1725 2011 - Instituto Politécnico Nacional

Instituto Politécnico Nacional
Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
Unidad Profesional Ticomán
Laboratorio de Eléctrica-Electrónica
Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal
de la aeronave Cessna 337
Tesis
Que para obtener el grado de Ingeniero en Aeronáutica
Presentan:
Cesar Arias Peña
Julio Cesar Cortes Aguilar
Directores de Tesis
M. en I. Raymundo Hernández Bárcenas
Dr. Jorge A. Dávila Montoya
M. en C. Jorge Sandoval Lezama
México, Noviembre de 2011
Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 ii Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Agradecimientos
Doy las gracias a la institución que nos ha unido a todos para la realización de este proyecto, a
la que nos abrió las puertas y nos brindó siempre lo necesario para nuestro desarrollo,
agradezco a nuestra Alma Mater el Instituto Politécnico Nacional y a la ESIME U. P. Ticomán.
Doy las gracias a todas esas personas que me permitieron culminar esta meta, que nunca me
dejaron solo, y que sin preguntar me dieron el apoyo que necesité. Sin importar los sacrificios,
los desvelos, los contratiempos. No creo poder escribir en palabras lo agradecido que estoy con
Irma Peña Paz, José Luis Arias Peña y Enrique Peña, mi madre y hermanos. Con Raúl Peña,
José Eduardo Peña y Blanca Iris Peña, tíos que depositaron su confianza en mí.
Te agradezco de todo corazón a Ti, por darme ese gran apoyo al final y ese último esfuerzo
para estar aquí. Por tu motivación, preocupación y paciencia. Por dejarme ser parte de Tú
familia ya que me apoyaron incondicionalmente en cada momento. Sobre todo,agradezco ¡TÚ
AMOR! ¡TE AMO LILI!
Gracias al M. En I. Raymundo Hernández por su paciencia y apoyo a quien le tengo una gran
admiración por darme las herramientas necesarias para enfrentar nuevos retos. Así mismo,
reconozco, al M. en C. Jorge Sandoval y al Dr. Jorge Dávila por confiar en nosotros y ayudarnos
a lograr esta meta.
Mi más sincera gratitud y admiración a todos los que confiaron en mí.
Cesar Arias Peña.
iii Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Le agradezco a dios por los padres que medio; ya que fueron ellos que con su fe, motivación,
esfuerzo y sabiduría me han guiado por un camino de bien; que con este trabajo se ve reflejado
el esfuerzo de una parte de mi vida y el sacrificio que han hecho por mí desde el día en que
nací; aunque no se cómo expresar mis sentimientos, desde mi corazón les digo por medio de
estas palabra escritas que los amo y que son una parte importante de mi ser. También con este
trabajo realizado tengo la esperanza de ser un motivo de esfuerzo y superación para mis
hermanas.
Por todo lo que soy gracias hermanas y papás.
Por otro lado le agradezco al Instituto Politécnico Nacional que es la Institución en la cual me he
desarrollado en lo académico y profesional. Siempre tendré el orgullo de ser del Poli y hare
todo lo posible para representarlo con honor.
Atentamente Julio.
iv Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Resumen
Con el siguiente trabajo, se realizó la simulación de la estabilidad longitudinal de la aeronave
Cessna 337, mediante el programa de simulación numérica Matlab R2007a y haciendo uso de
información obtenida en la ficha técnica de la aeronave, del programa de solución de
ecuaciones Maple 8, y diversos fundamentos matemáticos y físicos.
Se buscó información detallada de la aeronave en medios especializados, así como
directamente de la página del fabricante. Además se realizó una investigación sobre
fundamentos básicos de aerodinámica, los cuales serán útiles en la comprensión del programa.
Se trabajó con la dinámica longitudinal de la aeronave, buscando controlar este eje, mediante la
creación de un control de lazo cerrado. Recalcando que no se está realizando un simulador
propiamente, sino una simulación de la dinámica longitudinal.
Se creó un archivo en el editor del programa Matlab R2007a, con el cual se simuló
matemáticamente la dinámica longitudinal de la aeronave, así como el programa de simulación
en el ambiente de Simulink de dicho programa, haciendo uso de las herramientas de éste
mismo.
El sistema de ecuaciones a analizar es un Sistema de Ecuaciones no Lineales, por lo que fue
necesario transformarlo a un Sistema de Ecuaciones Lineales, esta transformación se realizó
con el programa de operaciones matemáticas Maple 8.
v Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Abstract
With the following work, it made for the simulation of the longitudinal stability of the Cessna 337,
by numerical simulation program Matlab R2007a and using information from the data sheet of
the aircraft, the equation solver Maple 8 and various mathematical and physical fundamentals.
Detailed information aresought in specialized aeronautic sites, as well as directly from the
manufacturer's website. Will be undertaken extensive research on fundamentals of
aerodynamics, which will be useful in understanding the program.
They work with the longitudinal dynamics of the aircraft, looking for to control this axis of the
aircraft, by creating a closed loop control.Stressing that is not being be a simulator properly, but
a simulation of longitudinal dynamics.
Will be create a file in Matlab R2007a program editor, with which will mathematically simulate
the longitudinal dynamics of aircraft, as well as the simulation program in the Simulink
environment of the program, using the tools of this one.
The system of equations to analyze is be a system of nonlinear equations, so it will be
necessary transform it in a system of linear equations, this transformation will take place in the
math program Maple 8.
vi Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Prefacio
“Un pájaro es una máquina que funciona según las leyes de la matemática.
Está al alcance del hombre reproducir esa máquina con todos sus
movimientos, aunque no con su misma fuerza…A esa máquina construida
por el hombre solo le faltaría el espíritu del pájaro, y ése es el que el hombre
ha de imitar con su propio espíritu”.
Leonardo Da Vinci
vii Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Índice
Capitulado ....................................................................................................................................... ii Agradecimientos ............................................................................................................................ iii Resumen ......................................................................................................................................... v Abstract .......................................................................................................................................... vi Prefacio ......................................................................................................................................... vii Índice ............................................................................................................................................ viii Glosario de acrónimos ................................................................................................................. 10 Glosario de términos .................................................................................................................... 10 Listado de figuras ......................................................................................................................... 13 Listado de tablas .......................................................................................................................... 15 Antecedentes ............................................................................................................................... 16 Justificación .................................................................................................................................. 16 Objetivo ........................................................................................................................................ 17 Metodología ................................................................................................................................. 18 Generalidades. Sistemas de Control ...................................................................................... 19 Sistemas de Control ..................................................................................................................... 20 Criterios básicos ........................................................................................................................... 20 Ecuaciones diferenciales lineales y no lineales ............................................................................ 21 Sistemas lineales y no lineales ..................................................................................................... 22 Elaboración de modelos matemáticos ......................................................................................... 23 Sistemas de control de lazo cerrado ............................................................................................ 24 Sistemas de control de lazo cerrado en comparación con los sistemas de lazo abierto ............. 25 Enfoque de la respuesta de frecuencia para el diseño de un sistema de control ....................... 26 Especificaciones de la respuesta transitoria ................................................................................ 27 Capítulo I. Aeronave y Aerodinámica .................................................................................... 30 Historia de la aeronave ................................................................................................................ 31 Características .............................................................................................................................. 32 Utilización ..................................................................................................................................... 34 Aerodinámica ............................................................................................................................... 36 ¿Por qué vuelan los aviones? ....................................................................................................... 36 Fuerzas que actúan en el vuelo .................................................................................................... 37 Sustentación ................................................................................................................................. 37 Conceptos que influyen en la sustentación ................................................................................. 38 Ejes del avión................................................................................................................................ 42 Estabilidad .................................................................................................................................... 43 Estabilidad dinámica .................................................................................................................... 44 Estabilidad estática ...................................................................................................................... 45 Amortiguamiento vertical ............................................................................................................ 45 Amortiguamiento de alabeo ........................................................................................................ 47 Estabilidad longitudinal ................................................................................................................ 48 viii Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Capítulo II. Simulación de la dinámica longitudinal de la aeronave ....................................... 50 Ecuaciones de movimiento de una aeronave .............................................................................. 51 Modelo matemático..................................................................................................................... 51 Creación del programa de simulación ......................................................................................... 53 Introducción a Matlab .................................................................................................................. 53 Código del programa “Simulación de dinámica longitudinal” ..................................................... 54 Simulación en SIMULINK .............................................................................................................. 58 Introducción a SIMULINK ............................................................................................................. 58 Programa de simulación en SIMULINK ........................................................................................ 62 Prueba 1 de la simulación ............................................................................................................ 68 Capítulo III Procedimiento de Linealización de un Sistema de Ecuaciones Diferenciales No Lineales .......................................................................................................................... 69 Método de los cuatro pasos y estabilidad del sistema ................................................................ 70 Obtención de la estabilidad del sistema ...................................................................................... 71 Linealización en el software de soluciones matemáticas Maple 8 .............................................. 73 Movimiento longitudinal .............................................................................................................. 73 Maple 8 ........................................................................................................................................ 75 Consideraciones previas de Maple 8 ........................................................................................... 76 Código del proceso de linealización en el software Maple 8 ....................................................... 78 Comandos empleados .................................................................................................................. 86 Capítulo IV Control de la simulación ..................................................................................... 90 Programa de control .................................................................................................................... 91 Creación del programa de control .............................................................................................. 91 Ambiente ...................................................................................................................................... 91 Descripción del programa de control ........................................................................................... 92 Código del programa de control .................................................................................................. 93 Reestructuración del programa de simulación en SIMULINK ...................................................... 94 Nuevos elementos ....................................................................................................................... 95 Descripción del programa de simulación ..................................................................................... 95 Resultados y Conclusiones .................................................................................................. 103 Anexo A .............................................................................................................................. 107 Anexo B .............................................................................................................................. 111 Fuentes de consulta ............................................................................................................ 120 ix Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Glosario de Acrónimos
Cd
Cl
Cm
V
qbar
T
H
ρ
cbar
cbare
Jy
S
Se
m
θ
α
αi
Coeficiente de arrastre
Coeficiente de levantamiento
Coeficiente de momento
Velocidad
Presión dinámica
Tracción
Altura
Densidad atmosférica
Cuerda media aerodinámica del ala
Cuerda media aerodinámica del empenaje horizontal
Momento de inercia de la aeronave
Superficie alar
Superficie alar del empenaje horizontal
Masa de la aeronave
Ángulo de cabeceo
Ángulo de ataque
Ángulo de ataque inducido
Glosario de Términos
Actitud. Posición de un cuerpo con respecto a sus ejes, determinada por el alabeo (roll),
cabeceo (pitch) y guiñada (yaw).
Alabeo. Termino que describe el movimiento de una aeronave alrededor del eje longitudinal
(de la punta a la cola).
Ángulo de ataque. Es el ángulo entre la cuerda de una superficie de sustentación y el viento
relativo.
Cabeceo. Ángulo del eje longitudinal de una aeronave con respecto a la horizontal.
Movimiento de una aeronave sobre su eje lateral.
Control automático. Área de la investigación y base teórica para la mecanización y
automatización, empleando los métodos de las matemáticas y la ingeniería.
Control retroalimentado. Se refiere a una operación que, en presencia de perturbaciones,
tiende a reducir la diferencia entre la salida de un sistema y alguna entrada de referencia y lo
continúa haciendo con base en una diferencia.
10 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Controlabilidad. Un sistema es controlable si existe una secuencia de control que lleve el
sistema de un estado inicial a un estado final en un tiempo finito.
Dinámica de sistemas. Metodología y técnica de modelado matemático asistida por
computador, dentro del enfoque de sistemas, para el análisis y diseño de políticas de
sistemas complejos utilizando lazos de realimentación, integradores, flujos y retardos.
Entorno. Conjunto de todos los factores externos o fuerzas que están más allá de la
influencia de un sistema, pero que no obstante afectan las consecuencias de sus acciones.
Espacio de estado. Espacio n-dimensional cuyos ejes de coordenadas son las variables de
estado.
Estabilidad. Condición en la cual las variables críticas de un sistema dinámico se mantienen
invariables o permanecen dentro de unos límites determinados. Características:
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•
Es la característica más importante de un sistema dinámico lineal o no lineal
En general, la estabilidad es un concepto local (depende de las condiciones iniciales
y el punto de equilibrio)
Un sistema no lineal puede tener uno o varios puntos de equilibrio (donde f = 0);
sistema lineal: sólo uno
Una solución es estable si un cambio pequeño en las condiciones iniciales no
genera un cambio considerable en las trayectorias del sistema.
La estabilidad se puede determinar por diferentes métodos, algunos más generales
que otros
En los sistemas discretos al aumentar el período de muestreo el sistema en lazo
cerrado se hace menos estable
Función de transferencia. La función de transferencia (FDT) de un sistema continuo (o
sistema discreto) descrito por medio de una ecuación diferencial (o ecuación en diferencias)
lineal con coeficientes constantes (sistema lineal invariable en el tiempo LTI) se define como
la relación entre la transformada de Laplace (o transformada Z) de la salida y la
transformada de Laplace de la entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales son
iguales a cero.
Grado de libertad. Para un sistema dinámico, es cada uno de los movimientos básicos que
definen completamente la movilidad de un objeto. A cada grado de libertad le corresponde
una variable.
Guiñada. Movimiento alrededor del eje vertical de una aeronave.
Linealización. Procedimiento de conversión de un modelo no lineal en uno lineal, alrededor
de un punto de operación seleccionado, por medio de series de Taylor. Ver Teorema de
linealización capítulo III. Características:
11 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 •
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Los sistemas son generalmente no lineales
Los sistemas no lineales son difíciles de analizar y diseñar (no existen métodos
generales)
Los métodos analíticos para sistemas lineales están más desarrollados y son más
generales
El modelo lineal puede ser variable en el tiempo.
La curva de linealidad de un sistema estable puede obtenerse experimentalmente
calculando la respuesta estacionaria para diferentes entradas
En la comparación entre la respuesta lineal y no lineal es necesario considerar los
incrementos.
Modelo. Representación (abstracta, conceptual, gráfica, física, matemática) de ciertos
aspectos de un sistema, fenómeno o elemento, a partir de ciertas suposiciones y
simplificaciones, y el cual es utilizado para su comprensión, análisis, descripción,
explicación, control o predicción.
Retroalimentación. “Feedback”. Información de los resultados de un proceso, la cual es
utilizada para cambiar el proceso mismo. Puede ser positiva (Aumenta el error o desviación
con respecto a un objetivo dado) o negativa (Reduce el error o desviación con respecto a un
objetivo dado).
Retardo. Tiempo que tarda un sistema dinámico en responder a un estímulo.
Salida. Cualquier cambio producido en el entorno por un sistema. Variable en las fronteras
de un organismo o máquina a través del cual la información existe.
Sensibilidad. Relación existente entre el cambio en un parámetro de un modelo y su efecto.
Simulación. Operación o experimentación del modelo (imitación) de un sistema para
obtener información del sistema real. Una simulación está compuesta de objetos, estados y
eventos.
Sistemas. Un sistema es una combinación de componentes que actúan juntos y realizan un
objetivo determinado. El concepto de sistema se aplica a fenómenos abstractos y dinámicos,
tales como los que se encuentran en la economía. Por tanto la palabra sistema debe
interpretarse como una implicación de sistemas físicos, biológicos, económicos y similares.
Sistema de control. Sistema diseñado para lograr que una o varias variables se comporten
de una manera deseada. La variable puede mantenerse constante o cambiar de una manera
determinada. Puede ser realimentado (“feedback control”) o prealimentado (“feedforward
control”), digital (microprocesador) o analógico.
Sistema dinámico. Sistema continuo (o discreto) con un número finito de grados de libertad
y que puede ser modelado matemáticamente por medio de ecuaciones diferenciales (o en
diferencias) que dependen del tiempo.
12 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Sistema estático. Sistema continuo (o discreto) que puede ser modelado matemáticamente
por medio de ecuaciones algebraicas que relacionan directamente las salidas con las
entradas.
Teoría de control. Campo de las matemáticas aplicadas e ingeniería que es relevante para
el control de sistemas dinámicos.
Variable controlada. Variable dinámica que se regula. Esta variable es medida por los
sensores. Ver figura en sistema de control.
Variable de control. Variable entregada por el controlador para ser aplicada al actuador,
después de ser transformada y amplificada. Ver figura en sistema de control.
Variable manipulada. Variable dinámica que cambia como función de la variable de control
y que modifica directamente la variable controlada.
Variable medida. Variable dinámica dada por los sensores, proporcional a la variable
controlada.
Listado de figuras
Figura 001. Descripción simplificada de un sistema de control ............................................. 20
Figura 002 Diagrama que muestra las especificaciones de la respuesta transitoria ............ 28
Figura 003. Vista en planta de la aeronave Cessna 337 ........................................................ 32
Figura 004. Fotografía de una de las aeronaves de “Los Hermanos al Rescate” ................. 35
Figura 005. Diagrama de presión contra velocidad. ............................................................... 37
Figura 006. Trayectoria de vuelo y viento relativo ................................................................. 38
Figura 007. Ángulo de incidencia ........................................................................................... 39
Figura 008. Centro de presiones ........................................................................................... 40
Figura 009. Dirección y sentido del peso ............................................................................... 40
Figura 010. Centro de gravedad de una aeronave ................................................................ 41
Figura 011. Dirección y sentido de la resistencia .................................................................. 41
Figura 012. Dirección y sentido del empuje ........................................................................... 41
Figura 013. Ejes del avión y movimientos sobre ellos ............................................................ 42
Figura 014. Tipos de estabilidad ............................................................................................ 44
Figura 015. Desarrollo del amortiguamiento vertical ............................................................. 46
Figura 016. Pérdida de amortiguamiento vertical .................................................................. 46
Figura 017. Desarrollo del amortiguamiento al albeo ............................................................ 47
Figura 018. Estabilizador horizontal y centro de gravedad .................................................... 48
Figura 019. Estabilidad longitudinal ....................................................................................... 49
Figura 020. Ubicación de Matlab en la barra de inicio ........................................................... 53
Figura 021. Ubicación del comando M-File en la barra principal de Matlab R2007a ............. 53
Figura 022. Visualización de la ventana M-File, Matlab R2007a ........................................... 54
13 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Figura 023. Ubicación de la opción SIMULINK en la ventana principal de Matlab ............... 58
Figura 024. Visualización de la opción SIMULINK ................................................................ 59
Figura 025. Ubicación de la opción “Library Browser” ........................................................... 60
Figura 026. Visualización de la opción “Library Browser”....................................................... 60
Figura 027. Posición de las herramientas en el ambiente de simulación .............................. 62
Figura 028. Parámetros del bloque constante ....................................................................... 63
Figura 029. Parámetros del bloque MatlabFcn ....................................................................... 64
Figura 030. Parámetros del bloque Integrator ........................................................................ 64
Figura 031. Parámetros del bloque Demux ............................................................................ 65
Figura 032. Acomodo y conexiones del programa de simulación ......................................... 67
Figura 033. Resultado de la visualización de la primera simulación ..................................... 68
Figura 034. Ícono de acceso directo a Maple 8 ...................................................................... 75
Figura 035. Software Maple 8 ................................................................................................. 75
Figura 036 Ambiente de trabajo de Maple 8 ........................................................................... 76
Figura 037. Visualización de guardado de archivo en Maple 8 .............................................. 78
Figura 038. Ventana de guardar como (save as) ................................................................... 78
Figura 039. Salvado del programa de control ........................................................................ 92
Figura 040. Primera simulación sin el programa de control .................................................. 94
Figura 041. Primer arreglo de los elementos “Constant” y “Mux” ........................................... 96
Figura 042. Arreglo de los nuevos elementos “sum” y “MATLAB Fcn” .................................. 97
Figura 043. Arreglo final del programa de Simulación ........................................................... 99
Figura 044.Ícono de “Start simulation” .................................................................................. 100
Figura 045.Start simulation .................................................................................................. 100
Figura 046 Vista de la ventana “scope” ................................................................................ 101
Figura 047 Ícono del comando “autoescala”......................................................................... 101
Figura 048 Vista final de la simulación ................................................................................. 102
Figura 049 Simulador de Vuelo de 1910, Simulador de Barril.............................................. 112
Figura 050 SanderTeacher en uso, Diciembre de 1910 ....................................................... 113
Figura 051 Link Trainer del Freeman Field, Seymour, Indiana 1970 ................................... 113
Figura 052 Celestial NavigationTrainer 1941........................................................................ 114
Figura 053 Simulador de vuelo Stratocruiser 1948 .............................................................. 114
Figura 054 Diagrama de simulador de base fija 1960 .......................................................... 115
Figura 055 Simulador de vuelo de transporte de uso general 1967 ..................................... 115
Figura 056 Cabina de piloto de un simulador de vuelo comercial 1971 ............................... 115
Figura 057 Simulador de vuelo del B-737 con 6 grados de libertad ..................................... 116
Figura 058 Cabina del simulador de vuelo de la aeronave B-737 ........................................ 116
Figura 059 Full motion simulator flight, Continental Airlines ................................................. 117
Figura 060 TheEmbraer 170/190 Full Flight Simulator (FFS) .............................................. 119
14 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Listado de tablas
Tabla 001.Comparacion del rendimiento de algunas variaciones del Cessna 337 ............... 34
Tabla 002. Herramientas de simulación, ubicación, función y figura ..................................... 61
Tabla 003. Nuevos elementos de MATLAB ............................................................................ 95
Tabla 004 Parámetros adicionales de la aeronave .............................................................. 108
15 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Antecedentes
La realización de este tema de tesis surgió desde el séptimo semestre, en donde se estudió
la materia de Dinámica de Vuelo. Ahí se comenzó con el estudio de los sistemas de control,
al realizar como proyecto final del curso, una pequeña simulación de la dinámica
longitudinal. Se estudió acerca de las ecuaciones dinámicas que rigen dicho movimiento, la
linealización de sistemas no lineales, el uso de la ganancia de retroalimentación, así como
principios básicos de los sistemas de control.
Posteriormente se retomó el proyecto en el octavo semestre cursando la materia de
Sistemas de Control en Aeronaves, en donde se concluyó el estudio de los sistemas de
control más a fondo y se pudo dar un enfoque más técnico a la simulación, así como
encaminarlo a ser una herramienta didáctica para la enseñanza endicho curso, y ser la punta
de lanza en el desarrollo de la teoría completa sobre simuladores de vuelo y porque no, en
un futuro poder ver el primer simulador completo de vuelo diseñado y construido dentro de
ESIME U. P. Ticomán del Instituto Politécnico Nacional.
Justificación
Si se logra determinar la ley de control de dinámica longitudinal de la aeronave planteada y
poder realizar con éxito la simulación de esta al final de esta tesis,servirá como apoyo a la
materia de Sistemas de Control en Aeronaves, como una herramienta más detallada para la
comprensión, el análisis y el estudio de los sistemas de control en aeronaves.
16 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Objetivo
Objetivo general
Crear un programa que permita, de manera didáctica, visualizar la estabilidad longitudinal de
la aeronave Cessna 337 y comprobar que dicha aeronave puede conservar la estabilidad
sobre este eje a bajas velocidades y alturas. Se le nombrará simulación didácticadebido a
que se tomarán condiciones ideales en el comportamiento de la aeronave y solo ciertas
superficies de control. Así mismo el trabajo pretende buscar ser una guía para futuros
proyectos.
Objetivos particulares
Determinar las constantes aerodinámicas de las superficies de control y recolectar datos de
la ficha técnica de la aeronave a emplear en la simulación. Conocer la historia de la
aeronave, sus aplicaciones y principales aportaciones.
Encontrar las ecuaciones necesarias para simular la dinámica en vuelo de la aeronave
propuesta y definir las salidas del programa, el cual permitirá visualizar dicha simulación. Así
como comprender, utilizar y hacer uso de las herramientas del programa Matlab.
Utilizar una técnica de linealización para calcular la ganancia de retroalimentación “K”, que
garantice la estabilidad del sistema linealizado. Aplicar el programa Maple para la solución
de las ecuaciones.
Determinar la ley de control de lazo cerrado que garantice la estabilidad del sistema, así
como crear un programa que realice la retroalimentación.
17 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Metodología
Se investigó la historia de la aeronave, en diversas fuentes de información, como lo son, la
página del fabricante y libros especializados en información de aeronaves, para encontrar
los valores y coeficientes a utilizar.
Se creó el programa que realizó la simulación de la dinámica de la aeronave en el programa
de simulación matemática Matlab R2007a, así como un programa qua ayudó a crear una
retroalimentación de este mismo para lograr la estabilidad.
Se estudió el programa Matlab y su ambiente de Simulink, en diversos tutoriales y en el
comando HELP del mismo.Se trabajó en conjunto con los asesores para la realización de la
simulación y el reporte final.
18 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Generalidades
19 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Sistemas de control.
Los sistemas de control son parte integrante de la sociedad moderna y sus numerosas
aplicaciones están alrededor de nosotros. Es importante recordar que no somos los únicos
creadores de los sistemas controlados automáticamente, ya que también se encuentran en
la naturaleza.
Un sistema de control está formado por subsistemas y procesos unidos con el fin de
controlar las salidas de los procesos, en su forma más sencilla un sistema de control
produce una salida o respuesta para una entrada o estímulo dado.
Entrada; estímulo Respuesta deseada Sistema de Control Salida; respuesta Respuesta real Figura 001. Descripción simplificada de un sistema de control. Sistemas de Control para
Ingeniería, Norman S. Nise.
Construimos sistemas de control por cuatro razones básicas:
•
Amplificación de potencia
•
Control remoto
•
Comodidad de forma de entrada
•
Compensación por perturbaciones[1]
Criterios básicos
Antes de analizar sistemas de control se deben definir criterios básicos
20 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Procesos. Se define como una operación o un desarrollo natural progresivamente continuo,
marcado por una serie de cambios graduales que se suceden uno al otro en una forma
relativamente fija y que conducen a un resultado o propósito determinados.
Perturbaciones. Es una señal que tiende a afectar negativamente el valor de la salida de un
sistema. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna, en tanto que
una perturbación externa se produce fuera del sistema y es una entrada.[2]
Modelos matemáticos. Cualquier tentativa de diseño de un sistema a partir de una
predicción de su funcionamiento antes de que el sistema pueda diseñarse en detalle o
construirse físicamente. Tal predicción se basa en una descripción dinámicas del sistema. A
esta descripción matemática se le llama modelo matemático.De las características para los
sistemas físicos, la mayoría de los modelos matemáticos que resultan útiles se describen en
términos de ecuaciones diferenciales.
La dinámica de sistemas trata del modelo matemático y el análisis de la respuesta de los
sistemas dinámicos.
Ecuaciones diferenciales lineales y no lineales.
Las ecuaciones diferenciales pueden clasificarse en ecuaciones diferenciales lineales,
invariantes en el tiempo y ecuaciones lineales variante en el tiempo.
Una ecuación diferencial lineal invariante en el tiempo es aquella en la cual una variante
dependiente y sus derivadas aparecen como combinaciones lineales, el siguiente es un
ejemplo de esta clase de ecuación.
21 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 En el caso de una ecuación diferencial lineal variante en el tiempo, la variable dependiente y
sus derivadas aparecen como combinaciones lineales, pero algunos de los coeficientes
delos términos pueden involucrar a la variable dependiente. El siguiente es un ejemplo de
este tipo de ecuación.
Es importante recordar que con objeto de que sea lineal, la ecuación no debe contener
potencias, productos u otras funciones de las variables dependientes y sus derivadas.
Una ecuación diferencial se denomina no lineal, cuando no es lineal. Entre los ejemplos de
ecuaciones diferenciales no lineales está el siguiente.
Sistemas lineales y sistemas no lineales.
Para sistemas lineales, las ecuaciones que constituyen el modelo son lineales. La propiedad
más importante de los sistemas lineales consiste en que se les puede aplicar el principio de
superposición. El cual establece que la respuesta producida por la aplicación simultanea de
dos funciones de excitación diferente o entrada, es la suma de dos respuestas individuales.
En consecuencia, en los sistemas lineales la respuesta a varias entradas puede calcularse
22 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 tratando una entrada cada vez y después sumando los resultados. Con lo que las
complicadas soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales se pueden obtener de la
suma de soluciones simples.
Los sistemas no lineales son aquellos que se presentan mediante ecuaciones no lineales.
En estos sistemas la característica más importante es que el principio de superposición no
es aplicable. En general, los procedimientos para encontrar la solución de problemas que
involucran tales sistemas son extremadamente complicados. A causa de la dificultad
matemática que presentan esta clase de sistemas, con frecuencia es necesario linealizarlos
alrededor de una condición de operación. Una vez que un sistema no lineal se aproxima
mediante un modelo matemático lineal, se deben usar términos lineales para propósitos de
análisis y diseño.
Elaboración de modelos matemáticos.
Al aplicar las leyes de la física a un sistema específico, es posible desarrollar un modelo
matemático que describa el sistema.
Para determinar un modelo razonablemente simplificado, se necesita decidir cuáles de las
variables y relaciones físicas pueden despreciarse y cuáles son cruciales en la exactitud del
modelo. Cuando se resuelve un problema nuevo, conviene construir primero un modelo
simplificado para obtener una idea general en torno a la solución.
Ningún modelo matemático puede representar cualquier componente o sistema físico con
precisión. Siempre se involucran aproximaciones y suposiciones.
23 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Procedimiento para la elaboración de modelos matemáticos.
El procedimiento para obtener un modelo matemático de un sistema, puede resumirse como
sigue.
1.- Dibujar un diagrama esquemático del sistema y definir las variables.
2.- Utilizando leyes físicas, escribir ecuaciones para cada componente, cambiándolos de
acuerdo con el diagrama del sistema y obtener un modelo matemático.
3.- Para verificar la validez del modelo, la predicción acerca del funcionamiento obtenida al
resolver las ecuaciones del modelo, se compara con resultados experimentales, si los
resultados experimentales se alejan de la predicción en forma considerable, debe
modificarse el modelo. Entonces se obtiene un nuevo modelo y las nuevas predicciones se
comparan con los resultados experimentales. El proceso se repite hasta que se obtiene una
concordancia satisfactoria entre la predicción y los resultados experimentales. [3]
Sistema de control de lazo cerrado
Sistema de control realimentado. Es un sistema que mantiene una relación prescrita entre
la salida y la entrada de referencia como medio de control.
Sistema de control en lazo cerrado. En este tipo de sistemas se alimenta al controlador
con la señal de error de actuación, que es la diferencia entre la señal de entrada y la señal
de realimentación, a fin de reducir el error y llevar la salida del sistema a un valor
24 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 conveniente. El termino control en lazo cerrado siempre implica el uso de una acción de
control realimentado para reducir el error del sistema.
Sistema de control en lazo abierto. Son sistemas en los cuales la salida no afecta la
acción de control. En este tipo de sistema no se mide la salida ni se realimenta para
compararla con la salida.
Sistemas de control en lazo cerrado en comparación con los sistemas
en lazo abierto.
Una ventaja del sistema de control en lazo cerrado es que el uso de la realimentación vuelve
la respuesta del sistema relativamente insensible a las perturbaciones externas y a las
variaciones internas en los parámetros del sistema,
Desde el punto de vista de la estabilidad, el sistema de control en lazo abierto es más fácil
de desarrollar, porque la estabilidad del sistema no es un problema importante. Por otra
parte, la estabilidad es una función principal en el sistema de control en lazo cerrado.
Los sistemas en lazo cerrado solo tienen ventajas cuando se presentan perturbaciones
impredecibles y/o variaciones impredecibles, en los componentes del sistema.
Los sistemas de control actuales son, por lo general, no lineales. Sin embargo, es posible
aproximarlos mediante modelos matemáticos lineales, es posible utilizar varios métodos de
diseño. Los sistemas pueden diseñarse mediante un enfoque convencional limitado a una
entrada y una salida, cuando son lineales e invariantes con el tiempo. El diseñador busca
satisfacer todas las especificaciones de desempeño mediante la repetición estudiada de
prueba y error.
25 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 En tanto que el diseño de un sistema de control mediante los enfoques del lugar geométrico
de las raíces y de la respuesta en frecuencia es una tarea de la ingeniería, el diseño del
sistema en el contexto de la teoría de control moderna (métodos en el espacio de estados)
emplea formulaciones matemáticas del problema y aplica la teoría matemática para diseñar
los problemas en los que el sistema puede tener entradas y salidas múltiples y ser variantes
con el tiempo. Aplicando la teoría de control moderna, el diseñador puede iniciar a partir de
un índice de desempeño, junto con las restricciones impuestas en el sistema, y avanzar para
diseñar un sistema estable mediante un procedimiento completamente analítico. La ventaja
del diseño basado en la teoría de control moderna es que permite al diseñador producir un
sistema de control óptimo en relación con el índice de desempeño considerado.
Así que nos enfocaremos al diseño de un sistema de control en base al análisis de la
respuesta en frecuencia.
Con el término respuesta en frecuencia, nos referimos a la respuesta de un sistema en
estado estable a una entrada senoidal. En los métodos de la respuesta en frecuencia, la
frecuencia de la señal de entrada se varía en un cierto rango,
Un sistema estable, lineal e invariante con el tiempo, sujeto a una entrada senoidal, tendrá,
en estado estable, una salida senoidal de la misma frecuencia que la entrada. Pero, en
general, la amplitud y la fase de la salida serán diferentes de las de la entrada.
Enfoque de la respuesta en frecuencia para el diseño de un sistema de
control.
Es importante señalar que, en el diseño de un sistema de control, por lo general lo más
importante es el desempeño de la respuesta transitoria. En el enfoque de la respuesta en
26 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 frecuencia, especificamos el desempeño de la respuesta transitoria en una forma indirecta.
Es decir, el desempeño de la respuesta transitoria se especifica en términos del margen de
fase, el margen de ganancia y la magnitud del pico de resonancia, que ofrecen una
estimación a grandes rasgos del amortiguamiento del sistema. [2]
Especificaciones de la respuesta transitoria.
Una razón de que los sistemas con almacenamiento de energía no puedan responder
instantáneamente, es que presentaran una respuesta transitoria al someterlos a una entrada
o perturbación. En consecuencia, las características de la respuesta transitoria constituyen
uno de los factores con respecto a la frecuencia, las características del comportamiento de
los sistemas, se especifican en términos de la respuesta transitoria, a la entrada del escalón
unitario, puesto que es fácil de generar y es muy eficaz (si la respuesta de un sistema lineal
a una entrada de escalón se conoce, es posible calcular matemáticamente la respuesta a
cualquier entrada).
La respuesta transitoria de un sistema a una entrada de escalón unitario depende de las
condiciones iniciales, por generalidad al comparar las respuestas transitorias de diferentes
sistemas, es una práctica común utilizar una condición inicial estándar. El sistema está
inicialmente en reposo con la salida y todas las derivadas con respecto al tiempo en cero.
Por tanto, las características de la respuesta pueden compararse.
La respuesta transitoria de un sistema de control a menudo muestra oscilaciones
amortiguadas antes de alcanzar el estado estable. Al especificar las características de la
respuesta transitoria de un sistema de control a una entrada de escalón unitario, es
convencional designar lo siguiente.
27 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 •
Tiempo de retardo, (td)
•
Tiempo de subida, (tr)
•
Tiempo pico, (tp)
•
Sobrepaso máximo, (Mp)
•
Tiempo de asentamiento, (ts)
Figura 002 Diagrama que muestra las especificaciones de la respuesta transitoria. Dinámica de
sistemas, KatsushicoOgata.
Tiempo de retardo. Es el tiempo necesario para que la respuesta llegue a la mitad del valor
final la primera vez.
Tiempo de subida. Es el tiempo requerido para que la respuesta se eleve de 10 a 90%, o de
5 a 95% de su valor final. El sistema subamortiguado de segundo orden, normalmente se
usa en el tiempo de subida de 0 a 100%. En sistemas sobreamortiguados, es común el
tiempo de subida de 10 a 90%.
28 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Tiempo pico. Es el tiempo requerido para que la respuesta alcance el primer pico de
sobrepaso.
Sobrepaso máximo. Es el valor del pico máximo de la curva de respuesta θo(t) contra t
medida desde la cota unitaria. Si el valor en estado estable final de la respuesta difiere de la
unidad, entonces es una práctica común usar el porcentaje de sobrepaso.
Tiempo de asentamiento. Es el tiempo requerido para que la curva de respuesta alcance el
2% del valor final y se mantenga en él. El tiempo de asentamiento está relacionado con la
mayor constante de tiempo del sistema. [3]
Referencias del capítulo Generalidades.
[1] Control Systems Engineering, 4 Edition, Norman. S. Nise.
[2] Ingeniería de control moderna, KatsuhikoOgata.
[3] Dinámica de Sistemas. KatsuhikoOgata.
29 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Capítulo I
Aeronave y
Aerodinámica
30 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Historia de la aeronave
El desarrollo del Cessna 337, conocido como Skymaster, surge con la necesidad de dar una
solución a los problemas que presentaban los aviones bimotores de configuración
tradicional, los cuales montan los motores en las alas. Ya que al fallar uno de los motores
puede caer a su velocidad mínima de control, lo que causa una guiñada hacia el lado del
motor inoperativo lo que puede dar como resultado un terrible accidente.
La solución que se dio, fue hacer un avión bimotor de configuración tracción-empuje, en el
cual uno de los motores está ubicado en la nariz del avión y otro en la cola unidos por un eje
central con rotaciones contrarias esto con el fin de anular el torque de los motores.
El primer prototipo del Skymaster en volar fue el Cessna 336 el 28 de febrero de 1961 y la
FAA (Federal Aviation Administration) lo certificó el 22 de mayo de 1962, sin embargo la FAA
declaró que los pilotos debían tener licencia multimotor para poder pilotear aviones de
configuración tracción-empuje. Fue en agosto de este año cuando el primer Cessna 336
construido voló. Entre 1963 y 1964 fue producido y tenía el tren de aterrizaje fijo; de este
avión se produjeron 195 unidades.
Para el 30 de marzo de 1964 voló por primera vez el prototipo del Cessna 337. Ya en
febrero del año1965 se produce el Cessna 337 llamado “SuperSkymaster” aunque en el año
de1972 la palabra Súper fue eliminada del nombre; este modelo fue un rediseño del Cessna
336. Las mejoras que presentaba el Cessna 337 eran, que ángulo de ataque de las alas se
incrementó, se mejoró la toma de aire del motor trasero, tenía tren de aterrizaje retráctil,
tenía más potencia, las aletas ventrales se acortaron y tenía mayor capacidad de carga. La
fabricación del Cessna 337 ocurrió entre 1985 hasta 1981 cuando la Cessna cesó su
31 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 fabricación; durante este periodo se realizaron modificaciones al Skymaster que le
designaban una nueva serie de identificación; los más destacados fueron: El modelo
turbocargado T337 que estuvo disponible desde 1967, la versión militar para la U.S. Air
Force denominado O-2ª en 1967 y el modelo presurizado T337G fue puesto en venta desde
agosto de 1972.
Sin embargo la empresa Reims Aviation compro los derechos del Skymaster y continúo con
su fabricación en Francia con un nuevo modelo el FTB-337-Milirole (versión militar). Reims
fabricó un total de 94 Skymaster
Características
El Skymaster posee unas características de pilotaje diferentes a las de un avión bimotor
convencional. La principal consiste en que no se inclina tanto hacia el motor apagado o
fallido; esto se debe a su configuración de ubicación de sus motores. En consecuencia, no
tiende a alzar el vuelo en caso de producirse un fallo durante la carrera de despegue.
Figura 003. Vista en planta de la aeronave Cessna 337
32 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 La aeronave es más fácil de controlar a bajas velocidades que un bimotor convencional, de
modo que no hay aviso de Velocidad Mínima Controlable (VMC) en los indicadores. Sin
embargo el motor trasero tiende a recalentarse e incluso apagarse durante operaciones en
pista en días de mucho calor, lo que puede considerarse como un error en el diseño.
Además El Skymaster produce un sonido único e inconfundible esto es por la forma en que
los motores propulsan a la aeronave que es de tracción-empuje.
En general el Cessna 337 “Skymaster” tiene las siguientes especificaciones operacionales.
•
Tripulación: 1
•
Capacidad: 5 pasajeros
•
Longitud: 9,07 m
•
Envergadura: 11,58 m
•
Altura: 2,84 m
•
Superficie alar: 18,7 m²
•
Peso vacío: 1.204 kg
•
Peso máximo al despegue: 2.000 kg
•
Planta motriz: 2× motor de inyección y cilindros opuestos Continental IO-360-C, 160
kW (210 HP) cada uno.
•
Hélices: 1× bipala de velocidad constante por motor.
Rendimiento
•
Velocidad máxima operativa (Vno): 170 nudos (320 km/hora)
•
Techo de servicio: 19.500 ft (5,940 m)
•
Trepada: 1.200 ft/min (0.36576 m/min)
33 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 En la tabla 1 se muestra una comparación del rendimiento de algunas variantes del
Skymaster.
Tabla 001.Comparacion del rendimiento de algunas variaciones del Cessna 337.Con color gris se identifica la versión
del Skymaster utilizada.
Utilización
El Skymaster 337 y sus variantes se han aplicado como aviones de uso civil (en el transporte
privado de personas), militar y rescate y salvaguardo, a lo largo de su historia. En este
trabajo mencionaremos los de mayor relevancia.
34 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 En el ámbito militar la USAF (UnitedStated Air Force) empleolas variantes O-2X en la
guerra de Vietnam como transporte de avanzadillas.
Para el salvaguardo entre 1976 hasta mediados de los años 90, la División Forestal de
California de los Estados Unidos utilizaron diversas variantes del Skymaster 337 como avión
táctico de observación durante operaciones de lucha contra incendios forestales.
Para 1994 un grupo de exiliados cubanos conocidos como Hermanos al Rescate utilizo
Skymaster`s 337 para lanzar víveres a balseros cubanos que intentaban alcanzar las costas
de Florida. Asimismo los usaron para violar el espacio aéreo cubano al volar sobre La
Habana para lanzar panfletos con propaganda anticastrista. Escogieron los Skymaster
porque son más fáciles de controlar a bajas velocidades que los bimotores convencionales.
Figura 004. Fotografía de una de las aeronaves de “Los Hermanos al Rescate” y su
emblema característico. www.elclandelanostalgia.com.
35 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Aerodinámica
Aerodinámica es la parte de la mecánica de fluidos que estudia los gases en movimiento y
las fuerzas o reacciones a las que están sometidos los cuerpos que se hallan en su seno. A
la importancia propia de la aerodinámica hay que añadir el valor de su aportación a la
aeronáutica. [4]
¿Por qué vuelan los aviones?
Un perfil aerodinámico, es un cuerpo que tiene un diseño determinado para aprovechar al
máximo las fuerzas que se originan por la variación de velocidad y presión cuando este perfil
se sitúa en una corriente de aire. Un ala es un ejemplo de diseño avanzado de perfil
aerodinámico.
El ala produce un flujo de aire en proporción a su ángulo de ataque y a la velocidad con que
el ala se mueve, respecto a la masa de aire que la rodea; de este flujo de aire, el que circula
por la parte superior del perfil tendrá una velocidad mayor (efecto Venturi), que el que circula
por la parte inferior. Esa mayor velocidad implica menor presión (teorema de Bernoulli).
Tenemos entonces que la superficie superior del ala soporta menos presión que la superficie
inferior. Esta diferencia de presiones produce una fuerza aerodinámica que empuja al ala de
la zona de mayor presión (intrados) a la zona de menor presión (extrados), conforme a la
Tercera Ley del Movimiento de Newton.
36 Simu
ulación en vuelo de la estaabilidad longittudinal de la aaeronave Cesssna 337 Figura 005. Diagrama de pressión contra velociidad.
w
www.manualdevu
elo.com.
A
Además,
la corriente de aire que fluye a mayor velo
ocidad por enccima del ala, al concurrir con
c
l que fluye por debajo deflecta
la
d
a essta última haccia abajo, prroduciéndose una fuerza de
r
reacción
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cional hacia arriba. La su
uma de estass dos fuerza
as es lo que se conoce por
p
f
fuerza
de sus
stentación, qu
ue es la que mantiene
m
al avvión en el aire
e. [5]
F
Fuerzas
qu
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o
Sustentación
S
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La
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erza generada sobre un cuerpo
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s desplaza a través de un
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C
Como
con otras fuerzzas aerodiná
ámicas, en la práctica
a se utiliza
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a
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s
sustentación
y se usan para facilitar loss cálculos y lo
os diseños.
es:
E modelo ma
El
atemático de la fuerza de sustentación
s
3
37 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Donde:
L es la fuerza de sustentación en N (Newtons).
ρ es la densidad del fluido, en kg/m3.
V es la velocidad, en m/s.
A es el área de referencia del cuerpo (también llamado "superficie alar"), representado por
m2.
CL es el coeficiente de sustentación. Como el resto de coeficientes aerodinámicos, es
adimensional. [4]
Conceptos que influyen en la sustentación
Trayectoria de vuelo. Es la dirección seguida por el perfil aerodinámico durante su
desplazamiento en el aire
Figura 006. Trayectoria de vuelo y viento relativo.
www.manualdevuelo.com.
Viento relativo. Es el flujo de aire que produce el avión al desplazarse. El viento relativo es
paralelo a la trayectoria de vuelo y de dirección opuesta
38 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Ángulo de incidencia.Es el ángulo agudo formado por la cuerda del ala con respecto al eje
longitudinal del avión. Este ángulo es fijo, pues responde a consideraciones de diseño.
Figura 007. Ángulo de incidencia. www.manualdevuelo.com.
La forma del perfil del ala. Hasta cierto límite, a mayor curvatura del perfil mayor diferencia
de velocidad entre las superficies superior e inferior del ala y por tanto mayor diferencia de
presión, o lo que es igual mayor fuerza de sustentación.
La superficie alar. Cuanto más grandes sean las alas mayor será la superficie sobre la que
se ejerce la fuerza de sustentación.
La densidad del aire. Cuanto mayor sea la densidad del aire, mayor es el número de
partículas por unidad de volumen que cambian velocidad por presión y producen
sustentación
El ángulo de ataque. Si se aumenta el ángulo de ataque es como si se aumentara la
curvatura de la parte superior del perfil y por tanto la diferencia de presiones y en
consecuencia la sustentación. No obstante, un excesivo ángulo de ataque puede provocar la
entrada en pérdida.
39 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Centro de presiones. Es el punto teórico del ala donde se considera aplicada toda la fuerza
de sustentación. La posición del centro de presiones se suele dar en % de la cuerda del ala
a partir del borde de ataque.
Figura 008. Centro de presiones. www.manualdevuelo.com.
A medida que aumenta o disminuye el ángulo de ataque, se modificará la distribución de
presiones alrededor del perfil, desplazándose el centro de presiones. El margen del
desplazamiento suele estar entre el 25% y 60 % de la cuerda.
El peso.Es la fuerza de atracción gravitatoria sobre un cuerpo, siendo su dirección
perpendicular a la superficie de la tierra. Esta fuerza es la que atrae al avión hacia la tierra y
ha de ser contrarrestada por la fuerza de sustentación para mantener al avión en el aire.
Figura 009. Dirección y sentido del peso. www.manualdevuelo.com.
40 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Centro de gravedad (C. G.).Es el punto donde se considera ejercida toda la fuerza de
gravedad, es decir el peso. El avión realiza todos sus movimientos pivotando sobre el C.G.
Figura 010. Centro de gravedad de una
aeronave. www.manualdevuelo.com.
La resistencia.Es la fuerza que impide o retarda el movimiento de un aeroplano. La
resistencia actúa de forma paralela y en dirección opuesta a la trayectoria.
Figura 011. Dirección y sentido de la resistencia. www.manualdevuelo.com.
Empuje o tracción.Es la fuerza necesaria para romper la inercia del avión parado. Esta
fuerza se obtiene acelerando una masa de aire a una velocidad mayor que la del aeroplano.
La reacción, de igual intensidad pero de sentido opuesto, mueve el avión hacia adelante. [4]
Figura 012. Dirección y sentido del empuje. www.manualdevuelo.com. 41 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Ejes del avión
Se trata de rectas imaginarias e ideales trazadas sobre el avión. Su denominación y los
movimientos que se realizan alrededor de ellos son los siguientes:
Eje longitudinal. Es el eje imaginario que va desde el morro hasta la cola del avión. El
movimiento alrededor de este eje (levantar un ala bajando la otra) se denomina alabeo (en
ingles "roll"). También se le denomina eje de alabeo.
Eje transversal o lateral. Eje imaginario que va desde el extremo de un ala al extremo de la
otra. El movimiento alrededor de este eje (morro arriba o morro abajo) se denomina cabeceo
("pitch" en ingles). También denominado eje de cabeceo.
Eje vertical. Eje imaginario que atraviesa el centro del avión. El movimiento en torno a este
eje (morro virando a la izquierda o la derecha) se llama guiñada ("yaw" en inglés).
Denominado eje de guiñada. [5]
Figura 013. Ejes del avión y movimientos sobre ellos. www.manualdevuelo.com. 42 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Estabilidad
En nuestro caso, la estabilidad que nos interesa es la capacidad de la aeronave para
recobrar una posición de equilibrio después de sufrir una perturbación que la haya
modificado (turbulencia, ráfaga de viento, etc.).
Un cuerpo que no esté acelerando ni desacelerando se dice que está en equilibrio, como lo
puede ser por ejemplo una aeronave en vuelo recto y nivelado a velocidad constante. Siendo
el caso contrario un giro a velocidad y altura constante, debido a que la aeronave está
acelerando hacia el centro de giro.
La estabilidad se clasifica en tres tipos: positiva, neutra y negativa.
Estabilidad positiva significa que si un sistema es desplazado de su posición de equilibrio,
genera fuerzas tendentes a volver a la posición inicial.
Estabilidad neutra se da cuando un sistema desplazado de su posición de equilibrio no
genera ninguna fuerza y permanece equilibrado en esta nueva posición.
Estabilidad negativa es cuando un sistema desplazado de su posición de equilibrio genera
fuerzas que tienden a desplazarlo aún más.
43 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Figura 014. Tipos de estabilidad. www.manualdevuelo.com.
En un sistema multidimensional debemos considerar la estabilidad para cada uno de sus
ejes por separado. En un avión la estabilidad se refiere a cada uno de los tres ejes de
movimiento del mismo: longitudinal, lateral y vertical.
Estabilidad dinámica
Se refiere a las fuerzas que se desarrollan en función de la velocidad. Las fuerzas tendentes
a recuperar la posición de equilibrio, pueden ser tan grandes que fuercen al sistema a ir más
allá de la posición inicial. Un sistema posee estabilidad dinámica, si el movimiento del
sistema produce una fuerza que se opone a ese movimiento.
También la estabilidad dinámica puede ser positiva, neutra, o negativa; positiva cuando las
oscilaciones se amortiguan cada vez más hasta pararlas; neutra cuando no se amortiguan; y
negativa cuando se van haciendo cada vez mayores.
44 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Estabilidad estática
La estabilidad estática se refiere a las fuerzas que se desarrollan dependiendo de la posición
del sistema. Cuando un sistema tiene estabilidad estática positiva pero no suficiente
estabilidad dinámica (amortiguación) surgen las oscilaciones.
Una mala interpretación de la estabilidad, hace que al hablar de estabilidad refiriéndose a
una aeronave se piense en este volando recta y nivelada. Realmente la estabilidad se refiere
a cualquier posición de equilibrio: aparcado, en vuelo recto y nivelado a velocidad constante,
en descenso o ascenso a velocidad constante.
Amortiguamiento vertical
Normalmente un aeroplano está en equilibrio, cuando todas sus fuerzas están en balance,
para comprender como la aeronave mantiene este equilibrio nos enfocaremos en la
explicación de la Fig. 015.
Inicialmente la aeronave se encuentra en vuelo recto y nivelado, las fuerzas verticales están
en equilibrio. Súbitamente aparece una perturbación en dicho equilibrio, por ejemplo se corta
el viento que tenía la aeronave de frente, provocando una pérdida de velocidad y a su vez
que la fuerza de sustentación sea menor a la del peso de la aeronave. Lo que provocaría
que la aeronave entrara en una trayectoria descendente.
Sin embargo no es esto lo que ocurre, pues tan pronto como las alas inciden hacia abajo con
una velocidad apreciable el ángulo de ataque es diferente. No hemos cambiado nuestra
actitud y la cuerda del ala sigue la misma línea, pero el viento relativo ha cambiado de
45 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 dirección, viene de adelante y abajo. Esto supone que tenemos mayor ángulo de ataque
causando mayor sustentación, y este extra equilibrará de nuevo las fuerzas verticales. Pero
un mayor ángulo de ataque también implica una mayor resistencia, la cual equilibra la
tendencia a acelerar. El resultado sería una trayectoria descendente no acelerada.
Figura 015. Desarrollo del amortiguamiento vertical. www.manualdevuelo.com.
La capacidad de una aeronave de presentar amortiguamiento vertical, no debe ser tomada
como una garantía, ya que puede suceder que el nuevo ángulo de ataque sea mayor al
ángulo crítico y haga que la aeronave entre en pérdida, provocando que en vez de aumentar
la sustentación disminuya, causando que la aeronave tenga un descenso acelerado,
mostrado en la figura siguiente.
Figura 016. Pérdida de amortiguamiento vertical. www.manualdevuelo.com.
46 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Amortiguamiento de alabeo
Ahora nos enfocaremos en cómo responde el desequilibrio de fuerzas, que causa el giro
sobre el eje de alabeo.
Figura 017. Desarrollo del amortiguamiento al albeo.
www.manualdevuelo.com.
Partimos del vuelo recto y nivelado y con las fuerzas equilibradas, y se supondrá que la
carga de la aeronave se desplaza hacia el mismo lado de la aeronave, provocando un
repentino desequilibrio del peso a soportar en cada ala.
Aunque el morro del avión seguiría su movimiento hacia adelante, el ala con menor peso se
moverá hacia adelante y arriba disminuyendo su ángulo de ataque, simultáneamente el ala
con mayor peso se moverá adelante y abajo aumentando el ángulo de ataque. El ala con el
ángulo de ataque disminuido minora su sustentación, sucediendo lo contrario con el ala de
ángulo aumentado. De esta manera cada ala equilibra el diferente peso que soporta con
diferente sustentación.
Puede suceder que el ala que aumenta su ángulo de ataque, rebase el ángulo de ataque
crítico, y entre en pérdida, con lo cual disminuye la sustentación y se amplifica el movimiento
provocando que la aeronave entre en barrena.
47 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Estabilidad longitudinal
La estabilidad longitudinal, se refiere al movimiento del avión sobre su eje transversal (morro
arriba y abajo), siendo la más importante por que determina en gran medida las
características del cabeceo del mismo, particularmente las relativas a la pérdida.
Es difícil obtener un grado exacto de estabilidad longitudinal. El elemento del avión
encargado de la estabilidad longitudinal del avión es el estabilizador horizontal. Colocado en
la parte más alejada de las alas, el cual, genera las fuerzas necesarias para contrarrestar el
efecto de fuerzas externas. Al ser la parte más alejada del centro de gravedad, cualquier
fuerza, tendrá un gran efecto de corrección (par de fuerza).
Figura 018. Estabilizador horizontal y
centro
de
gravedad.
www.manualdevuelo.com.
Si una ráfaga de viento levanta el morro de avión, aumentará el ángulo de ataque
(sustentación) tanto en las alas como en el estabilizador horizontal, siendo en este último
más grande, provocando que se levante más y así regrese al avión a su actitud anterior,
disminuyendo el ángulo de ataque del ala. Siendo similar si la ráfaga de viento baja el morro
del avión.
Decalaje. Es la diferencia de ángulos de incidencia entre el ala y el estabilizador horizontal.
Las aeronaves se diseñan a modo que el estabilizador horizontal tenga menor ángulo de
incidencia que las alas.
48 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 El efecto que ejerce mayor influencia sobre la estabilidad longitudinal de la aeronave, es la
situación del centro de gravedad con respecto al centro aerodinámico.
Si el centro de gravedad y el centro aerodinámico están en el mismo plano, el avión tiene
estabilidad neutra ya que ambas fuerzas tienen el mismo punto de aplicación; si el centro de
gravedad esta adelantado con respecto al centro aerodinámico el avión es estable y tenderá
a picar (morro abajo), siendo lo contrario si el centro de gravedad esta retrasado con
respecto del centro aerodinámico el avión es inestable (morro arriba). [5]
Figura 019. Estabilidad longitudinal en función del centro aerodinámico y el centro de gravedad.
www.manualdevuelo.com.
Referencias del capítulo 1 Aerodinámica
[4] http://juanzitnik1.tripod.com/sitebuildercontent/sitebuilderfiles/4_aerodinamica.pdf
[5] http://www.manualvuelo.com/indice.html
49 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Capítulo II
Simulación de la dinámica
longitudinal de la aeronave
50 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Ecuaciones de movimiento de una aeronave
Las ecuaciones de movimiento de una aeronave están en función del propósito para el cual
la aeronave fue construida y proveen la llave esencial para entender las características del
vuelo y su manipulación. Para simplificar, las ecuaciones de movimiento pueden describir
pequeñas perturbaciones en el movimiento sobre el equilibrio. Y para ser mas complejos
pueden describir completamente la estabilidad estática, estabilidad dinámica, efectos de
aeroelasticidad, disturbios atmosféricos y el sistema de control dinámico simultáneamente de
la aeronave.
Modelo matemático
Utilizamos ecuaciones aerodinámicasya establecidas, útiles para nosotros en la obtención
de la ley de control de estabilidad longitudinal de la aeronave planteada.
Dichas fórmulas serán adaptadas a nuestra conveniencia, retomando la idealización de está
simulación.
Las ecuaciones son las siguientes:
Coeficientes aerodinámicos del empenaje.
51 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Coeficientes aerodinámicos del ala.
Fuerzas aerodinámicas del ala
Fuerzas aerodinámicas del empenaje horizontal
Ecuaciones dinámicas
52 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Creación del programa de simulación
Introducción a Matlab
Partiendo de estas ecuaciones, y haciendo uso de los datos de la aeronave obtenidos
anteriormente, comenzamos con la creacióndel programa donde se
realizó la dinámica
longitudinal de la aeronave.
Los programas de “Simulación de dinámica longitudinal” y el programa de “Control” (del cual
se hará mención el en capítulo IV), se realizaron en el software de simulación matemática
Matlab R2007a, en el módulo M-file. Dela siguiente manera:
Como primer paso, se abrió el programa MATLAB R2007a. (Fig. 020).
Figura 020. Ubicación de Matlab en la barra de inicio, Windows XP Profesional.
Posteriormente se abrió el comando M-File. Este comando se encuentra en la pestaña
File<New<M-File.(Fig. 021).
Figura 021. Ubicación del
comando M-File en la
barra principal de Matlab
R2007a.
53 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 En este comando, se editó el programa de simulación, obteniendo al final del mismo las
salidas, que son datos a utilizar en la simulación de estabilidad. (Fig. 022)
Figura 022. Visualización de la ventana M-File, Matlab R2007a.
Código del programa “Simulación de dinámica longitudinal”
%Instituto Politécnico Nacional
%Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
%Unidad Profesional Ticomán
%Ingeniería en Aeronáutica
%Programa para simular la dinámica
%longitudinal de la aeronave Cessna 337
function a=AvionEV(X)
%Entradas
V=X(1);%velocidad
alpha=X(2);%ángulo de ataque
theta=X(3);%ángulo de cabeceo
q=X(4);%Velocidad de cabeceo
delta=X(5);%posición de los elevadores
%Parámetros
m=203.3639;%masa
g=9.81;%gravedad
cbar=1.9122;%cuerda media aerodinámica
cbare=0.4453845;%cuerda aerodinámica media empenaje horizontal
54 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 S=18.7;%superficie alar
Se=3.508172;%superficie empenaje horizontal
lx=4.7361;%distancia entre el centro aerodinámico del ala y el
centro aerodinámico del empenaje horizontal
H=1.3;%factor propuesto entre 1 y 2 para obtener el momento de
inercia(Jy)
Jy=m*H;%momento de inercia donde m es la masa y H el factor
Clco=1.2/(60*(pi/180));
alphai=20.45451136*(pi/180);
alphaEH=alpha+alphai;
%Constantes Aerodinámicas del ala
Cd0=0.0141;
Cd1=-0.0412;
Cd2=0.9256;
Cl0=0.146;
Cl1=6.2798;
Cm0=-0.0531;
Cm1=-0.0719;
Cm2=1.4071;
%constantes Aerodinámicas del empenaje horizontal
Cde0=0.0097;
Cde1=-0.0083;
Cde2=1.145;
Cle0=-0.0142;
Cle1=5.8901;
Cme0=-0.0005;
Cme1=0.066;
Cme2=0.1051;
%Ecuaciones
rho=1.225;%densidad
T=52.17300346;%tracción
qbar=0.5*rho*V^2;%presióndinámica
%Coeficientes aerodinámicos del empenaje horizontal
Cd=Cde0+Cde1*alphaEH+Cde2*alphaEH^2;
Cl=Cle0+Cle1*alphaEH+Clco*delta;
Cm=Cme0+Cme1*alphaEH+Cme2*alphaEH^2;
%Coeficientes aerodinámicos del ala
CD=Cd0+Cd1*alpha+Cd2*alpha^2;
CL=Cl0+Cl1*alpha;
CM=Cm0+Cm1*alpha+Cm2*alpha^2;
55 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 %Fuerzas aerodinámicas del ala
Da=0.5*rho*V^2*S*CD;%resistencia al avance
La=0.5*rho*V^2*S*CL;%levantamiento
Ma=0.5*rho*V^2*S*cbar*CM;%momento aerodinámico
%fuerzas aerodinámicas del empenaje horizontal
De=0.5*rho*V^2*Se*Cd;
Le=0.5*rho*V^2*Se*Cl;
Me=0.5*rho*V^2*Se*cbare*Cm;
%Fuerzas aerodinámicas
D=Da;
L=La;
M=Ma;
%Ecuaciones dinámicas;
dV=(1/m)*(T*cos(alpha)-D-m*g*sin(theta-alpha));
dalpha=(1/(m*V))*(-T*sin(alpha)-L+m*g*cos(theta-alpha)+m*V*q);
dtheta=q;
dq=(M-Le*lx)/Jy;
dh=-V*sin(theta-alpha);
%Salidas
a=[dV,dalpha,dtheta,dq];
Donde:
Comando function; comando con el cual se guardó el programa, para posteriormente ser
llamado a la simulación.
Apartado “Entradas”; aquí se establecieronlas condiciones iniciales de la aeronave
(velocidad, ángulo de ataque, ángulo de cabeceo, velocidad de cabeceo y posición de los
elevadores).
Apartado “Parámetros”; aquí se establecieron las condiciones físicas de la aeronave (masa,
gravedad, cuerda media aerodinámica, etc.).
56 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Apartados “Constantes Aerodinámicas del Ala” y “Constantes Aerodinámicas del Empenaje
Horizontal”; en los cuales se establecieron las constantes aerodinámicas del ala y del
empenaje horizontal respectivamente.
Apartado “Ecuaciones”; aquí se establecieron dos constantes como lo son la gravedad y la
tracción proporcionada por nuestra planta motriz, además de la ecuación de presión
dinámica.
Apartados
“Coeficientes
aerodinámicos
del
empenaje
horizontal”
y
“coeficientes
aerodinámicos del ala”; aquí se establecieron las ecuaciones para determinar los
coeficientes de levantamiento, arrastre y momento respectivamente
Apartados “Fuerzas aerodinámicas del ala” y “Fuerzas aerodinámicas del empenaje
horizontal”; aquí se establecieron las ecuaciones para determinar las fuerzas aerodinámicas
(resistencia al avance, levantamiento y momento aerodinámico), haciendo uso de los
coeficientes aerodinámicos anteriormente planteados.
Apartado “Fuerzas aerodinámicas”; se realizó la suma de fuerzas aerodinámicas del ala y el
empenaje horizontal, para obtener una fuerza aerodinámica idealizada.
Apartado “Ecuaciones dinámicas”; se establecieron las ecuaciones que simulan la dinámica
longitudinal de la aeronave.
Apartado “Salidas”; se establecieron las salidas de el programa que simulará la dinámica
(que serán los resultados de las ecuaciones planteadas).
57 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Se guardó el programa con una extensión “.m” y se le nombró“AvionEV”, puesto que será
llamado posteriormente durante la simulación.
Simulación en SIMULINK
Introducción a SIMULINK
Hasta ahora, solo hemos realizado y resuelto ecuaciones, pero no tenemos ningún resultado
numérico, ni es posible visualizar la estabilidad requerida. Para ello, utilizamos otra opción
del programa MATLAB, el cual, esta diseñado para realizar simulaciones. Esta opción es
Simulink, el cual tiene un ícono de acceso directo dentro del ambiente de MATLAB. (Fig.
023).
Figura 023. Ubicación de la opción SIMULINK en la ventana principal de Matlab, Matlab R2007a.
58 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Siendo el ambiente de Simulink el siguiente:
Figura 024. Visualización de la opción SIMULINK, Matlab R2007a.
Ahora, para realizar la simulación, fue necesario conocer acerca de algunas herramientas
útiles en este proceso.
Se tendrá acceso a las herramientas de la simulación, en la barra llamada “Simulink Library
Browser”, mediante: View<Library Browser.(Fig. 025 y 026).
59 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Figura 025. Ubicación de la
opción “Library Browser” en
la ventana de SIMULINK,
Matlab R2007a.
Figura 026. Visualización de la opción “Library Browser”, Matalb R2007a.
60 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Aquí, encontraremos todas las herramientas necesarias, para muy diversos tipos de
simulación, pero nos enfocaremos a las que fueron en está ocasión útiles para
nosotros(Tabla 002).
Tabla 002. Herramientas de simulación, ubicación, función y figura. Matlab R2007a
61 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Programa de simulación en SIMULINK
Para llevar estas herramientas al ambiente de Simulink, solo fue necesario seleccionarla y
arrastrarla hasta la pantalla, es un ambiente muy amigable con el usuario.
Para realizar la conexión entre las herramientas, fue necesario arrastrar la salida de un pin
de esta hasta la entrada del pin de la siguiente.
Figura 027. Posición de las herramientas en el ambiente de simulación, SIMULINK, Matlab R2007a.
Una vez posicionada la herramienta, de sernecesario, se pueden cambiar las propiedades,
al dar doble clic sobre la misma.
62 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 A continuación se presenta un esquema de la primera simulación de la dinámica longitudinal,
en donde:
En el bloque de constante, el valor fue cambiado por 0(Fig. 028).
Figura 028. Parámetros del bloque constante y cambio del valor de la constante. Matlab R2007a.
En la herramienta de MATLAB Fcn, se mandó a llamar al programa realizado con
anterioridad, donde se establecieron todas las ecuaciones dinámicas(Fig. 029).
63 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Figura 029. Parámetros del bloque MatlabFcn y llamado de la función AvionEV. Matlab R2007a.
En la herramienta “integrator”, se establecieron valores ideales, en este caso, se integró a
partir de los valores de velocidad, ángulo de ataque, ángulo de cabeceo y momento
aerodinámico, por lo que dentro de sus parámetros, en la opción de “initalcondition” se
escribieron entre corchetes cuadrados, siendo la forma (Fig. 030).
Figura 030. Parámetros del bloque Integrator, y cambio de las condiciones iniciales. Matlab R2007a
64 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 La herramienta Mux, se dejó tal cual.
No siendo el caso de la herramienta Demux, a la cual se le tuvieron que cambiar las
propiedades, el número de salidas fue 4(Fig. 031).
Figura 031. Parámetros del bloque Demux y cambio del número de salidas. Matlab R2007a
Se han modificado todas las herramientas, ahora es tiempo de comenzar a unirlas, de la
siguiente manera:
Retomando la idea de que este es un sistema de lazo cerrado.
1. La herramienta Constant será conectó a uno de los pines de entrada del Mux
2. La salida del Mux será conectó al pin de entrada del bloque MatlabFcn
3. El pin de salida del bloque de función, se conectó al pin de entrada del integrator
65 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 4. Este paso es importante, ya que se habló de una retroalimentación en el programa,
la cual nos ayudara a obtener la estabilidad deseada. La salida del integrator fue no
solo conectada al pin de entrada del Demux, sino que fue también conectada al
segundo pin del Mux.
5. Los pines de salida del Demux, fueron conectados al bloque Scope y a los diferentes
Displays para visualizar datos necesarios durante la retroalimentación. Fig 032
6. El programa se guardó en la misma carpeta que el programa de extensión .m
7. Se corrió el programa con el ícono de “play”, similar al ícono de arranque de todo
reproductor.
La simulación se puede visualizar en la figura 033, donde es posible apreciar que el sistema
no es estable, ya que hay demasiadas perturbaciones en las señales obtenidas. Por lo que
será necesario realizar una linealización de las ecuaciones diferenciales dadas y la creación
de un programa de control de los cuales se hablará en los capítulos siguientes.
66 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Figura 032. Acomodo y conexiones del programa de simulación. Matlab R2007a
67 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Prueba 1 de la simulación
Figura 033. Resultado de la visualización de la primera simulación, donde los resultados fueron incorrectos, lo que
se puede apreciar al no lograr la estabilidad deseada. Ventana Scope de MATLAB, SIMULINK
68 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Capítulo III
Procedimiento de Linealización
de un Sistema de Ecuaciones
Diferenciales No Lineales
69 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 El proceso de linealizar sistemas de ecuaciones no lineales es importante, ya que linealizar
ecuaciones no lineales, permite aplicar numerosos métodos de análisis lineal que
proporcionen información acerca del comportamiento de los sistemas de ecuaciones no
lineales.
Método de los cuatro pasos y estabilidad del sistema
Para el problema planteado, fue necesario realizar una linealización del sistema de
ecuaciones, la cual se hizo por el método de los cuatro pasos, que está basado en la
aproximación de series de Taylor de una función. El cual se mostrará a continuación.
Paso 1. Representar el sistema de ecuaciones en espacio de estados, para obtener
un sistema de la forma
Paso 2. Encontrar un punto de equilibrio del sistema.
= punto de equilibrio, al evaluar este punto en el sistema, el resultado es cero
Paso 3. Obtener el Jacobiano del sistema
70 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Suponiendo
Paso 4. Evaluar el Jacobiano en el punto de equilibrio
Donde el resultado es de la forma
Siendo esta la manera de linealizar un sistema de ecuaciones.
Obtención de la estabilidad del sistema
Se realizó el proceso para determinar las raíces (soluciones), para las cuales el sistema será
estable.
La estabilidad de un sistema, alrededor de un punto de equilibrio, es la capacidad del mismo
sistema, para regresar al punto de equilibrio después de alguna perturbación.
Se obtuvo la estabilidad del sistema de la siguiente forma:
71 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Donde:
det= determinante de la función
λI= Valor λ multiplicado por la matriz identidad
A= Matriz del sistema
Con lo cual se obtuvo el polinomio característico del sistema y las posibles raíces
(soluciones) para determinar la estabilidad del sistema.
El sistema será estable si:
Si este principio es correcto, los valores numéricos que cumplirán con la estabilidad, se
determinan, multiplicando por producto punto (∙) el vector de raíces y la matriz K (ganancia
de retroalimentación), la cual será de la forma:
Con lo que se llegó a un valor escalar, siendo este el resultado de la multiplicación por
producto punto.
72 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Linealización en el software de soluciones matemáticas Maple 8
La linealización del sistema, se realizó en el programa Maple 8, a manera de simplificar la
solución de las ecuaciones. A continuación se mostrará el código empleado
para ello,
además de la explicación de cada paso y los comandos utilizados en este programa.
Movimiento longitudinal
A partir del movimiento no lineal de la aeronave
La representación lineal del sistema, está dada por:
En donde:
;
Y el polinomio que describe la dinámica longitudinal de una aeronave es de la forma:
La representación del sistema está dada por la función:
73 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Donde
Partiendo de dichas ecuaciones y de las utilizadas en el capitulo II, se creó él código que
permitió realizar la linealización, en el programa de soluciones matemáticas Maple 8.
74 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 A continuación se mostrará él código desarrollado para la solución, así como una
descripción breve del ambiente del programa y de los comandos empleados en el código de
solución.
Maple 8
Figura 034. Ícono de acceso directo al software de soluciones matemáticas Maple 8
Una vez iniciado el programa, se pudo visualizar el ambiente de trabajo de Maple 8, el cual
es muy amigable con el usuario.
Figura 035. Software Maple 8
75 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Figura 036. Ambiente de trabajo del software Maple
8.
Consideraciones previas de Maple 8
•
El inicio de cada programa deberá ser mediante el código
<restart:
<with(linalg):
El cual arrojará un mensaje de precaución, con lo que se podrá dar inicio al código
matemático y a sus soluciones.
•
Después de indicar alguna ecuación, con un nombre cualquiera, se deberá poner
dos puntos (:), antes del signo igual (=) y terminarla con un signo de punto y coma
(;). Esto con la finalidad de que el programa guarde la ecuación para ser llamada
posteriormente en el programa.
76 Simu
ulación en vuelo de la estaabilidad longittudinal de la aaeronave Cesssna 337 <Suma1:= 5+3
•
bir el signo de
e operación por
p
En ell caso de las multiplicaciones, será neccesario escrib
(*) en
ntre los eleme
entos.
>
>Ejemplo:=
a*b;
a
•
El có
ódigo introduccido por el ussuario se visu
ualizará de co
olor rojo, y el arrojado porr el
softw
ware será de color
c
azul.
>
>a:=b+c;
Cód
digo del opera
ador
C
Código
arrojad
do por el softw
ware
•
Al de
efinir una ecuación, guarrdarla en la memoria
m
mediante los do
os puntos (:)) y
terminar con punto y coma (;). Se tecleará ENTER lo qu
ue hará que la
l ecuación sea
s
repro
oducida y si ess el caso resu
uelta en base
e al orden del sistema a rea
alizar.
•
Si se presenta alg
gún un error el
e la ultima ecu
uación plante
eada, el sistem
ma lo detecta
ará,
y si se
s desea realiizar un cambio en alguna ecuación previa, no siemp
pre se efectua
ará
en la
as ecuacione
es posterioress a esta, po
or lo que se tendrá que recurrir a otra
o
herra
amienta
de
el
software
e,
llamada
“Executettheworksheett”
repre
esentado por el ícono.
El cual ejecutará todas las ecua
aciones de la
a hoja de cálcculo, corrigiendo los erroress y
actua
alizando las se
ecuencia del sistema.
•
El prrograma se guardó
g
en la
a carpeta don
nde se están
n guardando los program
mas
empleados anterio
ormente, para
a facilitar la orrganización del
d material a emplear. En el
7
77 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 ambiente de Maple 8 se guardó de la siguiente manera: file <save as < se asignará
un nombre al programa (en nuestro caso código 2) < guardar.
Figura 037. Visualización del proceso de guardado de archivo en Maple 8.
Figura 038. Ventana de guardar como (save as) y asignación del nombre al programa Maple 8.
Código del proceso de linealización en el software Maple 8
Ahora se mostrará el código creado en el software Maple 8, para el proceso de linealización
del sistema.
78 Simu
ulación en vuelo de la estaabilidad longittudinal de la aaeronave Cesssna 337 > restart:
>
>with(linalg):
W
Warning,
the protected names norm an
nd trace have been redefined and unpro
otected
> q_:=0.5*rho
o*V^2;
> CX:=CD0+C
CD1*alpha+C
CD2*alpha^2;
> CZ:= CL0+C
CL1*alpha;
> CM:= CM0+
+CM1*alpha+
+CM2*alpha^2
2;
>
>CXe:=CDe0
0+CDe1*(alph
ha+alpha_i)+C
CDe2*(alpha+
+alpha_i)^2;
>
>CZe:=CLe0+
+CLe1*(alpha
a+alpha_i)+C
CLed*d;
>
>CMe:=CMe0
0+CMe1*(alpha+alpha_i)+
+CMe2*(alpha
a+alpha_i)^2;
> X:=q_*S*CX
X;
> Z:=q_*S*CZ
Z;
> M:=q_*S*c**CM;
> Xe:=q_*Se**CXe;
7
79 Simu
ulación en vuelo de la estaabilidad longittudinal de la aaeronave Cesssna 337 >
>Ze:=q_*Se*C
CZe;
> Me:=q_*Se*ce*CMe;
>
>dV:=(1/m)*(T
T*cos(alpha)--X-m*g*sin(th
heta-alpha));
>
>d(alpha):=(1
1/(m*V))*(-T*ssin(alpha)-Z+m
m*g*cos(theta
a- alpha)+m*V
V*q);
>
>d(theta):=q;
>
>dq:=(M-Ze*l
x)/Jy;
>
>dh:=V*sin((-theta)+alpha);
>
>xdot:=vector
r([dV,d(alpha),d(theta),dq,dh]);
80 8
Simu
ulación en vuelo de la estaabilidad longittudinal de la aaeronave Cesssna 337 >
>dfdX:=jacob
bian(xdot,[V,alpha,theta,q,h
h]);
>
>A:=simplify(
subs({CD0=0
0.0141,CD1=0
0.0412,CD2=0.9256,CL0=
=0.146,CL1=6
6.2798,CM0=0
0.
0
0531,CM1=0
.0719,CM2=1
1.4071,CDe0=
=0.0097,CDe
e1=0.0083,CD
De2=1.145,CL
Le0=0.0142,C
CL
e
e1=5.8901,C
Me0=0.0005,,CMe1=0.066
6,CMe2=0.105
51,c=1.9122,ce=0.445384
45,rho=1.225,S
=
=18.7,Se=3.5
508172,m=20
03.3639,lx=4.7
7361,CLed=1.14591559,T
T=52.1730034
46,alpha_i=0.3
35
8
81 Simu
ulación en vuelo de la estaabilidad longittudinal de la aaeronave Cesssna 337 6
69985701186
6,g=9.81,Jy=2
264.37307,V=
=7.384134754
4,alpha=0.1396,theta=0.13
396,q=0,h=0,d=
0
0.1},jacobian(
(xdot,[V,alpha
a,theta,q,h]))));
>
>rank
(A);
>
>R1
:= linalg[['trace'](A);
>
>R0
:= [linalg
g['rowdim'](A),, linalg['coldim
m'](A)];
>
>B:=simplify(
subs({CD0=0
0.0176,CD1=0
0.293,CD2=2.8578,CL0=0
0.577,CL1=4.1
1642,CM0=0..1
0
033,CM1=0.0
0206,CM2=1.4
4105,CDe0=0
0.0097,CDe1=0.0083,CDe
e2=1.145,CLe
e0=0.0142,CL
Le
1=5.8901,CM
Me0=0.0005,C
CMe1=0.066,C
CMe2=0.1051
1,c=1.2475,ce
e=0.716,rho=
=1.225,S=12.2
26
,
,Se=1.63,m=4
48.16513761,lx=4.1583,CLed=1.14591559,T=13.39792924,alpha
a_i=.2256411
11
5
56,g=9.81,Jy
=62.608,V=7.384134754,a
alpha=0.1396
6,theta=0.1396,q=0,h=0,d=
=0
0.1},jacobian(
(xdot,[d])));
>
H
H:=matrix([[la
ambda,0,0,0,0
0],[0,lambda,0
0,0,0],[0,0,lam
mbda,0,0],[0,0
0,0,lambda,0],[0,0,0,0,lamb
bd
a
a]]);
8
82 Simu
ulación en vuelo de la estaabilidad longittudinal de la aaeronave Cesssna 337 > P:=simplify((evalm(H-A));;
>
>R2
:= linalg[['det'](P);
>
>R3
:= Re(R2
2);
>Ma:=eigenvalues(A);
>
> Mb:=solve(R2=0,lambda
a);
> K:=matrix([[[k1,k2,k3,k4,kk5]]);
> De:=evalm(((A-B&*K));
> Dee:=simpllify(evalm(H-D
De));
83 8
Simu
ulación en vuelo de la estaabilidad longittudinal de la aaeronave Cesssna 337 >
>R4
:= simplify(linalg['det']](Dee));
> De5:=collec
ct(R4,lambda);
> PCD:=expa
and((lambda+
+5)*(lambda+1
10)*(lambda+
+15)*(lambda+
+20)*(lambda
a+25));
> A5:=coeff(D
De5,lambda,5
5);
> A4:=coeff(D
De5,lambda,4
4);
> A3:=coeff(D
De5,lambda,3
3);
> A2:=coeff(D
De5,lambda,2
2);
8
84 Simu
ulación en vuelo de la estaabilidad longittudinal de la aaeronave Cesssna 337 > A1:=coeff(D
De5,lambda,1);
> A0:=coeff(D
De5,lambda,0
0);
> PD5:=coefff(PCD,lambda
a,5);
> PD4:=coefff(PCD,lambda
a,4);
> PD3:=coefff(PCD,lambda
a,3);
> PD2:=coefff(PCD,lambda
a,2);
> PD1:=coefff(PCD,lambda
a,1);
> PD0:=coefff(PCD,lambda
a,0);
>
>solve({A4=P
PD4,A3=PD3,,A2=PD2,A1=
=PD1,A0=PD0
0},{k1,k2,k3,kk4,k5});
S
Siendo
los va
alores de la ga
anancia de re
etroalimentación K estos últimos.
85 8
Simu
ulación en vuelo de la estaabilidad longittudinal de la aaeronave Cesssna 337 C
Comandos
s empleado
os
L
Los
cálculos empleados en la solución de las eccuaciones, son básicame
ente, signos de
potencias, ve
p
puntuación,
ectores y matrices, así como el pro
oducto entre estos, ya sea
s
p
producto
pun
nto o producto
o cruz, lo que
e fue nuevo en
e esta ocasió
ón, es la impllementación del
d
s
software
de soluciones matemáticas,
m
ya que com
mo se ha vistto, la progra
amación de sus
s
c
comandos
es
s similar a la de
d una calculadora, es de
ecir, se tendrá
á que escribirr la ecuación de
f
forma
lineal pero
p
con alcan
nces mayoress.
M
Maple
8 tien
ne una amp
plia gama de
e comandoss a utilizar con
c
diversoss propósitos, a
c
continuación
se describirá
án los utilizado
os para la solución del pro
oblema plante
eado, en base
ea
l ayuda del mismo
la
m
softwa
are.
C
Comenzarem
mos con funcio
ones trigonom
métricas: cos y sin, que all igual que la mayoría de los
p
programas
de
e este tipo, so
olo aceptan valores en rad
dianes, siendo
o la conversió
ón:
A continuació
ón se muestra
an dos ejemplos sobre esta
as funciones trigonométriccas.
>
>sin(0);
>
>cos(Pi);
E el código empleado en
En
n la linealizacción, las letrass griegas utilizadas fueron
n: θ, ρ, α y λ. El
s
software
acep
pta letras grie
egas, siempre
e y cuando se
ean escritas correctamente
c
e, de no ser así,
a
l tomará co
las
omo algún nombre asignad
do. Como se muestra en el
e siguiente eje
emplo.
>
>lambda,rho
o,alpha,theta;Manera corrrecta de empllear el alfabetto griego
8
86 Simu
ulación en vuelo de la estaabilidad longittudinal de la aaeronave Cesssna 337 >
>lamda,ro,al
lpa;Manera in
ncorrecta de emplear
e
el alffabeto griego
L función ve
La
ector, crea un
n vector con lo
os atributos y coordenadas deseadas del
d sistema, hay
h
v
varias
manerras de crear un
u vector, de las cuales mencionaremo
m
os la más bássica y la que se
e
empleo
en la linealización.
E primera de
En
eberá ser ingresado el nom
mbre con el cual
c
será cono
ocido el vecto
or, dos puntoss e
i
igual,
posteriormente se colocarán
c
loss valores de los
l elementos del vector, los cuales irrán
d
dentro
de los signos de ma
ayor y menorr que (<…>). Como
C
se apre
ecia en el eje
emplo.
> vector1:<a,b,c>;
L segunda manera y em
La
mpleada en el
e código de linealización,, es una vezz establecidoss y
g
guardados
va
alores con an
nterioridad, fueron llamado
os a ser parte de los eleme
entos, median
nte
e siguiente código
el
c
de ejem
mplo.
>
>a:=1;
>
>b:=2;
>
>c:=3;
> vector1= ve
ector ([a,b,c]);;
C
Con
lo cual, se obtuvo
o un vectorr con los elementos
e
de
e ecuacione
es establecid
das
a
anteriormente
e.
8
87 Simu
ulación en vuelo de la estaabilidad longittudinal de la aaeronave Cesssna 337 E comando jacobian,
El
j
devvuelve el jaco
obiano de una
a matriz, es decir,
d
una mattriz formada por
p
l
las
derivadas
s parciales de primer ord
den de la fun
nción. La prin
ncipal caracte
erística de essta
m
matriz,
es la posibilidad
p
de
e acercar linealmente la función a un pu
unto.
E procedimie
El
ento jacobian
no es, el cálculo de la mattriz jacobiana
a, con respeccto al vector. Lo
q se aprecia en el siguie
que
ente ejemplo..
> := vector( [x^2, x*y, x*zz] );
>A
>
>jacobian(A,
[x,y,z]);
E comando matrixnos
El
m
pe
ermite escribirr una matriz, con
c las dimen
nsiones necessarias, como se
p
puede
apreciar en el ejemplo
>
>linalg[matrix
x](2,3,[x,y,z,a,,b,c]);
L comando
Los
os:
•
simp
plify. Es el comando que e encarga de simplificar el resultado de las ecuacion
nes
a la mínima
m
expresión posible.
•
evalm
m. Es el coma
ando que se encarga
e
de evaluar las exp
presiones dad
das.
•
linalg
g. Es el coma
ando que se encarga
e
de devolver
d
el ressultado de la forma lineal de
la exp
presión.
•
Subs
s. Es el com
mando que se
s encarga de sustituir valores en las ecuacion
nes
guard
dadas anterio
ormente.
•
solve
e. Es el coma
ando que se encarga
e
de re
esolver ecuaciones.
•
eigen
nvalues. Este
e comando ca
alcula matrice
es o vectores.
8
88 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 •
collect. Este comando colecta coeficientes del mismo exponente, en una
representación lineal.
•
expand. Es el comando que se encarga de expandir una función.
•
coeff. Este comando extrae el coeficiente de un polinomio.
Estos son los códigos y elementos utilizados en el proceso de linealización del sistema de
ecuaciones diferenciales, con los cuales, obtuvimos los valores en los que el sistema será
estable.
Pero esto no es todo, en el siguiente capítulo, se creará un programa que permita darle un
mayor control al simulador y lograr la estabilidad del sistema, así como una representación
gráfica de ello.
89 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Capítulo IV
Control de la Simulación
90 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Programa de control
Ahora bien, sabemos que una vez determinados los valores de la ganancia de
retroalimentación k, para los cuales el sistema fue estable, podremos realizar la simulación,
que es el principal objetivo propuesto, pero ¿Dónde colocar esos valores?
Fue necesaria la creación de un programa que permita integrar esos valores a la primera
simulación y la reestructuración de la misma. Todo esto se realizó en el programa Matlab
R2007a.
Creación del programa de control
Ambiente
El proceso para la creación de este nuevo programa fue similar a la anterior, también se
realizó en el editor del programa, como archivo de extensión m (.m), el cual se guardó en la
misma carpeta que el programa de simulación en SIMULINK y el programa AvionEV, con el
nombre de “control”.
91 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Figura 039. Salvado del programa de control.
Ahora bien, se creó y salvó el ambiente en donde se desarrollará la estabilidad, pero ¿como
la haremos posible?
La estabilidad se logró, haciendo un proceso de retroalimentación en las ecuaciones
planteadas y en el programa de simulación, lo cual se explicará paso a paso adelante.
Descripción del programa de control
Como primer paso, y al igual que el programa “AviónEV”, se estableció al programa como
una función.
Se definieron las entradas del programa (Velocidad, alpha, theta, q), las cuales fueron las
salidas de la simulación, lo que comenzará con la retroalimentación de nuestro programa.
92 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Se estableció una ecuación llamada “xref”, que como su nombre lo indica, será la referencia
para realizar la estimación del porcentaje de error.
Posteriormente se utilizaron los valores de k, obtenidos de la linealización del sistema de
ecuaciones diferenciales no lineales, al grupo de estos elementos se le denominará k.
Se definió al elemento x, que fueron los valores de las entradas y con las cuales se hizo la
estimación del porcentaje de error.
Se creó la ecuación con la cual se determinó ese porcentaje de error, el cual fue
disminuyendo hasta que el porcentaje de error fue mínimo, lo cual nos permitió lograr la
estabilidad del sistema, ya que los valores de salida cada vez fueron más cercanos a los
valores de entrada del sistema.
Como último paso se definió la salida del programa, siendo la base la ecuación definida
anteriormente, básicamente se le cambió el nombre de la variable para evitar redundancias.
Código del programa de control
%Instituto Politécnico Nacional
%Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
%Unidad Profesional Ticomán
%Ingeniería en Aeronáutica
%Programa para el control
function c=control(X1)
%entradas
V=X1(1);%velocidad
alpha=X1(2);%angulo de ataque
theta=X1(3);%angulo de cabeceo
q=X1(4);%Velocidad de cabeceo
93 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 %h=X1(5);%altura
xref=[X1(5);X1(6);X1(7);X1(8)];
%Control
K=[86589.45153,-20914.07711,20450.93089,-17.45817168,-113089.0566];
x=[V;alpha;theta;q];
u=-K*x+K*xref;
%salidas
c=u;
Reestructuración del programa de simulación en SIMULINK
Partiendo del programa hecho en SIMULINK para la primera simulación, fue necesaria una
reestructuración, con la cual sea introducido el nuevo programa de control, así como un
nuevo camino en la retroalimentación del mismo.
Figura 040. Primera simulación sin el programa de control.
94 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Nuevos elementos
Para el este programa de simulación, fueron necesarios nuevos elementos, los cuales se
describirán a continuación:
Tabla 003. Nuevos elementos de MATLAB para la simulación final.
Descripción final del programa de simulación.
Los nuevos elementos se colocarón al inicio del programa, comenzando con el nuevo bloque
de constante y el mux. Este bloque de constante fue conectado al segundo pin del mux. El
95 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 primer pin del mux se conectó en puente a la primera retroalimentación del programa de
simulación original, quedando de la siguiente manera:
Figura 041. Primer arreglo de los elementos “Constant” y “Mux”. Se
muestra la manera de conectar el arreglo del medio ambiente
Una vez hecho esto, se conectaron los dos últimos elementos.
Al pin de salida del mux, se le conectó el bloque “MATLAB Fcn” el cual a su vez se conectó a
un pin de entrada del bloque “sum”, al otro pin de entrada se le conectó el primer bloque
“constant”. De esta manera, se conectó el pin de salida del bloque “sum” al pin de entrada
del bloque “mux” del programa inicial. Quedando de la siguiente manera:
96 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Figura 042. Arreglo de los nuevos elementos “sum” y “demux”.
Esta manera del arreglo de los nuevos elementos se describe a continuación:
Al colocar los elementos delante del arreglo inicial, se logró obtener una segunda
retroalimentación.
En el bloque de constante, como ya se mencionó anteriormente, se agregaron valores
iniciales de la aeronave, como lo son la velocidad a al que por ficha técnica la aeronave
logra la estabilidad, así como los valores de ángulo de ataque y ángulo de cabeceo para los
cuales la aeronave logró la misma. Estos valores son: V= 20 m/s, α= 8°, θ= 8° y q=0.
El segundo bloque “mux” dio una mayor precisión para lograr la estabilidad del sistema de la
aeronave. Mediante esa segunda retroalimentación.
97 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Mediante el bloque “sum” y el bloque “MATLAB Fcn” se logró darle un mayor control al
sistema, mediante el código creado para esta función, así como el bloque “constant” donde
se agregarón las constantes externas, de las cuales ya se mencionó anteriormente serán
cero, debido a la idealización de los elementos externos.
Son los únicos cambios que se le practicaron al programa, por lo que el arreglo final quedaró
de la siguiente manera:
98 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Figura 043. Arreglo final del programa de Simulación de Estabilidad Horizontal de la
Aeronave 99 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Estando el programa listo para correr la simulación y comprobar si lo planteado es correcto.
Se seleccionó el comando “startsimulation”.
Figura 044.Icono de “Start simulation”
Figura 045. Startsimulation
Al correr la simulación, se pudo ver un resultado favorable una vez ajustada la resolución de
la escala, ya que la vista dentro del elemento “scope”, presentaba demasiadas oscilaciones
visibles para el programa, pero físicamente invisibles para e ojo humano o para ser tomadas
en cuenta en el modelo de la aeronave.
100 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Figura 046. Vista de la ventana “scope” donde se visualiza el resultado de la simulación, sin utilizar el comando
“autoescala”
Figura 047. Ícono del comando “autoescala”.
101 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Fig. 048. Vista final de la simulación, en donde es posible observar la estabilidad de la aeronave, además
del tiempo aproximado para el cual esta logra llegar al punto de equilibrio.
102 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Resultados y Conclusiones
103 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Resultados
Es visible la estabilidad del sistema en la figura 048, ya que comparada con la figura 033,
hay una gran diferencia con respecto a la respuesta de cada elemento de la simulación.
Es necesario mencionar que en el programa que simula la dinámica longitudinal de la
aeronave “AvionEV”, fue necesaria la omisión de las constantes aerodinámicas del
empenaje horizontal, debido a la idealización del sistema y de la falta de las demás
superficies de control. Todo esto debido a que al realizar la suma de fuerzas aerodinámicas
totales del modelo, resultaba complicada la simulación debido a un exceso de
perturbaciones. Al hacer esta omisión fue posible estabilizar es sistema y obtener el
resultado positivo al que se pretendía llegar.
La omisión de estas fuerzas para la simulación no demerita la importancia del empenaje
horizontal, siendo este elemento de gran utilidad para lograr la estabilidad longitudinal, como
se ha explicado en el capítulo I, de introducción.
Se puede observar que el tiempo de respuesta de la simulación final es de mas menos 2
segundos, lo cual se puede observar en el eje de las abscisas de la figura 048, siendo este,
el tiempo en el que la aeronave, en este caso, el tiempo en el que la nave regresa a la
estabilidad en vuelo recto y nivelado después de sufrir una perturbación, volando a bajas
velocidades, comprobando así algunos de los datos obtenidos de la ficha técnica de la
aeronave, puesto que esta es una aeronave diseñada para vuelos a baja velocidad,
presentando gran estabilidad. Retomando la idealización del sistema y la omisión de algunas
de las superficies de control.Con la obtención de la estabilidad visible del sistema se logró
comprobar que la aeronave puede conservar la estabilidad longitudinal a bajas velocidades.
104 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Conclusiones
El simulador es punta de lanza en la Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica
U.P. Ticomán, al ser la primera ves que se realiza un proyecto de este tipo como tema de
tesis, no quiere decir que vaya a ser el primero y único, ya que con su realización deseamos
no solo obtener el grado de ingenieros, sino dar las bases para la realización de futuros
trabajos sobre este tema.
Los simuladores son de vital importancia para las industrias aeronáuticas, en especial para
las aerolíneas, ya que en algunas ocasiones resulta más costoso un simulador de vuelo que
la misma aeronave, sin mencionar costos y beneficios que trae consigo tener un simulador,
hablando de mantenimiento e ingresos (como lo pueden ser: rentas a otras aerolíneas para
adiestramiento de pilotos o adiestramiento de los pilotos de la misma aerolínea).
En ocasiones los simuladores son poco valorados, sin ver la importancia verdadera de ellos.
Este caso es fácilmente observable dentro de nuestra escuela, una gran parte de los
trabajos de titulación están enfocados al diseño de elementos físicos de la aeronave sea ala
fija o rotativa, algunos otros hacia el mantenimiento de estos u otros elementos y algunos
otros a reglamentos, manuales, legislaciones, aeropuertos, etc. Lo que nos motivó a la
realización de este proyecto y a la presentación del como tema de tesis. Para la simulación
fueron necesarios conocimientos de diversas materias, y gracias a la asesoría no solo de los
asesores de tesis, sino de otros profesores, se pudieron obtener las formulas y bases por las
cuales se pudo iniciar con el proyecto.
No solo la realización de la simulación es importante como resultado de este proyecto, sino
también darle un apoyo más a la materia de sistemas de control en aeronaves. Y así mismo
darle mayor peso al estudio de esta materia dentro del Instituto Politécnico Nacional, siendo
105 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 que en México deberíamos ser la primer institución en el conocimiento y aplicación de los
sistemas de control aplicados a las aeronaves hablando generalmente, sin dejar ningún área
de la aeronáutica libre de conocimiento y estudio.
106 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Anexo A. Método de obtención de las constantes para realizar
la simulación.
Obtención de las constantes aerodinámicas del ala y del empenaje horizontal.
Esto se logró mediante la utilización del programa Profili 2 versión demo. Programa con el
cual es posible obtener los valores de Cd, Cα y Cm para los perfiles de la aeronave, siendo
en este caso el perfil NACA2412 para el ala y el empenaje horizontal.
Este programa contiene una amplia base de datos sobre perfiles aerodinámicos, y a pesar
de ser utilizado para aeromodelismo, se acerca demasiado a la realidad, con valores muy
similares.
Se buscó en la base de datos los perfiles necesarios y se introdujeron algunos valores
necesarios para que este programa realizara las gráficas a utilizar (altura, cuerda, velocidad,
etc.), con las cuales obtendremos las constantes a usar en la simulación.
Al simular los perfiles, el programa nos permite visualizar las gráficas, pero también existe la
opción de llamarlas en forma de tabla de Excel, lo que es más conveniente al trabajo a
realizar. Se importaron estas tablas a Excel y ahí se graficaron nuevamente de la manera Cl
vs α, Cd vs α y Cm vs α. En las nuevas gráficas se utilizó la opción de línea de tendencia y la
opción de visualizar ecuación de la línea de tendencia. Lo que nos dio para cada gráfica las
constantes a utilizar.
107 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Las cuales son las siguientes
Constantes aerodinámicas del ala
Constantes aerodinámicas del empenaje horizontal
Cd0
0.0141
Cde0
0.0097
Cd1
-0.0412
Cde1
-0.0083
Cd2
0.9256
Cde2
1.145
Cl0
0.146
Cle0
-0.0142
Cl1
6.2798
Cle1
5.8901
Cm0
-0.0531
Cme0
-0.0005;
Cm1
-0.0719
Cme1
0.066
Cm2
1.4071
Cme2
0.1051;
Otros valores utilizados de la aeronave, fueron obtenidos de la ficha técnica de la aeronave y
del perfil mismo, como los son:
Cuerda en la raíz
1.83 metros
Cuerda en la punta
1.22 metros
Cuerda media del perfil
0.4453845 metros
Centro aerodinámico del perfil
0.2227 metros
Área del ala
18.67 metros cuadrados
Área del empenaje horizontal
3.508172 metros cuadrados
Velocidad del viento
13.0838 m/seg
Alphai
-9.1737 °
Distancia entre centros aerodinámicos
4.7361 m
Peso en máximo de la aeronave al despegue
2000 kg
Tabla 004 Parámetros adicionales de la aeronave
108 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Para la solución de nuestro problema partimos de las ecuaciones longitudinales de la
aeronave, las cuales son un sistema de ecuaciones diferenciales no lineales, dicho sistema
se representa matemáticamente de la siguiente forma.
Donde X son las variables de estado de la aeronave
X= [V, α, θ, q]
Lo que se pretende es linealizar el sistema de ecuaciones para obtener un sistema de
ecuaciones lineales.
Para realizar la linealizacion del sistema procedemos a encontrar un punto de equilibrio
donde:
Donde
es el punto de equilibrio y al evaluar este punto en el sistema el resultado debe
ser cero.
Después debemos obtener el jacobiano del sistema.
Se utiliza la matriz A ya que es el jacobiano de nuestro sistema de ecuaciones de la
aeronave, evaluadas en sus variables de estado X = [V,α, θ, q] en un punto de equilibrio
.
Una vez obtenida la matriz A, se procede a obtener el polinomio característico.
Donde
es la Matriz identidad.
109 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Ya que obtuvimos la ecuación del polinomio característico, calculamos los valores de la
raíces del polinomio ya que esta nos indican si el sistema es estable o no.
Como obtuvimos que el sistema es inestable. Obtenemos la matriz B la cual es el jacobiano
de nuestro sistema de ecuaciones de la aeronave evaluadas en las entradas de control que
tenemos U= [d].
De lo cual podemos decir que A es la matriz que representa el movimiento longitudinal de la
aeronave y B es la matriz de control de la aeronave.
Para poder observar matemáticamente la influencia de nuestra matriz de control (B) sobre
nuestra matriz de movimiento (A) debemos resolver la siguiente operación de matrices:
Donde K=[k1,k2,k3..]es una matriz de valores incognitos los cuales obtenemos ya que estos
valores son los que que necesitamos para lograr la estabilidad del sistema.
Para encontrar los valores de la matriz K se tiene que resolver la siguiente operación:
Con esta operación obtenemos su polinomio característico; Obtenemos las raíces de dicho
polinomio en función de K y de λ. Y con un polinomio característico conocido de la misma
forma que tenemos. Podemos
obtener los valores de K, asignándole el valor de las
raícesdel polinomio característico conocido a las λ de nuestro polinomio característico que
tenemos en función de K y λ según el coeficiente de esta última y resolviendo con estos
valores esto podemos obtener los valores de la matriz K, los cuales son los resultados que
nos dan la estabilidad de nuestro sistema de ecuaciones de la aeronave.
110 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Anexo B. Simuladores de vuelo
Simuladores de vuelo
Un simulador de vuelo es un sistema que intenta replicar, o simular, la experiencia de volar
una aeronave de la forma más precisa y realista posible. Los diferentes tipos de simuladores
de vuelo van desde videojuegos hasta réplicas de cabinas en tamaño real montadas en
actuadores
hidráulicos
(o
electromecánicos),
controlados
por
sistemas
modernos
computarizados.
Los simuladores de vuelo son muy utilizados para el entrenamiento de pilotos en la industria
de la aviación, el entrenamiento de pilotos militares, simulación de desastres o fallas en
vuelo y desarrollo de aeronaves.
Breve Historia
Desde la antigüedad el hombre se vio tentado por conquistar el espacio aéreo. Esto lo
podemos ver en las mitologías de todos los pueblos de la antigüedad.
El primer dato histórico que se tiene sobre una máquina voladora, está referido a la paloma
mecánica de Arquitas de Tarento (filósofo pitagórico griego; del 400 a. de J.C.). A quién se
le atribuye la invención del tornillo, de las poleas y de la cometa.
Los primeros estudios de la aviación se le deben a Leonardo de Vinci (1452-1519). Sus
ideas establecieron el método de investigación y trazaron las teorías que más tarde
facilitaron la conquista del aire para la humanidad.
111 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Leonardo de Vinci, comenzó estudiando el vuelo de las aves, se puede ver que la teoría
científica del vuelo había sido expuesta por él mismo, al establecer que el pájaro que es más
denso que el aire, se sostiene y avanza haciendo que el aire sea más denso bajo las alas
por donde pasa el pájaro que por dónde no ha pasado (afirmación que encierra la teoría del
aeroplano moderno).
Historia de los Simuladores de vuelo
Debido a que los vuelos reales son peligrosos para pilotos sin un entrenamiento previo,
desde los primeros días de la aviación, diversos esquemas fueron usados para que los
pilotos pudieran sentir la sensación de volar sin ser realmente aerotransportados.
Estos son solo algunos ejemplos de la gran familia histórica de los simuladores de vuelo.
1.- Simulador de vuelo de 1910, Simulador de vuelo de los primeros días, consistía en un
barril montado en un marco.
Imagen 049. Simulador de Vuelo de 1910, Simulador de Barril.
112 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 2.- SanderTeacher 1910, aeroplano completo montado en una articulación universal que era
orientado hacia el viento con la capacidad de girar e inclinarse libremente.
Imagen 050. SanderTeacher en uso, Diciembre de 1910, www.Flightblobal.com
3.- Link Trainer 1930, la primer versión solo simulaba movimientos mecánicos, para la
segunda versión ya incluía instrumentos de control y fue utilizado durante la Segunda Guerra
Mundial.
Imagen 051Link Trainer del Freeman Field, Seymour, Indiana. Robert B. Parke. The
Pilot Maker. New York: Grosset& Dunlap, 1979, First edition 1970
113 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 4.- Celestial NavigationTrainer 1941, Estructura de 13.7 metros, capaz de acomodar la
tripulación de un bombardero con la intención de adiestrar a la tripulación en misiones
nocturnas. En la versión anterior de 1940, se utilizaron computadoras para resolver las
ecuaciones de vuelo, dando lugar a los primeros simuladores de vuelo.
Imagen 052. Superior izquierda Modelo escala 45:1 del Celestial NavigationTrainer.
Central Esquema del Celestial NavigatonTrainer. Superior derecha fotografía del
CelestailNavigationTrainer (1941), www.britmodeller.com y http://design.osu.edu
5.- En 1948 se desarrolló un simulador de vuelo para el Stratocruiser de Pan American, el
primer simulador de vuelo completo utilizado por una aerolínea, pese a que solo se simuló la
cabina de la aeronave, contó con la aprobación de las tripulaciones.
Imagen 053. Simulador de vuelo
desarrollado para el Boeing 377
Stratocruiser 1948, TheInvertors
Canadian Enterprise, J. J. Brown
114 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 6.- La utilización de las computadoras digitales para la simulación de vuelo empezó en los
años 60
Imagen 054. Diagrama de simulador de
fija, julio de 1960, Analog Flight
base
Simulations
NASA foto E5636. Izquierda
Imagen
055. Simulador de vuelo de transporte de uso
general,
Marzo de 1967, Analog Flight Simulations NASA
foto E18728
7.- En 1969 fueron desarrollados simuladores para aerolíneas con actuadores hidráulicos
controlando cada eje movimiento, así es como los simuladores comenzaron a ser
construidos con sus seis ejes de movimiento: Cabeceo (pith), Alabeo (roll), Guiñada (yaw)
para movimientos angulares y movimientos horizontales (X), laterales (Y) y verticales (Z).
Imagen 056. Cabina de piloto de un
simulador de vuelo comercial de base
móvil. Enero de 1971, Analog Flight
Simulations NASA foto 22438, izquierda.
115 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Imagen 057. Simulador de vuelo del B737 con 6 grados de libertad, The Art of
Flight Simulator.com, derecha
8.- Después de este avance, los desarrollos tecnológicos se enfocaron en las técnicas de
visualización, así en 1972 Singer desarrolló una lente policromada que proyectaba las vistas
del exterior de la cabina, mejorando considerablemente la sensación de vuelo. En los años
80 las imágenes proyectadas de alta definición se convirtieron en el estándar de los
simuladores comerciales.
Imagen 058. Cabina del simulador de
vuelo de la aeronave B-737, pantallas de
alta definición, Laminar air (Academia de
adiestramiento de pilotos).
116 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Simuladores modernos
Hoy en día hay varias categorías de simuladores de vuelo utilizados para el entrenamiento
de pilotos. Las mismas que van desde simples sistemas de entrenamiento básico hasta
simuladores de vuelo con 6 grados de libertad, que son denominados sistemas complejos.
Estos simuladores, de última generación, al igual que los simuladores simples, son
básicamente utilizados para el entrenamiento de pilotos, su función esencial es la de
capacitar a la tripulación en procedimientos normales y de emergencia, antes y durante el
vuelo, practicando innumerables situaciones, tales como: fallas en los sistemas electrónicos,
perdidas de potencia, vientos de cola y muchos otros, que no pueden ser realizados de
forma segura con una aeronave en situaciones reales.
Imagen 059.Full motion simulator flight,
Continental Airlines. Houston Texas.
www.skycrapercity.com
117 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Los simuladores son evaluados por instituciones gubernamentales tales como la
Administración Federal de Aviación de estados unidos (FAA) y Direcciones de Aeronáutica
Civil de diferentes países (DGAC), las mismas que clasifican, regulan y certifican a los
simuladores dependiendo sus categorías en niveles A, B y C. Una de las exigencias para la
certificación de estos equipos es demostrar que sus características de vuelo coinciden
exactamente con las de la aeronave para la cual fue fabricado el simulador, estos
requerimientos de prueba de los simuladores están detallados en guías denominadas ATG –
Guías de Test de Aprobación o QTG – Guías de Test de Calificación.
Simulador real con movimiento completo
Un simulador de movimiento completo, denominado full motion simulator flight, duplica todos
los aspectos de una aeronave y de su entorno, incluyendo movimientos básicos de la
aeronave. Este tipo de simuladores pueden generar movimientos de modo que los
ocupantes sientan un nivel de realismo tal como pasaría en una aeronave real, engañando a
las tripulaciones y haciéndoles creer que estos se encuentran volando. Para poder realizar
esto se combina una serie de aspectos tecnológicos que estimulan el sistema visual y
vestibular de los pilotos. Lo que convierte a la simulación de vuelo en un área de
conocimientos intensivos.
Adicionalmente, muchos simuladores son equipados también con funcionalidades que son
utilizadas por los instructores. Estas estaciones que se encuentran dentro la cabina, son
conocidas como IOS (Instructor Operador Stations), en el cual el instructor puede
rápidamente crear cualquier normal y/o anormal situación en la aeronave simulada o en su
entorno exterior simulado, los mismos que pueden ir desde:
•
Fuego en los motores. •
Mal funcionamiento en el tren de aterrizaje. 118 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 •
Fallas electrónicas. •
Tormentas. •
Rayos. •
Riesgos de colisión con otros aviones. •
Pistas de aterrizaje resbaladizas. •
Fallas en los sistemas de navegación Hasta otros inimaginables problemas con los que la tripulación deberá familiarizarse y sobre
todo saber cómo actuar en cortos instantes de tiempo. La misión de los simuladores reales
con movimiento completo, finalmente, es esencial para los pilotos, el entrenamiento de las
tripulaciones y las empresas aéreas, ya que su objetivo final es el de ahorrar tiempo, dinero
y capacitar a los pilotos para salvar vidas en momentos críticos.
Imagen 060.The Embraer 170/190 Full
Flight Simulator (FFS), Zurich, Suiza,
Baltic Aviation Academy.
119 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 Fuentes de consulta.
Libros
•
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R. Taylor Editorial: McGraw – Hill Book Company.
•
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publications, INC. Páginas 452-453, 462-463.
•
Feedback Systems: An Introduction for Scientists and Engineers. Karl Johan
AstrÄom and Richard M. Murray. Manuscript. 2004 Karl Johan AºstroÄm and Richard
Murray. All rights reserved. 2004
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Company. 1984.
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Wiley and Sons Ltd, 10th Edition. 1995.
•
Aerodinámica tomo II. Aerodinámica teórica y experimental. Carlos Ordoñez
Romero-Robledo. Editorial Unión Tipográfica. Hispano-Americana, S. A. de C. V.
1979.
•
Sistemas de Control para Ingeniería. Normal S. Nise. Editorial Compañía Editorial
Continental. Tercera Edición en ingles, Primer Edición en Español. 2004.
•
Control Systems Engineering. Norman S. Nise. Editorial Wiley International Edition.
Fourth Edition. 2004.
•
Flight Dynamics Principles. Michal V. Cook. Second Edition. M.V. Cook. Published
by Elsevier Ltd. Allrightsreserved, Copyright © 2007.
•
Dinámica de Sistemas. Katsuhiko Ogata. Primera edición en español. Editorial
Prentice-Hall Hispanoamericana S. A. 1987.
120 Simulación en vuelo de la estabilidad longitudinal de la aeronave Cessna 337 •
Aircraft Systems, Ian Moir and Allan Seabridge, Thirt Edition, John Wiley and Sons.
2008.
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Ingeniería de Control Moderna. Katsuhiko Ogata. Tercera Edición. Editorial PrenticeHall Hispanoamericana S. A. 1998.
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