1. Descomponer de forma razonada el número 90 en dos sumandos

1. Descomponer de forma razonada el número 90 en dos sumandos tales que la suma del
cuadrado del primero y el doble del cuadrado del segundo, sea mínima.
Llamaremos x al primer sumando e y al segundo.
Como x y =90 ⇒ y=90−x
Queremos minimizar la expresión x 22⋅90− x2 , así que definimos la función:
f  x =x 22⋅90− x2
x ∈ℝ
1
f '  x=6x−360
f '  x=0⇔ 6x−360=0 ⇔ x=60
x=60 es un mínimo relativo y absoluto para la función f(x). De modo que los sumandos
deben ser: x=60, y=30 ♣
2. Se calcula que entre las 2000 y las 5000 revoluciones por minuto el consumo de gasolina de
un motor viene dado por la función f  x =2x 2−12x23 , donde f(x) indica los litros
consumidos en una hora, y x viene expresada en miles de revoluciones por minuto. Hallar de
forma razonada:
a) Las revoluciones con las que el consumo del motor es mínimo.
b) Las revoluciones con las que el consumo del motor es máximo.
c) Dichos consumos
La función f(x) tiene como dominio el intervalo cerrado [2,5] .
f '  x=4x−12 ;
f '  x=0⇔ 4x−12=0⇔ x=3
Examinando los intervalos de crecimiento y
decrecimiento queda claro que el menor
consumo se consigue cuando x=3, es decir, a
3000 revoluciones. A esas revoluciones el
consumo es:
2
f 3=2⋅3 −12⋅323=5 L/h ♣
El máximo consumo debe darse en
alguno de los extremos, veamos:
f 2=2⋅22−12⋅223=7 L /h
Por tanto el mayor consumo se da a las 5000
revoluciones. El consumo es de 13 L/h ♣
f 5=2⋅52−12⋅523=13 L /h
f  x =x 22⋅90− x2 , conviene desarrollar la expresión. De ese modo derivaremos
un polinomio. Desarrollando queda: f  x =x 216200−360x2x 2=3x 2−360x16200
1 Para derivar la función
12.
La relación entre la temperatura del aire T (en º F) y la altitud h (en metros sobre el
nivel del mar) es lineal para 0 ≤ h ≤ 20000. Si la temperatura a nivel del mar es de 60 º F y por
cada 5000 m de altitud que se sube, la temperatura del aire baja 18 º F, se pide:
a) Expresar T en función de h
b) Calcular de forma razonada la temperatura del aire a una altitud de 15000m
c) Calcular de forma razonada la altitud a la que la temperatura es 0 º F.
Este ejercicio NO está hecho en clase
Aclaraciones:
• ºF son grados Farenheit. ( http://es.wikipedia.org/wiki/Grado_Fahrenheit )
• “Si la temperatura a nivel del mar es de 60 º F y por cada 5000 m de altitud que se
sube, la temperatura del aire baja 18 º F”. Esto significa que es una relación lineal.
• En este caso la variable independiente es la altura sobre el nivel del mar, h. La
variable dependiente es la temperatura T. Recuerda que la relación es lineal T=ah+b
Sabemos que cuando h es 0 m. (nivel del mar) T es 60 ºF y que cuando h es 5000 m. la
temperatura T es de 42 ºF .
{
{
60=a⋅0b
⇒ b=60
42=a⋅5000b a=−0,0036
Podemos expresar, por tanto, T en función de h como sigue:
T =−0,0036⋅h60 , o todavía mejor, T  h=−0,0036⋅h60 ♣ 2
Para responder al apartado b) sólo debemos sustituir en la relación que acabamos de dar h
por 15000 y calcular T 15000=−0,0036⋅1500060=6 ºF ♣
Para el siguiente apartado, sustituyamos en la relación que obtuvimos en el apartado a) T por
0 y resolvamos la ecuación:
0=−0,0036⋅h60 ⇔ 0,0036⋅h=60 ⇔ h=
60
50000
=
≈16666 ' 66 m. ♣
0,0036
3
3.
2
en el punto de abscisa x = 4. Explicar lo que
x− 3
significa el valor obtenido de la derivada. Calcular la tasa de variación instantánea en el
punto de abscisa x = 5.
4. Obtener la derivada de la función f(x) =
Lo que nos piden es, simple y llanamente f ' 4 . No nos piden que lo hagamos por la
definición, así que podríamos usar las reglas de derivación.
2
−2h
−2
f 4h− f  4
f 4h− f  4
1h
1h
−2h
f ' 4=lim
=lim
=lim
=lim
=lim
=−2
h
h
h
h
h1h
h0
h0
h 0
h 0
h 0
La tasa de variación instantánea en el valor de abscisa x=5 es la derivada en x=5,
que se hace de manera idéntica. ♣
2 ¿Aprecias la diferencia entre las dos expresiones?
f ' 5 ,
5. El beneficio, y, en millones , de una sociedad en función de la inversión, x, en millones, viene
dado por y=x 22x7. Obtén la derivada del beneficio, y, respecto de la inversión, x,
cuando la inversión es de 2 millones y cuando la inversión es de 3 millones.
y ' =2x2
y ' 2=6
y ' 3=8 ♣
6. La función f t=2,1 t 2 0.8t – 1 , para 0t9 , donde el tiempo, t, viene expresado en
años, proporciona los beneficios de una empresa en miles de euros entre los años 1991 (t = 0)
y 2000 (t = 9).
a) Calcular de forma razonada la tasa de variación media del beneficio de esta empresa
en este periodo de tiempo.
b) Obtener de forma razonada la tasa de variación media del beneficio en los dos últimos
años.
c) ¿Qué podemos concluir acerca de la variación del beneficio en los dos periodos
anteriores?
El apartado a) es el cálculo de una tasa de variación media:
TVM f [ 2,9]=
f 9− f 2 176,3−9
=
=23,9
9−2
7
El apartado b) es otra tasa de variación media:
TVM f [7,9 ]=
f 7− f 2 176,3−107,5
=
=34,4
9−7
2
En los nueve años del periodo 1991-2000, la tasa de variación media es de 23'9 y esto quiere
decir que el beneficio de esta empresa ha crecido en ese periodo a razón de 23900 € anuales
de media.
También lo ha hecho en los dos últimos años (periodo 1998-2000), pero la tasa de variación
media es notablemente mayor (34,4). Esto quiere decir que los beneficios en estos dos
últimos años han crecido a razón de 34400 € anuales de media.
7. La velocidad en (m /s) que alcanza cierto atleta en una carrera de 200 metros viene dada en
función del espacio recorrido, x, por la siguiente expresión: f  x =−0,00055 x  x−300
Deducir de forma razonada:
a) ¿Qué distancia ha recorrido el atleta cuando alcanza su velocidad máxima? ¿Cuál es esa
velocidad?
b) ¿Entre qué distancias su velocidad va aumentando? ¿Y disminuyendo?
c) ¿A qué velocidad llega a la meta?
El dominio de la función es, obviamente el intervalo cerrado [0,200]
f '  x=−0,0011 x0,165
3
f '  x=0 ⇔ −0,0011 x 0,165=0 ⇔ x=
0,165
=150 m
0,0011
3 Para derivar esta función primero se ha desarrollado la expresión:
f  x =−0,00055 x 2 0,165 x
Se aprecia claramente que t=150 m es mínimo
relativo y absoluto. Será por tanto a los 150 m
de carrera cuando la velocidad sea máxima.
Se ve claro que la velocidad aumenta en
los 150 primeros metros y disminuye en
los últimos 50
Llegará a meta con velocidad:
f 200=11 m/ s
8. Se calcula que el valor y de una acción t meses después de salir al mercado durante el primer
año viene dado por la función y t=t 2 – 6t10 . Explicar razonadamente en qué mes
conviene comprar las acciones para adquirirlas al precio más ventajoso.
Hemos de averiguar en qué momento la función alcanza su mínimo absoluto.
El dominio de definición de la función es el intervalo [0,12]
y ' t =2t−6
y ' t=0 ⇔ 2t−6=0 ⇔ t=3
t=3 es mínimo relativo y absoluto.
Debemos, por tanto comprar acciones
transcurridos 3 meses desde que salgan al
mercado.
9. Mediante la utilización razonada de la relación de la derivada de una función con su
crecimiento o decrecimiento, obtener en que puntos del intervalo [-2, 2] son crecientes o
decrecientes las funciones:
a)
f  x =x 2
b)
g  x= x3 – 7
f '  x=2x ;
f '  x=0 ⇔ 2x=0 ⇔ x=0
f(x) es creciente en (0, 2) y decreciente
en (-2,0)
x=0 es mínimo relativo y absoluto.
g '  x =3x
2
;
2
g '  x =0 ⇔ 3x =0 ⇔ x=0
g(x) es creciente en [−2,0 ∪ 0,2 ]
x=0 es punto de inflexión.
10.
El rendimiento f (t) en un examen que dura una hora en función del tiempo t , viene dado
por f t=t – t 2 , 0≤ t ≤ 1 Deduce razonadamente:
a) Cuando el rendimiento es nulo
b) Cuando el rendimiento es máximo
c) Cuando el rendimiento es creciente y cuando es decreciente
Nos dan explícitamente el dominio de la función, que es el intervalo cerrado [0,1].
Para saber cuándo el rendimiento es nulo resolvamos la ecuación t−t 2=0
Sacamos factor común y resolvemos:
t t−1=0 ⇔ t 1=0 Es decir, el rendimiento es nulo en t=0 (al empezar el examen) y
t 2=1
en t=1 (al acabar el examen)
{
Para saber cuándo el rendimiento es máximo, usaremos la primera derivada.
1
f ' t=1−2t ; f ' t=0 ⇔ 1−2t=0 ⇔ t=
2
A la media hora se alcanza el máximo
rendimiento. Se ve claro también que el
rendimiento crece durante la primera media hora
y decrece en la última media hora.
11. El coste total en euros de la producción de x litros de un determinado producto viene dado
por C  x =1/2 x 25x800 . Definir la función que determina el coste medio por litro
producido y determinar de forma razonada con qué producción dicho coste medio será
mínimo. ¿ Cuál es el valor de dicho coste?
El coste medio es el coste total, C(x), dividido entre el total de litros, x. Llamaremos al coste
medio C M  x y lo definimos de la siguiente manera:
C  x  1/2 x 25x800
; Dom C M  x=0,∞
C M  x=
=
x
x
Para saber con qué producción se alcanza el coste medio mínimo usaremos la derivada del
coste medio, C 'M  x
 x5⋅x−1/2 x 25x800 x 25x−1/ 2 x 2−5x−800 1/2 x 2−800
C 'M  x=
=
=
x2
x2
x2
1/2 x 2 −800
C 'M  x=0 ⇔
=0 ⇔ 1/2 x 2−800=0 ⇔ 1/2 x 2=800 ⇔ x 2=1600 ⇔ x 1=40
2
x
x 2 =−40
{
Han de producirse 40 L para que el coste medio sea menor, siendo el coste de
C M  40=45
12. La concentración C de ozono contaminante, en microgramos por metro cúbico, en
una ciudad durante los primeros 20 días de un determinado mes se puede aproximar por la
función C  x =9015 x – 0,6 x 2 , donde x representa el tiempo transcurrido en días.
a) Estudiar de forma razonada el crecimiento y decrecimiento de la concentración de ozono
en relación con los días transcurridos.
b) ¿ Cuál es la concentración máxima de ozono alcanzada durante esos 20 días? Justifica la
respuesta.
El dominio es el intervalo cerrado [0, 20]
C '  x=15−1' 2x
C '  x=0 ⇔ 15−1' 2x=0 ⇔ x=
15
=12 ' 5
1' 2
La concentración de ozono contaminante crece durante los 12'5 primeros días, alcanzando
en ese momento su máxima concentración; desde ese momento y hasta el día 20 la
concentración decrece.
13. Se cree que el número y de unidades vendidas de un cierto producto en función de su
precio en euros, x, viene dado por y=50 – x , donde el precio varía entre 0 y 50 euros. Si
por cada unidad vendida se obtiene un beneficio de x-10, determinar de forma razonada el
precio x que producirá un mayor beneficio, el número de unidades vendidas y el beneficio
obtenido.
El precio x puede variar entre 0 y 50 euros, así que el dominio es (0, 50]4
El beneficio será el producto de dos cosas que ya tenemos:
• Número de unidades vendidas 50-x
• Beneficio obtenido por cada unidad. x-10
El beneficio es, por lo tanto: B  x=50− x x−10
B '  x =−2x60 ; B '  x =0 ⇔ −2x60=0 ⇔ x=30
Deben venderse a un precio de 30 € para que el beneficio sea máximo. A ese precio se
venderían 20 unidades, con un beneficio de 20 € por cada unidad. El beneficio máximo será
de 400 €.
4 Podría discutirse acerca de los extremos del dominio. Que si abiertos, que si cerrados....no tiene mayor importancia
en este ejercicio. No he considerado oportuno incluir el 0 por entender que vender algo por 0 euros no tiene
demasiado sentido.
14.
Una multinacional ha estimado que anualmente sus ingresos en € vienen dados por la
función I  x=28x 236000x , mientras que sus gastos ( también en € ) pueden calcularse
mediante la función G x=44x 212000x700000 , donde x representa la cantidad de
unidades vendidas. Determinar:
a) La función que define el beneficio anual en €
b) La cantidad de unidades que deben ser vendidas para que el beneficio sea máximo.
Justificar que es máximo.
c) El beneficio máximo.
La función que define el beneficio queda definida por: Dom B=[ 0,∞ 
B  x=
28x236000x−
44x2 12000x700000=−16x224000x−700000
Ingresos
Gastos
;
B '  x =−32x24000
B '  x =0 ⇔ −32x24000=0 ⇔ x=750
Deben venderse 750 unidades para obtener el máximo beneficio. El beneficio será de
8.300.000 €
15.
Un restaurante abre a las 8 de la noche y cierra cuando todos los clientes se han ido.
La función C t =60t – 10t 2 representa el número de clientes que hay en el restaurante en
función del número de horas t que lleva abierto el establecimiento. Se pide:
a) Determinar el número máximo de clientes que van una determinada noche al
restaurante. Justificar que es un máximo.
b) Si deseamos ir al restaurante cuando haya al menos 50 personas, y no más de 80, ¿entre
qué horas tendríamos que ir?
Veamos en primer lugar cuándo no quedan clientes.
C t =0 ⇔ 60t – 10t 2=0 ⇔ t 60−10t =0 ⇔
{
t 1=0
.Es decir abre durante 6 horas.
t 2 =6
C ' t=60−20t ; C ' t=0 ⇔ 60−2t=0 ⇔ t=3
A las 3 horas de abrir el restaurante (a las 11 de la noche) el número de clientes es máximo.
En ese instante hay C(3)=90.
Para contestar al apartado b) han de resolverse dos ecuaciones C t =50 y C t =80 .
16. Se quiere imprimir un cartel anunciador rectangular que debe contener 18cm2 de texto
impreso (también rectangular). Los márgenes superior e inferior deben ser de 2 cm cada
uno, mientras que los laterales deben ser de 1cm. Calcular las dimensiones del cartel para
que el gasto de papel sea mínimo y justificar que dicho gasto es realmente mínimo.
Llamando x e y a los lados
horizontal y vertical del cartel
respectivamente,
debemos
llamar x-2 e y-4 a las
dimensiones de la zona
imprimible del cartel.
Sabemos que (x-2)(y-4)=18
Despejando y5
104x
y=
x−2
Debemos
minimizar
la
superficie del cartel, es decir
debemos minimizar la función
104x 10x4x2
S  x =x⋅
=
x−2
x−2
S '  x =
108x ⋅ x−2−10x4x 2  4x 2−16x−20
=
 x−22
 x−22
4x 2−16x−20
16± 256320 16±24
S '  x =0 ⇔
⇔ 4x 2−16x−20=0 ⇔ x=
=
= x 1=5
2
8
8
 x−2
x 2=−1
{
Así que x debe valer 5 cm e y debe valer 10 cm
5
 x−2 y−4=18 ⇔ xy−2y−4x8=18 ⇔ xy−2y−4x=10 ⇔ y  x−2=104x ⇔ y=
104x
x−2