PDF (Sección 7. Diferencia entre conjuntos)

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SECCIÓN
DIFERENCIA ENTRE
7
CONJUNTOS.
7. 1 • Definición.
Sean A, B conjuntos. Se l l a m a d i f e r e n c i a de A y B al conjunto formado
por los e l e m e n t o s de A que no p e r t e n e c e n a B . A e s t e conjunto se le d e nota A - B y se le l e e : 'IA d i f e r e n c i a B " ó "A m e n o s B " .
Entonces;
A-B
O también:
=/xeA/x^BV
A-B=|x/x6AAX(¿B3r
E s t a o p e r a c i ó n se puede " m o s t r a r " g r á f i c a m e n t e asf:
L a d i f e r e n c i a de B y A se puede
definir en idéntica forma;
B - A =I Xe B/x ^
ó
B - A = í x / x £ B A X 4 AJ.
Ejemplo:
.^"•^^--^
^
/
/
B-A
Entonces:
A-B=jxfeUyJ
/ O ^ X < lO'l
B=^X6(M
/ 5 ^ x ^ 8
/ 0 á x 4 4 ó x
A - B = { o , 1, 2, 3 . 4, 9 V
Nota;
x e (A - B ) 4 = = > x £ A A x ^ B
x ^ (A - B)<f
>x ^ A ó x e B
Propiedades:
1)
A - A = ^
2)
A * B = ^ (A - B) = (B - A)
3)
A ^ B = = ^ { A - B) ^
4)
A - Jí = A
(B - A)
Sea:
A = Jxel^í
O también:
(1)
(2)
A\
= 9l
ft
-,
I
- 26
5)
0 - A ^ 0
'
6)
(A - B) - C C
.
. .
A - (B - C)
. '^
-
-
' - / y-y
.
r'
. '
•
ji
•
.
:
' "^
•
•
E s t a propiedad significa que l a diferencia e n t r e conjuntos no es a s o ciativa.
D e m o s t r e m o s e s t a propiedad, dejando l a s r e s t a n t e s c o m o e j e r c i c i o al lector:
dm:
Sea
4fai.i. I .>x £
x « (A - B) - C
(A - B ) A X ^
C
4 = = : ^ ( x fi A A X ^ B) A X ^ C
<!==Í>(x C A A (x ^ B A "x ^ C)
= s = ^ x £ A A no (x e B A x ^ C)
;^x e A
<
A X^
Nota;
Justifique la i m p l i c a c i ó n .
(B - C )
^ v e A - (B - C)
Luego;
X € (A - B) - C ^ = ^ x fi A - (B - C)
P o r lo t a n t o .
(A - B) - C CT A - (B - C)
EJFIRC ICIOS.
1)
(A - B ) C A
2)
(A - B ) n . ( B - A) = íí
3) ( A - B ) = A n C E B
4)
^ cV
'
."^ ^-. : ^ ^ , ^ ^ „
(A - B) U (B - A) Ü (A n B) = (A ü B)
%'•"'••.
Se i l u s t r a a continuación, la solución d e l e j e r c i c i o (4) utilizando r e s u l t a dos ya obtenidos,
\
/,
t--. •
Veamos;
.
.
-*
.. *
dm:
(A - B) U (B - A) U (A O B) =
í-^^
C E ^ ^ ^
^^^
CE-^^^UÍAÍI
B)
P o r e j e r c i c i o (3)
27 -
A O ( Q E ^ U B) (J (BO C E " ^ ^
(AO
E) U ( B O
^ ° ^ ^^^ distributiva de la intersección respecto a la unión.
CE-'^)
A U (BD Q E A )
(A U B) n (A O G E A)
(A U B) O E
AUB.
A >?:
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