Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 Plan de Estudios: Semestre 1 Intensidad horaria semanal: 3 Hrs T Área: Matemática 1 Hrs P Total horas: 6 de 20 Nº Créditos: Tema: Algebra Básica 1. OBJETIVO • Apropiar los conceptos de algebra básica y establecer la importancia de esta en la solución de problemas • Comprender el significado de una expresión algebraica, su estructura y su aplicabilidad. 2. CONTENIDO Términos semejantes, valor numérico de una expresión algebraica, operaciones entre expresiones algebraicas, Productos notables, Casos especiales de factorización, 3. MARCO TEORICO ALGEBRA BASICA Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo Definición: Dos o más términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y están afectadas por el mismo exponente. Procedimiento Para reducir términos semejantes con el mismo signo se suman los coeficientes de todos los términos y se antepone, al coeficiente total, el mismo signo que comparten, y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplos: Reducir: 1. x + 2x. Solución: El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 1 y 2. La parte literal igual en todos los términos es x. POR LO TANTO 1 + 2 = 3; x + 2x = 3x. 2. 8a + 9a Solución: Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 8 y 9. La parte literal igual en todos los términos es a. Y 8 + 9 = 17; 8a + 9a = 17a. 3. 11b + 9b Solución: El signo común a todos los términos es el +. Los coeficientes de los términos son 11 y 9. La parte literal igual en todos los términos es b. Y 11 + 9 = 20; 11b + 9a = 20b. Ejemplo suplementario (Ejercicio Algebra de Baldor) Reducción de más de dos términos semejantes de signos distintos Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 Procedimiento Para reducir un polinomio con más de dos términos semejantes y con signos distintos, se procede así: 1) Se reducen a un solo término todos los positivos. 2) Se reducen a un solo término todos los negativos. 3) Se calcula la diferencia entre los coeficientes de los términos hallados en los dos pasos anteriores. 4) El signo que precederá la diferencia hallada en el paso anterior será el que tenga el coeficiente mayor en valor absoluto de los términos hallados en los pasos (1) y (2). 5) Por último, se escribe la parte literal. Ejemplos: Reducir: Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 Valor numérico de 20 Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 Valor numérico de expresiones simples Procedimiento 1. Se reemplaza cada letra por su valor numérico 2. Se efectúan las operaciones indicadas Ejemplos: Hallar el valor numérico de las expresiones siguientes para: Suma de polinomios de 20 Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 Procedimiento 1. Se ordenan los polinomios 2. Se escriben los polinomios, uno debajo de otro (cada polinomio en una fila diferente); y de tal forma, que los términos semejantes queden en la misma columna 3. Se reducen los términos semejantes: a. Se suman los términos positivos b. Se suman los términos negativos c. Se establece la diferencia entres los resultados obtenidos en a y b d. En el total, el signo que lleve el término corresponderá al del número mayor, en valor absoluto, de las sumas en a y b 4. Se dibuja una línea debajo de la última fila; y debajo de esta línea se escriben los términos, ya reducidos en el paso 3, con sus respectivos signos Ejemplos: Hallar la suma de: 3. Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 4. Resta de polinomios Procedimiento 1. Se identifican tanto el minuendo como el sustraendo 2. Se escribe el minuendo con su propio signo y a continuación el sustraendo con signo cambiado. O también, el minuendo en una fila y en la fila inferior el sustraendo, cada término con el signo cambiado; y, cada término en la misma columna que su semejante. 3. Se reduce la expresión resultante Nota1: el minuendo es la cantidad de la que se resta otra cantidad. El sustraendo es la cantidad que se resta de otra. Nota2: dos términos son semejantes cuando tienen las mismas letras y afectadas por el mismo exponente. Ejemplos: Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 Restar: 4. 5. de 20 Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 Multiplicación de monomios Procedimiento 1. Se multiplican los signos entre si (aplicando la "ley de los signos") 2. Se multiplican los coeficientes numéricos 3. Se multiplica la parte literal: "para multiplicar potencias de la misma base, se escribe la base común y se eleva a un exponente igual a la suma de los exponentes de los factores" Ejemplos: Multiplicar Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 Productos notables Cuadrado de la suma de dos cantidades Procedimiento 1. Se identifica tanto el primero como el segundo término del binomio 2. "El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual a, el cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad" 3. Para elevar un monomio al cuadrado, se eleva el coeficiente al cuadrado y se multiplica el exponente de cada letra por 2 Ejemplo Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 s: Producto de dos binomios de la forma (x + a)(x + b) Procedimiento 1. El desarrollo de los paréntesis da un trinomio 2. El primer término será el cuadrado del primer término de los paréntesis (igual en ambos) 3. El segundo término será el producto de la suma de los términos independientes por el primer término común de los paréntesis 4. El tercer término será el producto de los términos inde pendientes Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 Ejemplos: Cociente de la diferencia de los cuadrados de dos cantidades entre la suma o la diferencia de las cantidades Procedimiento 1. Factorizamos la diferencia de cuadrados en el numerador 2. Simplificamos. Ejemplos: Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 Cociente de la suma o diferencia de los cubos de dos cantidades entre la suma o diferencia de las cantidades Procedimiento 1. Factorizamos la diferencia o la suma, según el caso, de cubos en el numerador 2. Simplificamos. Ejemplos: Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 Descomposición factorial Factor común de 20 Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 Procedimiento 1. Se identifica el factor común 2. Se divide cada término del polinomio por el factor común 3. Se escribe el factor común y a continuación, dentro de un paréntesis, los cocientes hallados en el paso anterior (cada uno precedido de su respectivo signo) Ejemplos: Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 Trinomio cuadrado perfecto de 20 Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 Definición: Una cantidad es un cuadrado perfecto cuando es el resultado del producto de dos factores iguales. Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer términos 3. Se halla el doble producto de las raíces obtenidas en el paso anterior 4. Si el producto hallado en el paso anterior es igual al segundo término del trinomio y si el primero y tercer términos tienen igual signo, se trata de un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza como tal. 5. Se escribe dentro de un paréntesis las raíces cuadradas del primer y tercer términos, separadas por el signo del segundo término, y el paréntesis elevado al cuadrado. Trinomio de la forma x2 + bx + c Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 Procedimiento 1. Se ordena el trinomio 2. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 3. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 4. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 5. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis 6. Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 7. Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 9. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8 Trinomio de la forma ax2 + bx + c Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 Para factorizar esta clase de trinomios se lleva a la forma y se Factorizar 1. Se multiplica y divide el trinomio por el coeficiente del primer término, esto es por a 2. Se escribe el trinomio de una forma adecuada (de la forma x2 + bx+ c) 3. Se abren dos paréntesis, en cada uno de los cuales se escribirá un binomio 4. Se saca la raíz cuadrada del primer término del trinomio, esta raíz será el primer término de cada uno de los paréntesis 5. El signo que separe al binomio del primer paréntesis será el segundo signo del trinomio 6. Se aplica la "ley de los signos" al producto de los signos del segundo y tercer términos del trinomio; éste será el signo que separe el binomio del segundo paréntesis 7 Si los signos son iguales, se buscan dos números cuya suma sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 8 Si los signos son diferentes, se buscan dos números cuya diferencia sea igual al coeficiente del segundo término del trinomio y cuyo producto sea igual al tercer término del trinomio 9. El mayor de los números hallados en uno de los pasos anteriores será el segundo término del primer paréntesis, el menor de los números será el segundo término del segundo paréntesis 10. Si el tercer término es un número muy grande se descompone en sus factores primos para facilitar la búsqueda de los números requeridos en los pasos 7 y 8 11. Se factorizar los paréntesis que tengan factor común 12. Se simplifica Nota: siempre es posible eliminar el denominador. Ejemplo: Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 EJERCICIOS PROPUESTOS (RESOLVER LOS SEÑALADOS EN COLOR ROJO) 1. Evalúe cada polinomio para los valores dados: a) 4x2 –x +3 x=-2 b) x2/3 –3x +5 x=3/2 c) –x2 +7 x =5 d) 4xy –8y2 x=3 y=0,5 2. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios: (a, b, c y d) a) 8x -3x+7x= b) 3x +9y –2x –6y= c) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 = d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c = e) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c= Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 3. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomios a) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)= b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)= 4. Dados los polinomios A: 2b2c –3b + 6c B: 4b - c2b + 12 b2c C: 4 – 2c Ejecute las siguientes operaciones: a) A + B= b) A - C= c) B - A= 5. Reduce los términos semejantes, resolviendo previamente los paréntesis, cuando corresponda: (2, 4, 6, 8 ) 1. 7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b = 2. 35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y = 3. 24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c = 4. 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) = 5. 9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } = 6. -( x - 2y ) - { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) } = 7. 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} = 8. 8x - ( 1 9. 1 3 3 3 y + 6z - 2 x ) - ( -3 x + 20y ) - ( x + y + z ) = 2 4 5 4 1 1 1 9x + 3 y - 9z - 7x y 2z 5 x 9 y 5z 3z 3 2 2 Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 6. Resolver los siguientes productos (del 1 al 10) 1) (m+3)2 2) (5+x)2 3) (6a + b)2 4) (7x + 11)2 5) (1+ 3x2)2 6) (2x + 3y)2 7) (4m5 + 5n6)2 8) (am + an)2 9) (a – 3)2 10) (2a – 3b)2 11) (x2 – 1)2 12) (x + y)(x – y) 13) (a –x)(x + a) 14) (2a– 1)(1 + 2a) 15) (2m + 9)(2m – 9) 16) (a3 + b2)(a3 – b2) 17) (1 – 8xy)(1 + 8xy) 18) (x + y +z)(x + y – z) 19) (2a – b – c)(2a – b + c) 20) (a + 1)(a + 2) FACTORIZACIÓN 1. Expresa como un producto de tantos factores como sea posible: de 20 Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 a) 3b – 6x = c) 20u2 – 55u = e) 6x –12y + 18= g) 14c – 21d – 30= i) 30m2n2 + 75mn2 – 105mn3 = k) 14mp + 14mq – 9np – 9nq = m) 175ax + 75ay – 25bx – 15by= ñ) 10abx2 + 4ab2x2 – 40aby2 – 16ab2y2 = p) 25a – 30ab + 15ab2 = r) 144y2 – 256 = v) 25x6 – 4y4 = x) xy – x + 3z – 6 = z) 15 + 5x + 3b + xb = de 20 b) 5x – 5 = d) 16x – 12 = f) 15x + 20y – 30= h) 152x2yz – 114xyz2= j) 28pq3x + 20p2qx2 – 44p3qx + 4pqx= l) 21ax + 35ay + 20y + 12x = n) 20abc – 30abd – 60b2c + 90b2d = o) 4g2 + 2gh = q) m2 – 64 = s) 144 – 9x2= w) ap + aq + bm + bn= y) x2 + xy + xz + yz= z’) ab + a – b – 1 = 2. Expresar como un producto: a) x2 + 6x + 8= c) x2 + 10x – 56= e) y2 – 7y – 30= g) x2 – 5x – 84= i) x2 + 7x – 120= b) x2 – 16x + 63= d) x2 –13x – 48 = f) x2 – 14x + 48= h) x2 + 27x + 180= j) x2 –30x + 216= 3. Completar el desarrollo del cuadrado de un binomio: a) c) e) g) x2 + 10x + ......... m2 – ......... + 36n2 ......... + 42x + 49 289z2 + 340 z + ........... b) d) f) h) y2 –18y + ........... p2 + ............ + 64p2 .......... – 390y + 225 64x2 – 80xy + ............ 4. Expresar como un cuadrado de binomio: a) g2 + 2gh + h2 = c) x2 + 2xy + y2 = e) a2 – 2a + 1 = g) 9x2 –12xy + 4y2 = b) 225 – 30b + b2 = d) p2 – 2pq + q2 = f) m2 – 6m + 9= h) 36n2 + 84pn + 49p2 = 5. Simplificar las siguientes expresiones, aplicando los criterios de factorización que corresponda: a) 48a 72ab b) 25a 2b = 75ab 2 c) 96m3n 2 32m4 n 3 d) 3(a b) 5(a b) Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 m) 4 y2 4 y 1 6x 3 e) 4a 4b 5a 5b n) f) ( a b) 2 c 2 p) 2 a (b c) 2 i) 4. 24 x 18 y 44 x 33 y x 2 6x 8 = x 2 7 x 12 3x 6 y = 5x 10 y ñ) g) 1 64c 6 q) 1 4c 2 j) x 2 16 = x 2 8 x 16 x 2 4 x 12 x 2 8 x 12 x 2 xy xy y 2 x 2 7 x 10 r) x 2 25 k) 9 x 2 30 x 25 6 x 10 o) h) de 20 64 u 2 u 13u 40 2 8x 7 y 64 x 2 49 y 2 x2 x 2 s) 2 x 3x 2 l) x 2 25 x 2 x 20 ACTIVIDADES DE INVESTIGACIÓN - A partir de la entrega de la guía de Algebra Básica, el estudiante genera un plan de acción con estrategias claras para mejorar y aclarar dudas sobre los conceptos relacionados. - Visitar al Aula virtual http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/algebra.htm para fortalecer los contenidos de la presente guía. 5. CRITERIO E INSTRUMENTO DE EVALUACION Desarrollo de la actividad presentada a partir de los siguientes criterios: . Coherencia de la temática determinada. . Participación de los estudiantes. . Desarrollo de la prueba escrita. . Desarrollo de guía para tiempo extra clase. 6. BIBLIOGRAFIA - Algebra de Baldor Corporación Universitaria Minuto de Dios Regional Bogotá – Sur GUIA DE CATEDRA Materia Fundamentos de matemática Guía N. 04 F. Elaboración agosto 2012F. 1° Revisión agosto 25 2012 Pagina 1 de 20 1. Mirsky, Lawrence (1990) An Introduction to Linear Algebra Library of Congress. p.72-3. ISBN 0-486-66434-1. • Leonhard Euler, Elements of Algebra, 1770. English translation Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions [1] 2006, [2] 1822. • Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs. http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm TOMADO DEL BANCO DE DATOS CIENCIAS BÁSICAS UNIMINUTO REGIONAL SUR