CÁLCULO II Problema de Programación ETSICCPC FORTRAN

CÁLCULO II
FORTRAN
Problema de Programación
ETSICCPC
marzo de 2005
(28 de abril)
Los elementos geométricos fundamentales del trazado en planta de obras lineales son las
alineaciones rectas, las curvas circulares y las curvas de transición. Como es obvio, cuando la
orografía y la ocupación del terreno lo permiten, la forma ideal de realizar los trazados en planta
de carreteras y vías de ferrocarril es mediante alineaciones rectas, pero es también evidente la
necesidad de introducir curvas para salvar así los accidentes del terreno.
La curva que se utiliza en general para
cambiar la orientación de las vías es una
circunferencia de radio suficientemente
grande. Para realizar una transición ‘suave’
entre las alineaciones rectas y las curvas
circulares se emplean lo que se conoce
como curvas de transición. Las curvas de
transición sirven por tanto para suavizar las
discontinuidades de curvatura y peralte.
A lo largo de la curva de transición, la curvatura y el peralte aumentan de forma progresiva
desde un valor nulo en la tangente común de entrada de la alineación recta hasta el valor
constante de la tangente común de salida de la curva circular. La curva de transición más
comúnmente utilizada se conoce con el nombre de Clotoide, Espiral de Cornu o Espiral de
Euler, y en ella el producto del radio de curvatura y el arco recorrido en un punto se mantiene
constante. La Clotoide viene por tanto definida por la ecuación intrínseca (1).
ρ
y
s
ρ · s = A2
(1)
TS
α
x
TE
donde A es el parámetro de la clotoide, s es el arco de curva recorrido desde el origen y ρ es
el radio de curvatura. Esta curva fue considerada por primera vez por Johann Bernouilli
alrededor de 1696 y sería ampliamente estudiada por el físico francés Marie Alfred Cornu
(1841-1902), por sus aplicaciones a la óptica.
Siendo α el ángulo girado sobre la clotoide, se cumple que:
ds = ρdα
(2)
introduciendo (1) en (2) e integrando entre 0 y s se obtiene:
α=
s2
2A2
(3)
Donde α es también el ángulo formado por la tangente a la clotoide con la horizontal.
Las ecuaciones paramétricas de parámetro s de la clotoide vienen dadas de esta forma por las
ecuaciones:
s
x (s ) = ∫ cosαds
0
s
y (s ) = ∫ sin αds
0
(4)
de donde, haciendo uso de (3) y del desarrollo en serie de Taylor de los integrandos
correspondientes, se pueden obtener las ecuaciones paramétricas de la clotoide como:
(
− 1)n α 2 n
x (s ) = s ∑
n = 0 (4 n + 1)(2n )!
∞
(
− 1)nα 2 n+1
y (s ) = s ∑
n =0 (4n + 3)(2 n + 1)!
∞
(5)
Se quiere realizar un programa FORTRAN que calcule el punto de intersección de una
alineación recta existente, con una curva de transición en clotoide en proyecto. Para ello se va a
suponer que la superficie afectada será un cuadrado de 1 km de lado sobre el que se va a situar
una clotoide con tangente de entrada horizontal y punto de tangencia de entrada situado sobre el
ángulo inferior izquierdo de dicho cuadrado, donde se situará el origen de los ejes de
coordenadas. El parámetro de la clotoide A será igual a 1200 m.
Se pide:
a) Definir una subrutina de nombre CLOTOIDE cuyos argumentos de entrada sean s
longitud de arco de clotoide desde el origen y A parámetro de la clotoide, y sus
argumentos de salida sean x e y, coordenadas cartesianas del punto cuya longitud de
arco desde el origen sea s. Para dicha subrutina se utilizarán los cinco primeros términos
de la aproximación (5).
b) Introducir por teclado como únicos datos de entrada las coordenadas cartesianas (A1,
B1) y (A2, B2) de dos puntos por los que pase la alineación recta, y que deberán estar
incluidos dentro del cuadrado de estudio. El programa deberá informar en su caso al
usuario del motivo de la incorrecta introducción de los datos de entrada.
c) Dentro del programa principal se calculará, haciendo uso de la subrutina CLOTOIDE, el
punto de intersección (XINT, YINT) más cercano al origen de la alineación recta y la
clotoide así definidas, que será el único dato de salida del programa y que se dará por
pantalla. Dicho cálculo se evaluará con un error del orden de un centímetro. El
programa deberá contemplar además todos los casos singulares que puedan producirse.
d) Redactar una memoria en la que se explique la formulación y el algoritmo utilizados y
las principales dificultadas encontradas en la programación. Además se incluirá el
listado del programa y los resultados obtenidos para algunos casos particulares, que
incluyan los cortes con rectas horizontales que comenzando con el eje x equidisten 20
m, y las rectas verticales que, comenzando en el eje y, equidisten 200 m.
Nota: Se convocará a los alumnos de manera selectiva para explicar el funcionamiento
del programa