Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados

Matemática I – 6° FM
Topología en
ℝ
Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados
Definiciones
1) Punto interior
Dado X ⊂ ℝ , un punto x ∈ X se llama punto interior a X si existe un intervalo abierto ( a, b) ⊂ X tal que
x ∈ ( a, b) .
2) Interior
Llamamos interior de
X al conjunto de todos los puntos interiores de X . Lo anotamos int( X ) .
Ejemplo
1

X = ( −1, 0 ) ∪  , con n ∈ ℕ*  , cuyo bosquejo se muestra
n

1
en la figura adjunta. Aquí tenemos que − 2 ∈ int( X ) , pues − 12 ∈ ( −1, 0 ) ⊂ X .
Sin embargo, 1 ∉ int( X ) . ¿Por qué? Veamos: es evidente que 1 ∈ X , pero no existe intervalo alguno de la forma (a, b)
Consideremos el conjunto
incluido en
X y que contenga al 1; por ejemplo: es cierto que 1∈ ( 12 , 32 ) , pero este intervalo no está incluido en X . Por
esta razón, tampoco son puntos interiores los racionales
1
2
,
1
3
,
1
4
, etc.
Propiedades
a) Para que un punto
x ∈ int( X ) es necesario y suficiente que exista ε > 0 tal que ( x − ε , x + ε ) ⊂ X
int( X ) ⊂ X
c) X ⊂ Y , entonces int( X ) ⊂ int(Y ) (¿se cumple el recíproco?)
b)
3) Conjunto abierto
Decimos que un conjunto
A ⊂ ℝ es abierto si int( A) = A .
(Tengamos presente que dos conjuntos A y B son iguales cuando A ⊂ B y B ⊂ A , por lo tanto, si queremos demostrar que un
conjunto es abierto, deberíamos probar que int( A) ⊂ A y que A ⊂ int( A) . Como la primera inclusión está asegurada por la
propiedad b, entonces sólo debemos probar que
A ⊂ int( A) )
Ejemplo 1
Sea
A = ( 0,1) . Probemos que A es abierto. Observemos que si x ∈ ( 0,1) , entonces
x ≠ 0 y x ≠ 1 . Luego, 0 < 2x < x < 1+2x < 1 , por lo tanto x ∈ ( 2x , 1+2x ) y este intervalo1 está incluido en el ( 0,1) . De aquí
que cualquier punto de A es interior y, por lo tanto, A es abierto.
Ejemplo 2
A partir del ejemplo anterior, podemos intuir que cualquier intervalo abierto (a, b) es un conjunto abierto.
Ejemplo 3
( a, +∞ ) es abierto, pues si
x ∈ ( a, +∞ ) , entonces x ∈ ( a, x + 1) que a su vez está incluido en ( a, +∞ ) , entonces
x ∈ int(a, +∞) , lo que implica que ( a, +∞ ) ⊂ int ( a, +∞ ) y, por lo tanto, ( a, +∞ ) es abierto.
Ejemplo 3
ℝ es abierto, pues si x ∈ ℝ , entonces ( x − 1, x + 1) ⊂ ℝ 2, lo que implica que ℝ ⊂ int(ℝ )
Ejemplo 4
El conjunto vacío es abierto, pues
1
2
∅ no tiene puntos que no sean interiores ( ∅ ⊂ int ( ∅ ) )
No confundir este intervalo con el de la propiedad a.
Aquí sí estamos aplicando la propiedad a.
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4) Punto adherente
Decimos que un punto x ∈ ℝ es adherente a un conjunto
ℝ
A ⊂ ℝ , si para todo ε > 0 , A ∩ ( x − ε , x + ε ) ≠ ∅ .
5) Clausura
Llamamos clausura de
A al conjunto de los puntos adherentes a A , al que anotamos A
x ∈ A si y sólo si en cualquier entorno de centro x hay algún elemento de A . Es claro,
entonces, que si x ∈ A , entonces A ∩ ( x − ε , x + ε ) ≠ ∅ , entonces x ∈ A . Sin embargo, puede ocurrir que
Observemos que
x ∈ A y que x ∉ A , como se muestra en el siguiente ejemplo:
Ejemplo
A = ( 0,1] . Dado cualquier ε entre 0 y 1, tenemos que ( 0,1] ∩ ( −ε , ε ) = ( 0, ε ) ≠ ∅ , lo que implica que 0 ∈ A y,
sin embargo, 0 ∉ A .
Sea
La siguiente propiedad generaliza el ejemplo anterior (y su demostración queda a cargo del lector)
Propiedad
A y B son dos conjuntos incluidos en ℝ , con A acotado interiormente y B acotado superiormente, entonces
inf( A) ∈ A y sup( B ) ∈ B
Si
Ejemplo
Probemos que
ℚ = ℝ y que ( ℝ − ℚ ) = ℝ
Sabemos que en todo intervalo no degenerado siempre hay infinitos racionales e infinitos irracionales. Luego, para todo
ε >0
se cumple que
decir:
ℚ=ℝ.
Lo mismo ocurre con
( x − ε , x + ε ) ∩ ℚ ≠ ∅ , por lo tanto, todo número real
x es un punto de adherencia de ℚ , es
( ℝ − ℚ ) , pues ( x − ε , x + ε ) ∩ ( ℝ − ℚ ) ≠ ∅ , por lo tanto: ( ℝ − ℚ ) = ℝ .
Teorema
Sean A y B dos conjuntos incluidos en ℝ . Si A ⊂ B , entonces A ⊂ B
Demostración:
Si
x ∈ A , entonces A ∩ ( x − ε , x + ε ) ≠ ∅ . Como A ⊂ B , tenemos que ( A ∩ ( x − ε , x + ε ) ) ⊂ ( B ∩ ( x − ε , x + ε ) ) ,
lo que implica que
B ∩ ( x − ε , x + ε ) ≠ ∅ , por lo tanto x ∈ B .
6) Conjunto cerrado
Sea A ⊂ ℝ . Decimos que A es un conjunto cerrado si A = A .
Observaciones:
a) sabemos que cualquier punto de un conjunto es adherente a él, por lo tanto, un conjunto A es cerrado si
todo punto adherente de A pertenece a A .
b) Si un conjunto A es no vacío, acotado y cerrado, entonces inf( A) ∈ A y el sup( A) ∈ A .
Ejemplos
1) Si
2)
A = {a} , con a ∈ ℝ , entonces A es cerrado, pues {a} = {a}
[ a, b] con a ≤ b
también es un conjunto cerrado.
ℚ no es cerrado.
4) ℝ − ℚ no es cerrado.
3)
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Teorema
Un conjunto
A es cerrado si y sólo si su complemente es abierto3.
Demostración
A es cerrado ⇔ A = A ⇔
∀x ∈ A, x es adherente a A ⇔
∀y ∈ Ac , y no es adherente a A ⇔
∀y ∈ Ac , ∃ε > 0 / ( y − ε , y + ε ) ∩ A = ∅ ⇔
∀y ∈ Ac , ∃ε > 0 / ( y − ε , y + ε ) ⊂ Ac ⇔
∀y ∈ Ac , y ∈ int( Ac ) ⇔ Ac es abierto.
Ejemplo
En los ejemplos 3 y 4 de la página 1 vimos visto que ℝ y ∅ son abiertos. Pero como uno es el complemento del otro,
también son cerrados, es decir: ℝ y ∅ son abiertos y cerrados a la vez… sorprendente, ¿no? ☺
7) Punto de acumulación
x es un punto de acumulación de un conjunto X ⊂ ℝ si
∀ε > 0, ( x − ε , x + ε ) ∩ ( X − { x} ) ≠ ∅
De la definición se desprende que un punto x es un punto de acumulación de un conjunto X si y sólo si en
cualquier entorno del punto x siempre hay algún elemento del conjunto X que no es x .
Decimos que un punto
Notación: al conjunto de los puntos de acumulación de un conjunto
X lo anotamos X ' .
Ejemplo 1
Sea
X = [ 0,1) ∪ {2} . Aquí tenemos, entonces, que X ' = [ 0,1] . Veamos por qué:
Sabemos que
int( X ) = ( 0,1) , lo que implica que ( 0,1) ⊂ X ' . Probemos que 0 y 1 son puntos de acumulación.
≤ 1 , tenemos que ( 0 − ε , 0 + ε ) ∩ ( X − {0}) = ( 0, ε ) ≠ ∅ , entonces 0 es punto de acumulación de X .
En forma análoga se demuestra que 1 ∈ X ' .
Veamos que 2 ∉ X ' . Si tomamos ε = 12 , tenemos que ( 2 − 12 , 2 + 12 ) ∩ ( X − {2} ) = ∅ , entonces 2 ∉ X ' .
Si 0 ≤ ε
Ejemplo 2
Si
X = ( a, b ) , entonces X ' = [ a, b ]
Ejemplo 3
ℚ' = ℝ .
Si
a ∈ ℝ , entonces en ( a − ε , a + ε ) siempre hay racionales e irracionales, es decir:
( a − ε , a + ε ) ∩ ( ℚ − {a}) ≠ ∅ , lo que implica que ℚ ' = ℝ .
Ejemplo 4
( ℝ − ℚ ) ' = ℝ . Demostración análoga.
Propiedades
1)
2)
X = X ∪X'
X es cerrado ⇔ X ' ⊂ X
8) Punto aislado
X ⊂ ℝ . Decimos que x ∈ X ' es un punto aislado si x ∉ X '
Observemos que esto equivale a decir que x es aislado si existe ε > 0 tal que ( x − ε , x + ε ) ∩ X = { x}
Sea
3
Ac = ℝ − A
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9) Conjunto discreto
Es un conjunto en el que todos sus puntos son aislados.
Ejemplos
1) ℕ es discreto, pues, por ejemplo:
( n − 12 , n + 12 ) ∩ ℕ = {n} y esto se cumple para todos los naturales.
2) ℤ es discreto. La demostración es análoga.
3) ℚ no es discreto (pues ℚ ' = ℝ )
4)
X = { 1n , con n ∈ ℕ* } es discreto, pues su único punto de acumulación es 0 , y 0 ∉ X .
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