo: sus características
electromagnéticas no dependen de la dirección de
propagación.
• Homogéneo: sus características son las mismas en
cualquier punto del medio.
• Lineal: sus características
eléctricas y magnéticas dependen linealmente de los
campos eléctrico
y magnético.
71
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
• Para simplificar los cálculos, supondremos los ejes de coordenadas tal y
como se muestran en la figura 21. Los ejes x e y corresponden a las direcciones de los dos planos que determinan la sección rectangular, mientras
que el eje z corresponde a la dirección longitudinal de la guía de onda. Esta
suposición no afecta al resultado final, ya que la elección de los ejes de coordenadas es totalmente arbitraria.
Una vez tenemos claras las suposiciones anteriores, suponed ahora que en el
interior de la guía de onda se propaga una onda electromagnética a lo largo de
la dirección longitudinal (z). La podéis representar mediante las expresiones
siguientes:
 
j kz t 
E  E0  x, y   e 
 
j kz t 
B  B0  x, y   e 
Recordad
(139)


donde E0 y B0 son las amplitudes de oscilación de los campos eléctrico y magnético y ej(kzt) es el fasor correspondiente.
Las expresiones (139) son la generalización de un número infinito de ondas posibles. No obstante, y como ya hemos insinuado antes, no todas se pueden propagar en una guía de onda. Las soluciones posibles están limitadas a aquellas que
cumplen una serie de condiciones, las llamadas condiciones de contorno. En una
guía de onda como la que estamos estudiando, estas condiciones se deben al hecho de que la región está limitada físicamente por las paredes conductoras.
Las condiciones de contorno se pueden determinar a partir de las propiedades
Un término del tipo ej es un
número complejo equivalente
a:
ej  cos  + jsen 
donde j es la unidad imaginaria
( j  1 i j2  1).
Recordad
Una ecuación diferencial en
general puede tener infinitas
soluciones. Las condiciones de
contorno son las condiciones
que la geometría o la física de
un problema obligan a satisfacer y que permiten discriminar
entre las soluciones matemáticas que son válidas y las que
no.
de los campos eléctrico y magnético en las regiones cercanas a un conductor.
En la figura 22 podéis visualizar un ejemplo que os permitirá entender estas
condiciones.En el ejemplo hemos utilizado la configuración más básica de un
material conductor (hilos rectilíneos perpendiculares al plano del papel), para
facilitar su comprensión.
Figura 22
Figura 22
Ejemplo de los campos eléctrico y magnético en los alrededores de dos conductores. El
esquema nos permite deducir
las condiciones de contorno a
causa de la presencia de un
material conductor.
a) Campo eléctrico en los alrededores de un plano conductor.
b) Campo magnético alrededor de un plano conductor.
Fijaos en que dentro del conductor está la imagen especular de lo que hay fuera.
CC-BY-SA • PID_00159139
72
• El campo eléctrico en la superficie de las paredes conductoras no puede
tener componente tangencial (figura 22a). Fijaos en que las líneas de campo entran perpendiculares a la superficie de separación. Esta condición es
Propagación de ondas electromagnéticas
a
Podéis ver las características del campo
eléctrico en el subapartado 3.1.1 de este
módulo.
Podéis ver las características del campo
magnético en el subapartado 3.1.2 de
este módulo.
una característica del campo eléctrico en regiones cercanas a un material
conductor y ya lo habéis visto anteriormente.
• El campo magnético en la superficie de las paredes conductoras no puede
tener componente normal (figura 22b). Fijaos en que las líneas de campo
son tangentes a la superficie de separación. Esta condición es una característica del campo magnético en regiones cercanas a un material conductor
y ya lo habéis visto anteriormente.
Estas condiciones de contorno son de cumplimiento obligatorio para cualquier material conductor y para cualquier geometría. Por tanto, las expresiones (139), que realmente son ondas electromagnéticas posibles, estarán
limitadas a aquellas que cumplan estas condiciones.
Llamamos modo a cada una de las ondas electromagnéticas posibles
que cumplen las condiciones de contorno y que, por tanto, se pueden
propagar en una guía de onda.
Los modos correspondientes a una guía de onda son las oscilaciones “básicas”
que se pueden producir en ella. Todas las oscilaciones en los campos eléctrico
y magnético que se producirán en una guía de onda son combinaciones de un
número indefinido de estos modos.
Con tal de determinar cómo son estos modos, lo que haremos será hacer una
clasificación según cómo sean sus campos eléctrico o magnético. Es importante que notéis que esta clasificación que realizaremos no es la única posible y
su elección es arbitraria. Los motivos que nos llevan a proceder con esta clasificación son:
• Esta clasificación nos permite simplificar los cálculos.
• Es una clasificación que nos sirve de manera habitual en el estudio de las
guías de ondas.
• Cualquier modo que se produzca en una guía de ondas rectangular se puede
descomponer en una combinación de distintos modos de estos dos grupos.
Así pues, tendremos que los modos de ondas electromagnéticas en una guía
de onda se pueden clasificar en:
• Modos transversales eléctricos (TE)
En estos modos, la componente del campo eléctrico en la dirección longitudinal (eje z) de la guía de onda es cero (Ez = 0) para cualquier punto de
su interior.
Etapa transitoria
En realidad, el proceso mediante el cual se “discriminan”
ciertas ondas de las otras (lo
que llamamos etapa transitoria) es bastante más complejo.
Sin embargo, lo que nos interesa para nuestro propósito es
solo el estado final (o estacionario). Es decir, que los modos
son las únicas ondas que se
mantienen.
73
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
• Modos transversales magnéticos (TM)
En estos modos, ahora es la componente del campo magnético la que es
cero en la dirección longitudinal de la guía de onda (Bz = 0) para cualquier
punto de su interior.
A continuación, estudiaremos estos dos primeros grupos de modos por separado. Comenzaremos por los modos transversales eléctricos.
5.1.1. Modos transversales eléctricos (TE)
Como ya hemos mencionado, en un modo transversal eléctrico (TE) el campo
eléctrico es nulo en la dirección longitudinal (Ez  0). Por tanto, tendremos:
Ex  E0x(x,y) · ej(kzt)
Ey  E0y(x,y) · ej(kzt)
Ez  0
(140)
donde E0x y E0y son las amplitudes de oscilación.
Recordad
Por otro lado, debido a que tanto Ex como E0y son componentes de una onda
electromagnética, habrán de satisfacer las ecuaciones de onda correspondientes:
2 Ex
t
2
2 Ey
t 2

1 2
 Ex  0

1 
 2 Ey  0


 2u
t 2
(141)
en el interior de la guía de onda.
Y, dado que se trata del campo eléctrico, deberán satisfacerse las condiciones de
contorno correspondientes. Es decir, que el campo eléctrico no tenga componente tangencial en las regiones de alrededor de las paredes conductoras. Para ver
cómo se traducen estas condiciones en la guía de onda, observad la figura 23.
A partir del esquema (a) podéis deducir que:
Ex(y0)  Ex(yb) = 0
(142)
Una vez determinadas las condiciones de contorno del problema, ya podemos
resolver las ecuaciones (141). No detallaremos el proceso de resolución porque queda más allá de los objetivos de la asignatura y pasaremos directamente
al resultado.
 
 c 22u  0
y
donde  y  son la permeabilidad magnética y permitividad eléctrica del medio
Ey(x0)  Ey(xa)0
La ecuación diferencial que explica el comportamiento de
una onda cualquiera que se
propaga con una velocidad c
es:
c
1

a
Podéis ver las ecuaciones de ondas en el
módulo “Leyes de Maxwell”.
74
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Las componentes del campo eléctrico en el interior de la guía de onda son:
 m 
 n  j  kz t 
Ex  AEx cos 
x  sen 
y e
 a 
 b 
 m 
 n  j  kz t 
Ey  AEy sen 
x  cos 
ye
 a 
 b 
Ez  0
(m, n  0, 1, 2, 3, ...)
(143)
donde AE y AE son las amplitudes de oscilación o valores máximos de cada
y
x
componente, a y b son las dimensiones de la guía de onda y m y n son cualquier combinación de números enteros.
Más adelante explicaremos el significado de las ecuaciones y de sus parámetros. Antes procederemos al cálculo del campo magnético:
Bx  B0x(x,y) · ej(kzt)
By  B0y(x,y) · ej(kzt)
Bz  B0z(x,y) · ej(kzt)
(144)
Como en el caso del campo eléctrico, el campo magnético también ha de satisfacer las condiciones de contorno. En este caso, las que tienen que hacerse
cero son las componentes normales (para entender mejor de dónde salen, podéis volver a consultar la figura 21):
Bx(x0)  Bx(xa)0
By(y0)  By(yb)0
(145)
Tampoco explicaremos el proceso de resolución de la ecuación y os daremos
directamente el resultado:
 m 
 n  j  kz t 
Bx  ABx sen 
x  cos 
ye
a


 b 
 m 
 n  j  kz t 
By  ABy cos 
x  sen 
y e
 a 
 b 
 m 
 n  j  kz t 
Bz  ABz cos 
x  cos 
y e
 a 
 b 
(m, n  0, 1, 2, 3, ...)
(146)
75
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
donde AB , AB y AB son las amplitudes de oscilación o valores máximos de
y
x
z
cada componente, a y b son las dimensiones de la guía de onda y m y n son
cualquier combinación de números enteros.
Ahora ya sí que podemos analizar las ecuaciones (143) y (146):
• El primer término de las ecuaciones ( AB , AB , ...) corresponde a los valores
x
y
máximos que pueden alcanzar los campos. No entraremos en detalle en sus
valores exactos, ya que no entra dentro de los objetivos de este módulo.
• El segundo y tercer término incluyen las dependencias de los campos
respecto a las direcciones transversales x e y. Fijaos en que en todos los
casos se trata de funciones armónicas del tipo sin(kx), cos(ky), etc. Los
valores de k son diferentes para x y para y y dependiendo de las dimensiones de la guía en las direcciones respectivas, como en el caso de las
ondas estacionarias que ya visteis.
En efecto, si hacemos un corte transversal y analizamos la amplitud de
cualquiera de las componentes del campo a lo largo de uno de los ejes, po-
Podéis ver las ondas estacionarias en el
módulo “Ondas”.
a
déis comprobar que se comporta como una onda estacionaria con una longitud de onda que siempre será un divisor exacto de la distancia entre las
paredes respectivas. Los valores de m y n indican precisamente el número
de máximos a lo largo de las direcciones respectivas x e y. En la figura 23 se
muestra, a modo de ejemplo, cómo sería la amplitud de la componente Ey
a lo largo de la dirección x para los casos m  1, 2, 3 y 4.
Figura 23
Figura 23
Esquema de los modos de oscilación de Ey que se producen a
lo largo de una de las direcciones transversales de la guía de
onda (en el ejemplo, la dirección x) para los casos:
a) m  1,
b) m = 2,
c) m = 3, y
d) m = 4.
En el ejemplo de la figura podéis comprobar que m  1 implica que el
campo presenta un máximo de amplitud a lo largo del eje x, m  2 indica
que se producen dos (uno positivo y uno negativo). Y así sucesivamente
para m  3, 4, 5, ... Por su parte, a pesar de que no lo hemos incluido en
la figura, n  1 indicaría que habrá un máximo a lo largo de la dirección y,
76
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
n  2 quiere decir que habrá dos, etc. Los casos m  0 y n  0 no los hemos
incluido porque implican que el campo es constante en la dirección respectiva.
• El último término (ej(kzt)) es el fasor de la onda correspondiente. Recordad que el fasor indica cómo varía el desfase tanto en el tiempo como en
la dirección longitudinal (z).
Las diferentes combinaciones de valores de m y n determinan cada uno de los
modos posibles en una guía de onda. Para identificar los modos, los denominaremos utilizando la notación TEmn, donde los subíndices corresponden a
los valores respectivos de m y n.
En una guía de onda, un modo transversal eléctrico TEmn es aquel en
el que no hay componente del campo eléctrico en la dirección longitudinal (z).
Para el caso de una guía de onda de sección rectangular, los campos
eléctrico y magnético en un modo TEmn son:
Recursos en Internet
En la web http://www.falstad.com/embox/guide.html
(en inglés) encontraréis una
miniaplicación (applet) donde
podéis visualizar una simulación de los modos transversales eléctricos (TE) en una guía
de onda rectangular.
 m 
 n  j  kz t 
Ex  AEx cos 
x  sen 
ye
 a 
 b 
 m 
 n  j  kz t 
Ey  AEy sen 
x  cos 
ye
 a 
 b 
Ez  0
 m 
 n  j  kz t 
Bx  ABx sen 
x  cos 
ye
 a 
 b 
 m 
 n  j  kz t 
By  ABy cos 
x  sen 
ye
 a 
 b 
 m 
 n  j  kz t 
Bz  ABz cos 
x  cos 
y e
 a 
 b 
(147)
donde AEx , AEy , ABx , AB y AB son las amplitudes de oscilación o
y
z
valores máximos de cada componente, a y b son las dimensiones de la
guía de onda y m y n son cualquier combinación de números enteros
(m, n  0, 1, 2, 3 ...).
Para acabar de entender el significado de los modos, analizaremos un caso particular: el modo TE10. Este es, junto con el TE01, el modo más simple y tam
bién el más fácil de entender. Veamos cómo son el campo eléctrico ( E ) y
¿Existe el modo TE00?
El “modo” TE00 no existe como
tal, ya que eso implicaría Ex  0,
Ey  0 y Ez  0. Es decir, que no
habría ninguna onda.
77
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas

magnético ( B ) en este modo. Para encontrarlos hay que sustituir m  1 y n  0
en las expresiones (147):
Ex  0
Recordad
 π  j kz t 
Ey  AEy sen  x  e 
a 
sen 0  sen 2  ...  0
cos 0  cos 2  ...  1
Ez  0
 π  j kz t 
Bx  ABx sen  x  e 
a 
By  0
 π  j kz t 
Bz  ABz cos  x  e 
a 
(148)
En la figura 24 podéis visualizar una representación gráfica de las amplitudes
de estos campos en una sección transversal, es decir, vista desde delante (figura 24a); longitudinal, desde arriba (como si la hubiésemos cortado para hacer
un bocadillo, figura 24b); y desde el lado (figura 24c).
Fijaos primero en el campo eléctrico. Como Ex  0 y Ez  0, este campo solo presenta componente en la dirección y. En los esquemas a y b podéis comprobar
que, efectivamente, el campo eléctrico siempre apunta en esta dirección (flechas continuas). En el esquema c el campo eléctrico es perpendicular al plano
del papel y puede ir hacia afuera (por eso está representado con el símbolo •).
Figura 24
Su amplitud es una función sinusoidal que se hace cero en x  0 y en x  a y
tiene un máximo en el centro de la guía. Por ello las líneas de campo están más
Figura 24
Esquema del campo eléctrico y
magnético en un modo TE10
de una guía de onda de sección rectangular.
a) Sección transversal, plano
xy, es decir, visto desde delante. El campo eléctrico se representa con flechas verticales.
b) Sección lateral, plano zy.
El campo eléctrico se representa con flechas verticales.
c) Longitudinal desde arriba,
plano xz. Es decir, como cuando cortamos una barra de pan
para un bocadillo. El campo
magnético se representa con líneas discontinuas, y el campo
eléctrico con flechas verticales
y cruces o puntos según si entra o sale del papel.
78
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
separadas cerca de las paredes y más juntas hacia el centro. Podéis comprobar
que este comportamiento de Ex, Ey y Ez está totalmente en concordancia con
la condición de contorno que dice que el campo eléctrico sólo puede ser normal en la pared de la guía de onda (podéis ver las figuras 25a y 25b).
Respecto al campo magnético, podéis comprobar que ahora sucede justamente a la inversa: no hay componente en la dirección y (By  0) pero sí en el resto
(observad la figura 24c, donde se ha representado con líneas discontinuas).
Este hecho no os debería sorprender si recordáis que los campos eléctrico y
magnético siempre son perpendiculares entre sí.
La amplitud de Bx varía igual que la de Ey, es decir, es cero en x  0 y en x  a
y tiene un máximo en el centro de la guía. La amplitud de Bz, en cambio, es
máxima en x  0 y en x  a y presenta un mínimo en el centro de la guía. Podéis
comprobar que este comportamiento de Bx, By y Bz está totalmente en concordancia con la condición de contorno que dice que el campo magnético sólo
puede ser tangencial a la pared de la guía de onda (podéis ver la figura 24c).
Ya os hemos introducido el concepto de modos de una guía y hemos visto el
primer grupo de clasificación: los modos transversales eléctricos (TE). A continuación veremos el segundo grupo: los modos transversales magnéticos (TM).
5.1.2. Modos transversales magnéticos (TM)
En los modos TE que hemos estudiado hasta ahora hemos incluido todos
aquellos que no presentan componente del campo eléctrico en la dirección de
propagación (Ez  0). En este apartado estudiaremos aquellos que no presentan
componente del campo magnético en esta misma dirección (Bz  0). Estos modos reciben el nombre de transversales magnéticos (TM). Los modos TM podríamos decir que son los complementarios de los transversales eléctricos (TE).
Por tanto, las expresiones de los campos eléctrico y magnético para los modos
TM son:
Ex  E0x(x,y) · ej(kzt)
Ey  E0y(x,y) · ej(kzt)
Ez  E0z(x,y) · ej(kzt)
Bx  B0x(x,y) · ej(kzt)
By  B0y(x,y) · ej(kzt)
Bz  0
donde E0x, E0y, etc., son las amplitudes de oscilación.
(149)
79
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Estas expresiones han de satisfacer las ecuaciones de ondas que ya conocéis:

2 E
t 2

2 B
t
2
La ecuación diferencial que explica el comportamiento de
una onda cualquiera que se
propaga con una velocidad c
es:
1  
  2E  0


1  2
 B0

Recordad

2 u
(150)
Tal y como hemos procedido con los modos TE, tenemos que imponer que las
soluciones de las ecuaciones (150) satisfagan las condiciones de contorno. Re-
t
2
 
 c 2 2 u  0
a
Podéis ver las ecuaciones de ondas en el
módulo “Leyes de Maxwell”.
cordemos cuáles eran estas condiciones (para verlas más claras, volved a echar
un vistazo a las figuras 21 y 22):

• El campo eléctrico ( E ) no puede tener componente tangencial sobre la
superficie de las paredes conductoras:
Ex(y0)  Ex(yb) 0
Ey(x0)  Ey(xa)0
(151)

• El campo magnético ( B ) no puede tener componente normal sobre la superficie de las paredes conductoras:
Bx(x0)  Bx(xa)0
By(y0)  By(yb)0
(152)
El proceso de resolución de las ecuaciones (150) queda más allá de los objetivos de la asignatura y pasaremos directamente al resultado. Observaréis que el
resultado es muy similar al que hemos encontrado para los modos TE. La única diferencia está en las componentes Ez y Bz (las componentes longitudinales), a causa de la propia definición de los modos TE y TM.
De manera análoga al caso de los modos TE, para los modos transversales magnéticos (TM) utilizaremos la denominación TMmn, donde los subíndices corresponden a los valores respectivos de m y n.
En una guía de onda, un modo transversal magnético TMmn es aquel
en el que no hay componente del campo magnético en la dirección longitudinal (z). Para una guía de onda de sección rectangular, los campos
eléctrico y magnético en un modo de este tipo son:
 m 
 n  j  kz t 
Ex  AEx cos 
x  sen 
ye
 a 
 b 
 m 
 n  j  kz t 
Ey  AEy sen 
x  cos 
ye
a


 b 
Recursos en Internet
En la web http://www.falstad.com/embox/ (en inglés)
encontraréis una miniaplicación (applet) donde podéis visualizar una simulación de los
modos transversales magnéticos (TM) para una guía de
onda rectangular.
80
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
 m 
 n  j  kz t 
Ez  AEz sen 
x  sen 
y e
 a 
 b 
 m 
 n  j  kz t 
Bx  ABx sen 
x  cos 
ye
a


 b 
 m 
 n  j  kz t 
By  ABy cos 
x  sen 
ye
 a 
 b 
Bz  o
(153)
donde AE , AEy , AE , AB y ABy son las amplitudes de oscilación o
x
x
z
valores máximos de cada componente, a y b son las dimensiones de la
guía de onda y m y n son cualquier combinación de números enteros
(m, n  0, 1, 2, 3, ...).
El significado de las componentes de las ecuaciones (153) es el mismo que en
el caso de los modos TE, por tanto, nos limitaremos a señalar las pequeñas diferencias que encontramos.
• La diferencia más notable la encontramos en las componentes longitudi-
¿Existe el modo TM00?
El “modo” TM00 no existe
como tal, ya que eso implicaría
Ex  0, Ey  0 y Ez  0. Es decir,
que no habría ninguna onda.
nales (Ez y Bz). Ahora la componente longitudinal del campo eléctrico no
es cero (Ez  0), mientras que para el caso de los modos TE sí que lo era (Ez
 0). En cambio, para el campo magnético es precisamente a la inversa (Bz
 0 para los modos TM y Bz  0 para los modos TE). Esta diferencia no nos
debería sorprender, ya que proviene de la propia definición de TE y TM.
•
AEx , AEy , ... corresponden a los valores máximos que pueden conseguir
los campos. Estos valores no tienen por qué ser los mismos que en el caso
de los TE. Simplemente hemos utilizado la misma notación para no complicar las ecuaciones. No obstante, como en el caso de los modos TE, no entraremos en detalle en sus valores exactos, ya que no entra dentro de los
objetivos de este módulo.
• Los modos correspondientes a m  0 (TM01, TM02, TM03, ...) y a n  0 (TM10,
TM20, TM30, ...) no existen como tal, ya que eso implicaría que tendríamos
al mismo tiempo Ez  0 y Bz  0. Este caso particular, de hecho, se denomi-
Recordad
sen 0  0
na modo transversal electromagnético (TEM) y, a pesar de ser una solución matemáticamente posible, no corresponde a una onda que se pueda
propagar por una guía de ondas como la que estamos estudiando. El estudio de guías de ondas donde sí que se pueden propagar los modos TEM
tampoco entra dentro de los objetivos de este módulo.
Ya hemos visto que existe un número infinito de modos TE y de modos TM
que se pueden propagar por una guía de onda, y que cada uno de ellos presenta unas características diferentes. Ahora bien, una pregunta que no nos hemos
hecho es si todos ellos se propagan de manera indefinida dentro de la guía de
onda o si, por el contrario, experimentan una atenuación significativa. A continuación estudiaremos este aspecto.
En el módulo “Líneas de transmisión”
encontraréis un caso en el que sí
utilizamos los modos TEM.
a
81
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
5.1.3. Atenuación en una guía de onda. Modos guiados, modos de
corte y modo dominante
En la práctica se observa que en una guía de onda hay modos que experimentan una atenuación elevada y que, por tanto, no se pueden propagar a grandes
distancias, mientras que hay otros en los que la atenuación es mucho más pequeña y, por tanto, son aptos para la propagación de señales.
Se puede demostrar que existe un criterio que determina qué modos se consideran del primer grupo y cuáles del segundo. Se trata de la llamada relación
de dispersión:
2
 m 
 n 
kmn  2  
  
a


 b 
2
(154)
donde kmn es la constante de propagación de la onda correspondiente al modo
TEmn (o TMmn),  es la frecuencia angular de la onda,  y  son la permitividad
eléctrica y la permeabilidad magnética del medio y a y b son las dimensiones
del rectángulo.
El valor de kmn, la constante de propagación de la onda, es lo que determina
qué comportamiento tendrá el modo en cuestión. Fijaos en que este valor puede ser real o imaginario en función del signo de la expresión contenida dentro
de la raíz. Estudiemos los dos casos:
• Cuando el radicando es positivo, la constante de propagación es un número real y, por tanto, corresponde a la de una onda que se propaga indefinidamente en la dirección de la guía de onda. No habrá una atenuación
significativa (a excepción de la atenuación propia del medio de propagación). Como podéis comprobar, esta condición no se verifica para cualquier modo, sino sólo para aquellos cuyos valores m y n lo hacen posible.
Estos modos se denominan modos guiados.
• Cuando el radicando es negativo, la constante de propagación es un número
imaginario puro y, por tanto, corresponde a la de una onda que presenta una
cierta atenuación, en general elevada. Los modos que cumplen esta condición
se denominan modos de corte, y no se pueden propagar en esta guía de onda.
Se llaman modos guiados aquellos que se pueden propagar por una
guía de onda específica. La condición que han de cumplir es:
2
2
 m 
 n 
2

 
   
 a 
 b 
(155)
Se denominan modos de corte aquellos que no se pueden propagar por
una guía de onda específica. La condición que han de cumplir es:
2
2
 m 
 n 
2

 
   
 a 
 b 
(156)
82
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
donde m y n son los índices del modo correspondiente (TEmn o TMmn),
a y b son las dimensiones de la sección rectangular,  es la frecuencia
angular de la onda propagada y  y  son, respectivamente, la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del medio de propagación.
Así pues, podéis comprobar que, dada una onda de una cierta frecuencia, esta
sólo se podrá propagar por la guía en cuestión según ciertos modos: aquellos
que presentan unos valores de m y n suficientemente pequeños para que cumplan la relación (155). En cambio, los modos con índices m y n que no cumplan esta relación no se podrán propagar por esta frecuencia.
De la misma manera, también podemos analizar el sentido inverso. Es decir,
dado un modo específico, determinar las frecuencias de las ondas que se pueden propagar de manera indefinida por la guía de onda. Existe una frecuencia
límite que divide el espectro en estos dos grupos. Su valor se obtiene a partir
de la relación (155):
2
 m 
 n 
2  
 

a


 b 
2
2
2
2
2
 m 
 n 

  
a 
 b 
2  

 m 
 n 

  
a

 b 
 

2
2
m
n
   
a
b
  

(157)
Llamamos frecuencia de corte (ft) de un modo TEmn o TMmn a la frecuencia mínima por debajo de la cual una onda no puede propagarse
según aquel modo. Su valor es:
ft 
2
1
m
n
   
a
2   
b
2
(158)
donde m y n son los índices del modo correspondiente (TEmn o TMmn),
a y b son las dimensiones de la sección rectangular y  y  son, respectivamente, la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del
medio de propagación.
Como podéis comprobar, cada modo (TEmn o TMmn) presenta una frecuencia
de corte diferente. Si calculásemos esta frecuencia para cada modo, encontra-
Recordad
La frecuencia f y la frecuencia
angular  se relacionan mediante:
 2f
83
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
ríais que uno de ellos presenta el valor más pequeño de todos. O lo que es lo
mismo, imaginaos que partís de una frecuencia muy elevada, es decir, que os
encontráis por encima de la frecuencia de corte para muchos modos. Suponed
ahora que vais disminuyendo la frecuencia de modo gradual. Poco a poco iréis
superando una a una, por debajo, las frecuencias de corte de los diferentes modos, y eso quiere decir que cada vez habrá menos modos posibles. Finalmente
llegaréis a un punto en el que solo quedará un único modo según el cual la
onda se podría propagar: aquel que presenta la frecuencia de corte más baja.
A este modo se le conoce como modo dominante.
Denominamos modo dominante o fundamental de una guía de onda
al modo que presenta una frecuencia de corte (ft) más pequeña.
La frecuencia de corte (ft) del modo dominante indica cuál es la frecuencia mínima que se podrá propagar por aquella guía de onda. Frecuencias más pequeñas no serán posibles, ya que estaríamos por debajo de la frecuencia de corte
más pequeña posible.
Recordad
Los “modos” TE00 y TM00 no
existen como tales, ya que implicarían Ex  0, Ey  0 y Ez  0.
Es decir, que no habría ninguna onda.
A partir de la expresión para la ft (158) podéis comprobar que los modos que
presentan una frecuencia más pequeña son aquellos en los que los valores de
m y n son los más pequeños posibles. Dado que la combinación m  0 y n  0
no tiene casi sentido porque no corresponde a ningún modo (de hecho,
quiere decir que no hay ninguna onda), el modo dominante corresponde al
caso m  0 y n  1, es decir, al modo TE01.
Así pues, el modo dominante en una guía de onda rectangular siempre es el modo
TE01, ya que, tal y como hemos explicado, el modo TM01 no existe como tal.
Para llegar a esta conclusión
hemos supuesto que el rectángulo es como el de la figura 21,
es decir, que a  b.
Si fuese al revés (a  b),
el modo dominante correspondería al caso
m  1 y n  0, es decir, el
modo T10.
a
Ejemplo de frecuencia de corte
Determinad los tres modos con frecuencias de corte más pequeñas para una guía de onda
de dimensiones a = 1,3 cm y b = 2,0 cm. Calculad también el valor de sus frecuencias de
corte. Suponed que en el interior de la guía está el vacío.
Solución
Para resolver el problema, lo más práctico es hacer una tabla con las frecuencias de corte
ft para los primeros valores de m y n. Para calcular estas frecuencias, debéis utilizar la expresión (158). Recordémosla:
2
ft 
Hipótesis
1
m
n
   
2   a 
b
2
(159)
Ya podéis calcular los elementos de la tabla para diferentes valores de m y n. Los datos
que tenéis que utilizar son:
• a  1,3 cm
• b  2,0 cm
N
•   0  4  10 7 2 (permeabilidad magnética del vacío)
A
C2
•   0  8,854  10 12 (permitividad eléctrica del vacío)
Nm2
Podéis ver que no existe el modo TM01
en el subapartado 5.1.2 de este módulo.
84
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
ft
n0
n1
n2
n3
m0
-
7,5 GHz
15,0 GHz
...
m1
11,5 GHz
13,8 GHz
...
...
m2
24,3 GHz
...
...
...
m3
...
...
...
...
Hemos marcado con negrita los tres valores más pequeños, que es lo que nos pide el
enunciado. Las casillas con puntos supensivos las podéis dejar sin calcular porque ya sabemos con seguridad que los números que obtendréis serán más grandes que los tres que
ya tenemos marcados.
Así pues, los modos y las frecuencias que se nos piden son:
1) Modo dominante: transversal eléctrico TE01 y ft  7,5 GHz
2) Segundo modo: transversal eléctrico TE10, con ft  11,5 GHz
3) Tercer modo: transversal eléctrico TE11 o transversal magnético TM11, y ft  13,8 GHz
Notad que hemos incluido en la lista el modo transversal magnético TM11 pero no el
TM01 ni el TM10. Recordad que los modos del tipo TM0n y TMm0 no existen.
5.2. ¿Qué hemos aprendido?
En este apartado hemos visto que las ondas se pueden propagar por una región
limitada en el espacio por paredes conductoras, las llamadas guías de onda y hemos estudiado el caso particular de un tubo de sección rectangular. En este caso,
hemos visto que a causa de las condiciones de contorno se propagan determinadas ondas de campos eléctrico y magnético, lo que denominamos modos. Hemos visto también que hay una frecuencia, la frecuencia de corte, por debajo de
la cual no se propaga la onda, lo que explica fenómenos cotidianos como el hecho de que la radio no se escuche dentro de un túnel. ¿Qué pasaría si cerráramos
el tubo y lo conviertiéramos en una caja? Lo veremos a continuación.
85
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
6. Cavidades resonantes
Ya hemos estudiado dos de las estructuras más habituales que nos encontramos en aplicaciones del ámbito de la óptica y de las telecomunicaciones: la
capa fina y la guía de onda. Nos queda presentaros una última configuración:
la cavidad resonante o resonador. A pesar de que es posible que, por este
nombre, no conozcáis ningún ejemplo de este tipo de configuración, seguro
que cambiáis de parecer cuando os presentemos una aplicación bien conocida
que la utiliza: los hornos de microondas que encontráis en cualquier cocina.
Se considera como una cavidad resonante cualquier región del espacio limitada por un medio conductor en todas direcciones. Es decir, es como una caja
cerrada cuyas “paredes” son de un material conductor.
La aplicación principal de las cavidades resonantes es su uso como un dispositivo de almacenamiento de energía en forma de campos eléctricos y magnéticos oscilantes.
El comportamiento de las ondas electromagnéticas en una cavidad resonante es
muy similar al de una guía de onda. Sin embargo, a diferencia de esta última,
donde existe una dirección en la que las ondas pueden propagarse indefinidamente, en una cavidad resonante las ondas presentes no se propagan, sino que
experimentan reflexiones continuas sobre las superficies hasta que adoptan la
forma de ondas estacionarias, de acuerdo con la geometría de la cavidad.
En este apartado estudiaremos las características de estas ondas estacionarias.
Limitaremos el análisis a un caso específico: las cavidades resonantes con forma de paralelepípedo regular (como una caja de zapatos).
6.1. Cavidades resonantes con forma de paralelepípedo regular
A pesar de que existe una gran variedad de formas y dimensiones, como ejemplo específico de cavidad resonante consideraremos el caso simple de una cavidad en forma de paralelepípedo regular (prisma rectangular). Los principios
de funcionamiento son siempre los mismos y, por tanto, se pueden generalizar a todo tipo de cavidades resonantes.
El procedimiento para determinar cómo son las ondas que se establecen en el interior de la cavidad es muy similar al que hemos utilizado para las guías de onda.
Comencemos escribiendo las ecuaciones para los campos eléctrico y magnético:
 
j t
E  E0  x, y , z   e  
a
Podéis ver la capa fina en el apartado 4
de este módulol.
Podéis ver la guía de onda en el
apartado 5 de este módulo.
86
CC-BY-SA • PID_00159139
 
j t
B  B0  x, y , z   e  
Propagación de ondas electromagnéticas
(160)
Figura 25
Figura 25
Esquema de una cavidad
resonante con forma de paralelepípedo regular.
a) Sección transversal, plano xy,
es decir, visto desde delante.
b) Longitudinal desde arriba,
plano yz.
c) Longitudinal desde arriba,
plano xz, es decir, como si lo
hubiésemos cortado para hacer un bocadillo.


donde E 0 y B0 son las amplitudes de los campos y ej(t) son los fasores, que
en este caso sólo dependen del tiempo. El motivo es que como la cavidad está
Podéis ver las ondas estacionarias en el
módulo “Ondas”.
a
cerrada por todos los lados, tenemos una situación en la que hay que aplicar
condiciones de contorno a las ondas en cualquier dirección. Esta situación genera ondas estacionarias en todas las direcciones y, si recordáis lo que ya hemos visto, las ondas estacionarias no se propagan y, por tanto, el término
dentro del coseno (o lo que es lo mismo, dentro del exponencial complejo) no
 
dependerá de k  r .
Tal y como hemos procedido para las guías de onda, debéis imponer que todas
las componentes de los campos satisfagan las respectivas ecuaciones de onda:
2 Ex
t
2
2 Ey
t 2
2 Ez
t 2



1 2
1 
2 B
 Ex  0 2x  2 Bx  0


t
La ecuación diferencial que explica el comportamiento de
una onda cualquiera que se
propaga con una velocidad c
es:

 2u
t
(161)
donde Ex, Ey, y Ez son las componentes del campo eléctrico en las tres direcciones principales, Bx, By, y Bz son las del campo magnético y  y  son, respectivamente, la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del
medio que hay en el interior de la cavidad resonante.
a
Recordad
2 By 1 
1 2
 Ey  0 2  2 By  0


t
2 B
1 2
1 
 Ez  0 2z  2 Bz  0


t
Podéis ver las guías de onda en el
subapartado 5.1 de este módulo.
2
 
 c 22u  0
87
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
También como en el caso de las guías de onda, las ecuaciones (161) tienen infinitas soluciones matemáticas, de las cuales solo tendrán sentido físico aquellas que cumplan las condiciones de contorno, por el hecho de que las paredes
de la cavidad son conductoras.
Estas condiciones son las mismas que en el caso de una guía de onda, con la diferencia de que ahora hay que aplicarlas a las tres dimensiones (en el caso de la guía
de onda solo se tenían que aplicar en las direcciones x e y). Observad la figura 25,
donde podéis ver que, desde todos los puntos de vista, la zona está cerrada.
Determinemos cuáles son las condiciones de contorno.

• El campo eléctrico( E ) no puede tener componente tangencial sobre la su-
perficie de las paredes conductoras. Analicemos los esquemas de la figura
25.
a
Podéis ver que el campo eléctrico no
puede tener componente tangencial
sobre la superficie de las paredes
conductoras en el subapartado 3.1.1 de
este módulo.
Según la sección paralela al plano xy (figura 25a), eso quiere decir que:
Ex(y0)  Ex(yb) 0
Ey(x0)  Ey(xa) 0
(162)
Según la sección paralela al plano yz (figura 25b), quiere decir que:
Ey(z0)  Ey(zc) 0
Ez(y0)  Ez(yb) 0
(163)
Y según la sección paralela al plano xz (figura 25c), tendremos que:
Ex(z0)  Ex(zc) 0
Ez(x0)  Ez(xa) 0
(164)

• El campo magnético ( B ) no puede tener componente normal sobre la su-
perficie de las paredes conductoras. Si volvemos a analizar la figura 25 en-
a
Podéis ver que el campo magnético no
puede tener componente normal sobre
la superficie de las paredes conductoras
en el subapartado 3.1.2 de este módulo.
contramos:
Bx(x0)  Bx(xa) 0
By(y0)  By(yb) 0
Bz(z0)  Bz(zc) 0
(165)
Como en el caso de las guías de onda tampoco detallaremos el procedimiento
de resolución de las ecuaciones (161) y daremos directamente el resultado:
Los campos eléctrico y magnético en el interior de una cavidad resonante con forma de paralelepípedo regular de dimensiones a, b y c toman la forma de ondas estacionarias:
 m 
 n 
 p   jt
Ex  AEx cos 
x  sen 
y  sen 
ze
a
b




 c 
Recursos en Internet
En la web http://www.falstad.com/embox/index.html
(en inglés) encontraréis una
miniaplicación (applet) donde
podéis visualizar una simulación de los modos presentes en
una cavidad resonante.
88
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
 m 
 n 
 p   jt
Ey  AEy sen 
x  cos 
y  sen 
ze
 a 
 b 
 c 
 m 
 n 
 p   jt
Ez  AEz sen 
x  sen 
y  cos 
ze
a
b




 c 
 m 
 n 
 p   jt
Bx  ABx sen 
x  cos 
y  cos 
ze
a
b




 c 
 m 
 n 
 p   jt
By  ABy cos 
x  sen 
y  cos 
ze
 a 
 b 
 c 
 m 
 n 
 p   j  t
Bz  ABz cos 
x  cos 
y  sen 
ze
a
b




 c 
(m, n, p  0, 1, 2, ...)
(166)
donde AE , AEy , AE , AB , AB y AB son las amplitudes o valores
x
y
z
x
z
máximos de los campos, a, b y c son las dimensiones de la cavidad resonante y m, n y p son cualquier combinación de números enteros positivos. ejt es el fasor, que en este caso solo depende del tiempo, dado
que tenemos ondas estacionarias.
El análisis de las ecuaciones (166) es muy similar al que hicimos para las guías
de onda:
• El primer término de las ecuaciones ( AE , AE , AE , AB , A y AB ) coBy
y
x
z
x
z
rresponde a los valores máximos que pueden conseguir los campos. No entraremos en detalle en sus valores exactos, ya que no entra dentro de los
objetivos de este módulo.
• El segundo, tercero y cuarto término incluyen las dependencias de los campos respecto a las direcciones posibles (x, y y z). Fijaos en que en todos los
casos se trata de funciones armónicas del tipo sin(kx), cos(ky), etc. Los valores de esta constante k son diferentes para cada una de las direcciones y
están determinados por las dimensiones de la cavidad, como en el caso de
las ondas estacionarias que ya os introdujimos.
• Si hacéis un corte transversal imaginario en cualquiera de las tres direcciones y analizáis la amplitud del campo a lo largo de cualquiera de los ejes
que se observan, veréis el mismo comportamiento que ya vimos en una
guía de onda. Es decir, encontraréis que la amplitud dibuja una curva sinusoidal con un “periodo” igual a un divisor exacto de la distancia entre
las dos paredes en cuestión. Los valores de m, n y p indican precisamente
el número de máximos a lo largo de las direcciones respectivas x, y y z. En
la figura 26 se muestra, a modo de ejemplo, cómo sería la amplitud de la
componente Ey a lo largo de la dirección x para los casos m  1, 2, 3 y 4.
Podéis ver el concepto de ondas
estacionarias en el módulo “Ondas y
acústica”.
a
89
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Figura 26
Figura 26
Esquema de los modos
de oscilación de Ey que se producen a lo largo de la dirección
x:
a) m = 1,
b) m = 2,
c) m = 3, y
d) m = 4.
• El último término (ejt) es el fasor de la onda correspondiente. En este caso
sólo presenta dependencia temporal, ya que el resto de las variables (x, y y
z) están incluidas dentro de las funciones armónicas anteriores.
Las diferentes combinaciones de valores de m, n y p determinan cada uno de
los modos que se pueden producir en una cavidad resonante.
En una cavidad resonante, se denomina modo de vibración a cada una
de las combinaciones de valores enteros de m, n y p.
Para acabar de entender el significado de los modos, analizaremos un caso par
ticular: el modo 101. Veamos cómo son el campo eléctrico ( E ) y magnético

( B ) en este modo. Para encontrarlos, hay que sustituir m  1, n  0 y p  1 en
101 se lee “uno cero uno”
(no “ciento uno”), ya que se refiere
a tres cifras diferentes.
las expresiones (166):
Ex  0
Recordad
 
 
Ey  AEy sen  x  sen  z  e  jt
a 
c 
sen 0  sen 2  ...  0
cos 0  cos 2  ...  1
Ez  0
 
 
Bx  ABx sen  x  cos  z  e  jt
a 
c 
By  0
 
 
Bz  ABz cos  x  sen  z  e  jt
a


c 
(m, n, p  0, 1, 2, ...)
(167)
En la figura 27 podéis visualizar una representación gráfica de las amplitudes de
estos campos en las tres secciones posibles: en una sección transversal, es decir,
CC-BY-SA • PID_00159139
90
Propagación de ondas electromagnéticas
vista desde delante (figura 27a), longitudinal, desde arriba (como si la hubiésemos cortado para hacer un bocadillo, figura 27c) y desde el lado (figura 27b).
Fijaos primero en el campo eléctrico. Como Ex  0 y Ez  0, este campo solo
presenta componente en la dirección y. En los esquemas a y b podéis comprobar que, efectivamente, el campo eléctrico siempre apunta en esta dirección
(flechas continuas). En el esquema c el campo eléctrico es perpendicular al plano del papel y va “hacia afuera” respecto al papel (por ello está expresado con
el símbolo •).
Figura 27
Figura 27
Esquema del campo eléctrico y
magnético en un modo TE10
de una guía de onda de sección rectangular:
a. Sección transversal, plano
xy, es decir , vista desde delante. El campo eléctrico se representa con flechas verticales.
b. Sección lateral, plano yz. El
campo eléctrico se representa
con flechas verticales.
c. Longitudinal desde arriba,
plano xz. Es decir, como cuando cortamos una barra de pan
para hacer un bocadillo. El
campo eléctrico se representa
con puntos y el campo magnético con líneas discontinuas.
La amplitud del campo eléctrico es una función sinusoidal que se hace cero en
x  0 y en x  a, y en z  0 y en z  a tiene un máximo en el centro de la guía.
Por ello las líneas de campo están más separadas cerca de las paredes y más
juntas hacia el centro. Podéis comprobar que este comportamiento de Ex, Ey y
Ez está totalmente en concordancia con la condición de contorno que dice
que el campo eléctrico solo puede ser normal en las paredes.
Por lo que respecta al campo magnético, podéis observar que ahora sucede justamente a la inversa que en el campo eléctrico: no hay componente en la dirección y (By  0) pero sí en el resto (observad las líneas discontinuas en la
figura 27c). Este hecho no os debería sorprender si recordáis que el campo eléctrico y magnético siempre son perpendiculares entre ellos.
Hasta aquí os hemos explicado cómo son los modos que se “podrían” producir
en una cavidad resonante de manera general. Como en el caso de las guías de
onda, ahora deberíamos determinar qué ondas (es decir, qué frecuencias) “sobrevivirán” al estado transitorio y se mantendrán en el estado estacionario.
Sin embargo, a diferencia de las guías de onda donde había un cierto intervalo
de frecuencias posibles, en una cavidad resonante solo habrá un único valor
posible.
Recordad
El término transitorio se refiere
a los fenómenos y comportamientos que se observan en el
estado inicial y durante un
tiempo finito, mientras que el
término estacionario se refiere a
los fenómenos que “sobreviven” de manera indefinida.
91
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
La relación que asigna una frecuencia determinada a cada modo se puede deducir a partir de la “obligación” de que las ecuaciones del campo eléctrico y
magnético en una cavidad resonante (166) satisfagan la ecuación de ondas correspondiente:

2 E
t
2

1 2 
 E0

(168)
No detallaremos el proceso de resolución porque queda más allá de los objetivos de la asignatura y daremos directamente la relación que buscamos:
2
2
Recordad
La ecuación diferencial que explica el comportamiento de
una onda cualquiera que se
propaga con una velocidad c
es:

 2u
t 2
2
 m 
 n    p 
2

 
  
   
 a 
 b   c 
m, n, p  0, 1, 2, 3, ...
 
 c 22u  0
(169)
La relación (169) implica, como ya hemos dicho, que existe una única frecuencia posible para cada modo de una cavidad resonante.
La frecuencia característica de un modo de vibración (fmnp) es la frecuencia correspondiente a las ondas estacionarias correspondientes.
Para una cavidad resonante con forma de paralelepípedo regular de dimensiones a, b y c, el valor de esta frecuencia es:
f mnp 
2
2
2
1
m
n  p
       
2   a 
b  c 
m, n, p  0, 1, 2, 3, ...
(170)
donde m, n y p son los índices correspondientes al modo de vibración y
 y  son la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica del medio material del interior de la cavidad.
Ejemplo de frecuencia característica de un modo de vibración
Determinad la frecuencia característica del modo 101 para una cavidad resonante de dimensiones a  2,0 cm, b  1,5 cm y c  3,0 cm en cuyo interior hay aire (  0 y   0).
Solución
La frecuencia característica de un modo de una cavidad resonante con forma de paralelepípedo está determinada por la ecuación (170). Para encontrar la frecuencia correspondiente al modo 101 hemos de sustituir m  1, n  0 y p  1, es decir:
2
f101 
2
f101 
2
1
0
1
     
a
b
c
2  00
2
2


1 
0

 1 


 

2 
 2  10 2 
 3  10 2 
 1,5  10 
2 4π  10 7  8,85  10 12
2
 9 GHz
(171)
Recordad
 2f
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92
Las cavidades resonantes permiten el almacenamiento de energía en campos
eléctricos y magnéticos oscilantes de forma indefinida. Las pérdidas de energía que se puedan producir se deben a las sucesivas reflexiones en las paredes
de los conductores por el hecho de que estos no son del todo perfectos como
habíamos supuesto en el inicio, es decir,  es muy grande pero no llega a
ser  .
6.2. ¿Qué hemos aprendido?
Es este apartado hemos tomado la guía rectangular del apartado anterior y la
hemos cerrado, transformándola en una caja. Lo que se conoce como caja resonante o resonador. Como en el caso de las guías de onda, en la cavidad resonante solo están permitidos algunos modos. En este caso, hay una única
frecuencia permitida por modo, que se denomina frecuencia característica.
Propagación de ondas electromagnéticas
93
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Propagación de ondas electromagnéticas
7. Problemas resueltos
7.1. Enunciados
1) Una onda de radio presenta una longitud de onda  9 m cuando se propaga
por un medio no magnético con una permeabilidad eléctrica relativa r  9.
Calculad la frecuencia de esta onda. Podéis utilizar la aproximación c 3 · 108 m/s.
2) Se necesita enviar un mensaje a un submarino que se encuentra a una profundidad de 120 m. Para que el submarino pueda recibir de manera correcta
la señal, es necesario que la onda llegue a su destino con una intensidad que
sea como mínimo un 1% de la que tiene cuando se emite (en otras palabras,
la atenuación no puede superar el 99%). Determinad la frecuencia máxima
que puede tener la onda para que el mensaje pueda ser leído. La conductividad
del agua de mar es  4,8 1m1.
3) Una onda que se propaga por un medio con índice de refracción n1 incide
sobre una interfaz con otro medio con índice n2 con un ángulo de incidencia
  63,43° y se observa que no se produce ninguna onda reflejada. Se decide re-
orientar la interfaz de tal modo que se consigue que la onda incida en ella de manera perpendicular, y entonces se observa que sí que existe una onda reflejada.
Determinad la intensidad de esta onda reflejada, expresada en términos relativos
respecto a la intensidad de la onda incidente. ¿Cómo ha de ser la polarización de
la onda incidente para que este ejemplo corresponda a un caso real?
4) Determinad las frecuencias de corte de los modos TE10, TE01 y TE11 para
una guía de onda de sección rectangular de dimensiones a  1,5 cm y b  3,0
cm, suponiendo que:
a) en el interior de la guía está el vacío,
b) en el interior de la guía hay un material no ferromagnético con n  1,50.
5) Determinad las frecuencias características de los modos 110, 101 y 111 para
una cavidad resonante con forma de paralelepípedo regular de dimensiones
a  20 cm, b  25 cm y c  30 cm, suponiendo que:
a) en el interior de la guía está el vacío,
b) en el interior de la guía hay un material no ferromagnético con n  1,50.
7.2. Soluciones
1) La longitud de onda  y la frecuencia f de una onda están relacionadas mediante la velocidad de propagación v. Lo vimos para una onda en general y
para una onda electromagnética en particular:
·fv
(172)
a
Podéis ver la relación entre la longitud
de onda y la frecuencia para una onda
en general en el módulo “Ondas” y para
una onda electromagnética en el
módulo “Leyes de Maxwell”.
94
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Ya hemos visto que la velocidad de propagación de una onda electromagnética en un medio cualquiera (v) se expresa en relación con la velocidad en el vacío (c) mediante el concepto de índice de refracción (n):
v
c
n
(173)
Y, por otra parte, sabemos que el índice de refracción depende de la permeabilidad magnética y la permitividad eléctrica relativas (r y r) del material (13):
n   r  r
(174)
Como se trata de un medio no magnético, la permeabilidad magnética se puede aproximar a r  1 y, por tanto, obtenemos:
n  r
(175)
Así pues, ya solo nos queda combinar la expresión (175) con la (173), y la
(172):
f 
c
r
(176)
Y como lo que queremos calcular es la frecuencia f:
f 
c
 r
(177)
Ya solo nos queda sustituir los valores del encunciado:
 9 m
r  9
c 3 · 108 m/s
(178)
3  108
 11,1 MHz
9 9
(179)
Y obtenemos el resultado:
f 
2) A diferencia del agua pura, que presenta una conductividad muy pequeña, el
agua de mar presenta una conductividad relativamente alta ( 4,8 1m1) a
causa de la elevada concentración de sales. Por tanto, se puede considerar, hasta
cierto punto, como un medio conductor. Eso quiere decir que las ondas electromagnéticas que se propagan por el océano experimentan una atenuación significativa.
a
Podéis ver la expresión de la velocidad
en un medio en relación con la velocidad
en el vacío en el subapartado 1.2.1 de
este módulo.
95
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Propagación de ondas electromagnéticas
Recordemos la expresión para la atenuación en función de la profundidad x
que ya hemos visto (18) :
I  I0e

a
Podéis ver la atenuación en función de la
profundidad en el subapartado 1.3.1 de
este módulo.
x

x

I
e 
I0
(180)
donde es la denominada profundidad de penetración.
El enunciado nos dice que la señal emitida ha de ser capaz de llegar a una profundidad de x  120 m sin bajar del 1% de su valor inicial (es decir, sin que la
atenuación supere el 99%). Eso quiere decir que:

1
e
100
120

(181)
A partir de aquí podemos deducir el valor de la profundidad de penetración
() mínima necesaria para que la señal llegue correctamente, es decir, para que
su intensidad no baje por debajo de este umbral del 1%. Lo hacemos sacando
logaritmos a los dos lados de la ecuación:
120
 1 
ln 


 100 

120
 26,1 m
ln 1
100


(182)
(183)
Por otra parte, hemos visto también la relación entre la profundidad de penetración () y la frecuencia (f) (19) :

1
f
(184)
1
(185)
Si aislamos la frecuencia (f) tenemos:
f 
2
 
Ya solo nos queda sustituir valores. La profundidad de penetración () es la
que hemos calculado en (183), la permeabilidad magnética es aproximadamente la del vacío, ya que el agua de mar es un medio no ferromagnético, y la
conductividad eléctrica () está indicada en el enunciado:
 26,1 m
 4 · 107 NA2
 4,8 1m1
(186)
Podéis ver la relación entre la
profundidad de penetración y la
frecuencia en el subapartado 1.3.1 de
este módulo.
a
96
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Propagación de ondas electromagnéticas
Por tanto, la frecuencia (f) máxima posible es:
f 
1
26,1  π  4π  10 7  4,8
2
 77,7Hz
(187)
3) Antes de resolver el problema hemos de leer detenidamente el enunciado
e identificar los datos relevantes:
a) Existe un ángulo (  63,43°) para el que no hay onda reflejada. Este ángulo
debe ser obligatoriamente el ángulo de Brewster correspondiente a la interfaz, dado que es el único ángulo para el que se puede producir este fenómeno.
Por tanto, se debe satisfacer la ley de Brewster que ya hemos visto (113):
tan 63,43 
n2
n1
(188)
Podéis ver la ley de Brewster en el
subapartado 3.2.4 de este módulo.
a
Dado que tenemos dos incógnitas, no podemos encontrar los valores exactos
de n1 y n2, pero sí que podemos encontrar la relación entre ambos:
n2  n1 tan 63,43°
n2  2n1
tan 63,43°  2
(189)
b) La existencia de este ángulo de Brewster implica por fuerza que la onda incidente está polarizada con el campo eléctrico paralelo al plano de incidencia, ya que es el único caso en el que puede haber una reflectancia Rp  0.
c) Cuando la onda incide sobre la interfaz de manera perpendicular, la expresión de la reflectancia Rp, (144), se simplifica mediante:
i  0°
t  0°
(190)
Y resulta:
2
 n  n2 
R 1

 n1  n2 
(191)
Como antes, volvemos a tener dos incógnitas, pero podemos resolver la ecuación si aplicamos la relación (189). Así reduciremos la ecuación a una sola incógnita:
2
2
2
 n  2n1 
 n1 
1
R 1
 
  
3
 n1  2n1 
 3n1 
(192)
Podéis ver la reflectancia Rp = 0 en el
subapartado 3.2.4 de este módulo.
Podéis ver la reflectancia en caso de
incidencia perpendicular en el
subapartado 3.2.3 de este módulo.
a
Recordad
Los ángulos se miden respecto
al plano de incidencia, que es
perpendicular al plano de la interfaz. Por tanto, para incidencia perpendicular o normal,
tenemos   0°.
97
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Propagación de ondas electromagnéticas
La intensidad de la onda reflejada se encuentra a partir de la reflectancia que
acabamos de encontrar:
Ir
1
R
Ii
9
4) La frecuencia de corte de un modo TEmn en una guía de sección rectangular
de dimensiones a y b se puede calcular a partir de la expresión (158):
ft 
2
1
m
n
   
2   a 
b
2
(193)
En esta guía de onda, a  1,5 cm y b  3,0 cm.
a) Para el caso del vacío, hemos de utilizar  0 y  0.
Modo TE10:
Recordad
2
2
2
2
ft 
1
2 0 0
 1 
 0 

 
  9,97 GHz
 0,015 
 0,030 
ft 
1
2 0 0
 0 
 1 

 
  4,98 GHz
 0,015 
 0,030 
ft 
1
2 0 0
 1 
 1 

 
  11,14 GHz
0,015


 0,030 
0 8,854 · 1012 C2/Nm2
4 · 107 N/A2
Modo TE01:
Modo TE11:
2
2
Recordad
Para un medio no ferromagnético, podemos aproximar:
b) Para un medio no ferromagnético con índice de refracción n  1,50, podemos utilizar:
n  r
r n2
 
· r n2 2,250
(194)
Modo TE10:
ft 
1
2 2,25 00
2
2
 1 
 0 

 
  6,64 GHz
 0,015 
 0,030 
Modo TE01:
ft 
1
2 0 0
2
2
 0 
 1 

 
  3,32 GHz
0,015


 0,030 
98
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Propagación de ondas electromagnéticas
Modo TE11:
ft 
2
2
 1 
 1 

 
  7,43 GHz
 0,015 
 0,030 
1
2 0 0
5) La frecuencia característica de un modo mnp en una cavidad resonante con
forma de paralelepípedo de dimensiones a, b y c se puede calcular a partir de
la expresión (170):
f mnp 
2
2
2
1
m
n  p
       
2   a 
b  c 
(195)
En esta cavidad resonante, a  20 cm, b  25 cm y c  30 cm.
a) Para el caso del vacío, hemos de utilizar   y  .
Modo 110:
Recordad
f110 
2
2
2
2
2
2
1
2 0 0
 1 
 1   0 

 
 
  960 MHz
0,20


 0,25   0,30 
1
2 0 0
 1 
 0   1 

 
 
  901 MHz
 0,20 
 0,25   0,30 
0 8,854 ·1012 C2/Nm2
4 · 107 N/A2
Modo 101:
f110 
Modo 111:
f110 
1
2 0 0
2
2
2
 1 
 1   1 

 
  
  1.082 MHz
 0,20 
 0,25   0,30 
b) Para un medio no ferromagnético con índice de refracción n  1,50, podemos utilizar:
Para un medio no ferromagnético, podemos aproximar:
 
 · r n2 2,250
(196)
2
2
2
2
2
2
1
2 2,2500
 1 
 1   0 

 
  
  640 MHz
 0,20 
 0,25   0,30 
1
2 2,25 00
 1 
 0   1 

 
 
  601 MHz
0,20


 0,25   0,30 
Modo 101:
f110 
n  r
r n2
Modo 110:
f110 
Recordad
99
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Propagación de ondas electromagnéticas
Modo 111:
f110 
1
2 2,25 00
2
2
2
 1 
 1   1 

 
  
  722 MHz
0,20


 0,25   0,30 
100
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Propagación de ondas electromagnéticas
Resumen
La velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas en un medio material depende de la permitividad eléctrica y de la permeabilidad magnética
del material:
1
v 
(197)
Para el caso del vacío (4 · 107 N/A2 y 0 8,854 · 1012 C2/Nm2), la velocidad corresponde a la velocidad de la luz en el vacío (c  2,998 · 108 m/s).
Esta velocidad se puede representar de manera relativa mediante el concepto
de índice de refracción (n) de un medio, que es el cociente entre la velocidad
de una onda en el vacío y la velocidad de la misma onda en el medio en cuestión. El valor del índice de refracción está relacionado con la permeabilidad y
la permitividad relativas del medio:
n
c
 r r
v
(198)
Cuando la onda se propaga por un medio conductor, su intensidad se reduce
de manera gradual a causa del fenómeno de la atenuación. La profundidad
de penetración () mide la distancia que una onda es capaz de penetrar dentro de un medio conductor antes de atenuarse un cierto factor. Esta distancia
depende de la frecuencia de la onda y de la conductividad del medio:

1
f
(199)
El estado de polarización de una onda electromagnética indica cómo “están
puestos” los campos eléctrico y magnético. Los dos tipos de polarización que
hemos estudiado son:
• Polarización lineal: el campo eléctrico siempre oscila en una misma dirección.
• Polarización circular: la proyección del vector del campo eléctrico respecto a un plano perpendicular a la dirección de propagación dibuja una circunferencia.
Cuando una onda incide en una interfaz entre dos medios materiales, parte de
la energía se propagará mediante una onda reflejada y la otra mediante una
101
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Propagación de ondas electromagnéticas
onda transmitida. La geometría que involucra las direcciones de propagación
de estas tres ondas (incidente, reflejada y transmitida) viene regida por las mismas leyes de la óptica geométrica que se aplican a la luz. En cambio, la relación
entre las intensidades depende de su estado de polarización. Podemos estudiar
esta relación para dos casos específicos, ya que, a causa de las propiedades de
los vectores, cualquier estado de polarización genérico se puede representar
como una combinación lineal de estos dos estados.
Polarización perpendicular
al plano de incidencia
 n cos i  n2 cos t 
Rs   1

 n1 cos i  n2 cos t 
Reflectancia
Rr
2
2
 n cos t  n2 cos i 
Rp   1

 n2 cos i  n1 cos t 
Transmitancia
T 
n2 cos t 2
t
n1 cos i
Ts 
n2 cos t
n1 cos i
Polarización paralela
al plano de incidencia


2n1 cos i





n
cos
n
cos
i
2
t 
 1
2
n cos t
Tp  2
n1 cos i
2


2n1 cos i


n
cos
n
cos



i
1
t 
 2
2
Para una onda polarizada de forma paralela al plano de incidencia, existe un
cierto ángulo, denominado ángulo de Brewster, para el que la reflectancia se
hace 0 y eso quiere decir que toda la onda se transmite hacia el segundo medio. Para una onda con polarización perpendicular al plano de incidencia, no
existe este ángulo.
Por otra parte, si el índice de refracción del primer medio es más grande que
el del segundo (n1  n2), existirá también un ángulo límite a partir del cual hay
reflexión total y la onda no se puede propagar hacia el segundo medio. Este
ángulo se denomina ángulo crítico o ángulo de reflexión total.
Cuando una onda incide sobre una configuración basada en una capa muy
fina de un material dieléctrico, se descompone en un número indefinido de
haces paralelos con desfases diferentes, cada uno de ellos debido a un número
diferente de reflexiones internas.
Una guía de onda es un dispositivo de geometría variable en el que un material dieléctrico está envuelto por un material conductor en todas sus direcciones excepto una, que corresponde a la dirección de propagación. Bajo esta
configuración, solo ciertas ondas electromagnéticas se pueden propagar, los
denominados modos de propagación. Las características de estos modos están determindas por la geometría y las dimensiones de la guía de onda. La más
importante es la frecuencia de corte, que es la frecuencia mínima por debajo
de la cual una onda no se puede propagar por la guía de onda.
ft 
2
1
m
n
   
2   a 
b
2
(200)
102
CC-BY-SA • PID_00159139
Propagación de ondas electromagnéticas
Una cavidad resonante es un volumen de un material dieléctrico envuelto
por un conductor en todas direcciones. En su interior se producen una serie
de ondas estacionarias cuyas características están determinadas por los denominados modos de vibración, que dependen de la geometría y las dimensiones de la cavidad. Cada modo de vibración presenta una única frecuencia
posible, la llamada frecuencia característica del modo:
f mnp 
2
2
2
1
m
n  p
       
2   a 
b  c 
(201)
CC-BY-SA • PID_00159139
103
Ejercicios de autoevaluación
1. La velocidad de propagación de una onda electromagnética es....
a) siempre igual a c  2,998 · 108 m/s.
b) más alta cuanto más grandes son la permitividad y la permeabilidad del medio.
c) más baja cuanto más grandes son la permitividad y la permeabilidad del medio.
d) siempre la misma sea cual sea el medio por donde se propague.
2. La profundidad de penetración de una onda en un material conductor es...
a) más grande cuanto más alta es la frecuencia de la onda.
b) más grande cuanto más baja es la frecuencia de la onda.
c) independiente de la frecuencia de la onda pero dependiente de la conductividad del material.
d) independiente de la frecuencia de la onda y de la conductividad del material.
3. En una onda electromagnética
con polarización
lineal...


a) los campos
eléctrico
( E ) y magnético ( B ) no son perpendiculares entre sí.


b) tanto E como B oscilan siempre en una misma dirección respectiva y son perpendiculares entre
sí.


c) E oscila siempre en una misma dirección pero B no.
d) B oscila siempre en una misma dirección pero E no.
4. En una interfaz entre dos
 medios cualesquiera...

a) los campos eléctrico ( E ) y magnético
 ( B ) son idénticos en los dos lados.
b) las componentes tangenciales de E y B son idénticas en los dos lados.
c) las componentes tangenciales de E y las componentes normales de B son idénticas en
los dos lados.


d) las componentes normales de E y las componentes tangenciales de B son idénticas en
los dos lados.
5. En una interfaz entre dos medios no conductores...
a) la reflectancia y la transmitancia siempre han de sumar 1 sea cual sea la dirección de polarización de la onda incidente.
b) la reflectancia y la transmitancia han de sumar 1 solo para las ondas con polarización paralela al plano de incidencia.
c) la reflectancia y la transmitancia han de sumar 1 solo para las ondas con polarización perpendicular al plano de incidencia.
d) la reflectancia no puede llegar a hacerse cero nunca.
6. En una interfaz entre el aire (n  1) y un vidrio (n  1,5)...
a) existe un ángulo de Brewster y un ángulo crítico en ambos sentidos.
b) solo existe ángulo de Brewster en un sentido pero ángulo crítico en ambos sentidos.
c) hay ángulo de Brewster en ambos sentidos pero solo hay ángulo crítico cuando la onda
incide desde el lado del aire.
d) hay ángulo de Brewster en ambos sentidos pero solo hay ángulo crítico cuando la onda
incide desde el lado del agua.
7. En una guía de onda rectangular, el campo eléctrico de una onda que se propaga en el
modo TE01 presenta componentes...
a) Ex y Ey.
b) solo Ex.
c) solo Ey.
d) No se puede propagar ninguna onda en este modo porque el primer subíndice es un 0.
8. En una guía de onda rectangular, el campo eléctrico de una onda que se propaga en el
modo TM01 presenta componentes...
a) Ex y Ey.
b) solo Ex.
c) solo Ey.
d) No se puede propagar ninguna onda en este modo porque el primer subíndice es un 0.
9. En una guía de onda rectangular de dimensiones a  1 cm y b  2 cm en cuyo interior está
el vacío, la frecuencia mínima por debajo de la cual una onda no se puede propagar es...
a) 748 kHz.
b) 7,48 GHz.
c) 14,95 GHz.
d) 1495 kHz.
Propagación de ondas electromagnéticas
CC-BY-SA • PID_00159139
104
10. De las magnitudes siguientes, ¿cuál corresponde a la frecuencia característica del modo
de vibración 110 de una cavidad resonante de dimensiones a  1 cm, b  2 cm y c  3 cm?
Suponed que el medio del interior es el vacío.
a) 1,03 MHz.
b) 10,3 GHz.
c) 1,67 MHz.
d) 16,7 GHz.
Propagación de ondas electromagnéticas
CC-BY-SA • PID_00159139
105
Solucionario
1. c; 2. b; 3. b; 4. c; 5. a; 6. d; 7. b; 8. d; 9. b; 10. d
Glosario
amplitud f Separación máxima que toma una magnitud oscilatoria respecto a la posición
de equilibrio.
ángulo de Brewster m Ángulo para el que una onda electromagnética con polarización
paralela al plano de incidencia no se refleja y se transmite completamente. Eso es equivalente
a decir que la onda reflejada está por fuerza polarizada perpendicularmente al plano de incidencia. Su valor depende de los índices de refracción de los dos medios.
ángulo crítico m Ángulo a partir del cual una onda electromagnética que incide sobre una
interfaz de separación entre dos medio se refleja completamente y, por tanto, no existe onda
transmitida. Su valor depende de los índices de refracción de los dos medios.
sin. ángulo de reflexión total
ángulo de reflexión total m
sin. ángulo crítico
campo eléctrico m Entidad matemática que se utiliza para concentrar, con una sola expresión, toda la información eléctrica en un punto del espacio.
campo magnético m Entidad matemática que se utiliza para concentrar, con una sola expresión, toda la información magnética en un punto del espacio.
capa fina f Dispositivo basado en una configuración formada por un material dieléctrico
de un grueso relativamente fino sobre el cual se hace incidir ondas electromagnéticas para
que se produzcan interferencias en él.
cavidad resonante f Dispositivo basado en una configuración en la que un medio dieléctrico está limitado por un material conductor en todas direcciones. En una cavidad resonante
se producen ondas estacionarias con unas frecuencias determinadas.
coeficientes de Fresnel m pl Relaciones entre las amplitudes de las ondas incidente y reflejada, e incidente y transmitida para una interfaz entre dos medios. Los valores de los coeficientes varían en función de los índices de refracción de los dos medios implicados, y
también en función de la polarización de la onda incidente.
conductor m Material en el que, a causa de su estructura microscópica, puede haber cargas
libres que se verán afectadas por la presencia de un campo eléctrico y, por tanto, permitirán
al material conducir corriente eléctrica.
constante de onda f Ritmo de variación del desfase respecto al espacio, igual a 2 dividido
por la longitud de onda.
dieléctrico m Material en el que, a causa de su estructura microscópica, las cargas que hay
están unidas y no se pueden mover libremente.
fase f Estado de una onda en un instante y posición determinados.
frecuencia f Número de ciclos u oscilaciones que realiza una magnitud oscilatoria y periódica por unidad de tiempo.
frecuencia angular f Ritmo de variación de la fase en función del tiempo. Es igual a la frecuencia multiplicada por 2.
frecuencia de corte f Frecuencia mínima por debajo de la cual una onda no puede propagarse por una guía de onda según un cierto modo.
guía de onda f Dispositivo basado en una configuración en la que un medio dieléctrico está
limitado por un material conductor en todas direcciones excepto una. Una guía de onda permite la propagación de ciertas ondas de una manera eficiente.
incidencia normal f Situación en la que una onda electromagnética incide sobre una interfaz de cambio de medio de manera perpendicular a esta.
Propagación de ondas electromagnéticas
CC-BY-SA • PID_00159139
106
intensidad f Potencia de una onda por unidad de superficie. Es proporcional al cuadrado
de la amplitud de la onda.
líneas de campo f pl Líneas imaginarias que sirven para dibujar el campo y para dar una
idea de cuál sería la dirección y la intensidad del campo electrostático en un determinado
punto del espacio.
longitud de onda f Distancia mínima entre dos puntos de una onda que tienen el mismo
estado de oscilación.
modo m Onda electromagnética con una configuración determinada que se puede propagar
por una guía de onda o puede establecerse de forma estacionaria en una cavidad resonante.
onda f Perturbación que se propaga por el espacio y el tiempo, con transporte de energía
pero sin transporte neto de materia.
onda electromagnética f Onda que propaga energía electromagnética.
onda armónica f Onda cuya magnitud se puede expresar matemáticamente por una función sinusoidal.
permeabilidad magnética f Propiedad de los medios materiales que da cuenta de sus propiedades magnéticas. En el valor de la permeabilidad se concentran todos los efectos microscópicos relacionados con el campo magnético.
permitividad eléctrica f Propiedad de los medios materiales que da cuenta de sus propiedades eléctricas. En el valor de la permitividad se concentran todos los efectos microscópicos
relacionados con el campo eléctrico.
polarización f Condición de una onda transversal para la cual su magnitud característica
está establecida con una orientación determinada respecto a la dirección de propagación.
polarización circular f Polarización en la que la dirección de oscilación del campo eléctrico (o magnético) de una onda transversal varía periódicamente de manera que su proyección sobre un plano perpendicular a la dirección de propagación dibuja un círculo. Esto es
equivalente a decir que las componentes en las direcciones x e y están desfasadas un ángulo
/2.
polarización lineal f Polarización en la que el campo eléctrico (o magnético) de una onda
transversal siempre oscila en una misma dirección. Esto es equivalente a decir que las componentes en las direcciones x e y están en fase.
reflectancia f Relación entre las intensidades de la onda incidente y la onda reflejada para
una interfaz entre dos medios. Su valor varía en función de los índices de refracción de los
dos medio implicados y también en función de la polarización de la onda incidente.
transmitancia f Relación entre las intensidades de la onda incidente y de la onda transmitida para una interfaz entre dos medios. Su valor varía en función de los índices de refracción
de los dos medios implicados y también en función de la polarización de la onda incidente.
Bibliografía
Dios, F.; Artigas, D.; Recolons, J.; Comerón, J.; Canal, F. (1998). Campos electromagnéticos. Barcelona: Edicions UPC.
Lorrain, P.; Corson, D. (1972). Campos y ondas electromagnéticos. Madrid: Selecciones
Científicas.
Reitz, J.; Milford, F.; Christy, R. (1960). Fundamentos de la teoría electromagnética. Pearson
Addison-Wesley.
Propagación de ondas electromagnéticas