Universidad Carlos III de Madrid
Departamento de Economı́a
Examen final de Economı́a de la Información
(6 Junio de 2009)
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(Problema 1) Dos inversores han un depositado cada uno 100 euros en un banco. El director del banco
ha comprado unos bonos a un año un poco sospechosos. Es posible que la reciente crisis
económica haya afectado al valor de estos bonos. Si la inversión fracasa, los inversores
perderán todo su dinero. Por otra parte, si la inversión tiene éxito, los inversores recibirán
150e cada uno, si esperan hasta el final de la inversión (1 año).
Cualquiera de los inversores puede retirar su dinero inmediatamente. Pero en ese caso,
toda la operación se cancelará. Y debido a los gastos comerciales, comisiones bancarias, etc.
sólo quedarán 100 euros que se repartirán entre todos los inversores que hayan solicitado la
devolución de su dinero. Los inversores que no lo hayan solicitado la devolución, perderán
todo el dinero invertido.
Los inversores deben decidir simultáneamente y sin saber lo que el otro va a hacer si
retiran el dinero ahora (R) o esperan un año (NR) a que venzan los bonos.
El inversor 2 juega al monopoly en el mismo equipo que el director del banco y sabe si
los bonos son una buena inversión o no. El inversor 1 sólo sabe que con probabilidad q la
inversión es buena y con probabilidad 1 − q no lo es. La tablas de pagos son las siguientes,
dependiendo de la calidad de la inversión,
R
NR
R
(50, 50)
(0, 100)
NR
(100, 0)
(150, 150)
Inversión buena (q)
R
NR
R
(50, 50)
(0, 100)
NR
(100, 0)
(0, 0)
Inversión mala (1 − q)
(a) Suponga que q ≥ 1/2. Encuentre dos equilibrios Bayesianos en estrategias puras.
(b) Suponga que q < 1/2. Pruebe que sólo hay un equilibrio Bayesiano y encuéntrelo.
(c) ¿Para qué valores de q existe un equilibrio Bayesiano en estrategias mixtas? Encuentre este equilibrio para los valores de q correspondientes.
Solución: Los tipos del agente son T2 = {t1 , t2 } donde t1 corresponde al agente que
sabe que la inversión es buena y t2 corresponde al agente que sabe que la inversión es mala.
Las creencias del agente 1 son p(t1 ) = q, p(t2 ) = 1 − q.
Llamamos si a la acción del agente i = 1, 2. Utilizamos la siguiente notación para
describir los equilibrios Bayesianos
(s1 , (s2 (t1 ), s2 (t2 ))
Vemos que para el agente t2 elegir R es una (estrictamente) estrategia dominante. Por lo
tanto, los EB son de la forma
(s1 , (s2 (t1 ), R))
(a) Supongamos que q ≥ 1/2. Vamos a buscar un equilibrio de Nash en el que s2 (t1 ) = R.
Dado que s2 (t2 ) = R en cualquiera de los casos, la mejor respuesta del agente 1 es
elegir s1 = R. Dado que el agente 1 elige esta respuesta, al agente 2 no le interesa
cambiar su acción. Por lo tanto,
(R, (R, R))
es un EB.
Vamos a buscar un equilibrio de Nash en el que s2 (t1 ) = N R. Dado que s2 (t2 ) = R el
pago esperado del agente 1 si elige R es
100q + 50(1 − q) = 50q + 50
1
2
mientras que su pago esperado si elige NR es
150q + (1 − q)0 = 150q
Si q ≥ 1/2,
150q ≥ 50q + 50
ya que q ≤ 1. Por lo tanto, la mejor respuesta del agente 1 es elegir s1 = N R. Dado
que el agente 1 elige esta respuesta, al agente 2 no le interesa cambiar su acción. Por
lo tanto,
(N R, (N R, R))
es también un EB.
(b) Si q < 1/2 entonces en el apartado anterior vemos que
150q < 50q + 50
Es decir,
(N R, (N R, R))
no es un EB, por lo que el único EB es
(R, (R, R))
(c) Supongamos que el agente 1 juega la estrategia mixta xR + (1 − x)N R y el agente
t1 juega la estrategia mixta yR + (1 − y)N R. Si 0 < x, y < 1, ambos agente están
indiferentes entre jugar R y NR. El pago del agente 2 si elige
(i) R es: 50x + 100(1 − x) = 100 − 50x
(ii) NR es: 0x + 150(1 − x) = 150 − 150x
Si 0 < y < 1 debe verificarse que 100 − 50x = 150 − 150x, es decir x = 1/2. El pago
del agente 1 si elige
(i) R es: q(50y + 100(1 − y)) + (1 − q)50 = 50q − 50qy + 50
(ii) NR es: q(0y + 150(1 − y)) + (1 − q)0 = 150q − 150qy
Si 0 < x < 1 debe verificarse que 50q − 50qy + 50 = 150q − 150qy. Despejando,
obtenemos
2q − 1
<1
y=
2q
Para que q ≥ 0, debe verificarse que q ≥ 1/2. Por lo tanto, si q ≥ 1/2, las estrategias
2q − 1
1
1
1
R + N R,
R + N R, R
2
2
2q
2q
constituyen un EB.
(Problema 2) Supongamos un mercado de seguros en el que hay competencia perfecta. En ese mercado
hay dos tipos de conductores: arriesgados (A) y prudentes (P ). La probabilidad de que
un conductor sea de tipo A es q. Ambos tipos de conductores poseen una renta inicial
de w = 100 y tienen las mismas preferencias representadas por la función de utilidad
u(x) = x1/2 , siendo x la riqueza. El riesgo de accidente para los conductores de tipo A es
1/2 y para los de tipo P es 1/4 . En caso de accidente, la perdida es de 75e.
(a) Calcular las pólizas actuarialmente justas para el seguro a todo riesgo en caso de que
las compañı́as de seguros conocieran el tipo de cada conductor.
Supongamos ahora que, al contratar el seguro, las compañı́as no saben el tipo de cada
conductor y que, por ley, deben ofrecer una única póliza que asegura completamente al
suscriptor de la misma.
(b) Suponiendo que q = 1/5 ¿Cuál es esa póliza? ¿Existe selección adversa?
(c) ¿Para qué valores de q existe selección adversa?
Solución:
(a) Para ambos agentes el capital asegurado es I = 75. El precio del agente A es
I
75
=
= 370 5
2
2
y el precio para el agente P es
I
75
=
= 180 75
4
4
3
(b) Si las empresas no pueden distinguir a los agentes, el precio que cobrarı́a serı́a
75
75
75
1 75
45
q + (1 − q)
= (1 + q)
= 1+
=
= 220 5
2
4
4
5 4
2
La utilidad de los agentes de tipo P con este seguro es
r
r
45
155
100 −
=
≈ 80 80341
2
2
mientras que la utilidad de los agentes de tipo P sin seguro es
1√
3√
35
25 +
100 =
= 80 75
4
4
4
Como
2
35
155
>
2
4
los agentes de tipo P prefieren comprar el seguro y no hay selección adversa.
(c) Existe selección adversa cuando se verifica que
r
75
35
100 − (1 + q)
<
4
4
Esto es equivalente a
2
35
75
<
100 − (1 + q)
4
4
es decir,
q>
1
4
(Problema 3) Considere el modelo de señalización de Spence. Supongamos que hay dos tipos de trabajadores a1 y a2 , que se diferencian en que el valor de la productividad de un trabajador que
puede ser a1 = 1 y a2 = 2. La probabilidad de que un trabajador sea de tipo a1 es de q.
La productividad es conocida por el trabajador pero no por la empresa. Las funciones de
utilidad de los trabajadores son
u1 (w, e) = w −
e2
ai
donde w es el salario y e es el nivel de educación. Las utilidades de reserva de los trabajadores son ū1 = 1, ū2 = 10 5.
Los beneficios de la empresa cuando contrata a un trabajador de tipo i = 1, 2, son
B(w) = ai − w
En este modelo, los trabajadores eligen primero el nivel de educación y después la empresa
elige los salarios, que pueden depender del nivel de educación, que si es observable.
(a) ¿Para qué valores de q existe un equilibrio agrupador?
(b) Encuentre el equilibrio separador más eficiente. Encuentre unas creencias de las empresas que justifiquen este equilibrio. Este equilibrio separador, ¿depende de q? ¿es
esto razonable?
(c) ¿Para qué valores de q los trabajadores de tipo a2 prefieren el equilibrio separador
al equilibrio agrupador?
(d) Suponiendo que el gobierno maximiza la suma de las utilidades de todos los agentes
en la sociedad, ¿qué equilibrio elegirı́a? (la respuesta puede depender de q).
Solución:
(a) En el equilibrio agrupador, el salario ofrecido por las empresas es
wa = q + 2(1 − q) = 2 − q
Los agentes de tipo a2 aceptan este salario si 2 − q ≥ ū2 = 10 5. Hay un equilibrio
agrupador si q ≤ 00 5.
4
(b) En este equilibrio los agentes eligen entre dos esfuerzos e = 0 o e = ē > 0. Las creencias
de las empresas son
µ(a1 |e ≥ ē) = 0,
µ(a1 | < ē) = 1,
µ(a2 |e ≥ ē) = 1,
µ(a2 | < ē) = 0
y ofrecen el salario
w(e) =
a1 = 1, si 0 ≤ e < ē;
a2 = 2, si e ≥ ē.
Dadas estas creencias y estos salarios, los agentes de tipo a1 prefieren no educarse y
eligen e = 0 si
1 ≥ 2 − ē2
por lo que debe verificarse que
ē ≥ 1
Los agentes de tipo a2 prefieren educarse y eligen e = ē si
ē2
≥1
2
por lo que debe verificarse que
√
ē ≤ 2
2−
El equilibrio más eficiente corresponde a
ē = 1
La utilidad obtenida por los agentes en este equilibrio es
1
3
=
2
2
El equilibrio separador no depende de q, ya que en este equilibrio, las empresas pueden
distinguir el tipo de los trabajadores.
u1 = 1,
u2 = 2 −
(c) Los trabajadores de tipo a2 prefieren el equilibrio separador si
3
≥2−q
2
es decir si
q≥
1
2
(d) En el equilibrio agrupador sin señalización la utilidad del gobierno es 2 − q. En el
apartado (a) hemos visto que este equilibrio existe si q ≤ 1/2. En el equilibrio separador
con señalización, la utilidad del gobierno es
q + (1 − q)
3
3 3q
= −
2
2
2
Se verifica siempre que
3 3q
−
2
2
por lo que el gobierno prefiere el equilibrio agrupador sin señalización al equilibrio
separador con señalización siempre que q ≤ 1/2.
Si q > 1/2 no hay equilibrio agrupador sin señalización. En el equilibrio separador sin
señalización para q > 1/2, los agentes de tipo a1 reciben el salario 1 y los agentes de
tipo a2 no trabajan y reciben su utilidad de reserva ū2 = 10 5. La utilidad del gobierno
en el equilibrio separador sin señalización es
2−q ≥
q × 1 + (1 − q)10 5 = 10 5 − 00 5q
y el gobierno está indiferente entre el equilibrio separador sin señalización y el equilibrio
separador con señalización.
5
(Problema 4) Supongamos una relación entre un principal y un agente en la que hay dos resultados
posibles, cuyos valores son 100 y 4. El agente tiene que elegir entre dos posibles esfuerzos,
no observables por el principal. La distribución de probabilidades sobre los resultados en
función de los esfuerzos viene dada por la tabla siguiente,
Esfuerzos
Resultados
100
4
e=0 1/2
1/2
e=1 3/4
1/4
El principal es neutral ante el riesgo y el agente averso. Las preferencias están descritas
por las funciones
√
B(x, w) = x − w, u(w, e) = w − v(e)
donde x representa el resultado, w el salario, e es el esfuerzo y la función v está definida
como
v(0) = 0,
v(1) = 2
El nivel de utilidad de reserva del agente es uR = 5.
(a) Suponga que el principal es un monopolista.
(i) Plantee y resuelva el problema del principal cuando éste puede observar el esfuerzo del agente. Justificar cual será el nivel de esfuerzo óptimo. Determine los
salarios del agente, ası́ como los beneficios del principal.
(ii) Plantee y resuelva el problema del principal cuando éste no puede observar el
esfuerzo del agente. Justificar cual será el nivel de esfuerzo óptimo. Determine
los salarios del agente, ası́ como los beneficios del principal.
(b) Suponga que el principal compite (en competencia perfecta) por la contratación del
agente. Plantee y resuelva el problema del principal. Justificar cual será el nivel de
esfuerzo óptimo, ası́ como los beneficios del principal.
Solución: Llamamos w1 el salario si el resultado es 100 y w2 el salario si el resultado es
4.
(a) El principal es un monopolista.
(i) El principal observa el esfuerzo.
• Si incentiva el esfuerzo e = 0, el problema es
max
s.a.
1
w1
w2
1
(100 − w1 ) + (4 − w2 ) − w = 52 −
−
2
2
2
2
1√
1√
w1 +
w2 ≥ 5
2
2
√
Elige el salario w = w1 = w2 tal que w = 5 es decir w = 25. Su beneficio
es
Π0 = 52 − 25 = 27
• Si incentiva el esfuerzo e = 1, el problema es
max
s.a.
3
1
3w1
w2
(100 − w1 ) + (4 − w2 ) − w = 76 −
−
4
4
4
4
3√
1√
w1 +
w2 − 2 ≥ 5
4
4
√
Elige el salario w = w1 = w2 tal que w − 2 = 5 es decir w = 49. Su
beneficio es
Π1 = 76 − 49 = 27
El principal está indiferente entre los dos esfuerzos.
(ii) El principal no observa el esfuerzo.
• Si incentiva el esfuerzo e = 0 el problema es como el apartado anterior. El
salario es w = 25 y el beneficio es Π0 = 52 − 25 = 27.
6
• Si incentiva el esfuerzo e = 1, el problema es
3w1
w2
max 76 −
−
4
4
3√
1√
1√
1√
s.a.
w1 +
w2 − 2 ≥
w1 +
w2
4
4
2
2
1√
3√
w1 +
w2 − 2 ≥ 5
4
4
Las dos restricciones se saturan
3√
1√
1√
1√
w1 +
w2 − 2 =
w1 +
w2
4
4
2
2
3√
1√
w1 +
w2 − 2 = 5
4
4
La solución de este sistema es w1 = 81, w2 = 1. El beneficio del principal
es Π1 = 15.
El principal elige el esfuerzo e = 0.
(b) El principal compite por contratar al agente.
• Si incentiva el esfuerzo e = 0, el problema es
1√
1√
w1 +
w2
max
2
2
w1
w2
s.a. 52 −
−
=0
2
2
1√
1√
w1 +
w2 ≥ 5
2
2
Elige el salario w = w1 = w2 y la restricción
√ de incentivos se satura: w = w1 =
√
w2 = 52. La utilidad del agente es w = 52.
• Si incentiva el esfuerzo e = 1, el problema es
3√
1√
max
w1 +
w2 − 2
4
4
3√
1√
1√
1√
s.a.
w1 +
w2 − 2 ≥
w1 +
w2
4
4
2
2
3√
1√
w1 +
w2 − 2 ≥ 5
4
4
3w1
w2
76 −
−
=0
4
4
Las dos restricciones siguientes se saturan
3√
1√
1√
1√
w1 +
w2 − 2 ≥
w1 +
w2
4
4
2
2
3w1
w2
76 −
−
=0
4
4
La solución es w1 = 100, w2 = 4. La utilidad del agente es
√
3√
1√
w1 +
w2 − 2
= 6 < 52
4
4
w1 =100,w2 =4
El agente prefiere elegir el esfuerzo e = 0.