¿Qué se entiende por fuerza conservativa?, ¿qué condiciones ha de

By Dr J.M. Ayensa 2014
FUERZAS CONSERVATIVAS. Energía potencial
¿Qué se entiende por fuerza conservativa?, ¿qué condiciones ha de cumplir una
fuerza para que se le pueda considerar conservativa?, ¿qué trabajo realiza una
fuerza conservativa cuando se traslada un cuerpo de un punto a otro?, ¿a qué hace
alusión la palabra “conservativa”?
¿QUÉ SE ENTIENDE POR FUERZA CONSERVATIVA?
En general, el trabajo realizado por una fuerza depende de la trayectoria. Por
ejemplo, el trabajo de la fuerza de rozamiento, cuando arrastramos una caja por el
suelo, al trasladarla desde un punto determinado A hasta otro B, no es el mismo si
vamos en línea recta que si vamos por un camino mucho más largo desde A hasta
B. Otro ejemplo, el trabajo que ha de realizar el motor de un coche para ir desde
Valencia a Madrid no es el mismo si va por Sevilla, Córdoba, Huelva, Badajoz y
Madrid, que si lo hace por la autovía A3. El trabajo de las fuerzas realizadas por los
animales, por la fuerza de rozamiento o por las fuerzas de máquinas, depende de la
trayectoria seguida y no son fuerzas conservativas.
Sin embargo, hay algunos casos de fuerzas cuyo trabajo sobre un cuerpo, cuando
se traslada desde un punto A hasta otro punto B, no depende de la trayectoria o
camino seguido. Es decir, el trabajo realizado por estas
fuerzas es el mismo, independientemente del camino
B
seguido, siempre que se va desde A hasta B; esto es, sólo
c1
depende del punto inicial A y del final B. Esto ocurre en un
número de fuerzas limitado. Por ejemplo, el trabajo A
c2
realizado por la fuerza de gravedad cuando se traslada una
masa m desde un punto A a otro punto B, no depende de la
trayectoria sino de las posiciones de A y de B. Esto ocurre también con las fuerzas
elásticas, las fuerzas electrostáticas y otras fuerzas.
Se dice que una fuerza es conservativa cuando el trabajo realizado por la fuerza
sobre un cuerpo desde un punto A a otro B no depende de la trayectoria o
camino seguido; sólo depende del valor de cierta función, de valores
determinados en los puntos A y B.
W
=W
=W
C1 A→ B
C 2 A→ B
C A→ B
También puede decirse que una fuerza es conservativa si el trabajo realizado en
un ciclo cualquiera (suma de los trabajo en ir de A hasta B por cualquier trayectoria
y volver de B a A por otra trayectoria cualquiera) es nulo, porque se cumple,
+W
, donde, W
= −W
⇒ Es decir, W = W
−W
=0
W ciclo = W
C1 A→ B
C2 B → A
C A→ B
C B→ A
Ciclo
C A→ B
C A→ B
B
En consecuencia, para que una fuerza sea
conservativa, el trabajo realizado por ésta a lo largo
de un ciclo cualquiera ha de ser nulo.
1
c1
A
c2
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W ciclo = 0
Por ejemplo, la fuerza ejercida por un martillo cuando clavamos una alcayata
(escarpia) en la pared no es conservativa, dado que
r
r
F
r
F
r
r
r
r
∆x
r
Fcla var .∆xcla var ⟩ 0 ,
y Fdescla var .∆xdescla var ⟩ 0
∆x
Wclavar+desaclavar >0 ⇒ esta fuerza no es conservativa.
En cambio, la fuerza de gravedad es conservativa porque el trabajo que realiza
cuando un cuerpo de masa m asciende es – mg∆y, y el trabajo de dicha fuerza
cuando desciende es + mg∆y (por cualquier camino, sea como sea la trayectoria). La
suma del trabajo al subir y bajar al mismo punto es cero (Wciclo cualq. = 0).
¿QUÉ TRABAJO REALIZA UNA FUERZA CONSERVATIVA CUANDO SE
TRASLADA UN CUERPO DE UN PUNTO A OTRO?
Cuando una fuerza es conservativa (algunos textos las llaman fuerzas interiores), el
trabajo realizado entre dos puntos puede expresarse como diferencia de los valores
de una función en los puntos A y B. Esto es,
WF conservativa = f(A) – f(B)
Función que se denomina energía potencial Ep. Por tanto,
WF conservativa = Ep(A) – Ep(B)= - ∆ Ep
El signo – significa que la energía potencial disminuye cuando la fuerza
conservativa realiza un trabajo positivo y que la energía potencial aumenta
cuando la fuerza conservativa realiza un trabajo negativo.
r
∆x
Por ejemplo, sobre un cuerpo lanzado hacia arriba, la
r
r
fuerza de gravedad hace un trabajo negativo (va ∆x
mg
“frenándolo”, la fuerza se opone al desplazamiento, W <
r
mg
0), la energía potencial gravitatoria está aumentando; en
cambio, cuando el cuerpo esté bajando, el trabajo de la
fuerza de gravedad será positivo (la fuerza y el
(a) Subiendo, W < 0;
(b) bajando, W > 0
desplazamiento tienen el mismo sentido, W > 0), la
energía potencial gravitatoria disminuirá.
En el caso de la fuerza gravitatoria, en las proximidades de la superficie terrestre,
r
r
donde Fgra = mg = cte , la energía potencial es mg.y (donde y es la altura sobre un
nivel de referencia arbitrario). En tal caso
WFgravedad = Ep(A) – Ep(B)= - ∆ Ep= mg.yA – mg.yB
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En el caso de la fuerza elástica1 (resorte o muelle, que cumple la ley de Hooke),
r
r
donde Felas = −k .x , la energía potencial es ½ k.x2 (x es la deformación del muelle y k
la constante elástica). En ese caso
WFelástica = Ep(A) – Ep(B)= - ∆ Ep= ½ k.xA2 – ½ k.xB2
¿A QUÉ HACE ALUSIÓN LA PALABRA “CONSERVATIVA”?
La energía mecánica es la suma de las energías cinética y potencial. En
general, cuando actúan diversas fuerzas sobre un cuerpo (fuerzas interiores
conservativas y fuerzas exteriores o no conservativas), el trabajo total realizado es
igual a la variación de la energía cinética, según el teorema del trabajo y la energía
cinética (teorema de las fuerzas vivas).
Wtotal = W Fcons + WFno conserv = ∆Ec, pero W Fconserv = - ∆Ep, por lo que
Wtotal = - ∆Ep + W Fno conserv = ∆Ec. ⇒ WFno cons = ∆Ec + ∆Ep = ∆(Ec+ Ep) = ∆Emec, es
decir, el trabajo de las fuerzas exteriores o fuerzas no conservativas es igual a
la variación de la energía mecánica.
Cuando el trabajo realizado por las fuerzas conservativas sobre un cuerpo es
positivo, aumentará la energía mecánica del cuerpo; si el trabajo es negativo,
disminuirá la energía mecánica de dicho cuerpo. Por ejemplo, si elevamos un cuerpo
cierta altura con una grúa, el trabajo realizado por la fuerza de la grúa (no
conservativa) aumenta su energía mecánica. Otro ejemplo, si detenemos una bola
que rueda por una mesa, variará la energía mecánica de ésta; el trabajo realizado
por nuestra fuerza (no conservativa) es negativo y disminuye la energía mecánica de
la bola.
Si solamente actuasen fuerzas interiores o conservativas, WFno cons = 0 = ∆(Ec+
Ep)
Esto es, la energía mecánica no varía, Ec + Ep = constante.
Cuando sólo actúan fuerzas conservativas sobre un cuerpo, la energía mecánica
de éste es constante, lo que suele expresarse diciendo que “la energía mecánica
se conserva”.
1
Esta fuerza no es constante y el trabajo realizado entre A y B no se puede calcular en primer curso, por lo que
aquí se da el resultado final del cálculo.
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