UNEFA GEOMETRIA ANALITICA- PROF. ANNA LUQUE RESUMEN TEÓRICO DE LA UNIDAD I

GEOMETRIA ANALITICA- PROF. ANNA LUQUE
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RESUMEN TEÓRICO DE LA UNIDAD I
SEGMENTOS
Segmento rectilíneo dirigido. La porción de una línea recta comprendida entre
dos de sus puntos se llama segmento rectilíneo o simplemente segmento. Los dos
puntos se llaman extremos del segmento.
L ____.______________.______
A
B
La longitud del segmento AB se representa por
1. Sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas.
El sistema está formado por dos rectas o ejes, perpendiculares entre sí,
generalmente un eje es horizontal y el otro vertical, que al intersectarse forman
ángulos rectos y dividen al plano donde están contenidos en cuatro partes
llamados cuadrantes, las cuales se enumeran en el sentido contrario de las
manecilla del reloj.
Sobre los ejes se marcan divisiones que corresponden a números enteros, siendo
el cero el punto de intersección de dichos ejes llamado Origen de las
Coordenadas. Al eje horizontal se le llama eje de las X o de las Abscisas, y al
eje vertical de las Y o de las Ordenadas.
1.2.
Coordenadas cartesianas de un punto.
Al poner en movimiento a un punto nos engendra una línea, la cual al ponerse en
movimiento engendra una superficie, y ésta a su vez, al ponerse también en
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movimiento engendra un volumen, se puede concluir que todas las figuras
geométricas tienen como base de formación el punto.
Para su estudio, cuando menos por ahora, utilizaremos el Sistema Cartesiano de
Ejes Rectangulares. Dentro de éste convendremos en que siempre que se hable
de un punto conocido o de posición fija, designaremos sus coordenadas por las
letras x y y con índices, mientras que siempre que se trate de un punto móvil o de
posición desconocida sus coordenadas serán simplemente x y y sin índices.
1.3 Distancia entre dos puntos.
Dados los puntos A(x1, y1) y B(x2, y2) los cuales representamos en el sistema
de Coordenadas y aplicando la siguiente fórmula para obtener la distancia entre
dos puntos de coordenadas conocidas, la cual es:
1.4. Punto medio de un segmento de recta.
Las fórmulas para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento
de recta es :
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1.5. Pendiente de una recta.
Dos rectas al cortarse forman dos pares de Ángulos opuestos por el vértice. Por
tanto, la expresión “el ángulo comprendido entre dos rectas “ es ambigua , ya que
tal ángulo puede ser el α a o bien su suplemento el β.
Para hacer una distinción entre estos dos ángulos, consideramos que las rectas
están dirigidas y luego establecemos la siguiente;
 Se llama ángulo de inclinación de una recta el formado por la parte
positiva del eje X y la recta, cuando esta se considera dirigida hacia arriba.
 Se llama pendiente o coeficiente angular de una recta, a la tangente de
su ángulo de inclinación. La pendiente de una recta se designa
comúnmente por la letra m. Por tanto, podemos escribir
m= tg(α)
 Si P1 (X1, Y1) y P2 (X2, Y2) son dos puntos diferentes cualesquiera de una
recta, la pendiente de la recta es:
;
 m puede ser negativa.
 m puede ser positiva.
 m=0, es horizontal.
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donde x2
x1
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1.6. Condición para que tres puntos estén alineados
Para que tres puntos tales como: A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3) estén en línea
recta es indispensable, como es natural, que no puedan formar un triángulo.
Dicho de otra manera, se necesita que el área del triángulo que forman valga
cero.
Por lo anterior, se concluye: Para que tres puntos estén alineados debe
satisfacerse que la matriz dada debe cumplir la siguiente condición:
= 0
NOTA: La primera columna se mantiene siempre igual y el resto de los
valores depende de los puntos dados.
Ejemplo: Demostrar que los puntos: A(-1,-4), B(0,-1) y C(2,5) están situados
sobre una misma línea recta.
SOLUCIÓN:
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Obteniendo el área del triángulo formado por los puntos A, B y C, por medio del
determinante, se obtiene:
Es importante recordar que para el cálculo de la determinante, se repiten la
primera y la segunda columna de la matriz original, quedando la matriz de la
siguiente manera;
1 - 1 – 4 1 -1
1 0 -1 1 0 = 0 + 2 + 5 + 0 + 1- 8 = 0
1 2
5 1 2
Como la determinante arrojo un valor cero, se puede decir que los puntos se
encuentran alineados, por lo tanto están sobre una misma recta.
1.7. División de un segmento en una razón dada.
TEOREMA.
Si P1 (x1, y1 )y P2 (x2 , y2) son los extremos de un segmento P1P2 , las
coordenadas (x , y) de un punto F que divide a este segmento en la razón dada
r = PI P : P P2 son
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X
r debe ser diferente de -1
Y
NOTA:
 En el caso particular en que P es el punto medio del segmento dirigido
P1P2, es r = 1.
 Si el punto de división P es externo al segmento dirigido P1P2, la razón r es
negativa.
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