40.8 El principio de incertidumbre

Sección 40.8
El principio de incertidumbre
orden y l es la longitud de onda del electrón. Por lo tanto, la naturaleza dual del electrón
se muestra claramente en este experimento: los electrones se detectan como partículas
en una mancha localizada sobre la pantalla del detector en algún instante de tiempo, pero
la probabilidad de llegada a dicha mancha se determina al encontrar la intensidad de dos
ondas que interfieren.
En un haz de electrones con intensidades extremadamente bajas, un electrón por vez
llega a la doble rendija. Es tentador suponer que el electrón pasa a través de la rendija 1 o la rendija 2. Puede argumentar que no hay efectos de interferencia porque no
hay un segundo electrón que pase a través de la otra rendija para interferir con el primero. Sin embargo, esta suposición pone demasiado énfasis en el modelo de partícula
del electrón. ¡Sólo se observa el patrón de interferencia si el intervalo de tiempo para
la medición es suficientemente grande para que muchos electrones lleguen a la pantalla
del detector! Esta situación se ilustra por los patrones simulados por computadora en la
figura 40.22, donde el patrón de interferencia se vuelve más claro conforme aumenta el
número de electrones que llegan a la pantalla del detector. Por esto, la suposición de que
el electrón se localiza y pasa sólo a través de una rendija, cuando ambas rendijas están
abiertas, debe ser incorrecta (¡una conclusión dolorosa!).
Para interpretar estos resultados, se está forzado a concluir que un electrón interactúa
con ambas rendijas simultáneamente. Si usted intenta determinar experimentalmente
por cuál rendija pasa el electrón, el acto de medir destruye el patrón de interferencia. Es
imposible determinar por cuál rendija pasa el electrón. En efecto, ¡sólo se puede decir que
el electrón pasa a través de ambas rendijas! Los mismos argumentos aplican a fotones.
Si se restringe usted mismo a un modelo de partícula puro, es una noción incómoda
que el electrón pueda estar presente en ambas rendijas al mismo tiempo. Sin embargo,
a partir del modelo de partícula cuántica, la partícula se puede considerar construida por
ondas que existen en todo el espacio. Debido a eso, las componentes ondulatorias del
electrón están presentes en ambas rendijas al mismo tiempo, y este modelo conduce a una
interpretación más cómoda de este experimento.
40.8
a) Después de 28 electrones.
b) Después de 1000 electrones.
c) Después de 10 000 electrones.
d) Patrón de electrones de
doble rejilla.
El principio de incertidumbre
Siempre que se mida la posición o la velocidad de una partícula en cualquier momento,
habrá incertidumbres experimentales incluidas en las mediciones. Según la mecánica clásica, no existe una barrera básica que impida un refinamiento adicional de los aparatos o
de los procedimientos experimentales de medición. En otras palabras, es posible llevar a
cabo, en principio, dichas mediciones con una incertidumbre arbitrariamente pequeña.
Sin embargo, la teoría cuántica dice que básicamente es imposible medir, simultáneas, la
posición y la cantidad de movimiento de una partícula con una precisión infinita.
En el año de 1927 Werner Heisenberg (1901-1976) introdujo este concepto, que ahora
se conoce como el principio de incertidumbre de Heisenberg:
Figura 40.22
a), b), c). Patrones de
interferencia simulados por
computadora de un haz de
electrones que inciden sobre una
doble rejilla. d) Fotografía de un
patrón de interferencia de doble
rejilla producido por electrones.
Si se hace una medición con una incertidumbre x de la posición de una partícula y
de manera simultánea se hace una medición con una incertidumbre px de su componente en x de la cantidad de movimiento, el producto de ambas incertidumbres
no puede ser nunca menor de !/2:
¢x ¢p x
U
2
1175
(40.23)
Es decir, físicamente es imposible medir de manera simultánea la posición exacta y la
cantidad de movimiento exacto de una partícula. Heisenberg tuvo cuidado en hacer notar
que las incertidumbres inevitables x y px no se presentan debido a imperfecciones en
los instrumentos reales de medición. Más bien, las incertidumbres se presentan debido a
la estructura cuántica de la materia.
A fin de comprender el principio de incertidumbre, suponga que se conoce con exactitud
la longitud de onda de una partícula. Según la relación de De Broglie, l " h/p, sabría
por tanto que la cantidad de movimiento sería precisamente igual a p " h/l. En realidad, una onda de una sola longitud existiría en todo el espacio. Cualquier región junto
a esta onda es la misma que cualquier otra (figura 40.18a). Si fuera necesario preguntar,
Principio de
incertidumbre de
Heisenberg
Capítulo 40
Introducción a la física cuántica
Cortesía de la Universidad de Hamburgo.
1176
WERNER HEISENBERG
Físico teórico alemán (1901-1976)
Heisenberg obtuvo su doctorado en 1923
en la Universidad de Munich. Mientras otros
científicos intentaban desarrollar modelos
físicos de los fenómenos cuánticos, Heisenberg desarrolló un modelo matemático
abstracto que se conoce como mecánica
matricial. Los modelos físicos más ampliamente aceptados demostraron tener una
equivalencia con la mecánica matricial. Heisenberg hizo muchas otras contribuciones
significativas a la física, incluyendo su famoso principio de incertidumbre debido al cual
fue galardonado con el premio Nobel en el
año de 1932, por la predicción de dos formas
de hidrógeno molecular y por los modelos
teóricos del núcleo.
PREVENCIÓN DE RIESGOS
OCULTOS 40.4
“¿dónde está la partícula representada por esta onda?”, no existe una ubicación especial
en el espacio junto a la onda que pueda ser identificada con la partícula; todos los puntos
a lo largo de la onda son iguales. Por lo tanto, se tiene incertidumbre infinita respecto a la
posición de la partícula, y no se sabe nada respecto a su ubicación. Obtener el conocimiento perfecto de la cantidad de movimiento de la partícula ha costado toda la información
referente a su localización.
En comparación, considere ahora una partícula cuya cantidad de movimiento es incierta, por lo que tiene un intervalo de valores posibles de cantidad de movimiento. Según
la relación de De Broglie, esto da como resultado un intervalo de longitudes de onda.
En consecuencia, la partícula no está representada por una sola longitud de onda, sino
por una combinación de longitudes de onda dentro de este intervalo. Esta combinación
forma un paquete de ondas, como se vio en la sección 40.6, y como se ilustró en la figura
40.19. Si se le pide determinar la localización de la partícula, sólo podrá decir que está en
alguna parte en la región definida por el paquete de ondas, ya que existe una diferencia
muy clara entre esta región y el resto del espacio. Por lo tantto, al renunciar a parte de la
información respecto a la cantidad de movimiento de la partícula, ha ganado información
en relación con su posición.
Si perdiera toda información en relación con la cantidad de movimiento, estaría sumando ondas de todas las longitudes de onda posibles. Esto daría como resultado un paquete de ondas con una longitud igual a cero. Por lo tanto, si no sabe nada respecto a la cantidad
de movimiento, sabe exactamente donde está la partícula.
La forma matemática del principio de incertidumbre afirma que el producto de las
incertidumbres en posición y en la cantidad de movimiento, es siempre mayor que cierto
valor mínimo. Este valor puede ser calculado a partir de los argumentos arriba explicados
y que resultan en el valor de !/2 de la ecuación 40.23.
Si reconsidera la figura 40.19, es posible generar otra forma de principio de incertidumbre. Imagine que el eje horizontal es el tiempo y no la posición en el espacio x. Ahora
desarrolle los mismos argumentos que utilizó respecto al conocimiento de la longitud de
onda y de la posición, pero en el dominio del tiempo. Las variables correspondientes serían la frecuencia y el tiempo. Porque la frecuencia está relacionada con la energía de la
partícula mediante la expresión E " hƒ, en esta forma el principio de incertidumbre es
El principio de incertidumbre
Algunos estudiantes interpretan
de manera incorrecta que el principio de incertidumbre significa
que una medición interfiere con
el sistema. Por ejemplo, si en un
experimento hipotético se observa
un electrón usando un microscopio óptico, el fotón utilizado para
observarlo entra en colisión con
él y hace que se mueva, lo que le
da incertidumbre en la cantidad
de movimiento. Ésta no es la idea
en el principio de incertidumbre.
El principio de incertidumbre es
independiente del proceso de medición y está en función de la naturaleza ondulatoria de la materia.
EJEMPLO 40.6
¢E ¢t
U
2
(40.24)
Esta forma del principio de incertidumbre sugiere que puede parecer que se ha violado
la conservación de la energía en una cantidad E, siempre y cuando sea durante un breve
intervalo de tiempo t consistente con la ecuación. En el capítulo 46 se utilizará esta idea
para estimar las energías de reposo de las partículas.
Pregunta rápida 40.8 Se observa la localización de una partícula y se concluye que está
exactamente en x " 0, con una incertidumbre cero en la dirección de las x. ¿De qué manera
afecta lo anterior la incertidumbre de su componente de velocidad en la dirección y? a) No
la afecta. b) Se hace infinita. c) Se hace igual a cero.
Localización de un electrón
Se observa la rapidez de un electrón que es 5.00 # 103 m/s con una exactitud de 0.003 00%. Encuentre la incertidumbre
mínima para determinar la posición de este electrón.
SOLUCIÓN
Conceptualizar El valor fraccionario dado por la exactitud de la rapidez del electrón se puede interpretar como la incertidumbre fraccionaria en su cantidad de movimiento. Esta incertidumbre corresponde a una incertidumbre mínima en la
posición del electrón a través del principio de incertidumbre.
Categorizar El resultado se evalúa con conceptos desarrollados en esta sección, así que este ejemplo se clasifica como un
problema de sustitución.
Sección 40.8
Suponga que el electrón se mueve junto al
eje x y encuentre la componente x de su cantidad de movimiento:
px
Encuentre la incertidumbre en px como
0.003 00% de este valor:
31
¢x
U
2¢p x
103 m>s 2
kg2 15.00
10.000 030 02 14.56
¢p x
Resuelva la ecuación 40.23 para la incertidumbre en la posición del electrón:
EJEMPLO 40.7
10
19.11
mu x
El principio de incertidumbre
27
10
1.055
2 11.37
kg # m>s2
10
10
31
34
J#s
kg # m>s 2
4.56
1.37
10
10
31
27
1177
kg # m>s
kg # m>s
0.386 mm
El ancho de línea de emisiones atómicas
Los átomos tienen niveles de energía cuantizados similares a los de los osciladores de Planck, aunque los niveles de energía
de un átomo por lo general no están igualmente espaciados. Cuando un átomo hace una transición entre estados, se emite
energía en la forma de un fotón. Aunque un átomo excitado puede radiar en cualquier momento de t " 0 a t " $, el intervalo de tiempo promedio después de la excitación durante el cual un átomo radia se llama vida media t. Si t " 1.0 # 1028 s,
use el principio de incertidumbre para calcular el ancho de línea f producido por este tiempo de vida finito.
SOLUCIÓN
Conceptualizar La vida media t determinada por el estado excitado se interpreta como la incertidumbre t en el tiempo
cuando se presenta la transición. Esta incertidumbre corresponde a una incertidumbre mínima en la frecuencia del fotón
radiado a través del principio de incertidumbre.
Categorizar El resultado se evalúa con conceptos desarrollados en esta sección, así que este ejemplo se clasifica como un
problema de sustitución.
¢E
E hf S ¢E h¢f S ¢f
h
Use la ecuación 40.5 para relacionar la incertidumbre en la
frecuencia del fotón con la incertidumbre en su energía:
1 U
h 2¢t
¢f
Use la ecuación 40.24 para sustituir la incertidumbre en la
energía del fotón, dado el valor mínimo de f:
1 1h>2p 2
h 2¢t
1
¢f
4p 11.0
Sustituya para la vida media del estado excitado:
10
8
s2
1
4p¢t
8.0
1
4pt
106 Hz
¿Que pasaría si? ¿Y si esta misma vida media se asociara con una transición que emite una onda de radio en lugar de una
onda de luz visible desde un átomo? ¿El ancho de línea fraccionaria f/f es mayor o menor que para la luz visible?
Respuesta Puesto que se supone la misma vida media para ambas transiciones, f es independiente de la frecuencia de la
radiación. Las ondas de radio tienen frecuencias menores que las ondas de luz, así que la relación f/f será mayor para las
ondas de radio. Si supone una frecuencia de onda de luz f de 6.00 # 104 Hz, el ancho de línea fraccionaria es
¢f
8.0
106 Hz
f
6.00
1014 Hz
1.3
10
8
Este estrecho ancho de línea fraccionaria se puede medir con un interferómetro sensible. Sin embargo, por lo general los
efectos de temperatura y presión ensombrecen el ancho de línea natural y ensancha la línea a través de un mecanismo
asociado con el efecto Doppler y las colisiones.
Si supone una frecuencia de onda de radio f de 94.7 # 106 Hz, el ancho de línea fraccionaria es
¢f
f
8.0
94.7
106 Hz
106 Hz
8.4
10
2
Por lo tanto, para la onda de radio, este mismo ancho de línea absoluto corresponde a un ancho de línea fraccionario de
más de 8 por ciento.