Segundo método de Liapunov

Segundo método de Lyapunov
Introducción
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En 1892, Liapunov presentó dos métodos para determinar la
estabilidad de sistemas dinámicos.
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En un esfuerzo de imaginación por parte de la comunidad
fueron llamados: el primer método y el segundo método.
El primer método requiere del conocimiento explicito de la
forma de la solución.
El segundo método solo requiere conocer la ecuación
diferencial.
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Esto es muy útil para sistemas no lineales.
Antecedentes
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En la teoría de vibraciones mecánicas, se sabe que un sistema
es estable si la energía mecánica del sistema es continuamente
decreciente hasta alcanzar un estado de equilibrio.
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La energía mecánica del sistema es una función definida
positiva,
Si la energía es continuamente decreciente, entonces la derivada
en el tiempo de la energía es definida negativa.
Nota. Una función escalar es definida negativa si su negativo
es definido positivo.
Antecedentes (II)
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El segundo método de Liapunov generaliza este hecho:
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Si el sistema tiene un estado asintóticamente estable, la energía
acumulada del sistema desplazado con respecto al estado de
equilibrio caerá al crecer el tiempo hasta que el sistema alcance
el estado de equilibrio.
El problema consiste definir el concepto de energía para
sistemas que no tienen definido este concepto.
Para resolver este problema, Liapunov demostró que es posible
usar funciones que tienen las mismas propiedades de la función
de energía.
Estas funciones se llaman funciones de Liapunov.
Las funciones de Liapunov pueden depender del estado del
sistema y del tiempo.
En los casos a analizar solo se dependerá del estado.
Funciones candidata de Liapunov
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Como se vio en la definición de estabilidad es necesario
determinar la distancia del estado con respecto al estado de
equilibrio.
Una forma de medir la distancia es el uso de funciones
escalares.
Una función candidata de Liapunov es una función potencial
(cf. primer curso de Física).
Funciones escalares
1. Definición. Una función escalar es aquella que da como
resultado un valor escalar.
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Aun cuando se define para vectores.
2. Ejemplo.
V (x) = x12 + x22 .
Funciones definidas positivas
3. Definición. Una función escalar V (x) es definida positiva si
3.1 V (x) ≥ 0.
3.2 V (x) = 0 si y solo si x = 0.
4. Ejemplo.
V (x) = x12 + 2x22 .
5. Definición. Una función escalar V (x) es semidefinida positiva
si
5.1 V (x) ≥ 0.
6. Ejemplo.
V (x) = (x1 + x2 )2 .
Forma cuadrática
7. Definición. Una función escalar V (x) se llama forma
cuadrática si existe una matriz cuadrada P tal que
8. V (x) = x T Px.
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La matriz P es real y simétrica.
Criterio de Sylvester
9. Criterio de Sylvester. Una matriz P es definida positiva si las
menores principales de P son positivas.
10. Ejemplo
V (x) = 10x12 + 4x22 + x32 + 2x1 x2 − 2x2 x3 − 4x1 x3
Teorema principal de Liapunov
11. Teorema. Sea el sistema dinámico
ẋ = f (x, t),
donde
f (0, t) = 0
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para todo t
Si existe una función escalar V (x, t) con primeras derivadas
parciales y que satisface las condiciones
11.1 V (x, t) es definida positiva.
11.2 V̇ (x, t) es definida negativa.
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Entonces el estado de equilibrio en 0 es asintóticamente estable.
Si además V (x, t) → ∞ cuando x → ∞, el estado de
equilibrio es global y asintóticamente estable.
Ejemplo
Sea el sistema
ẋ1 = x2 − x1 (x12 + x22 )
ẋ2 = −x1 − x2 (x12 + x22 )
Ejemplo: Solución
1. Un punto de equilibrio está en 0.
2. Se define la función candidata de Liapunov
V (x) = x12 + x22
3. V (x) es definida positiva.
4. La derivada en el tiempo de V (x) es
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
5.
6.
7.
8.
V̇ (x) = 2x1 ẋ1 + 2x2 ẋ2
V̇ (x) = 2x1 (x2 − x1 (x12 + x22 )) + 2x2 (−x1 − x2 (x12 + x22 ))
V̇ (x) = 2x1 x2 − 2x12 (x12 + x22 ) − 2x2 x1 − 2x22 (x12 + x22 )
V̇ (x) = −2(x12 + x22 )(x12 + x22 )
V̇ (x) = −2(x12 + x22 )2
Por lo tanto V̇ (x) es definida negativa.
Por lo tanto el sistema es estable.
Más aun si x → ∞ entonces V (x) → ∞
Por lo tanto el estado de equilibrio es global y asintóticamente
estable.