Un sistema de vectores deslizantes está formado por los siguientes

Un sistema de vectores deslizantes está formado por los siguientes vectores concurrentes:
G G
G
G
G
v 1 = x 1 i + y 1 j + z1 k |v 1|= 2
G G
G
G
G
v 2 = x 2 i + y 2 j + z 2 k |v 2|= 8 x 2 = y 2
G G
G
G
G
v 3 = x 3 i + y 3 j + z 3 k |v 3|= 27
G G
G
G
G
v 4 = x 4 i + y 4 j + z 4 k |v 4|= 14
G
G
Sabiendo que v1 es perpendicular al plano XOY; v2 es perpendicular al eje OZ; la recta soporte
G
G
de v3 es la bisectriz del primer triedro; v4 es perpendicular al plano de ecuación 2x+4y+6z=0, y
que los cuatro vectores tienen sus componentes positivas. Determinar:
a) Invariantes del sistema.
b) Vector momento mínimo.
c) Reducción del sistema en un punto cualquiera de su eje central.
G
G
G
d) Reducción en el punto M(0,1,0) , sabiendo que C M = -8i + 6k , a dos vectores, uno de ellos
aplicado en M y el otro en un punto A de coordenadas (a,1,a-1) y cuyo módulo sea 29 .
Resolución
Con las condiciones impuestas se obtiene el sistema de vectores.
El primer vector es perpendicular al plano XOY, es decir, es paralelo al eje OZ y su módulo es 2,
G
G
por lo que v1 = 2 k .
El segundo vector es perpendicular al eje OZ, por lo que la componente z 2 es nula. El valor del
módulo proporciona
2 x22 = 8 ; x2 = y2 = 2 .
La recta soporte del tercer vector es la bisectriz del primer triedro lo que implica que sus
3x32 = 27 ; x3 = y3 = z3 = 3 .
componentes son iguales; de su módulo se deduce
Para calcular el cuarto vector imponemos la condición de paralelismo con el vector eje o vector
G
G
G
G
característico del plano E = 2i + 4 j + 6k (vector que representa dicho plano y es perpendicular
a él),
G
i
G G
P4 ∧ E = x4
G
j
y4
G
k
z4 = 0
2
4
6
Los menores complementarios proporcionan tres ecuaciones, cuya resolución, junto con el valor
del módulo permite determinar las tres componentes,
3 y 4 = 2 z4 ⎫
⎪
z4 = 3x4 ⎬
2 x4 = y4 ⎪⎭
14 x42 = 14 ; x4 = 1 y4 = 2 z4 = 3
El sistema de vectores y la resultante son de la forma:
G
G
⎫
⎧v1 = 2 k
⎪
G
G
⎪G
G
G
G
⎪ G
⎪v2 = 2i + 2 j
=
+
+
6
7
8
R
i
j
k
G
G
G
⎨G
⎬
⎪v3 = 3i + 3 j + 3k ⎪
⎪vG = iG + 2 Gj + 3kG ⎪
⎩ 4
⎭
a) Invariantes:
G
R = 149
G G G G
C M ⋅ R = CO ⋅ R = 0
G G
CM ⋅ R
=0
R
b) El vector momento mínimo es nulo (3ºinvariante es nulo):
0
c) Por ser nulo el segundo invariante, el sistema queda reducido a la resultante aplicada en
cualquier punto del eje central.
d) Imponiendo las condiciones de la reducción para el punto M (0,1,0) siendo las coordenadas de
A(a,1,a-1) se tiene:
1ªcondición: CG ⋅ AMG = 0
M
G
G G
2ª Condición CM = MA ∧ P
G
G
G
i
j k
G
G
− 8i + 6k = −3 0 −4
Px Py Pz
− 2a − 6 = 0 ⇒ a = −3; A(−3,1, −4)
de donde se deduce Py = 2; − 4 Px + 3Pz = 0; Px =
3
Pz
4
Debe cumplir la condición del módulo del vector, tomando componentes positivas se tiene:
(
9
25 2
+ 1) Pz2 + 4 = 29 ;
Pz = 25 ⇒ Pz = 4
16
16
El sistema se reduce a:
G
G
G
G
P = 3i + 2 j + 4k
aplicado en A(−3,1,−4)
G
G
G
G
R = 6i + 7 j + 8k
aplicado en M (0,1,0)
G
G
G
G
− P = −(3i + 2 j + 4k ) aplicado en M (0,1,0)
Px = 3