MODULO_INV_OPERACIONES - Tecnológico David Ausubel

INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
INSTITUTO SUPERIOR TECNOLÓGICO
“DAVID AUSUBEL”
SEMIPRESENCIAL
TECNOLOGÍA EN: CONTABILIDAD Y AUDITORIA
E INFORMÀTICA
INVESTIGACIÒN OPERATIVA
GUÍA DIDÁCTICA
CUARTO NIVEL
QUITO - ECUADOR
ISTDA
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
INTRODUCCIÓN
La Investigación de Operaciones o Investigación Operativa, es una de las ramas de
la matemática aplicada cuyo desarrollo ha contribuido fuertemente para mejorar y
elevar los niveles de productividad de las organizaciones, pasando por el desarrollo
de modelos lineales en su inicio, hasta llegar al desarrollo de poderosos
simuladores que permiten anticipar las implicaciones de una o más decisiones antes
de ponerlas en práctica, minimizando de esta manera los riesgos de
implementación.
El éxito de su aplicación ha sido demostrado en campos tan diferentes como el
militar, las finanzas, la producción, los servicios, logística, medicina, nutrición, etc.
Espero sinceramente que el desarrollo de este módulo, despierte en el estudiante la
curiosidad por aprender más sobre la Investigación Operativa y sus aplicaciones,
así como también le permita poner en práctica todo lo desarrollado en clase con el
fin de que pueda en su momento tomar decisiones oportunas y racionales.
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
CONTENIDO
UNIDAD 1 Introducción a la Investigación Operativa
1.1 Introducción, los modelos
1.2 Tipos de modelos
1.3 Otros tipos de modelos
1.4 Ejercicios sobre modelos probabilísticos
UNIDAD 2 Toma de decisiones
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
Toma de decisiones en condiciones de incertidumbre
Método de ganancias Condicionales
Método de Perdidas Condicionales
Método de Análisis Marginal
Ejercicios de Aplicación
UNIDAD 3 Optimización de funciones
3.1 Máximos y Mínimos de una función
3.2 Aplicaciones administrativas y económicas de
máximos y mínimos en análisis marginal
3.3 Maximización de funciones Administrativas con
múltiples variables
3.4 Método de multiplicaciones de Lagrange
3.5 Ejercicios de aplicación
UNIDAD 4 Programación lineal
4.1 Definición, aplicaciones
4.2 Características generales de PL
4.3 Procedimientos para la solución de la PL
4.4 Métodos para la solución de problemas, intr.
4.5 Ejercicios de aplicación
4.6 Métodos para el PL máximos y mínimos
4.6.1 Método gráfico para máximos y mínimos
4.6.2 Método algebraico
4.6.3 Método Simplex
4.6.4 Dualidad
4.6.5 Ejercicios de Aplicación
4.6.6 Problemas de aplicación
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
COMPETENCIAS
COMPETENCIA GENERAL
Toma una decisión a la hora de resolver un problema tal es el caso de los
modelos e Investigación de Operaciones que se emplean según sea la
necesidad.
COMPETENCIAS DE UNIDADES
 Desarrolla la capacidad para poder identificar, analizar, formular, y
resolver problemas de decisión que surjan en sistemas reales.
• Inculca la importancia del análisis racional y objetivo de los casos que se
presentan.
• Desarrolla la capacidad para poder OPTIMIZAR que surjan en sistemas
reales.
• Entregar las herramientas necesarias de la PROGRAMACION LINEAL
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
ORIENTACIONES DE ESTUDIO
NOTA:
En este texto guía se encuentra desarrollados los temas que corresponden
a este módulo, y las tareas que usted debe desarrollar; con la ayuda del
tutor usted llegará a dominar el conocimiento.
1. El estudiante tiene las oportunidades que sean necesarias para
aclarar los temas que no comprenda mediante la explicación del tutor
ya sea de manera presencial o mediante el correo electrónico.
2. Las tareas serán enviadas por el tutor, de acuerdo a las fechas del
calendario y de acuerdo al desarrollo del módulo.
3. Es obligación del estudiante asistir a cada una de las tutorías
presenciales programadas en el calendario de actividades.
4. Todo trabajo del estudiante será evaluado cuantitativamente.
5. Al final el tutor evaluara el módulo en su totalidad.
6. De requerir cualquier información dirigirse al correo de la dirección
académica y será atendido inmediatamente en su consulta.
GRACIAS.
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
CAPITULO I
INTRODUCCIÓN
La toma de decisiones es un proceso que se inicia cuando una persona observa
un problema y determina que es necesario resolverlo procediendo a definirlo, a
formular un objetivo, reconocer las limitaciones o restricciones, a generar
alternativas de solución y evaluarlas hasta seleccionar la que le parece mejor,
este proceso puede se cualitativo o cuantitativo.
El enfoque cualitativo se basa en la experiencia y el juicio personal, las
habilidades necesarias en este enfoque son inherentes en la persona y aumentan
con la práctica. En muchas ocasiones este proceso basta para tomar buenas
decisiones. El enfoque cuantitativo requiere habilidades que se obtienen del
estudio de herramientas matemáticas que le permitan a la persona mejorar su
efectividad en la toma de decisiones. Este enfoque es útil cuando no se tiene
experiencia con problemas similares o cuando el problema es tan complejo o
importante que requiere de un análisis exhaustivo para tener mayor posibilidad de
elegir la mejor solución.
La investigación de operaciones proporciona a los tomadores de decisiones
bases cuantitativas para seleccionar las mejores decisiones y permite elevar su
habilidad para hacer planes a futuro.
En el ambiente socioeconómico actual altamente competitivo y complejo, los
métodos tradicionales de toma de decisiones se han vuelto inoperantes e
inadmisibles ya que los responsables de dirigir las actividades de las empresas e
instituciones se enfrentan a situaciones complicadas y cambiantes con rapidez
que requieren de soluciones creativas y prácticas apoyadas en una base
cuantitativa sólida.
En organizaciones grandes se hace necesario que el tomador de decisiones
tenga un conocimiento básico de las herramientas cuantitativas que utilizan los
especialistas para poder trabajar en forma estrecha con ellos y ser receptivos a
las soluciones y recomendaciones que se le presenten.
En organizaciones pequeñas puede darse que el tomador de decisiones domine
las herramientas cuantitativas y él mismo las aplique para apoyarse en ellas y así
tomar sus decisiones.
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Desde al advenimiento de la Revolución Industrial, el mundo ha sido testigo de un
crecimiento sin precedentes en el tamaño y la complejidad de las organizaciones.
Los pequeños talleres artesanales se convirtieron en las corporaciones actuales
de miles de millones. Una parte integral de este cambio revolucionario fue el gran
aumento en la división del trabajo y en la separación de las responsabilidades
administrativas en estas organizaciones. Los resultados han sido espectaculares.
Sin embargo, junto con los beneficios, el aumento en el grado de especialización
creo nuevos problemas que ocurren hasta la fecha en muchas empresas. Uno de
estos problemas es las tendencias de muchas de las componentes de una
organización a convertirse en imperios relativamente autónomos, con sus propias
metas y sistemas de valores, perdiendo con esto la visión de la forma en que
encajan sus actividades y objetivos con los de toda la organización. Lo que es
mejor para una componente, puede ir en detrimento de otra, de manera que
pueden terminar trabajando con objetivos opuestos. Un problema relacionado con
esto es que, conforme la complejidad y la especialización crecen, se vuelve más
difícil asignar los recursos disponibles a las diferentes actividades de la manera
más eficaz para la organización como un todo. Este tipo de problemas, y la
necesidad de encontrar la mejor forma de resolverlos, proporcionaron el ambiente
adecuado para el surgimiento de la Investigación Operativa o Investigación de
Operaciones.
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES (IO).
Las raíces de la investigación de operaciones se remontan a muchas décadas,
cuando se hicieron los primeros intentos para emplear el método científico en la
administración de una empresa. Sin embargo, el inicio de la actividad llamada
investigación de operaciones, casi siempre se atribuye a los servicios militares
prestados a principios de la segunda guerra mundial. Debido a los esfuerzos
bélicos, existía una necesidad urgente de asignar recursos escasos a las distintas
operaciones militares y a las actividades dentro de cada operación, en la forma
más efectiva. Por esto, las administraciones militares americana e inglesa
hicieron un llamado a un gran número de científicos para que aplicaran el método
científico a éste y a otros problemas estratégicos y tácticos. De hecho, se les
pidió que hicieran investigación sobre operaciones (militares). Estos equipos de
científicos fueron los primeros equipos de IO. Con el desarrollo de métodos
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
efectivos para el uso del nuevo radar, estos equipos contribuyeron al triunfo del
combate aéreo inglés. A través de sus investigaciones para mejorar el manejo de
las operaciones antisubmarinas y de protección, jugaron también un papel
importante en la victoria de la batalla del Atlántico Norte. Esfuerzos similares
fueron de gran ayuda en a isla de campaña en el pacífico.
Al terminar la guerra, el éxito de la investigación de operaciones en las
actividades bélicas generó un gran interés en sus aplicaciones fuera del campo
militar. Como la explosión industrial seguía su curso, los problemas causados por
el aumento en la complejidad y especialización dentro de las organizaciones
pasaron de nuevo a primer plano. Comenzó a ser evidente para un gran número
de personas, incluyendo a los consultores industriales que habían trabajado con o
para los equipos de IO durante la guerra,
que estos problemas eran
básicamente los mismos que los enfrentados por la milicia, pero en un contexto
diferente. Cuando comenzó la década de 1950, estos individuos habían
introducido el uso de la investigación de operaciones en la industria, los negocios
y el gobierno. Desde entonces, esta disciplina se ha desarrollado con rapidez.
Se pueden identificar por lo menos otros dos factores que jugaron un papel
importante en el desarrollo de la investigación de operaciones durante este
período. Uno es el gran progreso que ya se había hecho en el mejoramiento de
las técnicas disponibles en esta área. Después de la guerra, muchos científicos
que habían participado en los equipos de IO o que tenían información sobre este
trabajo, se encontraban motivados a buscar resultados sustanciales en este
campo; de esto resultaron avances importantes. Un ejemplo sobresaliente es el
método simplex para resolver problemas de programación lineal, desarrollado en
1947 por George Dantzing. Muchas de las herramientas características de la
investigación de operaciones, como programación lineal, programación dinámica,
líneas de espera y teoría de inventarios, fueron desarrolladas casi por completo
antes del término de la década de 1950.
Un segundo factor que dio ímpetu al desarrollo de este campo fue el
advenimiento de la computadoras. Para manejar de una manera efectiva los
complejos problemas inherentes a esta disciplina, por lo general se requiere un
gran número de cálculos. Llevarlos a cabo a mano puede resultar casi imposible.
Por lo tanto, el desarrollo de la computadora electrónica digital, con su capacidad
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
para realizar cálculos aritméticos, miles o tal vez millones de veces más rápido
que los seres humanos, fue una gran ayuda para la investigación de operaciones.
Un avance más tuvo lugar en la década de 1980 con el desarrollo de las
computadoras personales cada vez más rápidas, acompañado de buenos
paquetes de software para resolver problemas de IO, esto puso las técnicas al
alcance de un gran número de personas. Hoy en día, literalmente millones de
individuos tiene acceso a estos paquetes. En consecuencia, por rutina, se usa
toda una gama de computadoras, desde las grandes hasta las portátiles, para
resolver problemas de investigación de operaciones.
NATURALEZA DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Como su nombre lo dice, la investigación de operaciones significa "hacer
investigación sobre las operaciones". Entonces, la investigación de operaciones
se aplica a problemas que se refieren a la conducción y coordinación de
operaciones (o actividades) dentro de una organización. La naturaleza de la
organización es esencialmente inmaterial y, de hecho, la investigación de
operaciones se ha aplicado de manera extensa en áreas tan diversas como la
manufactura, el transporte, la construcción, las telecomunicaciones, la planeación
financiera, el cuidado de la salud, la milicia y los servicios públicos, por nombrar
sólo unas cuantas. Así, la gama de aplicaciones es extraordinariamente amplia.
La parte de investigación en el nombre significa que la investigación de
operaciones usa un enfoque similar a la manera en que se lleva a cabo la
investigación en los campos científicos establecidos. En gran medida, se usa el
método científico para investigar el problema en cuestión. (De hecho, en
ocasiones se usa el término ciencias de la administración como sinónimo de
investigación de operaciones.) En particular, el proceso comienza por la
observación cuidadosa y la formulación del problema incluyendo la recolección de
los datos pertinentes. El siguiente paso es la construcción de un modelo científico
(por lo general matemático) que intenta abstraer la esencia del problema real. En
este punto se propone la hipótesis de que el modelo es una representación lo
suficientemente precisa de las características esenciales de la situación como
para que las conclusiones (soluciones) obtenidas sean válidas también para el
problema real. Después, se llevan a cabo los experimentos adecuados para
probar esta hipótesis, modificarla si es necesario y eventualmente verificarla.
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
(Con frecuencia este paso se conoce como validación del modelo.) Entonces, en
cierto modo, la investigación e operaciones incluye la investigación científica
creativa de las propiedades fundamentales de las operaciones. Sin embargo,
existe más que esto. En particular, la IO se ocupa también de la administración
práctica de la organización. Así, para tener éxito, deberá también proporcionar
conclusiones claras que pueda usar el tomador de decisiones cuando las
necesite.
Una característica más de la investigación de operaciones es su amplio punto de
vista. Como quedó implícito en la sección anterior, la IO adopta un punto de vista
organizacional. de esta manera, intenta resolver los conflictos de intereses entre
las componentes de la organización de forma que el resultado sea el mejor para
la organización completa. Esto no significa que el estudio de cada problema deba
considerar en forma explícita todos los aspectos de la organización sino que los
objetivos que se buscan deben ser consistentes con los de toda ella.
Una característica adicional es que la investigación de operaciones intenta
encontrar una mejor solución, (llamada solución óptima) para el problema bajo
consideración. (Decimos una mejor solución y no la mejor solución porque
pueden existir muchas soluciones que empaten como la mejor.) En lugar de
contentarse con mejorar el estado de las cosas, la meta es identificar el mejor
curso de acción posible. Aun cuando debe interpretarse con todo cuidado en
términos de las necesidades reales de la administración, esta "búsqueda de la
optimidad" es un aspecto importante dentro de la investigación de operaciones.
Todas estas características llevan de una manera casi natural a otra. Es evidente
que no puede esperarse que un solo individuo sea un experto en todos lo
múltiples aspectos del trabajo de investigación de operaciones o de los
problemas que se estudian; se requiere un grupo de individuos con diversos
antecedentes y habilidades. Entonces, cuando se va a emprender un estudio de
investigación de operaciones completo de un nuevo problema, por lo general es
necesario emplear el empleo de equipo. Este debe incluir individuos con
antecedentes firmes en matemáticas, estadística y teoría de probabilidades, al
igual que en economía, administración de empresas, ciencias de la computación,
ingeniería, ciencias físicas, ciencias del comportamiento y, por supuesto, en las
técnicas especiales de investigación de operaciones. El equipo también necesita
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
tener la experiencia y las habilidades necesarias para permitir la consideración
adecuada de todas las ramificaciones del problema a través de la organización.
CÓMO SE TRABAJA EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
DEFINICION DEL
PROBLEMA
DESARROLLO
DE UN MODELO
MATEMATICO
RESOLUCION
DEL MODELO
PRUEBA DE LA
SOLUCION
MODIFICAR EL
MODELO
¿ES VALIDA?
IMPLEMENTACION
GRAFICO 1
METODOLOGIA DE INVESTIGACION OPERATIVA
LAS
PRINCIPALES
HERRAMIENTAS
DE
LA
INVESTIGACIÓN
DE
OPERACIONES
Cuando hablamos de herramientas en IO, nos estamos refiriendo a los diferentes
modelos teóricos (como por ejemplo, modelos de transporte y teoría de colas), y
a otras disciplinas (como matemática, administración, economía, etcétera), que
se utilizan como instrumentos de trabajo habitual para el profesional de la
Investigación de Operaciones. Debe quedar claro, sin embargo, que cada día se
agregan más tipos de modelos y otras disciplinas imposibles de enumerar en este
momento.
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
De la misma manera la Investigación de Operaciones es considerada, ella misma
como una herramienta al servicio de otras disciplinas (tal como reza el título de
nuestros artículos). Es bien conocido que la Administración de Negocios se ha
estado beneficiando grandemente de la Investigación de Operaciones ahora que
se ha iniciado toda una revolución con el uso de Planificación Estratégica,
Reingeniería y los programas de Calidad Total, para mencionar algunos.
A continuación presentamos una lista, no exhaustiva, de diferentes tipos de
modelos que se podrían considerar como herramientas de la Investigación de
Operaciones, sugerimos al lector revisarla y compararla con los contenidos de
libros clásicos de I.O:
1. Modelos gráficos de programación lineal.
2. Modelos algebraicos de programación lineal.
3. Redes y programación lineal para transporte.
4. Modelos de toma de decisión en condiciones de incertidumbre.
5. Modelos de toma de decisión en condiciones de certeza.
6. Modelos Bayesianos.
7. Procesos estocásticos con cadenas de Markov.
8. Líneas de espera (Teoría de colas).
9. Modelos de optimización con redes para la planeación, ejecución y control de
proyectos.
10. Cadenas de Markov para el reemplazo de activos fijos.
11. Modelos de inventarios determinísticos.
12. Modelos de inventarios probabilísticos.
13. Modelos de programación dinámica y teoría de juegos.
14. Modelos de simulación para la obtención de información experta.
15. Modelos heurísticos de autoaprendizaje y autocorrección.
Los expertos Hillier y Lieberman dicen en su tratado (usado como texto durante
varias generaciones de estudiosos de la Investigación de Operaciones) con la
Revolución Industrial se inventó la división del trabajo y esto trajo como
consecuencia un
crecimiento en
la
dimensión
y complejidad
de
las
organizaciones. Como ya lo hemos comentado, la superespecialización de los
individuos, los departamentos de las industrias y aún las mismas industrias,
produjo un efecto de aparente desorden (a veces aparente y a veces real) dentro
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
de las organizaciones, ya que se intentaba armar rompecabezas con todas las
piezas que producían los especialistas. Sin las técnicas y modelos de la I.O. la
situación hubiese devenido en un caos, fue esta herramienta (o si lo queremos
decir en términos más globales, las herramientas) la que permitió organizar todos
los cabos sueltos y al mismo tiempo la situación hizo que la I.O. creciera.
Nosotros sabemos que la reingeniería propone olvidarnos de la división del
trabajo y regresar a una especie de todología ya que esto evita los pasos
laterales que no agregan valor a los procesos y nos da la opción de atender
directamente al beneficiario del proceso ¡el cliente!. Las técnicas de redes, teoría
de colas, modelos de inventarios, programación lineal, transporte, etcétera,
aunado a la capacitación del personal y a la tecnología cambiante y agresiva son,
en esta era de la Planificación Estratégica, los instrumentos indispensables para
la Reingeniería y la Calidad Total.
PROGRAMACION LINEAL
Muchas personas clasifican el desarrollo de la Programación Lineal (PL) entre los
avances científicos más importantes de mediados del siglo XX. En la actualidad
es una herramienta común que ha ahorrado miles o millones de dólares a
muchas compañías y negocios, incluyendo industrias medianas en distintos
países del mundo. ¿Cuál es la naturaleza de esta notable herramienta y qué tipo
de problemas puede manejar? Expresado brevemente, el tipo más común de
aplicación abarca el problema general de asignar recursos limitados entre
actividades competitivas de la mejor manera posible (es decir, en forma óptima).
Este problema de asignación puede surgir cuando deba elegirse el nivel de
ciertas actividades que compiten por recursos escasos para realizarlas. La
variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta descripción es sin duda
muy grande, y va desde la asignación de instalaciones productivas a los
productos, hasta la asignación de los recursos nacionales a las necesidades de
un país; desde la planeación agrícola, hasta el diseño de una terapia de
radiación; etc. No obstante, el ingrediente común de todas estas situaciones es la
necesidad de asignar recursos a las actividades.
Con frecuencia, seleccionar una alternativa incluye satisfacer varios
criterios al mismo tiempo. Por ejemplo, cuando se compra una pieza de pan se
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
tiene el criterio de frescura, tamaño, tipo (blanco, integral u otro), costo y
rebanado o sin rebanar. Se puede ir un paso más adelante y dividir estos criterios
en dos categorías: restricciones y el objetivo. Las restricciones son las
condiciones que debe satisfacer una solución que está bajo consideración. Si
más de una alternativa satisfacen todas las restricciones, el objetivo se usa para
seleccionar entre todas las alternativas factibles. Cuando se elige una pieza de
pan, pueden quererse 100 gr. de pan blanco rebanado y hecho no antes de ayer.
Si varias marcas satisfacen estas restricciones, puede aplicarse el objetivo de un
costo mínimo y escoger las más barata.
Existen muchos problemas administrativos que se ajustan a este molde de tratar
de minimizar o maximizar un objetivo que está sujeto a una lista de restricciones.
un corredor de inversiones, por ejemplo, trata de maximizar el rendimiento sobre
los fondos invertidos pero las posibles inversiones están restringidas por las leyes
y las políticas bancarias. Un hospital debe planear que las comidas para los
pacientes satisfagan ciertas restricciones sobre sabor, propiedades nutritivas, tipo
y variedad, al mismo tiempo que se trata de minimizar el costo. Un fabricante, al
planear la producción futura, busca un costo mínimo al mismo tiempo cómo
cumplir restricciones sobre la demanda del producto, la capacidad de producción,
los inventarios, el nivel de empleados y la tecnología. La PL se ha aplicado con
éxito a estos y otros problemas.
La PL es una técnica determinista, no incluye probabilidades y utiliza un modelo
matemático para describir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las
funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. En este caso, la
palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia
es un sinónimo de planeación. Así, la PL trata la planeación de las actividades
para obtener un resultado óptimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta
especificada (según el modelo) entre todas las opciones de solución. Aunque la
asignación de recursos a las actividades es la aplicación más frecuente, la PL
tiene muchas otras posibilidades. De hecho, cualquier problema cuyo modelo
matemático se ajuste al formato general del modelo de PL es un problema de
PL.
Supuestos de la programación lineal.
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Existe un número de suposiciones realizadas en cada modelo. La utilidad
de un modelo está directamente relacionada con la realidad de los supuestos.
El primer supuesto tiene que ver con la forma lineal de las funciones. Ya
que el objetivo es lineal, la contribución al objetivo de cualquier decisión es
proporcional al valor de la variable de decisión. Producir dos veces más de
producto producirá dos veces más de ganancia, contratando el doble de páginas
en las revistas doblará el costo relacionado con las revistas. Es una Suposición
de Proporción.
Además, la contribución de una variable a la función objetivo es
independiente de los valores de las otras variables. La ganancia con una
computadora Notebook es de $10,750.00, independientemente de cuantas
computadoras Desktop se producen. Este es un Supuesto de Adición.
Análogamente, ya que cada restricción es lineal, la contribución de cada
variable al lado izquierdo de cada restricción es proporcional al valor de la
variable e independiente de los valores de cualquier variable.
Estas suposiciones son bastante restrictivas. Veremos, sin embargo, que
ser claros y precisos en la formulación del modelo puede ayudar a manejar
situaciones que parecen en un comienzo como lejanos a estos supuestos.
El siguiente supuesto es la Suposición de ser Divisible. Es posible tomar
una fracción de cualquier variable. Por ejemplo, en un problema de marketing,
qué significa comprar 2.67 avisos en la televisión?. Es posible que la suposición
de ser divisible sea insatisfecha en este ejemplo. O puede ser que tales unidades
de 2.67 avisos correspondan a 2,666.7 minutos de avisos, en cuyo caso
redondeando la solución serían 2,667 minutos con una mínima duda que esté
cercana a la solución óptima. Si la suposición de divisible no es válida, entonces
se usará la técnica de Programación Lineal Entera.
La última suposición es el Supuesto de Certeza. La Programación Lineal
no permite incertidumbre en los valores.
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Será difícil que un problema cumpla con todas las suposiciones de
manera exacta. Pero esto no negará la factibilidad de uso del modelo. Un modelo
puede ser aún útil aunque difiera de la realidad, si se es consistente con los
requerimientos más estrictos dentro del modelo y se tiene claras sus limitaciones
al interpretar los resultados.
Existen limitaciones prácticas para el uso de la PL. Una se relaciona con
los cálculos. En general se necesita una computadora. Desafortunadamente, las
calculadoras, aun las programables, son poco útiles, puesto que la PL tiene
necesidad de gran cantidad de memoria o almacenamiento. Si no se tiene acceso
a una computadora, se estará limitado a problemas muy sencillos. La otra
limitación se refiere al costo de formular un problema de PL. En teoría, podría
usarse PL, por ejemplo, para hacer las compras semanales de abarrotes. Sin
embargo, sería necesario conocer todas las compras posibles que pueden
realizarse (éstas serían las variables), además de cada restricción como sabor,
número de comidas, vitaminas y proteínas. Es obvio que el costo de obtener
todos estos datos excede lo que se podría ahorrar si se hicieran las compras
óptimas. Antes de emprender una aplicación de PL, debe considerarse la
disponibilidad y el costo de los datos necesarios.
Formulación de modelos de Programación Lineal.
Aunque se ponga en duda, la parte más difícil de PL es reconocer cuándo
ésta puede aplicarse y formular el problema matemáticamente. Una vez hecha
esa parte, resolver el problema casi siempre es fácil.
Para formular un problema en forma matemática, deben expresarse
afirmaciones lógicas en términos matemáticos. Esto se realiza cuando se
resuelven “problemas hablados” al estudiar un curso de álgebra. Algo muy
parecido sucede aquí al formular las restricciones. Por ejemplo, considérese la
siguiente afirmación: A usa 3 horas por unidad y B usa 2 horas por unidad. Si
deben usarse todas las 100 horas disponibles, la restricción será:
3A + 2B = 100
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Sin embargo, en la mayoría de las situaciones de negocios, no es
obligatorio que se usen todos los recursos (en este caso, horas de mano de
obra). Más bien la limitación es que se use, cuando mucho, lo que se tiene
disponible. Para este caso, la afirmación anterior puede escribirse como una
desigualdad:
3A + 2B  100
Para que sea aceptable para PL, cada restricción debe ser una suma de
variables con exponente 1. Los cuadrados, las raíces cuadradas, etc. no son
aceptables, ni tampoco los productos de variables. Además, la forma estándar
para una restricción pone a todas las variables del lado izquierdo y sólo una
constante positiva o cero del lado derecho. Esto puede requerir algún reacomodo
de los términos. Si, por ejemplo, la restricción es que A debe ser por los menos el
doble de B, esto puede escribirse como:
A  2B
ó
A  2B  0
Nótese que pueden moverse términos de un lado a otro de las
desigualdades como si fuera un signo de igualdad. Pero al multiplicar una
desigualdad por -1, el sentido de esta desigualdad se invierte. Puede ser
necesario hacer esto para que los coeficientes del lado derecho sean positivos.
Por ejemplo, si se quiere que A sea por lo menos tan grande como B - 2,
entonces:
A  B2
ó
AB
2
por último B  A  2
Una nota final sobre desigualdades: es sencillo convertir una desigualdad
en una ecuación. Todo lo que se tiene que hacer es agregar (o restar) una
variable extra. Por ejemplo:
BA2
es lo mismo que
BA+S=2
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
en donde S representa la diferencia, o la holgura, entre B -A y 2. S se llama
variable de holgura. Por otro lado, se restaría una variable de superávit en el caso
siguiente:
A  2B  0
es lo mismo que
A  2B S = 0
Algunos métodos de solución (como el Método Símplex) y la mayoría de
los programas de computadora (como el MathProg, que viene en el
ORCourseware, que acompaña al libro “Introducción a la Investigación de
Operaciones” de los autores Hillier y Lieberman) requieren que todas las
desigualdades se conviertan en igualdades.
La metodología de PL requiere que todas las variables sean positivas o
cero, es decir, no negativas. Para la mayoría de los problemas esto es real, no se
querría una solución que diga: prodúzcanse menos dos cajas o contrátense
menos cuatro personas.
Mientras que no existe un límite en el número de restricciones que puede
tener un problema de PL, sólo puede haber un objetivo. La forma matemática del
objetivo se llama función objetivo. Debe llevar consigo el maximizar o minimizar
alguna medida numérica. Podría ser maximizar el rendimiento, la ganancia, la
contribución marginal o los contactos con los clientes. Podría ser minimizar el
costo, el número de empleados o el material de desperdicio. Con frecuencia el
objetivo es evidente al observar el problema.
Como el valor de la función objetivo no se conoce hasta que se resuelve
el problema, se usa la letra Z para representarlo. La función objetivo tendrá,
entonces, la forma:
Maximizar
Z = 4A + 6Bó
Minimizar
Z = 2x1 + 5x2
Se analiza una aplicación para ilustrar el formato de los problemas de
Programación Lineal.
Planeación de la fuerza de trabajo.
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
El gerente de personal de “La Tortuga Veloz, S.A. de C.V.”, está
analizando la necesidad de mano de obra semi calificada durante los próximos
seis meses. Se lleva 1 mes adiestrar a una persona nueva. Durante este
período de entrenamiento un
trabajador regular,
junto
con
uno en
adiestramiento (aprendiz), producen el equivalente a lo que producen 1.2
trabajadores regulares. Se paga $500.00 mensuales a quien está en
entrenamiento, mientras que los trabajadores regulares ganan $800.00
mensuales. La rotación de personal entre los trabajadores regulares es
bastante alta, del 10% mensual.
El gerente de personal debe decidir
cuántas personas necesita contratar cada mes para adiestramiento. En seguida
se da el número de meses-hombre necesarios. También se desea tener una
fuerza de trabajo regular de 110 al principio de julio. En cuanto al 1º de enero,
hay 58 empleados regulares.
Meses-hombre requeridos
Mes
Mes
Meses-hombre requeridos
Enero
60
Abril
80
Febrero
50
Mayo
70
Marzo
60
Junio
100
Este problema tiene un aspecto dinámico, ya que la fuerza de trabajo
en cualquier mes depende de la fuerza de trabajo regular y en adiestramiento
del mes anterior. Para cualquier mes, el número total de meses-hombre
disponibles se puede expresar como sigue:
Meses-hombre disponibles: Ri + 0.2Ai
en donde:
Ri = número de trabajadores regulares al principio del mes
Ai = número de aprendices contratados en el mes.
Entonces los requerimientos de cada mes pueden expresarse por las
restricciones:
Enero
R1 + 0.2A1 
60
Febrero
R2 + 0.2A2 
50
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INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Marzo
R3 + 0.2A3 
60
Abril
R4 + 0.2A4 
80
Mayo
R5 + 0.2A5 
70
Junio
R6 + 0.2A6  100
julio (principio) R7
 110
Debido a la rotación, el 10% de los trabajadores regulares se van cada mes.
Así, el número de trabajadores regulares disponibles, por ejemplo, al principio
de febrero sería:
R2 = 0.9R1 + A1
En la misma forma, pueden escribirse las ecuaciones para el número de
trabajadores disponibles al principio de cada mes:
Enero
R1
= 58 (dado)
Febrero
R2
= 0.9R1 + A1
Marzo
R3
= 0.9R2 + A2
Abril
R4
= 0.9R3 + A3
Mayo
R5
= 0.9R4 + A4
Junio
R6
= 0.9R5 + A5
Julio
R7
= 0.9R6 + A6
El objetivo global del gerente de personal es minimizar el costo. La función
objetivo es:
Minimizar: Z = 800(R1 + R2 + R3 + R4 + R5 + R6) + 500(A1 + A2 + A3 + A4 + A5 + A6)
Ahora se tiene el problema en el formato general de PL con 13 variables y 14
restricciones.
Los tomadores de decisiones en las empresas establecen criterios que
debe cumplir una solución y, después, buscan esa solución. En PL, los criterios
se expresan como restricciones. Se exploran las soluciones posibles y se usa
la función objetivo para elegir la mejor de entre aquellas que cumplen con los
criterios. La PL se denomina técnica de optimización, pero optimiza sólo dentro
ISTDA
20
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
de los límites de las restricciones. En realidad es un método de satisfacción de
criterios.
Forma estándar de los modelos de Programación Lineal.i
Supóngase que existe cualquier número (digamos m) de recursos
limitados de cualquier tipo, que se pueden asignar entre cualquier número
(digamos n) de actividades competitivas de cualquier clase. Etiquétense los
recursos con números (1, 2, ..., m) al igual que las actividades (1, 2, ..., n). Sea
xj (una variable de decisión) el nivel de la actividad j, para j = 1, 2, ..., n, y sea Z
la medida de efectividad global seleccionada. Sea c j el incremento que resulta
en Z por cada incremento unitario en xj (para j = 1, 2, ..., n). Ahora sea bi la
cantidad disponible del recurso i (para i = 1, 2, ..., m). Por último defínase aij
como la cantidad de recurso i que consume cada unidad de la actividad j (para i
= 1, 2, ..., m y j = 1, 2, ..., n). Se puede formular el modelo matemático para el
problema general de asignar recursos a actividades. En particular, este modelo
consiste en elegir valores de x1, x2, ..., xn para:
Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn,
sujeto a las restricciones:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn  b1
a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn  b2
am1x1 + am2x2 + ... + amnxn  bm
x1  0,
x2 0,
...,
y
xn  0
Ésta se llamará nuestra forma estándar (porque algunos libros de texto
adoptan otras formas) para el problema de PL. Cualquier situación cuya
formulación matemática se ajuste a este modelo es un problema de PL.
ISTDA
21
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
En este momento se puede resumir la terminología que usaremos para
los modelos de PL. La función que se desea maximizar, c 1x1 + c2x2 + ... + cnxn,
se llama función objetivo. Por lo general, se hace referencia a las limitaciones
como restricciones. Las primeras m restricciones (aquellas con una función del
tipo ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn, que representa el consumo total del recurso i)
reciben el nombre de restricciones funcionales. De manera parecida, las
restricciones xj  0 se llaman restricciones de no negatividad. Las variables xj
son las variables de decisión. Las constantes de entrada, aij, bi, cj, reciben el
nombre de parámetros del modelo.
Solución Gráfica de Modelos Lineales con dos Variables.
Para la solución gráfica de programas lineales con dos variables, lo que
se tiene que hacer es trazar un eje de coordenadas cartesianas, para graficar
las desigualdades dadas por el problema, después encontrar el Área de
Soluciones Factibles y proceder a graficar la función objetivo para conocer el
valor óptimo (maximizar o minimizar) que será la solución del problema.
Ejemplo: Problema de mezcla de productos.
Un fabricante está tratando de decidir sobre las cantidades de producción para
dos artículos: mesas y sillas. Se cuenta con 96 unidades de material y con 72
horas de mano de obra. Cada mesa requiere 12 unidades de material y 6 horas
de mano de obra. Por otra parte, las sillas usan 8 unidades de material cada
una y requieren 12 horas de mano de obra por silla. El margen de contribución
es el mismo para las mesas que para las sillas: $5.00 por unidad. El fabricante
prometió construir por lo menos dos mesas.
Paso 1: formulación del problema.
El primer paso para resolver el problema es expresarlo en términos
matemáticos en el formato general de PL. ¿Cuál es el objetivo? Es maximizar
la contribución a la ganancia. Cada unidad de mesas o sillas producidas
contribuirá con $5 en la ganancia. Así las dos alternativas son la producción de
mesas y la producción de sillas. Ahora puede escribirse la función objetivo:
ISTDA
22
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Maximizar Z = 5x1 + 5x2
en donde:
x1 = número de mesas producidas
x2 = número de sillas producidas
¿Cuáles son las restricciones o limitaciones del problema? Existen tres
restricciones. Primero, el material está limitado a 96 unidades. Cada mesa se
lleva 12 unidades de material y cada silla usa 8 unidades. La primera
restricción es, entonces:
12x1 + 8x2  96
La segunda restricción es el total de horas de mano de obra. Una mesa se lleva
6 horas, una silla 12 horas y se dispone de un total de 72 horas. Así:
6x1 + 12x2  72
Existe una limitación más. El fabricante prometió producir por lo menos dos
mesas. Esto puede expresarse como:
x1  2
Por último, las restricciones de no negatividad son:
x1  0, x2  0
Poniendo todo junto el modelo se tiene:
Maximizar
Z = 5x1 + 5x2
Restricciones: 12x1 + 8x2  96
6x1 + 12x2  72
x1  2
x1  0, x2  0
ISTDA
23
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Paso 2: gráfica de las restricciones.
El siguiente paso en el método gráfico es dibujar todas las restricciones en una
gráfica. Esto puede hacerse en cualquier orden. Por conveniencia se
comenzará con las restricciones de no negatividad. Éstas se muestran en la
siguiente figura:
En esta gráfica, una solución se representaría por un punto con coordenadas
x1 (mesas) y x2 (sillas). Las coordenadas representarían las cantidades de cada
artículo que se deben producir. El cuadrante superior derecho se llama Región
Factible puesto que es el único cuadrante en que pueden estar las soluciones.
Los otros tres cuadrantes no son factibles, ya que requerirían la producción de
cantidades negativas de mesas o de sillas o de ambas.
La siguiente restricción es x1  2. La manera más sencilla de dibujar las
restricciones de recursos es en dos pasos: (1) convertir una desigualdad en
una ecuación y graficar la ecuación y (2) sombrear el área apropiada arriba y
abajo de la línea que resulta en el paso 1. Convertir una igualdad en una
ecuación aquí significa ignorar la parte de “mayor que” o “menor que” de la
restricción.
ISTDA
24
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Así, en el ejemplo, x1  2 se convierte en x1 = 2. Esta ecuación está trazada en
la siguiente figura:
Cualquier punto en la línea x1 = 2 satisface la ecuación. Sin embargo, la
restricción es más amplia, ya que cualquier punto x1 > 2 también la cumplirá.
Esto incluye todos los puntos que están a la derecha de la línea x1 = 2.
Entonces, la región factible incluye todos los valores de x1 que están sobre o a
la derecha de la línea x1 = 2.
La limitación sobre las horas de mano de obra es la siguiente restricción. Como
antes, primero se convierte en una ecuación: 6x1 + 12x2 = 72. Puede graficarse
esta línea si se encuentran dos puntos sobre ella. El par de puntos más
sencillos de localizar son las intersecciones con los ejes X1 y X2. Para encontrar
la intersección con el eje X2 se hace x1 = 0. La ecuación se reduce, entonces,
a:
12x2 = 72
x2 = 6
La intersección con el eje X1 se encuentra haciendo x2 = 0. Así:
6x1 = 72
x1 = 12
ISTDA
25
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Estos dos puntos y la línea que los une se muestran en la siguiente figura:
Cualquier punto que está sobre o abajo de esta línea cumplirá con la
restricción. Cualquier punto arriba de esta línea requerirá más de 72 horas de
mano de obra y no es aceptable. En la siguiente figura se combina esta
restricción con la anterior. En la región factible, ambas restricciones se
cumplen.
La última restricción es la de material. Siguiendo el procedimiento anterior,
primero se encuentran las intersecciones para la igualdad. Éstas son x1 = 0, x2
= 12 y x1 = 8, x2 =0. Se localizan los dos puntos en la gráfica; se traza la línea,
y como la restricción es del tipo menor o igual que, se sombrea el área que
está abajo de la línea. El resultado se muestra en la siguiente figura:
ISTDA
26
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Cualquier solución que esté en la frontera o dentro del área sombreada
cumplirá con todas las restricciones. Ahora se utilizará la función objetivo para
seleccionar la solución óptima.
Paso 3: obtención de la solución óptima: líneas de indiferencia.
Para encontrar la solución óptima, se grafica la función objetivo en la misma
gráfica de las restricciones. La función objetivo en este problema es Z = 5x1 +
5x2. Como todavía no se conoce el máximo valor factible de Z, no puede
trazarse el óptimo de la función objetivo. No obstante, es posible suponer
algunos valores para Z y graficar las líneas resultantes. En la siguiente figura
se muestran las líneas para Z = 25 yZ = 50:
Las líneas de este tipo se llaman líneas de indiferencia, porque cualquier punto
sobre una línea dada da la misma ganancia total. Nótese que la distancia
perpendicular del origen a la línea aumenta al aumentar el valor de Z. También,
todas las líneas de indiferencia son paralelas entre sí. Estas propiedades
gráficas pueden usarse para resolver el problema.
ISTDA
27
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
En la siguiente figura, se ilustran todas las restricciones y las dos líneas de
indiferencia supuestas. En la gráfica puede observarse que la línea de
indiferencia para Z = 50 está completamente fuera de la región factible. Para Z
= 25, parte de la línea cae dentro de la región factible. Por tanto, existe alguna
combinación de x1 y x2 que satisface todas las restricciones y da una ganancia
total de $25. Por inspección, puede observarse que hay ganancias más altas
que son factibles.
Imaginando que la línea de indiferencia Z = 25 se mueve hacia la línea Z = 50,
de las propiedades de la gráfica que se hicieron notar antes, el punto óptimo
estará sobre la línea de indiferencia más lejana al origen pero que todavía
toque la región factible. Esto se muestra en la siguiente figura:
Con el punto óptimo localizado gráficamente, la única tarea que queda es
encontrar las coordenadas del punto. Nótese que el punto óptimo está en la
intersección de las líneas de restricción para materiales y horas de mano de
obra. Las coordenadas de este punto se pueden encontrar resolviendo el
sistema de ecuaciones que forman estas dos restricciones utilizando cualquiera
ISTDA
28
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
de los métodos de solución (suma y resta, sustitución o igualación). Las
coordenadas de este punto resultan ser (6, 3). La sustitución de este punto en
la función objetivo da la ganancia máxima:
Z = 5(6) + 5(3) = $45
Resumen del método gráfico.
Para resolver gráficamente problemas de programación lineal:
1.
Exprésense los datos del problema como una función objetivo y
restricciones.
2. Grafíquese cada restricción.
3. Localícese la solución óptima.
Ejercicio:
Ejemplo: Problema de dieta.
Un comprador está tratando de seleccionar la combinación más barata de dos
alimentos, que debe cumplir con ciertas necesidades diarias de vitaminas. Los
requerimientos vitamínicos son por lo menos 40 unidades de vitamina W, 50
unidades de vitamina X y 49 unidades de vitamina Y. Cada kilogramo del
alimento A proporciona 4 unidades de vitamina W, 10 unidades de vitamina X y
7 unidades de vitamina Y; cada kilogramo del alimento B proporciona 10
unidades de W, 5 unidades de X y 7 unidades de Y. El alimento A cuesta 5
pesos/kilogramo y el alimento B cuesta 8 pesos/kilogramo.
METODO SIMPLEX.
“El método símplex es un algoritmo. De hecho, cualquier procedimiento
iterativo de solución es un algoritmo. Entonces, un algoritmo es simplemente un
proceso en el que se repite (se itera) un procedimiento sistemático una y otra
vez hasta obtener el resultado deseado. Cada vez que se lleva a cabo el
ISTDA
29
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
procedimiento sistemático se realiza una iteración. En consecuencia, un
algoritmo sustituye un problema difícil por una serie de problemas fáciles.”ii
Vamos a resolver el siguiente problema:
Paso 1.
Convertir las desigualdades en igualdades:
Se introduce una variable de holgura por cada una de las restricciones, este caso
s1, s2, s3 para convertirlas en igualdades y formar el sistema de ecuaciones
estandar. Usando en simplex el siguiente criterio:
Signo:
Introducir
≤
sn
Paso 2. Igualar la función objetivo a cero y después agregar la variables de
holgura del sistema anterior:
Z - 3 x1 - 2 x2 = 0
Para este caso en particular la función objetivo ocupa la última fila del tablero,
pero de preferencia siempre se deberá de colocar como la primera fila.
ISTDA
30
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Cuando minimizamos se toma el valor (+) positivo de Fo para convertirlo en
negativo y cuando maximizamos tomamos el valor (+) negativo de Fo para
convertirlo en positivo.
Paso 3. Escribir el tablero inicial simplex:
En las columnas aparecerán todas las variables del problema y, en las filas, los
coeficientes de las igualdades obtenidas, una fila para cada restricción y la última
fila con los coeficientes de la función objetivo:
Paso 4.
Encontrar la variable de decisión que entra en la base y la
variable de holgura que sale de la base
Para escoger la variable de decisión que entra en la base, (FLECHA ROJA
PARTE SUPERIOR), observamos la última fila, la cual muestra los coeficientes
de la función objetivo y escogemos la variable con el coeficiente más negativo (en
valor absoluto).
En este caso, la variable x1 de coeficiente - 3.
ISTDA
31
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Si existiesen dos o más coeficientes iguales que cumplan la condición anterior,
entonces se elige cualquiera de ellos.
Si en la última fila no existiese ningún coeficiente negativo,
significa que se ha
alcanzado la solución óptima.
Por tanto, lo que va a determinar el final del proceso de aplicación del método del
simplex, es que en la última fila no haya elementos negativos.
La columna de la variable que entra en la base se llama columna pivote (en color
azulado).
Para encontrar la variable de holgura que tiene que salir de la base, (FLECHA
ROJA COSTADO IZQUIERDO) se divide cada término de la última columna
(valores solución) por el término correspondiente de la columna pivote, siempre
que estos últimos sean mayores que cero.
Si hubiese algún elemento menor o igual que cero no se hace dicho
cociente.
En el caso de que todos los elementos fuesen menores o iguales a cero,
entonces tendríamos una solución no acotada y no se puede seguir.
El término de la columna pivote que en la división anterior dé lugar al menor
cociente positivo, el 3, ya 8 es el menor, indica la fila de la variable de holgura que
sale de la base, S3. Esta fila se llama fila pivote (en color azulado).
ISTDA
32
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Si al calcular los cocientes, dos o más son iguales, indica que cualquiera de las
variables correspondientes puede salir de la base.
En la intersección de la fila pivote y columna pivote tenemos el elemento pivote
operacional, 3, este indica que la variable de decisión X1 entra y la variable de
holgura S3 sale.
Paso 5. Encontrar los coeficientes para el nuevo tablero de simplex.
Los nuevos coeficientes de la fila pivote se obtienen dividiendo todos los
coeficientes de la fila por el pivote operacional “3”, ya que este se debe convertir
en 1.
A continuación mediante la reducción gaussiana hacemos ceros los restantes
términos de la columna pivote, con lo que obtenemos los nuevos coeficientes de
las otras filas incluyendo los de la función objetivo Z.
ISTDA
33
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Como en los elementos de la última fila hay un número negativo, -1, significa que
no hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:
La variable que entra en la base es x2, por ser la columna pivote que corresponde
al coeficiente -1
Para calcular la variable que sale o la fila pivote, dividimos los términos de la
columna
solución
entre
los
términos
de
la
nueva
columna
pivote:
y como el menor cociente positivo es 6, tenemos que la fila pivote y la variable de
holgura que sale es S1.
El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 1/3.
Y se opera de forma análoga a la anterior iteración:
ISTDA
34
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Como en los elementos de la última fila hay uno negativo, -1, significa que no
hemos llegado todavía a la solución óptima. Hay que repetir el proceso:
La variable que entra en la base es S3, por ser la variable que corresponde al
coeficiente -1
Para calcular la variable que sale, dividimos los términos de la última columna
entre los términos correspondientes de la nueva columna pivote:
6/(-2) [=-3] , 12/4 [=3], y 6:1 [=6]
y como el menor cociente positivo es 3, tenemos que la variable de holgura que
sale es S2.
El elemento pivote, que ahora hay que hacer 1, es 4.
Obtenemos la tabla:
ISTDA
35
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Como todos los coeficientes de la fila de la función objetivo son positivos, hemos
llegado a la solución óptima.
Los solución óptima viene dada por el valor de Z en la columna de los valores
solución, en nuestro caso: 33.
RESOLUCION POR Wat´s Best
RESOLUCION DE CASOS:
ISTDA
36
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
MATHUR Kamlesh, SOLOW Daniel, “Investigación de Operaciones”, Prentice
Hall, 2001, Mexico-Mexico
EPPEN G.D., GOULD F.J., “Investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa”, Prentice Hall, 2000, Mexico – Mexico.
HILLER, HILLIER, LIEBERMAN, “Métodos cuantitativos para Administración”,
Mc Graw Hill, 2001, Mexico – Mexico.
TRANSPORTE Y ASIGNACION
El modelo de transporte busca determinar un plan de transporte de una
mercancía de varias fuentes a varios destinos. Los datos del modelo son:
1.
2.
Nivel de oferta en cada fuente y la cantidad de demanda en cada
destino.
El costo de transporte unitario de la mercancía a cada destino.
Como solo hay una mercancía un destino puede recibir su demanda de una o
más fuentes. El objetivo del modelo es el de determinar la cantidad que se
enviará de cada fuente a cada destino, tal que se minimice el costo del
transporte total.
La suposición básica del modelo es que el costo del transporte en una ruta
es directamente proporcional al numero de unidades transportadas. La
definición de “unidad de transporte” variará dependiendo de la “mercancía” que
se transporte.
ISTDA
37
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
El esquema siguiente representa el modelo de transporte como una red con m
fuentes y n destinos. Una fuente o un destino esta representado por un nodo, el
arco que une fuente y un destino representa la ruta por la cual se transporta la
mercancía. La cantidad de la oferta en la fuente i es ai, y la demanda en el
destino j es bj. El costo de transporte unitario entre la fuente i y el destino j es
Cij.
Si Xi
j
representa la cantidad transportada desde la fuente i al destino j,
entonces, el modelo general de PL que representa el modelo de transporte
es:
Minimiza Z= 
i=1
m

j=1
n
C
ij
X
ij
Sujeta a:

j=1

i=1
n
X
ij
<= ai ,
i=1,2,…, m
m
X
Ij
>= bj ,
j=1,2,…, n
X i j >=0
para todas las i y j
El primer conjunto de restricciones estipula que la suma de los envíos desde
una fuente no puede ser mayor que su oferta; en forma análoga, el segundo
conjunto requiere que la suma de los envios a un destino satisfaga su
demanda.
El modelo que se acaba de escribir implica que la oferta total i=1 m ai debe ser
cuando menos igual a la demanda total j=1 n bj. Cuando la oferta total es igual
a la demanda total, la formulación resultante recibe el nombre de modelo de
transporte equilibrado. Este difiere del modelo solo en el hecho de que todas
las restricciones son ecuaciones, es decir:
X
= ai,
i=1,2,..., m
X i j = bj,
j=1,2,..., n
ij
En el mundo real, no necesariamente la oferta debe ser igual a la demanda o
mayor que ella. Sin embargo, un modelo de transporte siempre puede
equilibrarse. El equilibrio, además de su utilidad en la representación a través
de modelos de ciertas situaciones prácticas, es importante para el desarrollo
del método de solución que explote completamente la estructura especial del
modelo de transporte. Los dos ejemplos que siguen presentan la idea del
equilibrio y también sus implicaciones prácticas.
ISTDA
38
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Ejemplo 1 (Modelo de transporte estándar)
MG Auto Company tiene plantas en Los Ángeles, Detroit y Nueva Orleáns.
Sus centros de distribución principales son Denver y Miami. Las capacidades
de las plantas durante el trimestre próximo son 1 000, 1 500, y 1 200
automóviles. Las demandas trimestrales en los dos centros de distribución son
de 2 300 y 1 400 vehículos. El costo del transporte de un automóvil por tren es
de 8 centavos por milla. El diagrama de las distancias recorridas entre las
plantas y el centro de distribución son:
Los Angeles
Detroit
Nueva Orleans
Denver
1 000
Miami
1 690
1 250
1 275
1 350
850
Esto produce en costo por automóvil a razón de 8 centavos por milla recorrida.
Produce los costos siguientes (redondeados a enteros), que representan a C i j
del modelo original:
Denver
80
Los Ángeles
Miami
215
Detroit
100
108
102
68
Mediante el uso de códigos numéricos que representan las plantas y centros de
distribución, hacemos que X i j represente el número de automóviles
transportados de la fuente i al destino j. Como la oferta total ( = 1 000 + 1 500
+ 1 200 = 3 700) es igual a la demanda ( = 2 300 + 1 400 = 3 700), el modelo
de transporte resultante esta equilibrado. Por lo tanto, el siguiente modelo de
PL que representa el problema tiene todas las restricciones de igualdad.
Nueva Orleans
Minimizar Z = 80X
+ 68X 32
11
+ 215X
12
+ 100X 21 + 108X
22
+ 102X 31
Sujeto a:
X 11
X
12
X 21
X 11
X
22
X 31
X 31
X 21
X
12
X
ij
X
22
X
32
X
32
=
=
=
=
=
1
1
1
2
1
000
500
200
300
400
para todas las i y j
ISTDA
39
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Un método mas resumido para representar el modelo de transporte consiste en
utilizar lo que se llama tabla de transporte. Esta es una forma de matriz donde
sus renglones representan las fuentes y sus columnas los destinos. Los
elementos de costo C i j se resumen en la esquina noroeste de la celda de la
matriz (i, j). Por lo tanto, el modelo de MG se puede resumir en la tabla
siguiente:
Ejemplo 2 (Modelo de transporte con equilibrio)
En el ejemplo anterior suponga que la capacidad de la planta de Detroit es de 1
300 automóviles (en vez de 1 500). Se dice que la situación esta desequilibrada
debido a que la oferta total (=3 500) no es igual a la demanda total (=3
700).Nuestro objetivo consiste en volver a formular el modelo de transporte de
manera que distribuya la cantidad faltante(=3 700 – 3 500 = 200) en forma
optima entre los centros de distribución.
Como la demanda es mayor que la oferta se puede agregar una planta ficticia
con una capacidad de 200. Se permite que dicha planta, en condiciones
normales, envíe su “producción“ a todos los centros de distribución.
Físicamente, la cantidad de unidades enviadas a un destino desde una planta
ficticia representará la cantidad faltante en ese destino.
La única información que falta para completar el modelo son los “costos de
transporte” unitarios de la planta ficticia a los destinos. Como la planta no
existe, no habrá ningún envío físico y el costo de transporte unitario es cero.
Sin embargo, podemos enfocar la situación desde otro ángulo diciendo que se
incurre en un costo de penalización por cada unidad de demanda insatisfecha
en los centros de distribución. En este caso los costos de transporte unitarios
serán iguales a los costos de penalización unitarios en los diversos destinos.
Denver
Miami
ISTDA
40
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
Los Ángeles
Detroit
Nueva Orleáns
Planta ficticia
80
100
102
0
215
108
68
0
1 000
1 300
1 200
200
De manera análoga, si la oferta en mayor que la demanda podemos añadir un
destino ficticio que absolverá la diferencia. Por ejemplo, suponga que la
demanda en Denver disminuye a 1 900cualquier automóvil enviado de una
planta a un centro de distribución ficticio representa un excedente en la planta.
Los Ángeles
Detroit
Nueva
Orleans
Denver
Miami
Destino
80
100
102
215
108
68
Ficticio
0
0
0
1 000
1 500
1 200
Existen varios métodos de resolución de este tipo de problemas, pero se tratará
por fines prácticos la resolución de los mismos usando What´s best.
RESOLUCION DE CASOS
MATHUR Kamlesh, SOLOW Daniel, “Investigación de Operaciones”, Prentice
Hall, 2001, Mexico-Mexico
EPPEN G.D., GOULD F.J., “Investigación de Operaciones en la Ciencia
Administrativa”, Prentice Hall, 2000, Mexico – Mexico.
BIERMAN, BONINI, HAUSMAN, “Análisis Cuantitativo
decisiones”, Mc Graw Hill, 2007, Mexico – Mexico.
para
toma
de
PROBLEMAS DE TRANSPORTE Y TRANSBORDO
Ejemplo 1
Una empresa energética dispone de tres plantas de generación para satisfacer
la demanda eléctrica de cuatro ciudades. Las plantas 1, 2 y 3 pueden satisfacer
35, 50 y 40 millones de
[kWh] respectivamente. El valor máximo de consumo ocurre a las 2 PM y es de
45, 20, 30 y 30
millones de [kWh] en las ciudades 1, 2, 3 y 4 respectivamente. El costo de
enviar 1 [kWh] depende
de la distancia que deba recorrer la energía. La siguiente tabla muestra los
costos de envío unitario
ISTDA
41
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
desde cada planta a cada ciudad. Formule un modelo de programción lineal
que permita minimizar
los costos de satisfacción de la demanda máxima en todas las ciudades.
Ejemplo 2
Una fábrica posee dos plantas de manufactura, una en Memphis y otra en
Denver.
La planta de Memphis puede producir hasta 150 unidades al día, la de Denver
hasta 200 unidades al día. Los productos son enviados por avión a Los
Angeles y Boston. En ambas ciudades, se requieren 130 unidades diarias.
Existe una posibilidad de reducir costos enviando algunos productos en primer
lugar a New York o a Chicago y luego a sus destinos finales. Los costos
unitarios de cada tramo factible se ilustran en la siguiente tabla:
La fábrica desea satisfacer la demanda minimizando el costo total de envío.
Ejercicio 2
Medical Technologies es una empresa fabricante y distribuidora
internacional de equipos de rayos X de alta resolución que se utiliza en
hospitales, su planta que se encuentra en Texas puede producir hasta 100
ISTDA
42
INVESTIGACIÓN OPERATIVA MÓDULO
máquinas por año, la que se encuentra en Iowa produce hasta 200 y la
que se encuentra en Oregón puede producir hasta 150 máquinas.
Para el año siguiente sus clientes en Japón han pedido 120 máquinas los
de Corea del Sur 80 máquinas los de Nueva Zelanda 70 y los de Australia
110 máquinas.
Los equipos producido en Texas y en Iowa pueden ser enviados a los
almacenes regionales en Hungría y/o en Hawai, los almacenes regionales
a su vez pueden enviar a cualquiera de los almacenes en campo situados
en Fiji y en las Filipinas. Ninguno de los almacenes regionales almacena
máquinas en inventario, por consiguiente deben enviar todas las
máquinas que reciben.
Los clientes de Corea del Sur y de Nueva Zelanda pueden recibir
máquinas de cualquiera de los almacenes de campo. Sin embargo debido
a los tratados de comercio internacionales, los clientes de Japón deben
obtener sus máquinas directamente de las Filipinas y los de Australia
deben recibir las suyas solo de Fiji. Los costos de envío por máquina
desde las plantas a los almacenes regionales, a los almacenes de campo
y finalmente a los clientes se dan en las siguientes tablas:
TEXAS
IOWA
OREGON
HUNGRIA
HAWAI
FILIPINAS
FIJI
HUNGRIA
200
300
HAWAI
400
400
500
FILIPINAS
800
700
FIJI
600
400
JAPON
COREA
700
600
700
N
ZELANDA
800
500
AUSTRALIA
600
Como gerente de distribución, se le ha pedido que determine el plan de
embarque con el mínimo costo total.
ISTDA
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