Múltiplos y divisores

UD
Propuesta didáctica: unidad Didáctica
QUINTO de primaria | matemática
Múltiplos y divisores
1. Identificación
Nivel: Primario
Grado: Quinto
Área: Matemática
SC 4: Múltiplos y divisores
Resumen:
En esta unidad didáctica se identifican y diferencian los números primos y los compuestos.
Se descomponen los números compuestos en factores primos. Además, se determinan
el m. c. m. y el m. c. d. de dos o mas números naturales. Se determinan potencias y raíz
cuadrada de números cuadrados perfectos menores que 100.
Para desarrollar esta unidad se recomienda utilizar las siguientes metodologías: Explorar los
conocimientos previos con ejercicios para el cuaderno y la pizarra, uso de las tablas de multiplicación para obtener los múltiplos, ejercicios para trabajarlos en el cuaderno y la pizarra y
diseñar actividades para trabajarlas en grupos. Finalmente, diseñar problemas basados en
situaciones cotidianas que involucren determinar múltiplos, divisores y el m. c. m y m. c. d. de
números naturales para su resolución.
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Múltiplos y divisores
2. Descripción
Base teórica o conceptual:
Un número primo es un número natural que solo tiene dos factores, que son el
número mismo y el uno. Un número compuesto tiene otros factores, además de sí
mismo y el uno. Los números 0 y 1 no son ni primos ni compuestos. Todos los números pares son divisibles por dos, por lo tanto, todos los números pares mayores
que dos son números compuestos. Todos los números que terminan en cinco son
divisibles por cinco. Por lo tanto, todos los números que terminan en cinco y son
más grandes que cinco son números compuestos. Los números primos entre dos
y 100 son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67,
71, 73, 79, 83, 89 y 97.
Se llama múltiplo de un número a aquel que obtenemos al multiplicar ese número
por otro cualquiera.
Si tenemos los múltiplos de dos números, al menor número que sea múltiplo de
esos dos números se le llama mínimo común múltiplo.
M. C. M. de 3 y 5, empezaremos confeccionando una lista de sus múltiplos:
3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33…
5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55…
Como puede apreciarse, el primer múltiplo común de 3 y 5 es 15. El m. c. m.
(3, 5) = 15.
Se llama divisor de un número a aquel que cabe en él una cantidad de veces de
manera exacta.
Si tenemos los divisores de dos números, al mayor número que sea divisor de
esos dos números se le llama máximo común divisor.
M. C. D. de 24 y 32, empezaremos confeccionando una lista de sus divisores:
24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 y 24.
32: 1, 2, 4, 8, 16 y 32.
Como puede apreciarse, el mayor de los divisores comunes de 24 y 32 es 8.
El m. c. d. (24 Y 32) = 8.
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Orientaciones para el/la docente
En el proceso de enseñanza-aprendizaje del contenido de esta secuencia curricular, el docente debe recurrir al uso de una serie de herramientas pedagógicas y recursos que faciliten
y sirvan de apoyo al trabajo realizado y que permitan la mejor comprensión de los mismos
por parte de sus estudiantes.
• Identificación de números primos y compuestos.
• Cálculo del mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre dos o más números
naturales.
• Establecimiento de generalizaciones como consecuencia de multiplicar y dividir por números mayores o menores que uno.
• Determinación de potencias de 10.
• Identificación de los términos de la potencia y de la raíz.
• Representación gráfica de potencia de 10.
• Obtención de raíces cuadradas.
• Utilización de la calculadora para resolver problemas que involucran operaciones con
cálculos complejos.
Aprendizajes esperados
Al concluir el proceso de enseñanza de esta unidad didáctica, los estudiantes serán
capaces de:
• Resolver problemas aplicando los conceptos de múltiplo de un número natural, factores
y divisores de un número en la resolución de problemas.
• Obtener el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor entre dos o más números.
• Elevar números naturales hasta la quinta potencia.
• Escribir en forma de potenciación, multiplicaciones de factores iguales.
• Desarrollar en forma de producto potencias con exponentes 2, 3, 4 y 5.
• Utilizar la calculadora para resolver problemas que involucran operaciones con cálculos
complejos.
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Mapa conceptual
Múltiplos y divisores
Identificarán
Números primos
y compuestos.
Descomposición
en factores primos.
Potencias de 10.
Raíz cuadrada de números
cuadrados perfectos.
Menores que 100.
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Mínimo común múltiplo
y máximo común divisor.
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Recursos didácticos digitales
Para el docente
• Múltiplos, divisores, números primos y factorización son los apartados con los que
se puede jugar y aprender en esta página
educativa: http://www.educalandia.net/
alumnos/busqueda_tematica.php?palabra_
clave=m%FAltiplos
• Interesante recurso con divertidos juegos
en los que pueden poner en práctica sus
conocimientos sobre múltiplos y divisores
de números naturales: http://www.eltanquematematico.es/todo_mate/multiplosydivisores/multiplos/multiplos_p.html
• Interesante recurso con divertidos juegos
en los que pueden poner en práctica sus
conocimientos sobre números primos y
compuestos, múltiplos y divisores de números naturales: http://www.wikisaber.es/
Contenidos/LObjects/multiples/index.html
• Ejercicios sobre divisores: http://ntic.
educacion.es/w3//recursos/primaria/
matematicas/conmates/unid-2/divisores_de_un_n%FAmero.htm
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Recursos materiales necesarios
para las actividades
• Pizarra.
• Cartulina.
• Hojas en blanco.
• Lápices de colores.
• Periódicos y revistas.
• Papel de construcción.
• Computadora o laptop
(recomendable).
• Objetos del entorno
escolar o familiar.
Recursos didácticos
que se aportan como anexo
•Anexo 1. Cuaderno de ejercicios
con diversos ejercicios de múltiplos, divisores, números primos
y compuestos, m. c. m. y m. c. d:
http://es.scribd.com/doc/86668189/
MATEMATICAS-5o-GRADO-CUADERNODE-EJERCICIOS#scribd
• Anexo 2. Problemas de la cotidianidad que involucran el cálculo de m.
c. m. y m. c. d: http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/tabla-mcdmcm.php?col=2&row=8&gcf=1&gcfmi
n=1&gcfmax=50&lcmmin=4&lcmmax
=50&numbers=2&workspace=2&font
=Default&FontSize=12pt&pad=10&bo
rder=on&ptitle=&Submit=Submit
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3. Secuencia didáctica
Tiempo total estimado para todas las actividades
El tiempo total estimado para todas las actividades es de 14 sesiones
de 45 minutos.
Actividad de inicio
Trabajamos con múltiplos y divisores
Duración: 2 sesiones de 45 minutos
Para desarrollar los conceptos relacionados con los múltiplos y divisores de
números naturales, es conveniente, primero, recuperar las experiencias previas
de sus estudiantes y, después, adecuar el ambiente con el grupo a fin de que se
logre la atención de todos y todas.
Formar grupos de 3 o 4 estudiantes. Luego, plantearles situaciones como las
siguientes:
• ¿Cómo se obtienen los múltiplos de un número?
Resp. Se obtienen multiplicando dicho número por cualquier número natural
distinto de cero.
• Para obtener los siguientes múltiplos: 3, 6, 9, 12, 15 y 18, ¿por cuáles números se ha multiplicado el 3?
Resp. El tres se ha multiplicado por 1, por 2, por 3, por 4, por 5 y por 6.
• Las siguientes cantidades: 1, 2, 3, 4, 6, 8 y 12. ¿De qué número son divisores?
Resp. Son divisores de 24.
• ¿Cómo sabemos si el número 2 457 es divisible por 3?
Resp. Si la suma de sus dígitos es un múltiplo de 3. Sí, es divisible por 3,
porque la suma de sus dígitos es 18 y este es múltiplo de 3.
• Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuadernos y, luego, invitarles a la pizarra para las correcciones.
• Aplicar las estrategias indicadas en las sugerencias al docente para facilitar
el aprendizaje de los temas.
• Si cuenta con tecnología, utilizar los recursos digitales. Si no cuenta con
tecnología, utilizar los recursos propuestos en los anexos 1 y 2.
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Otras actividades
Calculamos el m. c. m y el m. c. d. de números naturales
Duración: 2 sesiones de 45 minutos
Formar los estudiantes de la misma forma en la que estuvieron organizados en
la actividad anterior. Luego plantearles situaciones como las siguientes:
• Calcular el m. c. m. de 5 y 6.
Calculamos los múltiplos de ambos números:
5 = 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, …
6 = 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, …
El menor de los múltiplos comunes es 30,
por lo tanto, el m. c. m. de 5 y 6 es 30.
• Calcular el m. c. d. de 36 y 42.
Calculamos los divisores de ambos números:
36 = 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18 y 36.
42 = 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 y 42.
El mayor de los divisores comunes es 6,
por lo tanto, el m. c. d. de 36 y 42 es 6.
Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuadernos y, luego, invitarles a la pizarra para las correcciones. Utilizar los recursos
de los anexos 1 y 2.
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Actividad de cierre
Resolvemos problemas cotidianos aplicando el m. c. m. y el m. c. d.
Duración: 2 sesiones de 45 minutos
En esta oportunidad los estudiantes resolverán problemas de la vida cotidiana
aplicando el m. c. m. y el m. c. d. de números naturales.
Formar los estudiantes en grupos de 3 o 4 integrantes. Escribir los problemas en
la pizarra. Por ejemplo:
• Un entrenador de un gimnasio ha preparado el siguiente horario a uno de sus
clientes: aeróbicos cada 2 días, cardiovasculares cada 3 días y levantamiento
de pesas cada 4 días. Si hoy coincidieron las tres actividades, ¿cuándo volverán a coincidir?
Resp. Determinamos los múltiplos de 2, 3 y 4.
2 = 2, 4 , 6, 8, 10, 12, 14, …
3 = 3, 6 , 9, 12, 15, 18, …
4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24 …
El menor de los múltiplos comunes es 12, entonces en la decimosegunda
clase, coincidirán las tres actividades.
• Sócrates debe colocar en cajas 18 libros de Matemática, 24 de Lengua
Española y 28 de Ciencias Sociales. Debe colocarlos en cantidades iguales.
¿Qué cantidad máxima de libros puede Sócrates colocar en cada caja?
Resp. Determinamos los divisores de 18, 24 y 30.
18 = 1, 2 , 3, 6, 8 y 18.
24 = 1, 2, 3, 4, 6, 12 y 24.
30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30.
El mayor de los divisores comunes es 6, entonces, Sócrates podrá
acomodar los libros en grupos de 6 unidades.
Preparar ejercicios similares a estos para que los desarrollen en sus cuadernos y,
luego, invitarles a la pizarra para las correcciones. Utilizar los recursos del anexo 3.
Para concluir, preparar la presentación de los trabajos realizados con la participación de los padres. Propiciar el ambiente para que sus estudiantes expongan los
procedimientos que siguieron en la realización de esta actividad.
• Felicitar a sus estudiantes y a los padres por los esfuerzos realizados.
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4.
4. Si observas, trata…
Si observas
Trata
De preparar ejercicios de reforzamiento para el cuaderQue algún estudiante tiene dificultad para
no y la pizarra. Solicitar la cooperación de los padres.
calcular el m. c. m. y el m. c. d. de números
Si es posible, recurrir a las salas de tareas. Utilizar los
naturales.
recursos de los anexos 1 y 2.
Que algún estudiante tiene dificultad para
De preparar ejercicios de reforzamiento para el cuaderresolver problemas cotidianos que involuno y la pizarra. Utilizar los recursos del anexo 3. Solicicren calcular el m. c. m. y el m. c. d. de
tar la cooperación de los padres.
números naturales.
5. Recursos didácticos para el docente y el estudiante
Anexo 1: http://es.scribd.com/doc/86668189/MATEMATICAS-5o-GRADO-CUADERNODE-EJERCICIOS#scribd
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Anexo 2: http://www.mamutmatematicas.com/ejercicios/tabla-mcd-mcm.php?col=2&
row=8&gcf=1&gcfmin=1&gcfmax=50&lcmmin=4&lcmmax=50&numbers=2&workspac
e=2&font=Default&FontSize=12pt&pad=10&border=on&ptitle=&Submit=Submit
Halla el máximo común divisor de los siguientes números.
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Anexo 3: http://pajaro2009.blogspot.com/
PREGUNTA GENERADORA:
¿En qué situaciones de la vida cotidiana puedo utilizar el m. c. d. y el m.c. m.?
SITUACIÓN DE APRENDIZAJE:
Unos trabajadores de vías están instalando señales de kilometraje en una carretera.
En cierta parte de la vía se encuentran tres pueblos, A, B, y C. Entre A y B, hay 24 km
y entre B y C 64 km. ¿Cada cuántos Kilómetros deben instalar las señales, si deben
tener en cuenta que en A, B y C debe haber una señal?
La distancia entre señales debe ser la misma.
Cada par de señales consecutivas deben estar separadas lo máximo posible.
En una terminal de transporte despachan buses cada 30 minutos, 45 minutos y 60 minutos. Si salen los tres a las 6 am, ¿a qué hora despacharán tres nuevamente juntos.
¿En estas situaciones, cuándo debo utilizar el m. c. m. y m. c. d?
TAREA:
Actividad 1.
Pedro va a La Montería cada 18 días y Ana cada 24 días. Si coincidieron el 13 de mayo,
¿cuántos días pasarán para que vuelvan a coincidir?
Actividad 2
Una bodega de 162 metros de largo y 98 metros de ancho se va a recubrir con tablas
del mayor tamaño posible. ¿Cuánto debe medir el lado de cada baldosa?
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