Cap´ıtulo 4 Ecuaciones generales

Capı́tulo 4
Ecuaciones generales
Ejercicio 4.1: Sea una partı́cula libre sometida únicamente a su peso.
Plantear las ecuaciones de la cantidad de movimiento, del momento cinético en el
origen, y de la energı́a.
Comprobar que solo las tres primeras son independientes. Razonar si las tres del
momento cinético son independientes entre sı́, y por tanto podrı́an sustituir a las de
la cantidad de movimiento, o no.
Razonar cuáles dan lugar a integrales primeras, y cuáles son independientes.
Ejercicio 4.2: Sean dos partı́culas no pesadas unidas por un muelle ideal de longitud
nula. Plantear las ecuaciones generales, y razonar cuáles son independientes.
Ejercicio 4.3: Sean tres partı́culas no pesadas. Todas están sometidas a fuerzas de
acción-reacción entre ellas. Razonar cómo habrı́a que plantear las ecuaciones generales
para poder determinar el movimiento del sistema.
Ejercicio 4.4: Una esfera pesada homogénea rueda, pivota y desliza sobre un plano
horizontal. Estudiar las fuerzas de ligadura, los grados de libertad, y las ecuaciones que
habrı́a que plantear para resolver el sistema.
Ejercicio 4.5: Una esfera pesada homogénea rueda y pivota sin deslizar sobre un plano
horizontal. Estudiar las fuerzas de ligadura, los grados de libertad, y las ecuaciones que
habrı́a que plantear para resolver el sistema.
Ejercicio 4.6: Una esfera pesada homogénea, de masa m y radio R, rueda y pivota
sin deslizar sobre un plano horizontal rugoso de coeficiente µ. Se sabe que su momento
cinético respecto al centro de masas C vale 25 mR2 ω. En el instante inicial está sobre el
origen con velocidad v0 = (a, b, 0) y velocidad angular ω 0 = (p, q, r). Obtener v(t) y ω(t).
Calcular, en función de los valores iniciales, el tiempo que tarda en dejar de deslizar.
z0
ψ̇
y0
ϕ̇
x0
Ejercicio 4.7: Un cilindro homogéneo y pesado, de masa
m y altura H, está en contacto con un plano horizontal
liso a lo largo de una generatriz. En ejes S0 ligados a la
precesión, su velocidad angular vale ω(t) = [ϕ̇, 0, ψ̇] y su
momento cinético respecto al centro LG = [Ix ϕ̇, 0, Iz ψ̇].
Reducir el sistema de fuerzas de ligadura al centro
de masas.
Demostrar que el momento cinético es constante en ejes móviles S0 .
Calcular el valor máximo de ψ̇ para que el cilindro no se levante por un extremo.
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CAPÍTULO 4. ECUACIONES GENERALES
Capı́tulo 5
Estática
Ejercicio 5.1: Una partı́cula pesada de masa m está unida al origen de coordenadas
por un muelle ideal de longitud natural nula y constante k. Determinar las posiciones de
equilibrio.
Ejercicio 5.2: Una partı́cula pesada de masa m se mueve por una esfera lisa con ligadura
bilateral. Determinar las posiciones de equilibrio. Determinar las zonas de equilibrio si la
esfera es rugosa de coeficiente µ.
Ejercicio 5.3: Una partı́cula pesada de masa m se mueve por un aro vertical liso de
radio r. Determinar las posiciones de equilibrio tomando como coordenada generalizada
el ángulo θ desde el punto más bajo. Determinar las zonas de equilibrio si entre aro y
partı́cula existe rozamiento de coeficiente µ.
Ejercicio 5.4: Una partı́cula se mueve sobre un plano rugoso de coeficiente µ inclinado
un ángulo α respecto a la horizontal. Sea el eje Ox normal al plano hacia arriba y el Ox
la lı́nea de máxima pendiente hacia abajo. La partı́cula está unida al origen mediante un
muelle de constante k y longitud natural nula. Determinar las posiciones de equilibrio.
Ejercicio 5.5: Repetir el ejercicio anterior con un muelle de longitud natural a.
Ejercicio 5.6: En el plano vertical disponemos de una curva
C lisa por la que puede deslizar una partı́cula material de peso
P . La partı́cula está unida a un hilo que pasa por una pequeña
polea para suspender por el otro extremo otra partı́cula de peso
Q. Se pide:
1. Averiguar cuál ha de ser la curva C para que los dos puntos se mantengan en equilibrio para todas las posiciones.
2. Discutir la naturaleza de C según los valores relativos de
P y Q.
Ejercicio 5.7: Una partı́cula material de peso P puede moverse sobre una parábola de eje vertical de parámetro p y con
una concavidad dirigida hacia arriba.
El punto es además repelido por el foco de la parábola con
una fuerza F = h r 2 proporcional al cuadrado de la distancia.
Hallar las posiciones de equilibrio de la partı́cula y estudiar su
estabilidad.
Ejercicio 5.8: Un punto material pesado M de masa m está obligado a moverse sin
rozamiento sobre la hélice de ecuaciones
θ
x = R cos θ y = R sin θ z = R
2π
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CAPÍTULO 5. ESTÁTICA
en donde el eje z es vertical y ascendente.
Sobre el punto M actúa, además de su peso, una fuerza repulsiva de la forma
F =
mg
AM
R
siendo A el punto de coordenadas (R, 0, 0). Se pide:
1. Determinar las posiciones de equilibrio situadas en la zona 0 ≤ z ≤ R.
2. Calcular la reacción normal de la curva en la posición de equilibrio del punto M
definida por θ = 2π.
Problema 5.1: Un punto de peso P puede moverse sobre
el helicoide
x = u cos v
y = u sin v
z = av
en el que Oz es la vertical ascendente.
El punto está sometido a su propio peso y a una repulsión
del eje Oz de valor
P λ r2
F = √
a a2 + r 2
siendo r la distancia que separa al punto de dicho eje.
Si entre el punto √
y la superficie existe un rozamiento de
coeficiente f = 1/ 2, se pide:
1. Zonas de equilibrio en el caso en que λ = 0.
p
2. Zonas de equilibrio si λ = 3/8.
Problema 5.2: Una partı́cula de peso P puede moverse sobre
una superficie esférica de radio a a la que puede abandonar por
su cara interna.
La partı́cula es repelida por el punto más bajo de la esfera con
una fuerza proporcional a la distancia F = h r. Se pide:
1. En la ausencia de rozamiento, averiguar las posiciones
de equilibrio de la partı́cula estudiando su estabilidad y
discutiendo el problema según los valores del parámetro
λ = h a/P .
2. Si entre la partı́cula y la superficie existe un rozamiento
de coeficiente f , discutir todas las posiciones de equilibrio
existentes según los valores relativos de λ y f .
Problema 5.3: Una partı́cula P , de masa m y sin peso, se mueve sobre la curva lisa de
ecuaciones x2 + y 2 = a2 , z = 0.
Otra partı́cula Q, de la misma masa y también sin peso, se mueve por la recta rugosa
de ecuaciones x = 0, z = a. El coeficiente de rozamiento entre la partı́cula Q y la recta es
µ.
Como coordenadas generalizadas se tomarán la coordenada y de Q y el ángulo θ entre
Ox y OP.
Las dos partı́culas están unidas por un muelle de constante k y longitud natural nula.
Se pide:
Todas las configuraciones de equilibrio con µ = 0
(1/3)
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Todas las posiciones y/o zonas de equilibrio con µ > 0
(2/3)
Para cada solución, además de dar los valores habrá que hacer un diagrama con las
posiciones de equilibrio y, de forma aproximada, las zonas de equilibrio.
Ejercicio 5.9: Una grúa de masa M se apoya sobre una base de
longitud 2a. Su centro de gravedad está en la vertical del centro de
la base. La pluma mide b > a desde la vertical del centro. Analizar
el sistema de fuerzas de ligadura sobre la base. Calcular la máxima
carga que puede levantar sin que vuelque.
Ejercicio 5.10: Una varilla pesada de longitud a y masa m está unida al origen mediante
un cojinete ideal que le permite girar alrededor de Oy manteniéndose siempre dentro
del plano Oxz, donde Oz es vertical ascendente. Dicho plano gira alrededor de Oz con
velocidad angular ω constante. Sea θ el ángulo que la varilla forma con el eje vertical.
Determinar todas las posiciones de equilibrio relativo al plano y su estabilidad.
Problema 5.4: Se dispone de una varilla AB homogénea y pesada de masa m y longitud
3R
cuyo extremo A está obligado a moverse sin rozamiento sobre una circunferencia fija
2
de radio R, como se indica en la figura. El conjunto está contenido en un plano vertical.
El eje Ox repele a todas y cada una de las partı́culas de la varilla AB con una fuerza
proporcional al producto de la masa de cada partı́cula por la distancia que la separa de
dicho eje siendo la constante de proporcionalidad 2g/3R. Se pide:
1. Resultante y momento resultante de las fuerzas
directamente aplicadas a la varilla respecto al
punto A.
2. Plantear las ecuaciones que determinan las posiciones de equilibrio y la reacción en a mediante
las ecuaciones generales de equilibrio.
3. Calcular la reacción en A para las posiciones de
equilibrio en que la varilla AB no está alineada
con el eje Oy.
Problema 5.5: Consideremos un taburete formado por un disco de radio a y tres patas
soldadas en su superficie en tres puntos que forman un triángulo equilátero. Sea λa la
distancia a la que se encuentra el centro de gravedad del taburete del plano que pasa por
los extremos de sus patas.
El taburete ası́ constituido se sitúa sobre un plano inclinado un ángulo α sobre la
horizontal. De las tres patas solamente una presenta un coeficiente de rozamiento f con
el plano. Las otras dos son lisas.
Llamemos ϕ el ángulo que forma con la lı́nea de máxima pendiente del plano el radio
que va a la pata rugosa. Se pide:
1. Valores de ϕ correspondientes a las posiciones
de equilibrio del taburete sobre el plano.
2. Partiendo de una posición de equilibrio se va aumentando el ángulo α hasta que el equilibrio se
rompe por el vuelco o por deslizamiento. Discutir cuál de estas dos circunstancias se presenta
primero. Determinar el valor de α para el que se
presenta y estudiar la influencia que puede tener
el valor de λ. Repetir el análisis para todas las
posiciones de equilibrio.
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CAPÍTULO 5. ESTÁTICA
Problema 5.6: El sistema material de la figura, contenido en un plano horizontal,
está constituido por dos varillas iguales de longitud a articuladas por su extremo en
un punto fijo A del plano, por un muelle de longitud natural cero y constante de rigidez
k, que une los extremos B y C de las varillas, y por un disco homogéneo de radio a/4 y
masa M, que se sitúa entre las dos varillas como se indica en la figura.
El punto fijo A atrae a todos y cada uno de los elementos diferenciales de masa del disco
proporcionalmente al producto de la masa del elemento por la distancia. La constante de
proporcionalidad es igual a 4k/m.
Se tomará como parámetro para definir la posición del sistema el ángulo ϕ de la figura.
Se pide:
1. Valores de ϕ correspondientes a las posiciones de equilibrio del taburete sobre el plano.
2. Partiendo de una posición de equilibrio se va aumentando el ángulo α hasta que el equilibrio se rompe por el
vuelco o por deslizamiento. Discutir cuál de estas dos
circunstancias se presenta primero. Determinar el valor
de α para el que se presenta y estudiar la influencia que
puede tener el valor de λ. Repetir el análisis para todas
las posiciones de equilibrio.
Problema 5.7: Dos semidiscos iguales y homogéneos de radio R y masa m se unen entre
sı́ como se indica en la figura; los vértices A mediante una articulación, y los vértices B
y C mediante un muelle de longitud natural nula y constante de rigidez k = mg/3πR.
El conjunto está contenido en un plano vertical, apoyado sobre el eje Ox, y sometido al
peso.
Suponiendo que entre los semidiscos y el eje Ox no hay rozamiento:
1. Plantear las ecuaciones de equilibrio.
2. Determinar todas las posiciones de equilibrio.
3. Reacción en A para dichas posiciones.
Si entre los semidiscos y el eje Ox existe un coeficiente
de rozamiento f ,
4. Plantear las ecuaciones de equilibrio.
5. Estudiar cómo varı́an las posiciones de equilibrio al variar f .
Nota: Considérense solamente las posiciones 0 ≤ ϕ ≤ 0.
Problema 5.8: El sistema de la figura, contenido en el plano horizontal Oxy, está formado por
un aro de radio R y centro O, y un disco de radio
R/2 y centro C. El aro está articulado en el punto O y su masa m está concentrada en un punto
A del mismo. La masa del disco, de valor 6m, se
concentra uniformemente en el diámetro BD del
mismo. Ambos sólidos están siempre en contacto con ligadura bilateral y entre sus superficies
existe un rozamiento de coeficiente f .
Sobre las masas del sistema actúa una atracción del eje Ox proporcional a la masa y
a la distancia al mismo, siendo k la constante de proporcionalidad.
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Para fijar la posición del sistema se utilizan las siguientes coordenadas generalizadas:
i) α, ángulo entre OA y el eje Ox; ii) β, ángulo entre OC y el eje Ox; iii) γ, ángulo entre
el diámetro BD y OC.
Se pide:
1. Determinar en función de las coordenadas generalizadas, para una posición genérica,
la expresión de la resultante y del momento respecto a C del sistema de fuerzas de
atracción que actúan sobre el disco.
2. Plantear las ecuaciones e inecuaciones necesarias que permitan obtener las posiciones
de equilibrio del sistema.
3. Determinar el rango de valores de β para los que existe equilibrio. Determinar las
posiciones de equilibrio.
4. Para el caso particular f = 0, obtener las ecuaciones de equilibrio.
5. Obtener las posiciones de equilibrio correspondientes al apartado anterior.
6. Repetir los dos apartados anteriores para el caso en que f sea infinito.
Problema 5.9: El dispositivo de la figura es un modelo muy simplificado de los reguladores centrı́fugos usados en transmisiones continuas de ciclomotores y camiones. La fuerza
centrı́fuga del giro ω alrededor de Oy tira del contrapeso AB, de modo que el extremo
D vence la fuerza del muelle y empuja el plato cónico de la polea contra el otro plato.
Ası́ varı́a la distancia al eje de la correa y la relación de transmisión.
Se estudiará como un problema de estática: el equilibrio del contrapeso DCAB en su
plano, sometido únicamente a la fuerza centrı́fuga, a la del muelle y a las ligaduras. El
contrapeso se modela como un sólido plano formado por dos varillas, AB (de longitud a
y masa M) y CD (de longitud b y masa despreciable), rı́gidamente unidas formando un
único sólido en forma de L y articuladas en el origen O por el extremo C. La articulación
es lisa y permite el giro en el plano Oxy. Cada elemento de masa de AB experimenta una
fuerza δFc = δm ω 2 x i. El extremo D empuja la polea y sufre la fuerza Fm del muelle
de constante k y longitud natural nula, siempre paralelo al eje Oy. Para simplificar, se
desprecian todas las demás fuerzas (pesos, rozamientos, otras fuerzas que la polea pueda
transmitir a D, etc.). Se consideran dos diseños para el contrapeso: DCAB (caso a) y
CDAB (caso b). La configuración del sistema viene dada por el ángulo θ de la figura.
Para el estudio del equilibrio, ω se considerará como un parámetro constante. Se pide:
1. Para el caso (a), reducir al origen el sistema de fuerzas distribuidas sobre la varilla
AB
2. Obtener todas las configuraciones de equilibrio del sólido DCAB en función de ω
3. Para el caso (b), reducir al origen el sistema de fuerzas distribuidas sobre AB
4. Obtener la configuración de equilibrio del sólido CDAB, en la forma tan 2θ = f (ω)
5. A la vista de los resultados, razonar cuál de los dos diseños es más apropiado para
un regulador que permita aproximar los platos de la polea al crecer ω.
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CAPÍTULO 5. ESTÁTICA
y
y
Fm
D
O C
Fm
k
A
D
O
x
C
θ
A
k
x
δFc
δFc
θ
(a)
B
(b)
B
Problema 5.10: Se tiene un sistema plano formado por un disco pesado de radio R y
masa m apoyado en B sobre una pared vertical. Su centro C está suspendido del punto A
de la pared mediante una varilla sin masa, con articulaciones lisas en A y C. La longitud
de la varilla es tal que forma un ángulo β con la pared cuando el disco está en contacto.
Entre el disco y la pared hay rozamiento de coeficiente µ.
Además del peso, sobre el disco actúa una fuerza conocida F , aplicada en la periferia
y tangente a la circunferencia formando un ángulo α con la horizontal (podrı́a hacerse,
por ejemplo, tirando de un hilo arrollado al disco). Se aplica por debajo del centro (caso
a) o por encima (caso b). Inicialmente la fuerza es pequeña, y el sistema está obviamente
en equilibrio. Luego se va aumentando F hasta que el disco empiece a girar o se levante.
Se pide:
1. Aislando la varilla, determinar la dirección de la reacción T que transmite al disco
en C.
2. Para el caso a), se pide:
a) Plantear las ecuaciones de equilibrio del disco. Las ecuaciones serán más sencillas si se escoge bien el punto en que se toman momentos.
b) Sea N la reacción normal de la pared en B y R la fuerza de rozamiento;
obtenerlas junto con T en función de los datos del problema.
c) Obtener el valor de F necesario para que el disco se separe de la pared, en
función de los demás datos del problema.
d) Obtener el valor de F necesario para que el disco empiece a girar. Comprobar
que siempre gira antes de separarse.
3. Repetir los pasos anteriores para el caso b) (téngase cuidado con el sentido de R).
4. Comparando los resultados, razonar si es más fácil hacerlo girar desde arriba o desde
abajo.
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(a)
(b)
A
A
β
B
β
C
F
B
α
C
F
α
Problema 5.11: Se tiene una placa cuadrada de lado a y masa m. Uno de sus lados
se apoya sin rozamiento sobre el plano horizontal liso Ox1 y1 . Sobre la placa actúan las
fuerzas:
Peso
Muelle de constante k y longitud natural nula ente el punto fijo A (0, 0, a) y el B,
punto medio del lado opuesto al apoyado.
Repulsión del origen sobre cada elemento de masa, proporcional a la masa y a la
distancia, δ F~ = δmω 2 ~r.
La configuración viene dada por las coordenadas ξ, η del punto medio C del lado que
se apoya; el ángulo θ del plano de la placa con el horizontal Ox1 y1 ; y el ángulo ψ de la
normal al lado apoyado Cx0 con el eje Ox1 . Se pide:
1. Analizar el sistema de reacciones distribuidas sobre el lado con apoyo liso: determinar
el número de incógnitas y escoger un sistema equivalente para representarlo.
2. Hallar la resultante de la repulsión y comprobar que su momento en el centro de
masas G de la placa es nulo.
3. Expresar la fuerza del muelle, CB y CG en función de las coordenadas generalizadas.
4. Plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerzas.
5. De estas ecuaciones obtener una relación entre tan ψ y η, ξ y otra entre la distancia
OC y θ.
6. Interpretar geométricamente la relación entre ψ y las coordenadas de C. Se comprobará que las soluciones tienen simetrı́a de revolución y que el resto del problema
se puede resolver con la simplificación η = ψ = 0.
7. Plantear con esta simplificación la ecuación de equilibrio de momentos en C. Se obtendrá una relación entre ξ y θ que, con la segunda de (5), determina la configuración
de equilibrio. Comprobar que la componente según Oz1 da la misma información
que la primera de (5).
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CAPÍTULO 5. ESTÁTICA
z1
A
δ F~
B
O
ξ
ψ
η
θ
x1
Problema 5.12: Un sistema plano está formado por dos discos homogéneos de radio R,
de masa despreciable, y una barra de peso
P y longitud λR. Cada disco está unido a un
extremo de la barra con una articulación lisa.
El sistema está apoyado sobre una recta rugosa (eje Ox1 ) que forma un ángulo α con la
horizontal. El coeficiente de rozamiento entre los discos y la recta es f . El disco más
bajo ① está frenado, es decir, la barra ejerce un momento M sobre el disco, que será el
necesario para que no gire. El otro disco puede girar libremente. Para la configuración de
equilibrio, se pide:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
y1
y0
C
x0
②
①
x1
R2
R1
α
N1
La reacción normal sobre el primer disco, N1 .
Fuerza de rozamiento sobre el primer disco R1 .
Reacción normal sobre el segundo disco N2 .
Rozamiento sobre el segundo disco R2 .
Momento de freno M.
Valor de α para que el conjunto vuelque.
Valor de α para que empiece a deslizar.
Valor del coeficiente de rozamiento f para que las dos condiciones coincidan
N2