TORSION INELÁSTICA EN EDIFICIOS DE VARIOS PISOS

TORSION INELÁSTICA EN EDIFICIOS DE VARIOS PISOS
Jaime De la Colina Martínez
Facultad de Ingeniería
Universidad Autónoma del Estado de México
Cerro de Coatepec, Toluca, Estado de México
Tels: (7) 214-0855, (7) 215-1351, Fax: (7) 215-4512
[email protected]
RESUMEN
Se presenta un trabajo analítico orientado al estudio de torsión en edificios de varios pisos. Se emplean modelos
estructurados con losas rígidas y elementos resistentes bilineales orientados en dos direcciones ortogonales. La
torsión se induce desplazando lateralmente la posición de los centros de masa y manteniendo simetría en planta
de las rigideces de los elementos resistentes. Los resultados de análisis dinámicos muestran diferencias de
comportamiento entre los modelos simples y aquellos de masas distribuidas que cuestionan la habilidad de los
primeros para el estudio de edificios de varios pisos con torsión.
SUMMARY
An analytical work for the study of torsión in multistory buildings is presented. Models structured with rigid slabs
and bilineal resisting elements oriented in two perpendicular directions are considered. Torsion is unduced by
moving the positions of the centers of mass while preserving lateral-stiffness symmetry in plan. Results of
dynamic analyses show differences between the behavior of simple models and that of multistoty buildings
modeled as a series of concentrated mases. These differences jeopardize the hability of simple models to
represent the behavior of multistory buildings with torsion.
INTRODUCCIÓN
Es sabido que cuando en un sistema estructural las resultantes de la acción sísmica no actúan a través de los
centros de rigidez, se genera torsión sísmica. Mucho se ha aprendido del comportamiento de sistemas con torsión
mediante el uso de modelos estructurales simples, los cuales consisten típicamente de una losa rígida apoyada
sobre elementos resistentes a carga lateral orientados en una o dos direcciones y sujetos a la acción sísmica uni- o
bi-direccional. Aún cuando son útiles, estos modelos simples son cuestionados por su limitada similitud con
edificios de varios pisos. Por ejemplo, los modelos simples no permiten conocer el efecto ocasionado por la
excentricidad de pisos intermedios.
Con el fin de establecer una relación más clara entre el comportamiento de modelos simples de un piso con el de
modelos de varios pisos, algunos investigadores han buscado generalizaciones o equivalencias entre ambos tipos
de modelos. Uno de los primeros trabajos (Kan y Chopra, 1977) empleó un tipo o clase muy particular de
edificios con comportamiento elástico. Un estudio similar, también basado en hipótesis elástico-lineales, fue
realizado por Hejal y Chopra (1989). El trabajo experimental de Maheri et al. (1991) también se limitó al
intervalo elástico-lineal. Los resultados de estos estudios no son definitivos por el hecho de que durante sismos
fuertes, las estructuras incursionan en el intervalo de comportamiento no lineal.
Duan y Chandler (1993) emplearon modelos de edificios de varios pisos con elementos bilineales orientados en
una sola dirección y determinaron qué tanto los métodos estático y modal, típicos de algunos reglamentos
(Uniform, 1994), resultan no conservadores para el diseño de los elementos resistentes.
La torsión en edificios de varios pisos en el intervalo no lineal también ha sido motivo de investigación. De la
Llera y Chopra (1994) consideraron el comportamiento de modelos de cinco niveles idealizados con losas rígidas
y elementos resistentes a carga lateral con características elasto-plásticas. Su estudio consideró tanto elementos
resistentes como aceleraciones en dos direcciones ortogonales simultáneamente.
Con el fin de simplificar el problema de torsión en edificios De la Llera y Chopra (1994) también propusieron un
superelemento para representar el comportamiento de cada uno de sus entrepisos. Sin embargo, el tratamiento no
lineal de este superelemento, mediante el concepto de una superficie de interacción, se vuelve difícil de manejar
principalmente cuando se consideran dos componentes sísmicas. Es importante destacar que el modelo propuesto
por ellos está implícitamente relacionado con un comportamiento elasto-plástico, el cual no permite (por si solo)
incluir en él una rigidez mayor de cero después de fluencia o una pérdida de rigidez.
Aun cuando los alcances de la investigación de donde se desprende este trabajo son más amplios, aquí sólo se
presentan resultados preliminares con el fin de mostrar los aspectos generales del comportamiento no lineal de
edificios de varios pisos con torsión. Para fines comparativos también se presentan los resultados de sistemas
similares sin torsión.
DESCRIPCION GENERAL
Modelo estructural
Para este trabajo se emplea un modelo que representa un edificio de 5 pisos con losas rígidas. El sistema está
estructurado con 6 elementos resistentes con respuesta bilineal (3 en cada dirección) de tal forma que el centro de
rigidez de cada entrepiso es colineal con el eje que pasa por los centroides de cada losa. La planta tipo de los
modelos se muestra en la Fig. 1 donde se sugiere que todos los centros de rigidez están alineados en un eje
vertical (eje de rigidez) que pasa por el centroide de todas las losas. En este trabajo, la torsión se induce
desplazando los centros de masa respecto al eje de rigidez del sistema. Se distinguen 6 casos: los Casos A (sin
torsión) y B (con torsión) que se proponen con casi el total de la masa en el último nivel para representar el caso
de un modelo simple como el empleado en la mayoría de los estudios de torsión y los Casos 1 a 4 con masas
iguales en cada uno de los pisos. En todos los casos, se incluye un amortiguamiento proporcional a la masa igual
a 5% del crítico para el modo fundamental del caso lineal (inicial).
Los Casos A y B se ilustran en la Fig. 2 y en ellos se concentra el 96% del total de la masa M en el quinto nivel,
i.e., M5 = 0.96M con M = ΣMi. En el Caso A todas las masas son colineales con el eje de rigidez. En el Caso B, el
centro de masa del quinto nivel está ubicado a una distancia igual a 0.25b del eje de rigidez, mientras los demás
centros de masa se mantienen colineales con el eje de rigidez.
Los Casos 1 a 4 se muestran en la Fig. 3 donde Mi = 0.2M para i = 1, 2, ..., 5. El Caso 1 corresponde a un sistema
sin torsión en donde todos los centros de masa son colineales con el eje de rigidez. El Caso 2 tiene el centro de
masa del quinto nivel ubicado a una distancia igual a 0.25b del eje de rigidez, mientras los demás centros de
masa se mantienen colineales con el eje de rigidez. En el Caso 3 la excentricidad de piso (Tso, 1990) crece de
manera lineal con la altura hasta alcanzar un máximo igual a 0.25b. Finalmente, en el Caso 3 la excentricidad de
piso es constante con la altura.
Excepto por la magnitud de las masas, el Caso A es similar al Caso 1 y el Caso B es similar al Caso 2. La idea en
ese trabajo es identificar similaridades y/o diferencias entre los modelos identificados con letras (Casos A y B)
con los modelos identificados con números (Casos 1 a 4), a fin de determinar a qué tipo de distribución de
excentricidades de piso con la altura corresponden los modelos con masa concentrada típicos de modelos simples
(si es que hay un caso).
Para cada caso, la fuerza de fluencia Fy(i, j) del elemento i (i = 1, 2, ..., 6) ubicado en el piso j (j = 1, 2,...,5) se
calcula a partir de la aplicación del cortante estimado con ayuda del método estático del reglamento UBC-94
(Uniform, 1994) considerando las siguientes aceleraciones espectrales: Sax = 2.12(0.64)1g/R = 1.36g/R y Say =
2.12(1.0)1g/R = 2.12g/R. En todos los casos, el coeficiente de reducción R se asume igual a 2.0. Para el cálculo
de las masas, se considera M = 5(6.0 kg- s2/cm) con el fin de obtener un periodo de vibración próximo a 0.5 s.
Las rigideces iniciales de cada uno de los elementos resistentes a carga lateral se hacen igual a 4.0 t/cm. Las
excentricidades estáticas (es) se calcularon con el procedimiento descrito por Tso (1990). Simbólicamente, se
usaron las expresiones siguientes para el cálculo de las excentricidades de diseño (ed) con α = 1.0, β = 0.0 y γ =
0.0:
(ed)1 = α es + β b
(ed)2 = γ es - β b
(1)
(2)
Figura 1. Planta tipo para todos los pisos de todos los casos.
Análisis
Como se sugiere en la misma Fig. 1, los modelos se someten a la acción simultánea de dos componentes del
sismo de El Centro (1940). Ambas se escalan con un mismo factor, de tal forma que la componente mayor
(aplicada en dirección Y) alcanza una aceleración máxima del terreno (PGA) de 1g. El cálculo de la respuesta se
obtiene con ayuda del método de Newmark de aceleración constante y del método de Newton-Raphson (Chopra,
1995).
Figura 2. Casos A y B representativos de sistemas simples con masa concentrada en un nivel
Figura 3. Casos 1 a 4 con masas iguales en cada uno de los niveles
RESULTADOS
Desplazamientos y giros
En este apartado se presentan las historias de desplazamientos de los elementos resistentes 1 (izquierdos) u1 y 3
(derechos) u3, así como los giros de las losas θ. Las historias de desplazamiento para los Casos A y B se muestran
en la Fig. 4. Como es de esperarse para el Caso A, los desplazamientos u1 y u3 son iguales entre si ya que el
sistema responde sin torsión (θj = 0.0 para j = 1, 2, ..., 5). Para el Caso B, típico de un modelo simple con masa
concentrada excéntrica en un nivel, las amplitudes de los desplazamientos de los marcos izquierdos (u1,j)
disminuyen respecto a las correspondientes del Caso A. Para este mismo Caso B, las amplitudes de los
desplazamientos de los marcos derechos (u3,j) crecen respecto a las del Caso A.
Los desplazamientos y los giros de los Casos 1 a 4 se muestran en las Figs. 5 y 6. Al igual que para el Caso A, el
Caso 1 responde sin torsión (u1 = u3 y θ = 0.0). También se aprecia que para los Casos 2 a 4, los desplazamientos
u1 disminuyen respecto al Caso 1, mientras que los desplazamientos u3 aumentan. Esto es consistente con lo
observado de los Casos A y B. Estos resultados también muestran que el Caso 4 responde con mas torsión que el
Caso 3 y que éste último responde con más torsión que el Caso 2. Así, el comportamiento descrito anteriormente
(aumento de los desplazamientos u1 y disminución de los desplazamientos u3, ambos respecto al caso sin torsión)
se acentúa a medida que se pasa del Caso 2 al 3 y del 3 al 4. Por todo lo anterior, es claro que el Caso 4 es el más
crítico desde el punto de vista rotacional.
Relaciones fuerza-deformación
Estas relaciones muestran otro aspecto importante del comportamiento no lineal. Por ejemplo, en la Fig. 7 se
muestran estas relaciones para los Casos A y B, para los elementos resistentes 1 y 3, correspondientes a los
entrepisos 1, 3 y 5. Como es de esperarse, los elementos 1 (lado izquierdo) y 3 (lado derecho) del Caso A (sin
torsión) responden igual. Más aún, no se aprecia una diferencia significativa de comportamiento entre los
diferentes niveles. Estos resultados y aquellos mostrados en el apartado anterior indican que, aun cuando el
desplazamiento total de los elementos (respecto a la base) aumenta con la altura de la estructura, el
desplazamiento relativo mostrado en la Fig. 7 es del mismo orden para todos los niveles.
C aso A: masa concentrada - sin torsión
Caso B: masa concentr ada - con torsión
d espl. marco s derechos, cm.
despl. marco s izquierd o s, cm.
Nivel 5
Nivel 4
10.0
0.0
-10.0
Nivel 2
Nivel 1
Nivel 5
Nivel 4
Nivel 3
Nivel 2
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
5
10
5
5
5
5
5
5
5
10
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
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0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
5
10
5
tiempo, s.
10
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
5
10
15
0.00
15 -0.04
5
10
15
5
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15
5
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15
5
10
15
5
10
15
5
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15
5
10
15
5
10
15
10
15
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
10.0
0.0
5
0.00
15 -0.04
0.04
10.0
0.0
10.0
0.0
-10.0
Nivel 1
10
10.0
0.0
-10.0
Nivel 3
5
10.0
0.0
15 -10.0
rotacio n es de losas, rad .
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
tiempo, s.
0.00
15 -0.04
Figura 4. Historias de desplazamiento de los Casos A y B
5
tiempo, s.
d esp l. marco s derechos, cm.
despl. marco s izq u ierdos, cm.
Caso 1: sin torsión
Nivel 5
Nivel 4
Nivel 3
Nivel 2
Nivel 5
Nivel 4
Nivel 3
Nivel 2
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
15 -10.0
5
10
5
5
5
5
5
5
5
10
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
5
10
5
tiempo, s.
10
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
5
10
15
0.00
15 -0.04
5
10
15
5
10
15
5
10
15
5
10
15
5
10
15
5
10
15
5
10
15
5
10
15
10
15
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
10.0
0.0
5
0.00
15 -0.04
0.04
10.0
0.0
10.0
0.0
-10.0
Nivel 1
5
10.0
0.0
-10.0
Nivel 1
Caso 2: masa 5 excéntrica
10.0
0.0
-10.0
ro tacio n es de losas, rad.
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
tiempo, s.
Figura 5. Historias de desplazamiento de los Casos 1 y 2
0.00
15 -0.04
5
tiempo, s.
d espl. marco s derech o s, cm.
despl. marco s izq u ierdos, cm.
20.0
Caso 3: var iación lineal
Nivel 5
Nivel 4
Nivel 3
Nivel 2
Nivel 5
Nivel 4
Nivel 3
Nivel 2
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10.0
0.0
-10.0
10
10.0
0.0
-10.0
5
15
10
-20.0
10.0
0.0
5
5
5
5
5
5
5
10
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
10.0
0.0
-10.0
Nivel 1
0.0
5
10.0
0.0
-10.0
Nivel 1
C aso 4: excentr icidad constante
10.0
0.0
-10.0
5
tiempo, s.
10
15 -10.0
10
10.0
0.0
15 -10.0
0.00
15 -0.04
5
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5
10
15
5
10
15
5
10
15
5
10
15
5
10
15
5
10
15
5
10
15
5
10
15
10
15
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
10.0
0.0
5
rotacio n es de losas, rad.
0.04
5
10
0.00
15 -0.04
0.04
5
10
tiempo, s.
Figura 6. Historias de desplazamiento de los Casos 3 y 4
0.00
15 -0.04
5
tiempo, s.
En la misma Fig. 7 se observan también las relaciones fuerza-deformación calculadas para el Caso B que también
supone una masa concentrada pero, a diferencia del Caso A, ésta es excéntrica. De acuerdo con el diseño efectuado
de estos sistemas, en el cual no se resta el cortante a los elementos resistentes que se ven favorecidos por la torsión (γ
= 0.0 en Ec. 2), se observa que la respuesta de los elementos 1 es aproximadamente la misma que la obtenida para los
elementos del Caso A. Por lo que se refiere al diseño y respuesta de los elementos 3 del mismo Caso B, se observa lo
siguiente: 1) la fuerza de diseño (de fluencia) de estos elementos 3 es apreciablemente mayor que la de los elementos
1 y 2) aun cuando el comportamiento no lineal es ligeramente mayor para el quinto piso, tanto la fuerza de fluencia
como el comportamiento no lineal es similar para todos los niveles.
Tabla 1. Demandas de ductilidad calculadas para los Casos A y B
Caso A
Caso B
Elemento 1
Elemento 3
Elemento 1
Elemento 3
1.80
1.80
1.61
1.65
1.74
1.74
1.47
1.07
1.70
1.70
1.46
1.08
1.67
1.67
1.43
1.11
1.66
1.66
1.42
1.13
Entrepiso
No.
5
4
3
2
1
Las demandas de ductilidad de estos modelos se muestran en la Tabla 1. El comportamiento observado de los Casos
A y B sugiere que la demanda de ductilidad típica de modelos simples es aproximadamente igual para todos los
entrepisos, excepto para el último entrepiso donde se incrementa la demanda de ductilidad para el elemento 3
(aproximadamente 50% respecto al promedio de los entrepisos inferiores para el Caso B). En términos generales,
estos resultados son importantes ya que sugieren que para modelos simples (consistentes de una sola losa) las
deformaciones relativas de entrepiso y las demandas de ductilidad serían del mismo orden para todos los entrepisos.
Caso A:
20
Elem. 1
Elem. 3
10
10
10
0
0
0
0
-10
-10
-10
-10
-20
0
10
20
20
-20
-20 -10
0
10
20
20
Elem. 1
Fuerza, t
3e r entrepiso
Elem. 3
-20
-20
-20 -10
0
10
20
20
Elem. 3
-20 -10
10
10
0
0
0
0
-10
-10
-10
-10
-20
0
10
20
20
-20
-20 -10
0
10
20
20
Elem. 1
0
10
20
20
10
0
0
0
0
-10
-10
-10
-10
-20
-20
-20 -10 0 10
Despl., cm
20
20
-20 -10 0 10
Despl., cm
20
Elem. 3
10
20
10
20
Elem. 1
10
-20 -10 0 10
Despl., cm
0
-20 -10
10
-20
20
-20
-20 -10
Elem. 3
10
Elem. 3
10
-20 -10
0
20
Elem. 1
10
-20
Fuerza, t
20
10
-20 -10
1e r entrepiso
Caso B:
20
Elem. 1
Fuerza, t
5o entrepiso
20
-20
-20 -10 0 10
Despl., cm
20
Figura 7. Relaciones fuerza-deformación para los Casos A y B.
Caso 1:
Elem. 1
Elem. 3
10
10
10
0
0
0
0
-10
-10
-10
-10
-20
-10
0
10
20
20
-20
-20
-10
0
10
20
20
-20
-20
-10
0
10
Elem. 1
10
10
0
0
0
0
-10
-10
-10
-10
-20
0
10
20
20
-20
-20
-10
0
10
20
20
-10
0
10
Elem. 1
10
0
0
0
0
-10
-10
-10
-10
-20
-10
0
10
20
-20
-20
-10
0
10
20
-10
0
10
Fuerza, t
5o entrepiso
20
-20
Elem. 1
10
10
0
0
0
0
-10
-10
-10
-10
-20
10
20
20
-20
-20
-10
0
10
20
20
-10
0
10
20
-20
Elem. 1
10
10
0
0
0
0
-10
-10
-10
-10
-20
0
10
20
20
-20
-20
-10
0
10
20
20
-10
0
10
20
-20
10
10
0
0
0
0
-10
-10
-10
-10
-20
-20
20
10
20
-10 0
10
Despl., cm
20
Elem. 3
10
-10 0
10
Despl., cm
0
-20
-10 0
10
Despl., cm
20
-10
20
Elem. 1
Elem. 3
10
-20
20
-20
-20
20
Elem. 1
-20
10
Elem. 3
10
-10
0
-10
20
Elem. 3
10
-20
20
-20
-20
20
Elem. 1
-20
10
Elem. 3
10
0
0
-10
20
Elem. 3
10
-10
20
-20
-20
20
Elem. 1
-20
10
Caso 4:
20
-20
0
-10
Elem. 3
10
Caso 3:
Fuerza, t
-20
10
20
3er entrepiso
20
10
-20
20
20
Elem. 3
-20
10
-20
-20
20
Elem. 1
0
Elem. 3
10
-10
-10
20
Elem. 3
-20
Fuerza, t
-20
10
-20
1er entrepiso
20
20
Elem. 1
Fuerza, t
20
Elem. 3
-20
Fuerza, t
3er entrepiso
20
10
-20
1er entrepiso
Caso 2:
20
Elem. 1
Fuerza, t
5o entrepiso
20
-20
-20
-10 0
10
Despl., cm
20
-20
Figura 8. Relaciones fuerza-deformación para los Casos 1 a 4.
En la Fig. 8 se muestran las relaciones fuerza-deformación para los Casos 1 a 4. Comparando los resultados del Caso
1 (modelo simple) con los del Caso A (masa distribuida) se observa que en este último el comportamiento no lineal se
concentra en los entrepisos inferiores. Esto marca una diferencia en el comportamiento de los dos sistemas sin torsión
ya que, como se indicó antes, el Caso A conduce a una distribución uniforme de deformaciones de entrepiso.
Comparando los resultados del Caso 2 (Fig. 8) con los del Caso B (Fig. 7) se observa que, para estos casos con
torsión, el comportamiento no lineal también se concentra en los entrepisos inferiores para el caso de masas
distribuidas. Este comportamiento también se observa en los Casos 3 y 4.
Las demandas de ductilidad calculadas para los Casos 1 a 4 se resumen en la Tabla 2. Se observa que, para estos
casos con masas distribuidas, las demandas de ductilidad son mayores en los entrepisos inferiores. Al igual que en el
Caso B también se observa que la torsión (Casos 2 a 4) conduce a resistencias mayores de los elementos derechos,
respecto a diseños sin torsión.
Entrepiso
No.
5
4
3
2
1
Tabla 2. Demandas de ductilidad calculadas para los Casos 1 a 4
Caso 1
Caso 2
Caso 3
Caso 4
Elemento 1
Elemento 3
Elemento 1
Elemento 3
Elemento 1
Elemento 3
Elemento 1
Elemento 3
1.86
1.32
1.33
1.53
2.85
1.86
1.32
1.33
1.53
2.85
0.96
0.94
1.03
1.00
1.24
2.29
1.18
1.30
1.58
2.94
0.84
0.76
0.86
0.92
1.00
1.54
1.47
1.56
1.98
2.24
0.88
0.87
0.86
0.93
0.95
1.48
1.58
1.56
1.79
1.87
CONCLUSIONES
El análisis de la respuesta no lineal de dos grupos de modelos de sistemas con torsión sugiere que los modelos
simples de un piso, comúnmente usados para el estudio de torsión, no son adecuados para estudiar el comportamiento sísmico de edificios de varios pisos con torsión.
REFERENCIAS
Chopra, A. K. (1995), “Dynamics of Structures - Theory and Applications to Earthquake Engineering,” PrenticeHall.
De la Llera, J. C. y Chopra, A. (1994), “Accidental and Natural Torsion in Earthquake Response and Design of
Buildings”. University of California at Berkeley, Earthquake Engineering Research Center, Report No.
UCB/EERC-94/07.
Duan , X. y Chandler, A. (1993), “Inelastic Seismic Response of Code-Designed Multistorey Buildings with
Regular Asymmetry”. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 22, 431-445.
Hejal, R. y Chopra, A. (1989), “Earthquake Response of Torsionally Coupled, Frame Buildings”. Journal of
Structural Engineering, Vol. 115, No. 4, 834-851.
Kan, C. L. y Chopra, A. (1977), “Elastic Earthquake Analysis of Torsionally Coupled Multistorey Buildings”.
Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 5, 395-412.
Tso, W. K. (1990), “Static Eccentricity Concept for Torsional Moment Estimation”, Journal of Structural
Engineering, Vol. 116, No. 5, 1199-1212.
Uniform Building Code. (1994), International Conference on Building Officials, Whittier, California.