Matemáticas Financieras Avanzadas

Matemáticas Financieras
Avanzadas
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Sesión No. 6
Nombre: Anualidades Anticipadas
Objetivo
Al término de la sesión el estudiante aplicará los cálculos básicos de anualidades
con anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas.
Contextualización
En esta sesión definiremos y aplicaremos el concepto de anualidades simples,
ciertas, anticipadas e inmediatas (ASCAI), se identificarán situaciones de este
tipo y resolveremos problemas que impliquen el cálculo del monto, valor actual,
renta, plazo e interés.
Fuente: http://4.bp.blogspot.com/-OoFcqQYNr5I/T8L5hyhI4lI/AAAAAAAAAAc/LZc2BQeg2k4/s1600/anulidades.png
1
MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Introducción al Tema
•
¿Cuál es la diferencia entre una anualidad vencida y una anticipada?
•
¿Los montos y valores actuales son calculados de la misma manera
en todos los tipos de anualidades?
Fuente: http://4.bp.blogspot.com/_5cGAg1C2i5s/TDKhb_mEojI/AAAAAAAAAAk/Gun8gw75ZTw/S760/anualidades-especiales_15898_8_1%5B1%5D.gif
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Explicación
Las anualidades restantes se dividirán en cuatro grupos principales:
•
Anualidades anticipadas
•
Anualidades diferidas
•
Caso general de las anualidades
•
Anualidades contingentes
Anualidades simples, ciertas anticipadas e inmediatas (ASCAI)
Representación gráfica:
Fuente: http://4.bp.blogspot.com/_F4myRdg4viI/SuRpIvLTyII/AAAAAAAABYY/FpViUtnFZ1g/s400/3anualidadanticipada.JPG
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Monto y Valor actual
Fórmulas:
Concepto
Formula
Monto
𝑀 = 𝑅�
(1 + 𝑖)𝑛 − 1
� (1 + 𝑖)
𝑖
1 − (1 + 𝑖)−𝑛+1
𝐶 = 𝑅 �1 +
�
𝑖
Valor actual o Capital
Ejemplo 1: Encuentre el monto de 6 pagos semestrales anticipados de $14 500
si el interés es de 19% convertible semestralmente.
Solución: n = 6, 𝑖 =
0.19
2
= 0.095, R = 14500
(1 + 0.095)6 − 1
𝑀 = 14500 �
� (1 + 0.095) = 120 968.40
0.095
Ejemplo 2: Calcule el valor actual de 9 pagos semestrales de $50 000 con
interés de 5.28% semestral:
a) Si se hace por anticipado
b) Si se hacen vencidos
c) Determine y explique la diferencia entre a) y b)
Solución: n = 9, R = 50000, i = 0.0528
𝐶=𝑅
a) 𝐶 = 50000 �1 +
b) 𝐶 = 𝑅
(1+𝑖)−𝑛
𝑖
1−(1+0.0528)−9+1
0.0528
= 50000
1 − (1 + 𝑖)−𝑛
𝑖
� = 369, 534.20
1−(1.0528)−9
0.0528
= 351, 001.35
c) 369 534.20 – 351 0001.35 = $18, 532.85
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Es mayor el valor actual de los pagos anticipados dado que éstos se hacen
antes y comienzan a generar intereses más pronto.
Renta, plazo e interés.
Cuando se desea conocer cualquiera de estos tres conceptos, se utilizan las
fórmulas anteriores con sus respectivos despejes.
Ejemplo 3: En una tienda se vende una bicicleta por $1800 al contado o
mediante 5 abonos mensuales anticipados. Si el interés que aplica la tienda es
de 32.4% convertible mensualmente, calcule el valor del pago
Solución: n = 5, C = 1800, 𝑖 =
Por lo tanto: 𝑅 =
𝐶
0.324
12
= 0.027
1 − (1 + 𝑖)−𝑛+1
𝐶 = 𝑅 �1 +
�
𝑖
1−(1+𝑖)−𝑛+1
1+
𝑖
=
1800
1−(1+0027)−5+1
1+
0.027
=
1800
4.743920
R = $379.43
Ejemplo 4: ¿A qué tasa de interés anual 6 depósitos anuales anticipados de
$25,000 equivalen a un valor actual de $75,000?
Solución: C = 75000, R = 25000, n =6
𝐶 = 𝑅 �1 +
1 − (1 + 𝑖)−𝑛+1
�
𝑖
1 − (1 + 𝑖)−6+1
75000 = 25000 �1 +
�
𝑖
75000
1 − (1 + 𝑖)−5
−1=
25000
𝑖
1 − (1 + 𝑖)−5
2=
𝑖
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Para determinar se realiza un proceso de interpolación cuyo primer paso
consiste en aproximarla mediante ensayos:
Si i = 0.50
i = 0.40
1 − (1 + 𝑖)−5
= 1.73662551
𝑖
i =0.41
= 2.00138079
i =0.411
= 1.99805612
i =0.4105
= 1.00071725
= 2.03516392
Al interpolar:
𝑖 − 0.4100
2 − 2.00138079
=
0.4105 − 0.4100 1.99971725 − 2.00138079
𝑖−0.4100
0.0005
=
−0.00138079
−0.00166354
𝑖 = 0.41041502
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Conclusión
En esta sesión se vio que este tipo de anualidades se pueden manejar con las
ya conocidas fórmulas de las anualidades simples, ciertas, vencidas e
inmediatas, y que se requieren pequeñas modificaciones para tomar en cuenta
que los pagos o depósitos se hacen por anticipado.
En la siguiente sesión trabajaremos con las anualidades diferidas.
Fuente: http://html.rincondelvago.com/0005536717.png
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Para aprender más
En este apartado encontrarás más información acerca del tema para enriquecer
tu aprendizaje.
Puedes ampliar tu conocimiento visitando los siguientes sitios de Internet.
•
Morales, C. (2012). Matemáticas financieras. Anualidades y gradientes.
Consultado el 5 de junio de 2013:
http://brd.unid.edu.mx/matematicas-financieras-anualidades-y-gradientes/
•
Ruiz, M. (s.f.). Unidad IV. Anualidades. Consultado el 5 de junio de
2013: http://brd.unid.edu.mx/unidad-iv-anualidades/
Videos sobre anualidades simples, ciertas, anticipadas e inmediatas:
•
Ramírez, M. (30 de octubre de 2012. Ejemplo 6. Anualidades anticipadas.
Cálculo
del
número
de
pagos
(n).
Recuperado
de: http://www.youtube.com/watch?v=eoJJP-RDjjw
•
Ramirez, M. (2010). Anualidades anticipadas. Consultado el 5 de junio de
2013: http://www.youtube.com/watch?v=Y0Sv1FH1LDc
Es de gran utilidad visitar el apoyo correspondiente al tema, pues te permitirá
desarrollar los ejercicios con más éxito.
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Actividad de Aprendizaje
Con lo aprendido en esta sesión acerca de las anualidades anticipadas, aplica
estos conceptos para solucionar los siguientes ejercicios:
1. Un arquitecto desea ahorrar $4000 mensuales durante 5 años. Si sus
ahorros
ganan
5.4%
convertible
mensualmente,
¿Cuánto
habrá
acumulado al mes siguiente del ultimo deposito?
2. Para adquirir un automóvil a crédito se deben pagar 48 abonos
mensuales de $4900 comenzando en el momento de la entrega del
vehículo. Si los intereses que se cobran son a razón de 15% convertible
cada mes, ¿Cuál es el valor de contado de los pagos?
3. Obtenga el monto que se acumula en 2 años, si se depositan $1500 al
inicio de cada mes en un banco que abona una tasa del 14% anual
capitalizable por meses.
Entregar esta actividad en formato de Práctica de Ejercicios y súbelo a la
plataforma.
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MATEMÁTICAS FINANCIERAS AVANZADAS
Bibliografía
1. Díaz, A. y Aguilera, V. (2007). Matemáticas financieras. México: McGraw
Hill.
2. Villalobos, José L. (2007). Matemáticas financieras. México: Pearson
Educación.
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