Funciones Lógicas Y Métodos De Minimización

Circuitos Digitales I
Tema III
Funciones Lógicas Y Métodos
De Minimización
Luis Tarazona, UNEXPO Barquisimeto
EL-3213 – Circuitos Digitales I - 2004
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Funciones lógicas
Circuito combinacional:
– Un circuito cuya salida depende únicamente del
estado actual de sus entradas.
– ¿Puedes dar ejemplos?
– Las salidas de un circuito combinacional pueden
expresarse matemáticmante mediante funciones
lógicas.
! Representación de funciones lógicas:
– Mediante tablas de verdad
– Mediante expresiones algebraicas
Luis Tarazona, UNEXPO Barquisimeto
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Tablas de Verdad
Línea
0
1
2
3
4
5
6
7
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
F
F(0,0,0)
F(0,0,1)
F(0,1,0)
F(0,1,1)
F(1,0,0)
F(1,0,1)
F(1,1,0)
F(1,1,1)
Estructura general de una tabla de
verdad para una función lógica de 3
variables, F(X,Y,Z)
Luis Tarazona, UNEXPO Barquisimeto
Línea
0
1
2
3
4
5
6
7
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
0
1
1
0
0
1
0
Tabla de verdad para una función
lógica de 3 variables, F(X,Y,Z)
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Representación Algebraica
Definiciones:
! Literal: Una variable binaria o su complemento.
– Ej: X, Y, Y’
! Término producto: Un literal simple o un producto
lógico (AND) de dos o más literales.
– Ej: X, X•Y’•Z, Y•Z
! Expresión de suma de productos: Suma lógica
(OR) de términos producto.
– Ej: X’•Y•Z’ + X’•Y•Z + X•Y•Z’
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Definiciones...
! Término suma: Un literal simple o una suma lógica
de dos o más literales.
– Ej: X, X+Y’+Z, Y+Z
! Expresión de producto de sumas: producto lógico
de términos suma.
– Ej: (X’+Y+Z’)•( X’+Y+Z)•(X+Z’)
! Término normal: Es un término producto o suma
en el cual ninguna variable aparece más de una
vez.
– Ej: X’•Y•Z, X’+Y
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Definiciones...
! Minitérmino de n variables es un término producto normal
con n literales
! Maxitérmino de n variables es un término suma normal con
n literales
! Existen 2n mintérminos y maxtérminos en una función de n
variables.
Línea
0
1
2
3
4
5
6
7
X
0
0
0
0
1
1
1
1
Luis Tarazona, UNEXPO Barquisimeto
Y
0
0
1
1
0
0
1
1
Z
0
1
0
1
0
1
0
1
F
0
0
1
1
0
0
1
0
Mintérmino Maxtérmino
X’.Y’.Z’
X+Y+Z
X’.Y’.Z
X+Y+Z’
X’.Y.Z’
X+Y’+Z
X’.Y.Z
X+Y’+Z’
X.Y’Z’
X’+Y+Z
X.Y’.Z
X’+Y+Z’
X.Y.Z’
X’+Y’+Z
X.Y.Z
X’+Y’+Z’
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Definiciones...
! Suma canónica: Es la suma de todos los mintérminos para
los cuales la función es 1.
! Producto canónico: Es el producto de todos los
maxtérminos para los cuales la función es 0.
! De la tabla anterior:
Suma canonica :
F = ∑ X ,Y , Z (2,3,6) = X '⋅Y ⋅ Z '+ X '⋅Y ⋅ Z + X ⋅ Y ⋅ Z '
Producto canonico :
F = ∏ X ,Y , Z (0,1,4,5,7) =
( X + Y + Z ) ⋅ ( X + Y + Z ' ) ⋅ ( X '+Y + Z ) ⋅ ( X '+Y + Z ' ) ⋅ ( X '+Y '+ Z ' )
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Análisis de Circuitos Combinacionales
Dado un circuito, obtener la descripción formal de su
función lógica. Luego es posible:
! Determinar el comportamiento del circuito para distintas
combinaciones de entrada.
! Manipular la descripción algebraica para obtener
estructuras de circuito alternativas.
! Transformar la descripción algebraica a una forma
estándar que puedas ser programada en un dispositivo
de lógica programable (PLD)
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Análisis de circuitos Combinacionales
! Ej: Obtener todas las salidas de las compuertas para todas
las posibles combinaciones de entrada
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Expresiones lógicas para las líneas de señal
! Multiplicando:
F = ((X + Y′) ⋅ Z) + (X′ ⋅ Y ⋅ Z′)
= (X ⋅ Z) + (Y′ ⋅ Z) + (X′ ⋅ Y ⋅ Z′)
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Un circuito nuevo, la misma función
! Circuito AND – OR de dos niveles:
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Funcion lógica obtenida al “sumar”
Circuito
OR-AND:
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Atajo: Sustitución de símbolos (DeMorgan)
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Circuito diferente, pero la misma función
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Otro ejemplo (Wakerly)
G(W,X,Y,Z) = W · X · Y + Y · Z
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Síntesis de circuitos combinacionales
! Idea: obtener una función lógica (y luego su circuito lógico) a
partir de una descripción en palabras de un problema en el
que intervienen variables de conmutación (binarias).
! La descripción normalmente incluye las conjunciones “Y”,
“O”, “NO” (AND, OR , NOT) para relacionar las entradas.
! La descripción también puede ser una lista de combinaciones
de entrada y el valor de la salida correspondiente.
– Mediante una tabla, una suma canónica, o un producto canónico.
! La implementación o realización de la función normalmente
requiere un proceso de minimización o manipulación para
obtener la solución más adecuada.
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Manipulaciones de circuitos
!
Permiten transformar un circuito a otra
forma más adecuada
– Más rápida, que use los componentes disponibles.
!
Generalmente circuitos de dos niveles:
AND – OR
OR – AND
NAND – NAND
NOR – NOR
!
Uso de los símbolos equivalentes y de los
teoremas de DeMorgan.
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Ejemplos
1.
2.
3.
Diseñe un circuito detector de números primos de 4 bits.
Las salida debe ser activa en alto.
Diseñe un circuito detector de números primos en una
entrada BCD de un dígito, la salida debe ser activa en alto.
Diseñe un circuito que permita abrir electrónicamente la
puerta de la habitación de María si María inserta su llave o
si Papá y Mamá insertan sus llaves o si Papá y hermanita
insertan sus llaves. Asuma que la puerta abre con un nivel
BAJO y que cada llave genera un nivel alto cuando se
inserta en la ranura correspondiente (la cerradura tiene una
ranura para cada llave).
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Simplificación de funciones lógicas
! Es posible usar los axiomas y teoremas del
álgebra de Boole estudiados anteriormente
para simplificar expresiones lógicas y reducir
la complejidad del circuito.
– Se reduce el tamaño y el costo.
– Se reduce el número de conexiones
– ¿Se reducen la posibilidad de falla?
! También es posible transformar la expresión
en una forma más conveniente
– De acuerdo a la disponibilidad de dispositivos
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Ejemplos de simplificación
! Simplificar: F = X’•Y•Z’ + X’•Y•Z + X•Y•Z’
Z
3/6 7404
Y
X
3/3 7411
2/4 7432
F
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Simular
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Más ejemplos para simplificar...
! Un misil nuclear se activa si al menos tres de cuatro
llaves son insertadas. Asumiendo que cada llave
insertada genera un 1 lógico, diseñe un circuito
mínimo para activar el misil con un 1 lógico. Use
componentes reales.
! F = ∑ X ,Y , Z ,W (2,7,8,13)
Asuma que posee
compuertas de 2
entradas solamente
! F =
∏ A,B ,C (0,4,6)
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Mapas de Karnaugh
! Es el método más fácil para simplificar expresiones lógicas
de hasta seis variables.
! La tabla de verdad de una función de n variables se
representa gráficamente en un arreglo de 2n celdas.
! Cada celda representa un mintérmino.
WX
YZ
X
Y
0
1
XY
Z
0 1
0
2
1
3
00
0
1
2 variables
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01
11
10
00
00
01
11
10
0
4
12
8
0
2
6
4
01
1
5
13
9
1
3
7
5
10
3
7
15
11
11
2
6
14
10
3 variables
4 variables
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Uso de los mapas de Karnaugh para
simplificar expresiones
! En un mapa de Karnaugh, cada celda difiere de sus vecinas
en un solo una variable
– Un cambio de una variable de 1 a 0
– ¿Qué le recuerda ésto?
! Para simplificar una suma canónica, se combinan celdas
adyacentes “1” en el mapa y dado que dichas celdas difieren
en solo una variable,éstos pueden combinarse en un solo
término producto
– Recordar que: X•Y’ + X•Y = X , en general:
– (Término)•Y’ + (Término)•Y = (Término)
! El número de celdas adyacentes debe ser múltiplo de dos
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Regla para combinar celdas y formar
el término producto simplificado
“ Un conjunto de 2i celdas 1 puede combinarse si
existen i variables de la función lógica que tomen
todas las 2i combinaciones posibles dentro de ese
conjunto, minetras las restantes n – i variables
tienen el mismo valor en todo ese conjunto. El
término producto correspondiente tiene n – i
literales, donden una variable está complementada
si aparece como cero en todas las celdas 1 y no
complementada si aparece como 1.”
Wakerly, J. F., Diseño Digital, Principios y Prácticas,
pág 181 (2da edición), pág 224 (3ra edición).
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Ejercicios de Mapas de Karnaugh
! Realizar la simplificación de los ejemplos anteriores
! Diseñar un circuito de cuatro entradas y una salida,
tal que la salida sea 1 siempre que en la entrada
exista mayoría de unos
! Simplificar:
F=A’•B’•C’•D + B•C’•D + A•B’•C’•D + B’•C•D
Si A•B•C•D y A•B•C’•D’ son condiciones NO
IMPORTA (Don’t Care).
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