taller: ciclo cero nº1

PROGRAMA DE COMPLEMENTACIÓN ACADÉMICA
4TO Y 5TO DE SECUNDARIA
TALLER: CICLO CERO Nº1
NOMBRE Y APELLIDOS:.............................................................................
TEMA: MATRICES
FECHA: 18 / 10 / 13
Diagonal secundaria
Una matriz es un ordenamiento de m x n
números, dispuestos en m filas y n columnas.
 a 11

a
 21
 .
 .

 .
 .
a
 m1
a 1n 

.......... ...
a 2n 

. 
. 
......a ij .......

. 
. 
a mn 
a 12
.......... .
a 22
.
.
.
.
a m2
BIMESTRE IV
1

0

0

0

0 0 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1 
Diagonal principal
Matriz identidad de orden 4
MATRIZ DIAGONAL
Es aquella matriz cuadrada en la que todos
sus elementos , excepto los de la diagonal
principal, son nulos.
Se representa abreviadamente como:
a 
CLASES DE MATRICES:
6 0 0 


 0 3 0  Matriz diagonal de orden 4


 0 0  2


MATRIZ CUADRADA
Es aquella que tiene igual número de filas y
columnas, es decir su orden es nxn o
simplemente de orden n.
MATRIZ ESCALAR
Es aquella matriz diagonal en la que todos
los elementos de la diagonal principal son
iguales.
A=
ij mxn
Donde A es la matriz de orden mxn y aij es un
elemento de la matriz A.
A=
 3 2 4


5 6 9


7 1 8


B=
5 6


9 1


 3 0 0


0 3 0


 0 0 3


Matriz cuadrada de orden 3
MATRIZ NULA
Todos sus elementos son nulos.
Matriz cuadrada de orden 2
MATRIZ IDENTIDAD
Es aquella matriz cuadrada cuya diagonal
principal presenta todos sus elemento iguales a
uno y todos los demás iguales a cero.
1
0 0 0


 0 0 0  Matriz nula de orden 3


0 0 0


MATRIZ FILA
Es toda matriz de orden 1xm, es decir de 1 fila y
m columnas
a11
a12 .......... ... a1m 
Matriz fila de orden 1xm
MATRIZ COLUMNA
Es toda matriz de orden nx1, es decir n filas y 1
columna
 a 11 


a 
 21 
 . 
 .  Matriz columna de orden nx1


 . 
 . 
a 
 n1 
Matriz diagonal
Superior
  1 6   4  3  3 3 




 2 3  2 4   4 7 

 
 

 5  5   1 5   4  10 




 4 3   3  3  1
6 

 
 
Si las matrices tienen diferente tamaño, no se
pueden sumar o restar entre sí.
Propiedades de la suma (y diferencia) de
matrices:
a) Conmutativa: A + B = B + A
b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
MATRIZ TRIANGULAR
Es toda matriz cuadrada en la uqe todos los
elementos bajo la diagonal principal son nulos (
MATRIZ DIAGONAL SUPERIOR) o todos los
elementos sobre la diagonal principal son nulos (
MATRIZ DIAGONAL INFERIOR).
 2 1 4


 0 5 5


 0 0 2


Por ejemplo:
c) Elemento neutro: La matriz nula del
tamaño correspondiente.
d) Elemento opuesto de A: La matriz -A, que
resulta de cambiar de signo a los elementos
de A.
Producto de una matriz por un número
real
Dada una matriz cualquiera A y un número
real k, el producto k·A se realiza multiplicando
todos los elementos de A por k, resultando
otra matriz de igual tamaño. (Evidentemente
la misma regla sirve para dividir una matriz
por un número real).
Por ejemplo:
5 0 0


1 3 0


3 2 6


Matriz diagonal
Inferior
IGUALDAD DE MATRICES: Dos matrices son
iguales, cuando son del mismo orden y sus
elementos de igual posición son iguales.
  4 3    12 9 


3.
 7 4   21 12 

 

Propiedades:
a) Distributiva respecto de la suma de
matrices: k·(A + B) = k·A + k·B
OPERACIONES CON MATRICES:
Suma y diferencia
Para sumar o restar dos matrices del mismo
tamaño, se suman o restan los elementos que se
encuentren en la misma posición, resultando otra
matriz de igual tamaño.
b) Distributiva respecto de la suma de
números: (3 + 2)·A= 3·A + 2·A
c) Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·A
d) Elemento neutro, el número 1: 1·A=A
2
MATRIZ TRASPUESTA
Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz
traspuesta de A, y se representa por At a la matriz
que resulta de intercambiar las filas y las
columnas de A.
Por ejemplo
Por ejemplo:
 0 1 3 



A   1 0  2


 3 2 0 


En una matriz antisimétrica, los elementos de
la diagonal principal son siempre nulos y los
restantes son opuestos respecto a dicha
diagonal.
3 
 1 7 8
1 2




t



A  2  4 1 A  7  4  2




 3  2 9
8 1
9 



Producto de matrices
Evidentemente, si A es una matriz de tamaño m x
n, su traspuesta At tendría tamaño n x m, pues el
número de columnas pasa a ser el de filas y
viceversa.
Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendría
el mismo tamaño.
Propiedades:
a) (At )t = A, es decir, la traspuesta de la
traspuesta es la matriz inicial.
b) (A + B)t = At + Bt
c) (k ・ A)t = k ・ At
MATRIZ SIMÉTRICA
En base a esta nueva operación, podemos definir
otras dos clases de matrices, que son:
Matriz simétrica, que es aquella para la que se
cumple que At = A, por ejemplo la matriz:
 1  2 8


A    2 5 3


 8
3 4 

Hay que dejar claro ya desde el principio que
no todas las matrices pueden multiplicarse.
Dos matrices se pueden multiplicar cuando se
cumple la siguiente condición:
“Para multiplicar dos matrices A y B, en este
orden, A·B , es condición indispensable que
el número de columnas de A sea igual al
número de filas de B”
Si A es una matriz m x n y B es una matriz n x
p , entonces el producto A·B da como
resultado una matriz C de tamaño n x p del
siguiente modo:
“El elemento que se encuentra en la fila i y la
columna j de la matriz C=A·B, se obtiene
multiplicando los elementos de la fila i de A
por la columna j de B y sumando los
resultados”
Ejm:
A =
B=
En una matriz simétrica, los elementos son
simétricos respecto a la diagonal principal.
 3 2 1 4 


2
5
3

2


0

1
2

3
4
2
0
2
1

1
2

1 
2x4
4x3
AxB=
MATRIZ ANTISIMÉTRICA
Es aquella para la que se cumple que
 3  2  2  4
  3X0  2X1  1X2  4X3 12  4  0  8


2
X
0

5
X
1

3
X
2

(

2
)
X
3

8

10

0

4
2
 5  6  2 

At = − A.
5 
16 16

5

22
11

 2 X3
A x B = 
3
Propiedades del producto de matrices
a) Asociativa: A·(B·C) = (A·B)·C
b) Distributiva respecto de la suma:
6.
Dadas las matrices:
A ・ (B + C) = A ・ B + A ・ C
(B + C) ・ A = B ・ A + C ・ A
c) Elemento neutro, la matriz
correspondiente, si A es m x n:
A・I=A
identidad
Halla:
i) A.B
i v) - 3 C
7.
I・A=A
PROBLEMAS
8.
Dadas las matrices:
iii) 2A
Calcular: a + b – c, si se cumple:
2
11

 5
d) En general el producto de matrices no es
conmutativo
1.
ii) A.C
7  5 21 c  21 a 
4  15 14   b
a  10
9  8 19  c  15 c 
Indicar la verdad (V) o falsedad (F) de las
operaciones con matrices que a
continuación se muestra:
5 2  1  8 3 5   3 5 4


6 6  7 2 9  3 8
3 4
a. 
Calcular:
i) A + B
i v) B . A
2.
ii) A - B
v) A t
Halla la matriz A.B.
6
 
B=  2
5
 
A = 2 3 5
3.
iii)A . B
5.
 5 3   10 6 
2.


 2  2  4  4
c.
Si: M  
2  3
 5
1
  ;

2
6
 8 5
 5
 2 1
entonces: M .  
5
 4

2
 3  2
 4 5 1 3 


Si: A  5 2  B  
,


 3 2 0  2

0 1 
3
2

 3

9 . Demostrar que:
A 2 - A- 2 I = 0, siendo:
determina el producto matricial: A.B
4.
b.
1  2
2
 , calcular: A .
5
3


Si: A  
1 0 . Obtener las matrices A y B que
verifiquen el sistema:
S e a n l a s m at r i c e s:
Efectuar las siguientes operaciones:
i ) ( A + B)
iii) (B) 3
2
i i ) ( A - B) 2
i v) A · B t · C .
4