Trabajo de Investigación Unidad #1 ¿ Qué es lógica ?

Trabajo de Investigación
Unidad #1
¿ Qué es lógica ?
Es la ciencia de las proposiciones y las demostraciones que se basan en un razonamiento para llegar a una
conclusión, ya sea verdadera o falsa.
Elementos:
Negación
Este operador lógico cambia el valor de verdad de las proposiciones de verdadero a falso o viceversa. Se
simboliza por ¬ y se lee ¨´NO¨´.
Conjunción
Este operador lógico se relaciona con dos proposiciones para formar una tercera proposición que es la
conjunción de las dos primeras. Se representa por el símbolo ^ que se lee ´´´I¨´´. En español la ´´I´´ de
propsición se hace generalmente con la conjunción copulativa Y, pero a veces se hace con otras. Por ejemplo
¨´´pero´´
Disyunción
Este operador lógico relaciona 2 proposiciones para formar una tercera proposición que es la disyunción de las
dos primeras. Se representa con el símbolo ¨V´´ que se lee ´´o´´.
La palabra o permite una doble interpretación en español.
Enunciación Hipotética
Este operador lógico tiene una gran importancia por medio del condicional simple también conocido como
´´explicación lógica´´ se puede construir una nueva proposición llamada antecedente o hipótesis y de otra
llamada consecuente o tésis. La simbología es ´´ ´´ que se lee ´´entonces´´.
Bicondicional
Es un operador lógico que relaciona dos proposiciones y se simboliza por ´´ ´´ y se lee ´´si y solo si´´.
Disyunción Exclusiva
La disyunción exclusiva sirve para determinar una conclusión, pero no las dos a la vez. Se simboliza ´´ v´´ y
se lee ´´o´´ pero no ambas.
Proposición
¿Qué es una proposición?
Proposición.− Es toda oración o enunciado al que se le puede asignar un cierto valor (V o F).
1
Si no puede concluir que es verdadero o falso no es proposición. Ejemplo
• Hoy es lunes (falso). Si es proposición ya que se puede verificar.
• El árbol es grande. Como no se puede concluir si es verdadero o falso, no es una proposición.
•
Las proposiciones se denotan con letras minúsculas. Ejemplo:
p, q, r, a, b, etc.
Clases de proposiciones
Hay dos clases de proposiciones:
• Proposiciones simples y compuestas, también llamadas atómicas y moleculares respectivamente.
•
a. Proposiciones Simples.− También denominadas atómicas. Son aquellas proposiciones que no se pueden
dividir. Ejemplo:
El cielo es azul. (verdadero)
Nomenclatura: p
b. Proposiciones Compuestas.− También denominadas moleculares. Son aquellas que están formadas por
dos o más proposiciones simples unidas por los operadores lógicos. Ejemplo:
Fui al banco, pero el banco estaba cerrado.
Los lectores de este libro son jóvenes o universitarios.
Si el miércoles próximo me saco la lotería entonces te regalaré un auto.
Conectivos (Operadores) Lógicos.−
Son aquellos que sirven para formar proposiciones más complejas (compuestas o moleculares).
Conectivos Lógicos:
NOT
AND
OR
OR exclusivo
Conectivo
¬
^
v
v
Prop. Compuesta
Negación
Conjunción
Disyunción inclusiva
Disyunción exclusiva
Condicional
Bicondicional
Tablas de verdad de los Conectivos Lógicos
A. Negación.−
Ejemplo:
2
p.− Juan conversa
−p.− Juan no conversa
B. Conjunción.−
Ejemplo:
P: La casa está sucia.
Q: La empleada la limpia mañana
P Q: La casa esta sucia y la empleada la limpia mañana
C. Disyunción.−
D. Disyunción exclusiva.−
Ejemplo:
P: Pedro juega básquet
Q: María juega fútbol
PvQ: Pedro juega básquet o María juega fútbol.
E. Condicional.−
Ejemplo:
P:Si me saco la loteria
Q: Te regalaré un carro
P Q: Si me saco la lotería entonces te regalaré el carro.
F. Bicondicional.−
Ejemplo
P: Simón Bolivar vive
Q: Montalvo está muerto
P Q: Simón Bolivar vive si y solo si Montalvo está muerto.
Traducción de proposiciones compuestas de lenguaje común a lenguaje formal.−
Para realizar este proceso seguimos los siguientes pasos:
• Identificar las proposiciones simples.
• Dar nombre a cada proposición simple.
3
• Identificar los conectivos utilizados.
• De los conectivos identificar el principal.
• Traducir al lenguaje formal.
Ejemplo:
Berta es atractiva o Claudia es atractiva, pero no ambas.
p: Berta es atractiva
q: Claudia es atractiva
Estudio o trabajo, pero si tomo mis vacaciones no trabajo.
p: Estudio
q: Trabajo
r: Tomo mis vacaciones
Condicional.−
Antecedente Consecuente
Cond. Suficiente Cond. Necesaria
Para leer un condicional se puede usar la siguiente forma de parafrasear:
• Si p entonces q.
• Si p, q
• P implica q
• P solo si q
• P es suficiente para q
• Q si p
• Q para que p
• Q es necesario para p
Para reconocer la forma del condicional (parafraseo), en el caso que no sea p es suficiente para q, realizamos
la siguiente pregunta:
¿Qué es suficiente para ... ? y como respuesta obtenemos el antecedente del condicional.
4
¿Qué es necesario para ... ? y como respuesta obtenemos el consecuente del condicional. Ejemplo:
Pienso luego existo
¿Qué es suficiente para que piense?
¿Qué es necesario para que exista?
P: Pienso
Q: Existo
Recíproca, inversa y contra recíproca de una condicional
Proposición directa p
q (Si p, entonces q.)
Recíproca q
p (Si q, entonces p.)
Inversa (contraria) ¬p
¬q (Si no p, entonces no q.)
Contra recíproca ¬q
¬p (Si no q, entonces no p.)
Ejemplo:
Pienso entonces existo
P: Pienso
Q: Existo
Original: P −Q:
Inverso: P−Q: No pienso entonces no existo.
Recíproca: Q−P: Existo puesto que pienso.
Contrarecíproca: q −p: No existo puesto que no pienso.
Formas Proposicionales
Existen 3 formas proposicionales:
• Tautológicas
• Contradicciones
• Falacias
5
Tautológicas.− Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado verdadero.
Contradicciones.− Es aquella forma proposicional que siempre da como resultado falso.
Falacias o Indeterminada.− Es aquella forma proposicional que siempre es verdadera y falsa a la vez.
Condición Suficiente.−
H es condición suficiente para C.
Ejemplo:
Si llueve hoy entonces me mojo
HC
Condición Necesaria.−
C es condición necesaria para H, si la enunciación hipotética A−B es verdadera se dice que A es una
condición suficiente para B. Bajo las mismas condiciones , se dice que B es una condición necesaria para A.
Esquemáticamente:
A−B Dónde
A: Condición suficiente para B
B: Condición necesaria para A
Propiedades del Álgebra de proposiciones.
a. Conmutativa.−
b. Asociativa.−
c. Distributiva.
d.
Identidad.
6
e. Absorción.
f. Leyes de Morgan.
g. Doble Negación.
Razonamiento
Las formas proposicionales que están constituidas por una o más hipótesis o premisas y por una conclusión.
Estructura
Conjunto de premisas Conclusión
Un razonamiento es válido si y solo si el condicional formado es tautológico.
Ejemplo:
Si hay lluvias, hay cosechas; si hay enfermedades, no hay cosechas; hay heladas o hay enfermedades; no hay
enfermedades. Por lo tanto, hay lluvias.
1.− Identificamos las hipótesis y la conclusión, que en este caso son separadas por ;.
H1.− Si hay lluvias, hay cosechas.
H2.− Si hay enfermedades, no hay cosechas.
H3.− Hay heladas o hay enfermedades.
H4.− No hay enfermedades.
C.− Hay lluvias.
2.− Determinamos las proposiciones simples:
7
p: Hay lluvias
q: Hay cosechas
r: Hay enfermedades
s: Hay heladas
3.− Traducimos al lenguaje formal.
H1:
H2:
H3:
H4:
C:
4.− Entonces estructuramos el razonamiento.
8