P.42_Ondas

P.42 (P-07/08) En una cuerda tensa, sujeta por sus extremos, se tiene una onda de ecuación: y
(x,t) = 0,02 sen (4x) cos (200t) (S. I.) a) Indique el tipo de onda de que se trata. Explique las
características de las ondas que dan lugar a la indicada y escriba sus respectivas ecuaciones. b)
Calcule razonadamente la longitud mínima de la cuerda que puede contener esa onda. ¿Podría
existir esa onda en una cuerda más larga? Razone la respuesta.
.......
a) Si observamos la ecuación de onda, podemos ver que es un producto de una función de la posición y
otra del tiempo. Esta característica es exclusiva de la ondas estacionarias. Se trata de una onda
estacionaria, unidimensional, transversal y armónica.
Si sumamos las ecuaciones de onda:
y 1 (x, t) = 0, 01.Sen(200t + 4x)
y (x, t) = −0, 01.Sen(200t − 4x)
2
y
Ondas armónicas, transversales y unidimensionales.
Esta ondas sólo se diferencian en el sentido de propagación y el signo - (que supone un desfase de radianes].
Podríamos decir: la onda propuesta es el resultado de la superposición de una onda que se propaga hacia la
izqda. (y1) y su reflejada (en x=0) (y2) (que ha de estar desfasada en radianes).
Desarrollando la suma anterior (seno de una suma y de una diferencia), podemos observar que el
resultado es la ecuación de onda propuesta.
y(x, t) = y 1 + y 2 = 0, 01[Sen200tCos4x + Cos200tSen4x − Sen200tCos4x + Cos200tSen4x]=
=
0, 02Sen4xCos200t = y(x, t)
b) La onda propuesta la tenemos “confinada” en una cuerda sujeta en ambos extremos.
Esto supone como mínimo nodos en x=0 y x = L (longitud de la cuerda). En los nodos Senkx = 0
Evidentemente se cumple Sen4x = 0 en x=0 y se ha de cumplir en x = L: Sen4L = 0
Sen4L = 0. Esta ecuación se cumple para 4L = n (n=1,2,3,4,....) d
L será mínima si n=1. En este caso L = 0,25 m
K=4
=
2
d =
L=
n
4
=
n
4
=L
1
2
Cuerda mínima, nodos y vientre
Para n=1
Dos nodos: x = 0 y x = 0,25 y un vientre en x=0,125
.....................
Si observamos la última ecuación con
recuadro, podemos ver que la longitud de la
cuerda es directamente proporcional a n y por
tanto si n > 1, L será mayor de 0,25.
x=0
x=0,125
L=0,25