Cálculo del volumen del toro

Volumen del toro
Cálculo del volumen del toro
Empezamos mostrando al toro. Coloquialmente hablando podríamos decir que el toro es como una dona.
Toro
Lo que queremos es calcular su volumen.
Para eso, vamos a cortar la dona en muchas «rebanadas» usando planos que pasen por el centro del toro, igualmente
espaciados.
Observe que la intersección de uno de esos planos con el toro es una circunferencia a cada lado del toro respecto del
centro y cuando hacemos muchos cortes obtenemos «cuñas» circulares:
Visto desde arriba, obtenemos un «anillo» (el toro) que es cortado por una «recta» (el plano). Cuando cortamos el
toro (anillo) por muchos planos (rectas) igualmente espaciados, desde arriba vemos lo siguiente:
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Volumen del toro
Observamos que se forman «cuñas» al cortar el toro por dos planos consecutivos, podemos colocar las cuñas como se
muestra enseguida:
Este es el principio que usaremos para calcular el volumen del toro.
Vamos a poner valores al toro:
2ρ
R
r
Observe que al colocar las «cuñas» como se indicó antes, el área de la base de una «cuña» es igual al área de un círculo
de radio ρ, es decir, el área de la base es: A = π · ρ2 .
Por otra parte, observe también que al colocar las «cuñas» como se indicó, se forma un «pseudo-cilindro», es decir,
una figura que parece cilindro, pero no lo es. Si cortamos el toro con muchísimos planos, al acomodar las «cuñas» que
obtengamos obtendremos lo que parecerá cada vez más un cilindro y la altura de este cilindro es igual a: h = π ·(r +R).
Y la altura tiene este valor porque los dos perímetros de las circunferencias que sirven de «orillas» del toro dibujado
en el plano es 2πr + 2πR, y la mitad queda en cada lado del «pseudo-cilindro».
Entonces, si hacemos cada vez más cortes al toro, cuando el número de cortes crece mucho (tiende a infinito), obtendremos un cilindro al acomodar las «cuñas» que vayamos obteniendo del toro, y el volumen de este cilindro es igual
al volumen del toro.
El volumen del toro es entonces, igual a la altura del cilindro (π[r + R]) multiplicado por el área de la base del mismo
cilindro (πρ2 ). Esto es:
Volumen del toro
= Volumen del cilindro
V
= Área de la base × Altura
V
=
V
= π 2 ρ2 (r + R)
(π · ρ2 ) · (π [r + R])
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