λ λ λ λ

Matemáticas II
Junio 2002
EJERCICIO A
PROBLEMA 2. Dados los puntos A=(1,-2,3) y B=(0,2,1), se pide:
a) La ecuación paramétrica de la recta que pasa por ambos puntos. (1,1 puntos)
b) La ecuación del plano π que está a igual distancia de A y de B. (1,1 puntos)
c) La distancia al origen de la recta intersección del plano 2y-z=0 con el plano π del apartado b). (1,1 puntos)
Solución:
a) Ecuación paramétrica de la recta que pasa por A y B.
punto A(1,-2,3)

De la recta r sabemos 
vector director AB = (−1,4,2)

Por lo tanto la ecuación paramétrica de la recta r es:
x = 1 − λ

r :  y = −2 + 4λ
 z = 3 − 2λ

λ ∈ℜ
b) El plano que está a igual distancia de los puntos A y B pasará por el punto medio del segmento AB y será
perpendicular al vector AB
M
1+ 0 − 2 + 2 3 +1  1

punto medio de AB = 
,
,
 =  ,0,2 
0
2  2
 2

AB ( −1,4,2), este es un vector ortogonal al plano.
La ecuación del plano buscado será – x + 4 y – 2 z + D = 0 con la condición de que pase por el punto M, luego
−1
−1
1
9
−4+D =0 → D = +4 =
+4.0−2.2+ D = 0 →
2
2
2
2
9
La ecuación del plano será − x + 4 y − 2 z + = 0 – 2 x + 8 y – 4 z + 9 = 0
2
c)
La ecuación de la recta s, intersección de los dos planos, será
− 2 x + 8 y − 4 z + 9 = 0
s:
2 y − z = 0
La distancia del origen ( O ) a la recta s la calculamos mediante la expresión,
→
→
Ps O × v s
d (O , s ) =
→
vs
Necesitamos encontrar un punto y un vector director de la recta s.
Obtengamos las ecuaciones paramétricas de s.
−2 8
− 2 x + 8 y − 4 z + 9 = 0
como
= −4 ≠ 0 x, y incógnitas principales.

2y − z = 0
0 2

 − 2 x + 8 y = −9 + 4 z

→
2y = z

sustituyendo en la 1ª ecuación
y=
z
2
z
= −9 + 4 z → − 2 x + 4 z = −9 + 4 z → − 2 x = −9 →
2
9

x = 2
9


Ps  ,0,0 
1

2

luego s :  y = λ λ ∈ ℜ → → 
 1 
2

v s  0, ,1
z = λ
 2 


→
9
  −9

Ps O = (0,0,0) −  ,0,0  = 
,0,0 
2
  2

− 2x + 8
→
i
→
→
−9
Ps O × v s =
2
0
→
→
j
k
0
0 = i 1
2
1
→
0
1
2
2
−9
− j 2
1
0
0
→
−9
0
+k 2
1
0
2
→
→
→
81 81
 9  −9
Ps O × v s = 0 2 +   + 
+
=
 =
4 16
2  4 
2
1
v s = 0 +   + 12 =
2
→
d (O, s ) =
2
1
+1 =
4
405
4 = 2 405 = 1
2
5
4 5
2
0
1
2
405 1
9
=
81 = u. l.
5
2
2
9
2
 9 −9
=  0, ,

 2 4 
324 + 81
=
16
5
5
=
4
2
x=
405
=
16
405
4