6 Funciones

6
Funciones
En Mathematica se pueden definir nuevas funciones, una característica
que resulta muy útil y conveniente en una muy amplia variedad de contextos.
6.1.
Definiendo funciones
Esto define, en Mathematica, la función f (x) = (x + 1)2 . (El signo
de guión bajo, _, que aparece tras la variable en la parte izquierda,
es muy importante).
Ξ
f[x_]:= (x+1)^2
Observa que la definición no produce ninguna respuesta como resultado.
El argumento pasado a la función f puede ser un número.
Ξ
f[4]
Y también, una variable o cualquier otra expresión.
Ξ
f[a]
Ξ
f[x + Sin[x]]
Una vez definida, la función puede utilizarse en cualquier cálculo.
Ξ
Expand[f[x+1+y]]
Ξ
Sin[f[x+a]]
Ξ
f[f[a]]
Esto muestra la definición de f.
Ξ
?f
Esto libera la definición de f
Ξ
Clear[f]
Ξ
?f
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6.2.
Definiciones múltiples
Una función con dos variables.
Ξ
f[x_, y_]:= (x - y)^2 / y
Ξ
2 + f[a, b]
Una nueva definición para f que, en este caso, sobreescribe a la
anterior.
Ξ
f[x_, y_]:= (x - y)^4
Ξ
2 + f[a,b]
¿Cuál es la definición de f?
Ξ
?f
Esta nueva definición de f no sobreescribe la anterior porque tiene
otro tipo de argumentos.
Ξ
f[x_]:= Sin[x^2 +1]
Ξ
2 + f[a]
Ξ
2 + f[a,b]
¿Cuál es la definición de f ahora?
Ξ
?f
El mecanismo de definición múltiple es, a veces, muy conveniente
pero frecuentemente conduce a situaciones confusas. Una definición
limpia de f.
Ξ
Clear[f]
Ξ
f[x_]:= Sin[x^2 +1]
Ξ
2 + f[a]
Ξ
?f
Siempre es conveniente anular las definiciones de funciones que no
se vayan a usar más. Ello evita una buena cantidad de problemas
y errores.
Ξ
Clear[f]
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6.3.
Definiciones condicionales
Mathematica permite definiciones múltiples, mezclando definiciones para
expresiones específicas como f[1] o f[a] con definiciones para variables
como f[x_]. Esto permite definir muchas funciones matemáticas.
La definición de una función que presenta una singularidad.
Ξ
f[x_] := Sin[x+1]/x
Ξ
f[Pi/2-1]
Aquí se obtiene un error porque f no está definida en 0.
Ξ
f[0]
Así que definimos f en cero por el límite.
Ξ
f[0] = 1
Ξ
f[0]
Ξ
f[Pi/2-1]
La definición anterior es matemáticamente equivalente a
(
sen(x + 1)
si x 6= 0
f (x) =
x
1
si x = 0
Cuando se hace una secuencia de definiciones, Mathematica sigue el principio de aplicar primero las definiciones más especificas y después las
definiciones más generales. Los casos especiales son aplicados antes que
los casos generales, independientemente del orden en que se definan; un
comportamiento que es particularmente importante.
Una función definida únicamente para valores racionales de la variable.
Ξ
g[n_Rational]:= 1
Ξ
g[-23]
Ξ
g[2/3]
Ξ
g[Sqrt[2]]
La definición de g cuando la variables es real.
Ξ
g[r_Real]:= 0
Ξ
g[2/3]
Ξ
g[Sqrt[2]]
Ξ
g[3+4I]
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La definición de g en cualquier otro caso.
Ξ
g[x_]:= 1/2
Ξ
g[z]
El mecanismo de definiciones condicionales permite definir en Mathematica lo que habitualmente se conoce como funciones a trozos.
Un primer procedimiento para una definición condicional.
Ξ
[f[x_]:= If[x < 0, Sin[x], 3x^2 - 1]
Ξ
f[-2], f[2]
Un segundo procedimiento.
6.4.
Ξ
g[x_]:= 3 x^2 -1 /; x >= 0
Ξ
g[x_]:= Sin[x] /; x < 0
Ξ
g[-2], g[2]
Definición inmediata y definición diferida
En realidad hay dos formas posibles de definición. La primera, más frecuente, utiliza el operador := y se denomina definición diferida; la segunda utiliza el operador = y se llama definición inmediata. La diferencia
entre ambas es muy sutil y a veces causa confusión en el usuario poco
experimentado.
Cuando se utiliza el operador :=, la definición de la función no se
evalúa (y como consecuencia no se obtiene resultado alguno).
Ξ
ExpandeA[x_]:= Expand[(1+x)^2]
Cuando se utiliza el operador =, la definición de la función se evalúa.
Ξ
ExpandeB[x_]= Expand[(1+x)^2]
Cuando se utiliza la función ExpandeA, primero se sustituye el argumento en el cuerpo de definición y después se ejecuta el procedimiento de desarrollo de la expresión.
Ξ
ExpandA[a+2]
Sin embargo, ExpandB sustituye su argumento en la expresión ya
desarrollada, dando una respuesta diferente.
Ξ
ExpandB[a+2]
Ambos operadores, = y := pueden utilizarse para definir funciones, pero sus significados son diferentes. Hay que ser cuidadoso acerca de cuál
utilizar en cada caso. La regla es: ante la duda, usar :=.
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Algunas veces, el uso de uno u otro es indiferente.
Ξ
f[x_]:= Sin[Log[x]]
Ξ
f[1+a]
Ξ
g[x_] = Sin[Log[x]
Ξ
g[1+a]
En otras ocasiones, el uso del operador := es imprescindible.
Ξ
Clear[f,g]
Ξ
f[x_]:= Simplify[x]
Ξ
g[x_]=
Ξ
f[Sin[x]^2 + Cos[x]^2]
Ξ
g[Sin[x]^2 + Cos[x]^2]
Simplify[x]
El uso del operador := es posiblemente más frecuente, pero también
hay ocasiones en las que debe usarse necesariamente el operador =.
Ξ
f[x_]:= D[Log[Sin[x]], x]
Ξ
g[x_] = D[Log[Sin[x]], x]
Ξ
f[1+a]
Ξ
g[1+a]
Deberías...
...saber definir funciones y utilizarlas; al respecto es muy importante
que recuerdes el uso de _ para definir las variables;
...saber que la orden ? se utiliza para obtener ayuda acerca de una
función;
...saber que la orden Clear se utiliza para eliminar la definición de
una función;
...saber cómo hacer definiciones múltiples;
...saber cómo hacer definiciones condicionales;
...entender muy bien la diferencia en la asignación inmediata (=) y
la asignación diferida (:=).
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