SOLUCION

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA (I.I.)
CONVOCATORIA ORDINARIA JUNIO 2004 (9/02/04)
SOLUCION
1. Se tienen 80 dados normales y 20 cargados. En estos últimos, la probabilidad de
obtener el 1 es el triple que la de las restantes puntuaciones. De entre los 100 dados,
se elige uno al azar, se arroja y se obtiene un 1. Calcular la probabilidad de que el dado
sea normal.
C = Dado cargado
N = Dado Normal
P(C) = 20/100 = 0.2
P(N) = 80/100 = 0.8
P(1/C) = 3/8
P(1/N) = 1/6
0.8 ⋅ 1
P( N ∩ 1)
P( N ) ⋅ P(1 / N )
6
= 0.6384
P ( N / 1) =
=
=
P(1)
P(C ) ⋅ P(1 / C ) + P( N ) ⋅ P(1 / N ) 0.2 ⋅ 3 + 0.8 ⋅ 1
8
6
2. Una Facultad recibe solicitudes de ingreso para el siguiente curso. Los aspirantes se
someten a pruebas de selectividad cuyos resultados se puntúan de 0 a 1000, siguiendo
las calificaciones una distribución normal de parámetros µ = 550 y σ = 100. Se sabe que
hay 350 personas con puntuaciones comprendidas entre 400 y 450, ambas inclusive.
a) Si la Facultad decide admitir al 25% de los aspirantes, los que obtengan las
calificaciones más altas, ¿cual es la mínima calificación para ser admitido?
b) ¿Cuántas personas han obtenido entre 620 y 740 puntos, ambos inclusive?
c) ¿Cuántas personas han solicitado el ingreso en esa Facultad?
a) Tenemos X = puntuación recibida en la selectividad
X∈N(550,100)
Queremos calcular el valor xi tal que P(X ≥ xi) = 0.25
Buscamos en la tabla de la Normal tipificada el valor zi tal que P(Z ≥ zi) = 0.25
zi = 0.675.
Como xi y zi están relacionados de la siguiente manera z i =
xi − 550
obtenemos
100
xi=0.675*100+550 = 617.5 Î Calificación mínima para ser admitido
b) Debemos calcular primero el porcentaje de personas (del total de los presentados)
que quedaron entre esas puntuaciones y luego multiplicarlo por ese total de
personas presentadas (resultado del siguiente apartado), para obtener el nº de
personas deseado.
620 − 550
= 0.7
100
740 − 550
z2 =
= 1.9
100
z1 =
P(620 ≤ X ≤ 740) = P(z1 ≤ Z ≤ z2) siendo
P(0.7 ≤ Z ≤ 1.9) = 0.9713 - 0.7580 = 0.2133
Luego el 21.33% del total de presentados obtienen una puntuación entre las dos
dadas. Como el total de presentados es (según veremos en el siguiente apartado) de
3809 personas, tenemos que 813 personas son las que obtienen una calificación
entre 620 y 740
c) Sabemos que hay 350 personas con puntuaciones comprendidas entre 400 y 450.
P(400 ≤ X ≤ 450) = P(-1.5 ≤ Z ≤ -1) = 0.1587 – 0.0668 = 0.0919
Es decir, las 350 personas suponen un 9.19% del total de los presentados, luego, por
una simple regla de tres, el total N de presentados a la selectividad es
N=350/0.0919 = 3808.49 ≈ 3809 personas
3. Un jugador de golf hace “eagle” (hoyo en uno) en un par dos (hoyo que debe
completarse en dos golpes) el 5% de las ocasiones. Determínese:
a) Probabilidad de que tenga que realizar 6 intentos antes de hacer por
primera vez un eagle
b) Probabilidad de que tenga que hacer 80 hoyos con par dos antes de lograr
por tercera vez un eagle.
P(éxito) = P (eagle) = 0.05
a)
X = nº de experimentos hasta obtener el primer éxito
X ∈ G(0.05)
P ( X = 7) = 0.95 ⋅ 0.05 = 0.03675
6
b)
X = nº fracasos hasta lograr el n-ésimo éxito
X ∈ BN(3, 0.05)
 k + n − 1 k n
 ⋅ q ⋅ p
 k

Por tanto P ( X = k ) = 
El enunciado de este apartado podemos entenderlo de dos maneras, consideradas a la
hora de corregir, igualmente válidas:
Se necesitan 80 intentos antes de lograr el 3º éxito, por lo que el total de
intentos sería de 81, de los cuales, dejando aparte el último intento, que debe
ser éxito, tendrá que obtenerse 78 fracasos y 2 éxitos. En este caso, los
parámetros serían: k=78, n=3, q=0.95, p=0.05, por tanto
 80 
P ( X = 78) =   ⋅ 0.95 78 ⋅ 0.05 3 = 0.007228
 78 
Se necesitan 80 fracasos antes de obtener el 3º éxito, con lo que se realizan en
total 83 intentos, de los cuales, dejando aparte el último intento, que debe ser
éxito, tendrá que obtenerse 80 fracasos y 2 éxitos. En este caso los
parámetros serían: k=80, n=3, q=0.95, p=0.05, por tanto
 82 
P ( X = 80) =   ⋅ 0.9580 ⋅ 0.05 3 = 0.00685
 80 
4. El siguiente conjunto de mediciones representa los diámetros de micrometeoros tomadas
de una muestra del suelo lunar.
0.91
1.72
1.66
1.61
2.02
1.52
1.30
1.82
1.69
1.75
1.32
1.43
1.95
2.07
1.65
1.21
1.59
2.02
2.33
1.46
Si suponemos que la población en estudio sigue una distribución aproximadamente normal y
para un α = 0.025, ¿podrían concluir los científicos que el diámetro medio es menor que
1.70?
H0: µ ≥ 1.70
n = 20
α = 0.025
H1: µ < 1.70
A partir de los datos calculamos x = 1.6515 y S = 0.112885 Î S = 0.33598
Puesto que tenemos una población con distribución Normal y varianza desconocida,
2
el estadístico a utilizar es t =
x − µ 1.6515 − 1.70
=
= −0.6455
S
0.33598
n
20
que, bajo la
hipótesis nula cierta, sigue una distribución t de Student con n-1 (19) grados de
libertad.
Como el contraste es unilateral izquierdo, R.C.={t/t<-tn-1, α} = {t/t < -t19, 0.025} =
{t/t<-2.093}
-0.6455 > -2.093 Î t∉R.C. Î Se debe seguir aceptando como válida la hipótesis
nula, por lo que los científicos no tienen motivos suficientes para suponer que el
diámetro medio es menor que 1.70
5. Una empresa farmacéutica ha desarrollado un medicamento nuevo que requiere el
control estricto de la dosificación del ingrediente activo de cada cápsula. El fármaco
puede ser peligroso si se excede de la dosis, e inútil si la dosificación es menor que la
especificada. El error de estimación máximo para la media es igual a 2 mg. Si se sabe
que la desviación típica es igual a 7 mg, ¿cuántas cápsulas del medicamento deben
estudiarse para tener una confianza del 99% de que es correcta la cantidad media de
ingrediente por cápsula?
zα = 2.575
ε = 2 mg
σ = 7 mg
1- α = 0.99 Î α = 0.01 Î α/2 = 0.005
2
x ± zα
σ
2
n
2
= x ±ε
Î

σ 
 zα ⋅
 = ε 2 Î
 2 n
2
 2.575 ⋅ 7 
n=
 = 81.22
2


Luego, deben estudiarse 83 cápsulas para tener una confianza del 99% de que es
correcta la cantidad media de ingrediente por cápsula
NOTAS:
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„
La duración del examen será de 2.5 horas
Todas las preguntas puntuan igual (2 puntos), y los apartados dentro de cada una
de ellas también valen lo mismo.