) x ( 

6.-
FUNCION EXPONENCIAL
El gráfico de
x
DEFINICION: Sea b > 0, b  1 una constante fija. Se define la función exponencial
y  bx
f : IR  IR 
de base b como sigue:
f ( x)  b x
7.-
x
Notación: Se suele denotar por exp b (x) , esto es exp b (x) = b
PROPIEDADES:
a) exp b ( x1
b) exp b ( x1
 x2 ) = exp b ( x1 )  exp b ( x 2 ) ,
esto es b
 x2 ) = exp b ( x1 )  exp b ( x 2 ) , esto es b
c) exp b ( x) =
1
,
expb ( x)
x1  x2
x1  x 2
esto es b
Ejercicio: Graficar las funciones a) y = 2x
b) y =
 b x1  b x2
b x1
 x
b 2
x

12 x
1
bx
¿Qué observa?
OBSERVACIONES:
1.-
b x  0, b  0, b  1, x  IR
y
Esto significa que la gráfica de
y  bx , 0  b  1
f ( x)  b x no corta al eje x
2.-
b 0  1,
la gráfica de toda función exponencial
3.-
f ( x)  b x
1
pasa por el
Si 0  b  1 , entonces la gráfica de
Si b  1 , entonces la gráfica de
y
y  bx , b  1
Si la base b de la función exponencial
es el número irracional e =2,7182…la
función se llama LA FUNCIÓN
EXPONENCIAL NATURAL y se denota
por exp, es decir: exp(x) = e
8.-
La función exponencial es biyectiva.
9.-
Como la función f(x) = bx es inyectiva, entonces
bx = by  x = y b  0, b  1
Ejemplo:
Una persona coloca un capital al 8% anual. Determinar el capital acumulado después
de t años.
Solución:
Sean
C0 el capital inicial
C(t) el capital acumulado a los t años
Entonces:
C(0) = C0
8
108
C0 =
C0
100
100
x
2
108
8
C(2) = C(1) +
C(1) =
C(1) =
100
100
 108

 C0
 100
108
8
C(3) = C(2) +
C(2) =
C(2) =
100
100
 108 

 C0
 100 
3

f ( x)  b x es estrictamente creciente.
5.-
kt
x
f ( x)  b x es estrictamente decreciente.
4.-
Una forma de la función exponencial dada por f (t )  Cb , donde C,
b, k son constantes, juega un papel importante para describir muchos y
diversos fenómenos en ciencia, ingeniería y en negocios.
Por ejemplo:
Crecimiento de una población
( personas, animales, bacterias );
Desintegración Radiactiva; Crecimiento de un capital colocado a una tasa de
interés; Variación de temperatura de una sustancia u objeto; etc.
C(1) = C0 +
b  0, b  1 . Es decir que
de la forma
punto ( 0, 1).
1
es simétrico del de y     b x respecto del eje y
b
t
1
C(t) = C(t-1) +
108
8
 108
C(t-1) =
C(t-1) = 
 C0
100
100
 100 
x
Ejercicios:
1.- Dada la función exponencial y = f(x) = (0.04)x, entonces ¿cuál o cuales de las
siguientes igualdades son verdaderas?
I) f(-a) = ( f(a) )-1
II) f ( a + b ) = f( a )  f( b)
III) f ( a – b ) = f ( a ) : f ( b )
2.- ¿Cuál (es) de las siguientes curvas exponenciales pasa(n) por el origen de
coordenadas?
y = 2x-1,
y = 2x – 1,
y = 1 – 2x
Ejercicio: Grafique las curvas y  log 2 ( x)
3.- Una ecuación exponencial
exponente de alguna potencia.
¿Qué observa?.
es aquella en que la incógnita
Resuelva la siguiente ecuación exponencial:
4.- Si el valor de c =
6 14 2 x 1 : (2,5)3x 5  (0,4) x 3
a 3  b3
 (a  b) 2 , con
ab
valor de x en la ecuación exponencial
aparece en el
a  -b y ab  1, encuentre el
(ab) x 1  (c x )2
y  log 1 ( x)
y
compárelas con las de las exponenciales y = 2x
e
12 x
y=
y
2
respectivamente.
OBSERVACIONES:
1.-
logb (b) x  x
blogb ( x)  x
y
2.- La función logaritmo en base 10 se llama logaritmo decimal o vulgar y se denota
por log . La función logaritmo en base e se llama logaritmo natural y se denota por ln.
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN LOGARITMO EN BASE b
5.- Suponga que una variedad de conejos es tal que su número se triplica cada 4
meses. Si se dejan 3 parejas de estos conejos en una isla, determine cual es la función
que permite calcular el número de conejos en la isla después de t años.
Crecimiento Poblacional
Un modelo matemático que permite estimar el crecimiento de la población mundial,
para periodos cortos de tiempo está dado por:
donde:
P(t )  P0  e
rt
P(t) : Población en el instante de tiempo t.
P0
1.- Si
b > 1, entonces
logb
es una
y
función estrictamente creciente.
Además,
Si 0  x
b 1
y  logb ( x)
 1, entonces logb ( x)  0
Si x  1, ent onceslogb ( x)  0
x
1
: Población en el instante inicial ( cuando t = 0 )
r
: tasa de crecimiento anual ( en % )
t
: tiempo en años.
6.- a) En el año 1995 la población mundial era de 5.700 millones y la tasa de
crecimiento se estima en 2% anual. Calcule la población mundial para el año 2035.
b) Idem si la tasa de crecimiento es 1,6 %.
7.- Una raza de conejos se introdujo en una isla hace 16 años. Considerando que la
población actual se estima en 165.000 con una tasa de crecimiento de 52% anual,
calcule el número inicial de conejos.
2.- Si 0 < b < 1, entonces
logb
es una
función estrictamente decreciente.
Además,
Si 0  x  1,
y
0  b 1
y  logb ( x)
entonces logb ( x)  0
Si x  1, ent onces logb ( x)  0
x
1
y  logb ( x) pasa por el
punto ( 1, 0) b  0, b  1
3.- La gráfica de
FUNCION LOGARITMICA
Sabemos que la función exponencial en base b es biyectiva. Luego ella es inversible.
Su inversa se llama función logaritmo en base b y está definida por:
y
logb : IR  IR
b
t al que x  y  log ( x)  b  x
4.- El gráfico de
y  logb ( x) es simétrico del de y  log1 ( x) respecto del eje x.
b
5.- Los gráficos de
recta y  x
y b
x
y
y  logb ( x)
son simétricos respecto a la
y  bx , b 1
7.  loga ( N ) 
y
y
logb ( N )
logb (a)
FÓRMULA DE CAMBIO DE BASE.
y=x
EJERCICIOS:
y=x
b 1
1
y  logb ( x)
y  b , 0  b 1
1.- Calcule los siguientes logaritmos pasando a la forma exponencial:
x
1
x
x
1
1
a) log9 (3)
d) log(5 100000)
1
b) log2 ( )
8
3x -1
e) ln( e )
log
2.- Escriba como un solo logaritmo:
0  b 1
y  logb ( x)
7.- Si f es inversible y estrictamente creciente (decreciente), entonces
estrictamente creciente (decreciente).
f
x2 y 4
zt 15
3.- ¿Cuál o cuales de las expresiones siguientes son iguales a log(2)  log(2
I) 3log (2)
II) log ( 23 )
III) log(2) log( 22)
2
)?
a) log ( x 2  6 x  6)  1
es
b) log2 (3 x 2  x  1)  0
c) log ( x)  log ( x  3)  1
8.- Los números negativos no tienen logaritmo (en IR).
d) 5 x -2  33 x  2
e) e x  e  x  1
PROPIEDADES DE LA FUNCIÓN LOGARITMO EN BASE b:
Sean M y N númerosrealesposit ivos.
Sean a y b númerosrealesposit ivosy dist int osde 1
5
4.- Resuelva las siguientes ecuaciones logarítmicas y/o exponenciales:
6.- En general, los gráficos de f y f –1 son simétricos respecto a la recta y = x
-1
c) log5 3 25
5.- Una población de bacterias crece en forma tal que en el tiempo t
dado por:
P(t )  2500 A
t
su tamaño está
.
Entonces:
1.  logb (1)  0,
b  0,
b 1
2.  logb (b)  1,
b  0,
b 1
Si se sabe que P(12)=7500,
a) Encuentre la población inicial
b) Determine A.
3.  logb (M  N )  logb (M )  logb ( N )
6.- Resuelva la ecuación:
M
)  log b ( M )  log b ( N )
N
1
5.  log b ( )   log b ( N )
N
6.  logb (M  )    logb (M ),
  IR
7.- Sea
4.  log b (
5 logx x  log2 (2x  2)  log 2 (5  x)  3
f : A  IR   ,0
f ( x)   1  log 2 x  log 2 (3  x)
3
3
Encuentre el dominio y el recorrido de f.
8.- Resuelva:
a)
32 log3 ( 2 x )  x  10
S=
 1
3  log 2 
b)
3
x2
5 x
 0
9.- Resuelva:
a) log1 (3x  4)  log3 (7  x)  1
UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
FACULTAD DE INGENIERÍA AGRÍCOLA
DEPARTAMENTO DE RECURSOS HÍDRICOS
Prof. M. T. Gálvez Flores.
VI.16.01.2009.
EVALUACIÓN Nº 2 ÁLGEBRA Y TRIGONOMETRÍA
3
b)
3 x2  2  3 x  61 x
c)
2 log2 (1  x)  log2 (2 x  1)  2  log2 x
d)
log1 (7  4 x)  1
1.- Asuma que la siguiente función es biyectiva. Defina su función inversa.
1

f :  ,3   5   ,0   .   
10

f ( x) 
3
log1 (2 x  5)  log4 (9  2 x)  1
e)
4
f)
1
10  3 x  x 2
f : A  IR  IR función definida por:
2.- Sea
f ( x)  2  log 1 (3x  7)  log 2 (10  3x)
2 2 x  31 x  6 3 x 2
2
log5 (35  x3 )
3
log5 (5  x)
g)
Encuentre el dominio de f.
3.- Resuelva en IR:
log2 (9
h)
x 1
x 1
 7)  2  log2 (3
 1)
a)
1  log2 (4  x 2 )  log2 (2x  3)  2
3
log4 4 2
i)
logx 2
 log2 x 2  log1 2 2 x  0
f : A  IR  IR función definida por:
10.- Sea
f ( x)  
1
b)
 22 x1
cot2 x  cot x  0
sen 2  tan2 
 sen  tan 



cosec 2  cot an2
 cosec  cot an 
2
2
11.- Resuelva en IR:
a)
2 2 x 1  4 x3  3  2 2 x 3  19  0
b)
log
x
3
1
x
2
5.- Demuestre la siguiente identidad:
2  log4 ( x  16)
16  log 4 x 2  1
4x  3
4.- Resuelva en IR:
Encuentre el dominio de f.
2
3
1
x
2
6.- Considere que:
sen  
2
3
y que P( )  I cuadrante.
sec   
5
4
P(  )  II
cuadrante. Encuentre el
valor exacto de
sen(2 ) y de tan(   )
y decidir el cuadrante al cual pertenece
P(   ) .
y
TIEMPO MÁXIMO: 120 minutos.