Elementos de Cálculo Proposicional y Lógica Lectura recomenda: L

Elementos de Cálculo Proposicional y Lógica
Lectura recomenda: L. Loomis y S. Sternberg, Advanced Calculus. Capı́tulo
Introductorio.
Proposiciones. Las proposiciones son oraciones a las que se les puede asignar una
calificación. Las calificaciones sólo pueden ser dos: F (de falso) o V (de verdadero).
Por ejemplo, si P es la proposición ‘1 < 2’, entonces P tiene la calificación V y
decimos que ‘P es verdadera’. Otro ejemplo es la proposición 4 + 3 = 5 que,
evidentemente, es una proposición falsa.
Marcos Proposicionales. Son proposiciones en las que intervienen variables y
por lo tanto, se pueden calificar una vez que se asignan valores a dichas variables.
Sea P (x) la proposición x < 2. Ésta podrá ser calificada cuando se proponga un
valor para la variable x. Por ejemplo, si x es 4, la proposición P (4) es la que
resulta de substituir el valor 4 para leer 4 < 2 y esta última ya se puede calificar.
Evidentemente P (4) es F . Similarmente P (1) es V , etc.
Cuantificadores de variables. ¿Cómo se podrá obtener una proposición a partir
de un marco proposicional? Hay dos maneras básicas de realizar esto.
(1) Una forma de hacerlo es diciendo que la proposición se aplica a todos los
valores que le sean asignados a la variable x.
(2) Otra forma de hacerlo es diciendo que la proposición se aplica a algún valor
que le sea asignado a la variable x.
El sı́mbolo que se emplea para abreviar la oración ‘todos los valores que le sean
asignados a la variable x’ es ∀, mientras que el que sinteiza la oración ‘para algún
valor que le sea asignado a la variable x’ es ∃.
Entonces, la primera manera de obtener una proposición a partir de un marco
proposicional serı́a, ‘∀x, P (x)’, que se lee ası́: ‘para cada x, P (x)’, o también se lee
ası́: ‘para toda x, P (x)’. Un ejemplo concreto es: ‘∀x, x < 2’ que es una proposición
falsa, porque no es verdad que todos los números sean menores que 2. Un ejemplo
de una proposición verdadera serı́a el siguiente: ‘∀x, (x − 1)(x + 1) = x2 − 1.
Similarmente, la segunda manera de obtener una proposición a partir de un
marco proposicional será, ‘∃x, P (x)’, que se lee ası́: ‘existe un x, tal que P (x)’. Un
ejemplo concreto es: ‘∃x, x < 2’ que es una proposición verdadera.
Cuidado. Después de ganar un poco de familiaridad con esta manera de escribir las
cosas, todos comenzamos a olvidar los cuantificadores ∀. Por ejemplo, x + (y + z) =
(x + y) + z significa en realidad lo siguiente: ∀x ∀y ∀z, x + (y + z) = (x + y) + z.
Una regla de sintaxis. Ya hemos dicho lo que significa ‘∀x, P (x)’. Con frecuencia se encontrarán también expresiones ası́: ‘∀x( P (x) )’, ‘( ∀x ) P (x)’, o aún
‘( ∀x )( P (x) )’. Estas tres cosas significan todas lo mismo, pero significan algo distinto que la proposición ‘∀x, P (x)’ que carece de paréntesis. Lo que significa ‘∀x
( P (x) )’ es ‘considerar la colección (o conjunto) de todos los valores de la variable
x para los que se afirma que P (x)’. Con el mismo marco proposicional que hemos
empleado en los ejemplos anteriores (P (x) es x < 2), escribir ‘∀x (x < 2)’ significa
‘considerar todos los x que son menores que 2’. En otras palabras, estamos limitando los posibles valores de la variable x. Bajo estas condiciones decimos que la
variable x ha quedado acotada por el cuantificador ∀. Otra forma de escribir ‘∀x
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1
2
(x < 2)’ es la siguiente: ‘{x | x < 2}’ que se lee ası́: ‘el conjunto de los x que son
menores que 2’.
El orden de los cuantificadores importa mucho. Existen oraciones en las
que, por la aparición de más de una variable, se introducen varios cuantificadores y
si unos son de tipo ∀ y otros son de tipo ∃, entonces el orden en el que aparecen es
muy importante. Para ilustrar este hecho consideremos un marco proposicional con
dos variables. Digamos que P (x, y) sea x < y. Queremos ver que no es lo mismo
escribir
∀x ∃y x < y ,
que escribir
∃y ∀x x < y .
En efecto, la primera linea dice que ‘para cada valor asignado a la variable x, existe
un valor asignado a la variable y, para la que se cumple que x < y’ y esto, es una
proposición verdadera (cada vez que demos un número x, podremos encontrar un
número y que sea mayor que x). Por otra parte, lo que dice la segunda linea es que
‘existe un valor de la variable y, tal que para todo valor asignado a la variable x,
se cumple que x < y’ que es una proposición falsa (es falso que hay un número y
que es mayor que todos los números x).
Construcción de nuevas proposiciones a partir de otras. Sean P y Q dos
proposiciones (o marcos proposicionales). Con ellos, hay tres nuevas proposiciones
que se pueden formar usando los llamados conectivos lógicos que son y, o y si ...,
entonces. En otras palabras, a partir de P y Q se obtienen,
(1) la proposición ‘P y Q’
(2) la proposición ‘P o Q’
(3) la proposición ‘ si P , entonces Q’
Estas nuevas proposiciones serán verdaderas o falsas, dependiendo de la calificación
F o V de cada una de las proposiciones que han intervenido en su formación.
Tenemos ası́ tres tablas de verdad que nos dicen cómo calificar la nueva proposición
a partir de las calificaciones de las proposiciones P y Q. (Usaremos la abreviación
usual ‘P ⇒ Q’ para significar que ‘ si P , entonces Q’).
P
Q
P yQ
P
Q
P oQ
P
Q
P ⇒Q
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
V
F
V
V
F
F
F
V
F
F
V
V
F
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
V
Hay una tabla adicional que se aplica a la negación de una proposición. El
sı́mbolo que se emplea para negar la proposición P es ası́: ‘ ∼ P ’ que se lee como
3
‘no P ’. La tabla correspondiente queda entonces ası́:
P
∼P
V
F
F
V
En función de estas tablas se pueden obtener las calificaciones F o V de proposiciones más complicadas. Por ejemplo se puede verificar que la tabla de verdad
resultante para la proposición ‘P y ∼ Q’ es exactamente la misma que la resultante
para la proposición ‘ ∼ (P ⇒ Q)’. Cuando ocurre que la tabla de verdad de una
proposición P es exactamente la misma que la tabla de verdad de otra proposición
Q, decimos que las proposiciones P y Q son equivalentes. Por ejemplo, se puede
comprobar que,
∼ (P o Q)
es equivalente a
(∼ P ) y (∼ Q)
P ⇒Q
es equivalente a
(∼ P ) o Q
y comprobar también que
Por otra parte, hay proposiciones cuya tabla de verdad arroja al final solamente
calificaciones V . Una proposición con esta caracterı́stica se llama tautologı́a. Dos
ejemplos de tautologı́as son los siguientes:
!
"
P y (P ⇒ Q) ⇒ Q
y
!
"
(P ⇒ Q) y (Q ⇒ R) ⇒ (P ⇒ R)
Vamos a escribir P ⇔ Q para abreviar la proposición ( P ⇒ Q ) y ( Q ⇒ P ) y
empleando esta notación vamos a establecer el siguiente resultado que es uno de los
más importantes del cálculo proposicional:
Si las proposiciones P y Q son equivalentes, entonces la proposición P ⇔ Q es
una tautologı́a. Y al revés también: si la proposición P ⇔ Q es una tautologı́a,
entonces las proposiciones P y Q son equivalentes.
Negación con cuantificadores. Hay dos reglas de negación muy importantes
que deben observarse en presencia de los cuantificadores ∀ y ∃:
y
∼ ( ∀x, P (x) )
significa que
∃x, ∼ P (x)
∼ ( ∃x, P (x) )
significa que
∀x, ∼ P (x)
∼ ( ∃x ∀y , P (x, y) )
significa que
Con palabras, la primera linea dice que, el que no sea cierto que para toda x
se cumpla P (x), significa que existe un x para el que no se cumple P (x). La
segunda linea dice que el que no sea cierto que exista algún x para el que se cumpla
P (x) significa que para todo x no se cumple P (x). Si hay más de una variable
presente en los marcos proposicionales cuantificados y la proposición que hay que
negar contiene alguna cadena de cuantificadores en algún orden especı́fico, estas
dos reglas permitirán ver que, por ejemplo,
∀x ∃y , ∼ P (x, y)