Modelos_inventarios

Guzmán Pérez Guido N.
I N D I C E
MODELOS DETERMINISTAS .......................................................................................................2
1 Modelo Estático EOQ Clásico : .............................................................................................. 2
Problema 2.1 (Página 214) Métodos y Modelos de Invest.de Operac. (Juan Prawda) ............. 2
2 Modelo EOQ con descuentos por cantidad: ............................................................................. 2
Problema 2.16 (Pagina 86) Direc.Producción (J.Heizer/ B.Render) .......................................... 2
3. Modelo POQ ............................................................................................................................ 4
Problema 12.30 Pagina (706) Invest. Operativa (K. Mathur / D.Solow) ................................ 4
4. Modelo estático de múltiples artículos con limitaciones ......................................................... 5
Problema 14.19 (pagina 628) Invest. Operaciones (H. Taha ) ................................................... 5
5. Modelo de programación de la producción en N periodos: .................................................... 6
Problema 14.24 (pagina 629) Inv. Operac. (H. Taha) ................................................................ 6
MODELOS PROBABILISTICOS ....................................................................................................8
6. Modelo EOQ probabilizado de revisión continua .................................................................... 8
Problema 22 (Pagina 577) Admin.. Operac. ( L.J.Krajewski/ L.P.Ritzman) ........................... 8
7. Modelo de decisiones para un periodo ..................................................................................... 9
Problema 9 (Pagina 593) Adm. de Operac. (Krajewski/Ritzman) ........................................... 9
8. Modelo de un periodo con Demanda instantánea sin costo fijo ............................................. 10
Problema 14.38 (Pagina 631) Inv. Operac. (H. Taha).............................................................. 10
9. Modelo de un periodo con Demanda instantánea y costo fijo ............................................... 11
Problema 14.47 (Pagina 633) Inv. Operac. (H. Taha)............................................................... 11
10. Modelo EOQ probabilizado de Revisión Periódica ............................................................. 12
Problema 25 (Pagina 577 ) Adm. Operac. (Krajewski /Ritzman ) ............................................ 12
1
Guzmán Pérez Guido N.
MODELOS DETERMINISTAS
1 Modelo Estático EOQ Clásico :
Problema 2.1 (Página 214) Métodos y Modelos de Invest.de Operac. (Juan
Prawda)
Se requiere capacitar a 500 administradores en sistemas de comercialización, en los
próximos 100 días. El costo fijo al empezar el programa de capacitación es e $ 500000 Y el
costo de mantenimiento de cada alumno durante el curso es de 250 $ diarios. ¿Cuánta
gente debe capacitarse y con que frecuencia, para que el costo resulte mínimo ? ¿Cuál es el
costo mínimo?
Solución:
Datos:
Se requiere capacitar 500 adm.
En un tiempo de
100 días
K = 500000
$ / programa
h = 250 $/adm-dia
500
D
 5adm / día 
Entonces la demanda será:
100
La cantidad de gente a capacitar será:
2DK
2 * 5 * 500000
Q* 

 141.4Adm/ prog
h
250
por lo que se deberá capacitar 141 Administradores .
La frecuencia es:
T  Q* / D  141/ 5  28.2Dias
El costo mínimo es:
CT  2 * KDH  2 * 500000* 5 * 250  35355.34$ / dia
2 Modelo EOQ con descuentos por cantidad:
Problema 2.16 (Pagina 86) Direc.Producción (J.Heizer/ B.Render)
-Froelich Products ofrece el sigte. programa de descuentos para sus paneles de 4’x8’.
PEDIDO
COSTE UNITARIO
9 paneles o menos
18.00 $
De 10 a50 paneles
17.50 $
Más de 50 paneles
17.25 $
2
Guzmán Pérez Guido N.
Home Sweet Home Company pide paneles de Froelich Products. Home Sweet Home tiene un coste
de lanzamiento de 45 $. El coste de almacenamiento es de 20 $ y la demanda anual son 100 paneles.
¿Qué política de pedidos recomendaría usted?
Solución:
Datos: K=45[$/pedido] ; D= 100[paneles/año] ; i=0.20
1º Paso: Hallamos el Q óptimo para cada descuento:
Q1* 
2 * 45*100
 50.0unid / pedido
0.20 *18.0
Ajustando resulta:
Q2* 
Ajustando:
Q3* 
Q1*  9unid / pedido
2 * 45*100
 50.7unid / pedido
0.20 *17.50
Q2*  50unid / pedido
2 * 45*100
 51.1unid / pedido
0.20 *17.25
Ajustando:
Q3*  51unid / pedido
2ºPaso : Calculo del Costo Total para cada Q óptimo ajustado:
CT = K(D/Q) +(Q/2)c*i + c*D
CT1= 45*(100/9) +(9/2)*18*0,20 + 18*100 = 2316,2 [$/año]
CT2= 45*(100/50) +(50/2)17.50*0.20 +17.50*100 =1927.5 [$/año]
CT3= 45*(100/51) (51/2)*17.25*0.20 +17.25*100 =1901.21 [$/año]
3ºPaso: Política óptima es la que tiene CT mínimo:
Q*  51unid / pedido
A un Costo Total : CT=1901.21 [$/año]
3
Guzmán Pérez Guido N.
3. Modelo POQ
Problema 12.30 Pagina (706) Invest. Operativa (K. Mathur / D.Solow)
Soundly Speaking fabrica bocinas de todos tipos para sistemas estereo. La demanda anual de su
modelo mas popular,que se vende a $30 por bocina, es de 10400 unid. La planta puede producir
aproximadamente 300 de tales bocinas por semana, pero se necesita media semana para instalar el
equipo necesario para hacer este tipo particular de modelo.
El Depto. De contabilidad estima $500 por cada montaje para cubrir los costos de administración y
recomienda una tasa de transferencia de 30%. Utilice las formulas POQ para determinar lo sigte
(a) La cantidad de pedidos de producción optima Q .
(b) El punto de nuevos pedidos R y si este punto se presenta antes o después de que la
producción se ha terminado.
(c) El nro de pedidos por año.
(d) El costo total anual.
Solución: Datos
D=10400[bocin/año]
c= 30 [$/bocina]
L=0.5 [semanas]
K=500[$/organiz]
P=300*52=15600[bocin/año]
i=0.30
(a) Cantidad de pedido de producción óptima:
Q* 
2* K * D

D
h * (1 
)
p
2 * 500* 2400
 1861.90bocin/ corrida
9 * (5200/ 15600)
(b) Punto de nuevos pedidos:
R=DL =200[bocin/semana]*0.5[semanas] =100[bocinas]
Tiempo en que termina la producción:
t = Q* / P  1862/ 300  6.2semanas
Tiempo de ciclo:
T = Q* / D  1862/ 200  9.31semanas
El sigte pedido de producción se coloca en el tiempo :
T-L =9.31 -0.5 =8.81 [semanas]
Por lo tanto el punto de nuevos pedidos, ocurre después de la producción.
(c) Pedidos por año:
N = D / Q*  10400/ 1862 5.58corrid / año
(d) Costo total anual:
Sin incluir el costo fijo por la producción de bocinas que es
c*D =30*10400=312000[$/año] tenemos:
Q
D
CT=K* ( D / Q * )  * (1  ) * h =500(10400/1862) +(1862/2)*5200*9/15600
2
P
CT =5585.7 [$/año]
4
Guzmán Pérez Guido N.
4. Modelo estático de múltiples artículos con limitaciones
Problema 14.19 (pagina 628) Invest. Operaciones (H. Taha )
Se mantienen en almacén cuatro artículos diferentes para uso continuo en un proceso de
manufactura. Las tasas de demanda son ctes. para los cuatro artículos. No se permite escasez y las
existencias deben reabastecerse instantáneamente, en cuanto se hace el pedido . Sea di la cantidad
anual demandada del articulo i-ésimo (i=1,2,3,4) .
Los datos del problema están dados por :
Articulo
I
1
2
3
4
Ki
Di
10
20
5
10
100
50
90
20
hi
0.1
0.2
0.2
0.1
di
10000
5000
7500
5000
Encuentre los tamaños económicos de lote para los cuatro productos, suponiendo que el nro total de
pedidos por año (para los cuatro artículos) no puede exceder de 200 órdenes.
Solución :
Formula de cantidad económica de pedido para los cuatro artículos :
yi* 
2 * K i * Di  2 *  * d i
hi
n
También se debe cumplir:

i 1
di
 200  0
yi
Realizando una tabla para hallar el valor de  óptimo:

Y1
Y2
Y3
Y4
(d
0
-0.05
-0.10
-0.11
141.42
173.20
200
204.94
100
111.8
122.47
124.5
67.08
90.83
109.54
112.92
63.24
94.87
118.32
122.47
111.58
37.74
1.55
-3.80
Realizando interpolación lineal :
Luego los
y1 *=201.5
yi*
*  0.103
óptimos están dados por :
y2 *=123.1
y3*=110.6
y4*=119.6
5
i
/ yi )  200
Guzmán Pérez Guido N.
5. Modelo de programación de la producción en N periodos:
Problema 14.24 (pagina 629) Inv. Operac. (H. Taha)
La demanda de un producto durante los cinco próximos periodos, está dada por la tabla sigte:
CAPACIDAD DE PRODUCCION [Unid]
Periodo
1
2
3
4
5
Tiempo
Normal
100
40
90
60
70
Tiempo extra
Subcontratación Demanda
50
60
80
50
50
30
80
70
20
100
153
300
159
134
203
El costo de producción es el mismo para todos los periodos y está dado por 1,2y3 por unidad de
tiempo normal, tiempo extra y subcontratación, respectivamente. La subcontratación se puede
utilizar solo si ya se ha utilizado toda la capacidad de horas extra.
El costo de mantener el inventario del periodo sigte. i+1 es 0.5 por unidad. Se incurre en un costo
de penalización de 2$ por unidad por periodo cuando se entrega tarde.
(a) Calcule la solución óptima.
(b) Suponga que el mantto y los pedidos pendientes están limitados cada uno de ellos a
un máximo de un periodo solamente. Calcule el Costo Total.
Solución :
Realizando la tabla del modelo considerando la escasez:
(a) Solución óptima , por el método del costo mínimo:
6
Guzmán Pérez Guido N.
R1
1
1
100
2
1.5
T1
2.0
3
4
5
2.0
2.5
Excedente
3.0
2.5
3.0
3.5
4.0
50
3.5
27
4.0
4.5
5.0
30;27
100
50
SC1
3.0
3
R2
3.0
1.0
40
1.5
2.0
2.5
40
T2
4.0
2.0
60
2.5
3.0
3.5
60
SC2
5.0
3.0
80
3.5
4.0
4.5
80
R3
5.0
3.0
1.0
90
1.5
2.0
90
T3
6.0
4.0
2.0
69
2.5
3.0
80;11
11
SC3
7.0
5.0
70
3.0
3.5
4.0
70
R4
7.0
5.0
3.0
1.0
1.5
60
60
T4
8.0
6.0
4.0
2.0
50
2.5
50
SC4
9.0
7.0
7
5.0
3.0
13
3.5
20;7
R5
9.0
7.0
5.0
3.0
1.0
70
70
T5
10.0
8.0
6.0
4.0
2.0
50
50
SC5
11.0
9.0
16
7.0
5.0
3.0
83
100;17;1
153
53
3
300
260
200
120
93
23
16
159
69
203
133
83
134
74
24
13
7
1
1
Guzmán Pérez Guido N.
MODELOS PROBABILISTICOS
6. Modelo EOQ probabilizado de revisión continua
Problema 22 (Pagina 577) Admin.. Operac.
( L.J.Krajewski/ L.P.Ritzman)
Una compañía ha iniciado la revisión de las políticas sobre pedidos para su sistema de revisión
continua, verificando las políticas actuales con una muestra de artículos. Presentamos a
continuación las características de uno de esos artículos.
Demanda =64 unid/semana (52 semanas de trabajo por año)
Costo de pedidos y preparación =50 $/pedido
Costo de manejo de inventario h = 13 $/unid/año
Tiempo de entrega L = 2 semanas
Desviación estándar de la demanda semanal = 12 unidades
Ciclo del nivel de servicio = 88%
(a) Cual es la EOQ correspondiente a este articulo?
(b) Cual es el valor del inventario de seguridad deseado?
(c) Cual es el valor correspondiente al punto de reorden?
(d) Cuales son las consecuencias en términos de costos si en la política actual para este articulo
Q=200 y R=180 ?
Solución : Datos :
D´=64 unid/semana *52 sem/1 año =3328 unid /año
$/unid/año
L =2 semanas  =12 unid
 =0.88
(a) Calculo de EOQ para un sistema de revisión continua :
EOQ =
K= 50 $/pedido
2 * K * D
2 * 50 * 3328

 160unid / pedido
h
13
EOQ =160 unid/pedido
(b)Inventario de seguridad deseado (S)
S= z *  * L
Para   0.88
es
Calculando:
S  1.175*12* 2  19.94unid
(c) Punto de reorden (R1)
R1 =D´*L+S = D´*L + z    L

z=1.175
luego:
S =20[unidades]
R1=64*2+20 =148 unid
(d)Consecuencias en costos si Q=200 y R1=180
Para R1=180 es D´*L+ z    L =180
64*L +14.1* L =180
Resolviendo para L hallamos
L=2.47 semanas
Con este valor
S1 = z    L  22.16
Redondeando S1 =22 unid
Ahora calculando los costos de pedidos y de manejo de inventario
CT1=K*D´/Q +( (Q/2)+S1)*h = 50(3328/200) +(200/2 +22)*13 =2418 $/año
8
h
=13
Guzmán Pérez Guido N.
CT =K*(D´/Q*) +(Q*/2 +S)*h =50(3328/160) +(160/2 +20)*13 =2340 $/año
Por lo tanto existe una perdida de 78 $/año con la política actual.
7. Modelo de decisiones para un periodo
Problema 9 (Pagina 593) Adm. de Operac. (Krajewski/Ritzman)
Nacional Printing Company tiene que decidir cuantos calendarios de pared será conveniente fabricar
para venderlos durante la temporada que esta por comenzar. Cada calendario se vende a 8.50$ y
producirlo cuesta 2.50$. El distrito escolar local ha accedido a comprar. Al precio unitario de $1.00,
todos los calendarios que no se vendan. Nacional estima la sigte distribución de probabilidades para
la demanda durante la temporada .
Demanda
2000 3000 4000 5000 6000
Probabilidad 0.05 0.20 0.25 0.40 0.10
¿Cuántos calendarios tendrá que producir Nacional para maximizar su ganancia esperada?
Solución : Realizando la tabla de réditos:
 gQ; siQ  D
Rédito= 
 gD  l (Q  D); siQ D
Donde : g=ganancia por unidad =p-c
l =Pérdida por unidad =c-rem
D
Q
2000
3000
4000
5000
6000
pi
2000
12000
10500
9000
7500
6000
0.05
g =8.50-2.50 =6.0 $
Entonces:
3000
12000
18000
16500
15000
13500
0.20
4000
12000
18000
24000
22500
21000
0.25
5000
12000
18000
24000
30000
28500
0.40
6000
12000
18000
24000
30000
36000
0.10
Redito
Esperado
12000
17625
21750
24000
23250
l=2.50-1.00 =1.5 $
6Q; siQ  D
Rédito = 
6D  1.5(Q  D); siQ D
Por lo tanto, el rédito esperado mas alto se presenta cuando se fabrican 5000 calendarios.
9
Guzmán Pérez Guido N.
8. Modelo de un periodo con Demanda instantánea sin costo fijo
Problema 14.38 (Pagina 631) Inv. Operac. (H. Taha)
La demanda para un artículo durante un solo periodo ocurre según una distrib.. exponencial con
media 10. Supóngase que la demanda ocurre instantáneamente al inicio del periodo y que los costos
de mantener el inventario y de penalización por unidad durante los periodos son 1 y 3
respectivamente. El costo de compra es 2 por unidad.
(a) Determínese la cantidad que debe ordenarse para que sea óptima, dado un inventario inicial
de 2 unidades.
(b) ¿Cuál es la cantidad óptima de ordenar, si el inventario inicial es de 5 unidades?
(c) Resolver el problema si la demanda ocurre de acuerdo con una Distribución de Poisson con
media 10.
Solución:
La función de Demanda es:
  e  D ; si , D 0
f(D)= 
0; otroscasos
(a) Demanda instantánea sin costo fijo:
y*
 e
 D
dD 
0
1
Como E(D) =

pc
ph
luego P(D  y * )  1  e y 
*
32
 1/ 4
3 1
 10 entonces   1 / 10
Reemplazando:
1  e y
*
/ 10
 1/ 4  e  y
*
/ 10
 3 / 4  serà : y *  2.88unid
Como: ( y *  2.88)( x  2), entonces: ordenar, y *  x  0.88
(b) Tenemos x=5  ( y *  2.88)  ( x  5)
Por lo tanto, no se debe ordenar.
(c) Datos   10; x  2
Luego:
P(D<=y*-1) <=(p-c)/(p+h) <=P(D<=y*)
P(D<=y*-1) <= ¼ <= P(D <=y*)
De tabla Poisson hallamos:
P(D <=7) <= 0.25 <= P(D <= 8)
0.22
0.33
y* = 8
Luego, si x=2 se debe ordenar y*-x = 6 unid.
Tambien si x=5 entonces , se debe ordenar:
y* -x = 3 unid.
10
Guzmán Pérez Guido N.
9. Modelo de un periodo con Demanda instantánea y costo fijo
Problema 14.47 (Pagina 633) Inv. Operac. (H. Taha)
Calcule la política de pedidos óptima para un modelo de un periodo con demanda D instantánea,
dado que la demanda ocurre según la sigte función de densidad de probabilidad :
1 / 5; si,5  D  10
f(D)= 
0, otroscasos
Los parámetros de costos son h=1.0 p =5.0 y c =3.0.
El costo fijo es K = 5.0. Suponga un inventario inicial de 10 unidades. ¿Cuál es la política general
de pedidos en este caso ?
Solución :
(1º) Determinar y*:
y*
P(D<=y*) =
 (1 / 5)dD 
5
pc
ph
Integrando (1/5)*[y*-5] = (5-3)/(5+1) =2/6
Luego: S =y* =20/3 =6.67 .
(2º) Calculo de s1:
Costo esperado:
y
10
E[C(y)] = c(y-x) + h  f ( D)( y  D)dD  p  f ( D)( D  y )dD
5
y
y
E[C(y)] = 3(y-x) +
10
1
1
( y  D )dD  5  ( D  y )dD

55
5
y
D2
E[C(y)] = 3(y-x) +(1/5)[yD]
2
10
y
5
D2
 yD
+[
2
y
1 2
25
1
y  5y 
] +[50-10y+ y 2 ]
2
2
2
6 2
105
y  8y 
 3x
Entonces: E[C(y)] =
10
2
Resolviendo la ecuación: E[C(s1)] = K + E[C(S)]
E[C(y)] = 3(y-x) +(1/5)[
6 2
105
6
105
s1  8s1 
 3 x  5  S 2  8S 
 3x
10
2
10
2
Simplificando: 9s12  120s1  325  0
Resolviendo la ecuación cuadrática :
s1=3.78 o s1 =9.55
Tomando el valor menor a S =6.67 :
s1 =3.78
Finalmente, como (x=10) > (S =6.67) , entonces, la política general de pedidos es no ordenar nada.
11
Guzmán Pérez Guido N.
10. Modelo EOQ probabilizado de Revisión Periódica
Problema 25 (Pagina 577 ) Adm. Operac. (Krajewski /Ritzman )
Una tienda mayorista, especializada en artículos de golf, trabaja 50 semanas al año. La gerencia está
tratando de desarrollar una política de inventarios para sus ‘palos 1’,a los cuales corresponden las
sigtes. características
Demanda D = 2000 unid/año
La demanda presenta una distribución normal
Desviación estándar de la demanda semanal = 3 unidades
Costo de hacer pedidos = 40 $/pedido
Costo anual del manejo de inventario h = 5 $/unidad
Valor deseado para el ciclo del nivel de servicio = 90%
Tiempo de entrega L = 4 semanas
(a) Si la compañía aplica un sistema de revisión periódica, ¿qué valores deberá usar para P y T?
Redondee P a la semana más próxima.
(b) Si la compañía utiliza un sistema de revisión continua, ¿Cuál deberá ser el valor de R?
Solución
Datos
D’ = 2000 unid/año *1año/50 sem = 40 unid/semana
Desviación estandar Demanda semanal
= 3 unid.
K = 40 $/pedido
h=5 $/unid/año
L=4 semanas
Alfa = 0.90
Cálculo del Q óptimo
Q* =
Ajustando tenemos
Q* =179 unid/pedido
(a) Tiempo entre pedidos
T = Q*/D =(179 unid/pedido)/(40 unid/semana) = 4.5 semanas
Ajustando :
T = 4 [ semanas]
El nivel objetivo de inventario en Revisión Periodica es
I+q = D’*(T+L) +
Para Alfa=0.90 de la tabla dist. Normal z=1.28
Entonces I+q = 40*(4+4) + 1.28*3*
=330.86
Ajustando :
I+q = 331 [ Palos1]
(b) El punto de reorden para revisión continua es
R1 = D’*L +
R1 = 40*4 +1.28*3*
Finalmente
R1 =168
= 167.68
[ Palos1]
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Guzmán Pérez Guido N.
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