Tema 5: Operación de amortización. Préstamos ∏ ∑

Tema 5: Operación de amortización. Préstamos
1. Planteamiento general de la operación de amortización con
intereses pospagables.
Recibe esta denominación toda operación de prestación única y contraprestación
múltiple:
Prestación: {(C0, t0)}
Contraprestación: {(a1, t1), (a2, t2), …, (an, tn)}
El capital de la prestación recibe la denominación de capital prestado, nominal o
principal. Los capitales de la contraprestación tienen como finalidad la devolución del
capital prestado y el abono de los intereses devengados por el aplazamiento de pago y se
denominan términos amortizativos.
a1
C0
t0
i1
t1
a2
as-1
t2
ts-1
i2
as
is
as+1
ts is+1 ts+1
an
tn-1 in
tn
Por lo general, la operación de amortización se plantea en base a una ley de
capitalización compuesta y, en ese caso, las ecuaciones de equivalencia vienen dadas
por las siguientes expresiones:
 t −t
 n 


L t; t n  = 1 + i 

 

-En el origen, t0:
C 0 = a 1 (1 + i1 ) −1 + a 2 (1 + i1 ) −1 (1 + i 2 ) −1 + K + a n (1 + i1 ) −1 ⋅ K ⋅ (1 + i n ) −1 =
n
r
r =1
h =1
= ∑ a r ∏ (1 + i h ) −1
[1.]
-En el final, tn:
C 0 ⋅ (1 + i1 ) ⋅ (1 + i 2 )...(1 + i n ) = a 1 ⋅ (1 + i 2 )...(1 + i n ) + a 2 ⋅ (1 + i 3 ) ...(1 + i n ) + ...... + a n −1 ⋅ (1 + i n ) + a n
n
n −1
n
h =1
r =1
h = r +1
C 0 ∏ (1 + i h ) = ∑ a r ∏ (1 + i h ) + a n
[2.]
La reserva matemática, o saldo financiero, de la operación Cs , tiene la
interpretación de deuda pendiente de amortizar (capital vivo) en el momento de su
cálculo. Suele utilizarse el concepto de reserva por la derecha y calcularse por el
método prospectivo:
R s+ = C s =
n
r
r =s +1
h =s +1
∑ a r ∏ (1 + i h ) −1
[3.]
sin embargo, no existe ningún problema para calcularla por el método retrospectivo:
1
s−1

s
s
C s = C 0 ∏ 1 + i h  −  ∑ a r ∏ 1 + i h  + a s 

  r =1 h =r +1 
h =1 


[4.]
La evolución del capital vivo a lo largo de la operación se obtiene a partir del
cálculo de la reserva por el método recurrente:
C s = C s−1 (1 + i s ) − a s
[5.]
de forma que operando se llega a:
a s =  C s−1 − Cs  + Cs−1i s = A s + I s


[6.]
donde:
As : se denomina cuota de amortización y se define como la variación sufrida por
el capital vivo durante el periodo (ts-1,ts).
Is : se denomina cuota de interés del periodo (ts-1,ts) y se define como el producto
del capital vivo en ts-1 por el tipo de interés del periodo.
as : es el término amortizativo, suma de las dos cuantías anteriores.
Es importante recordar que en toda operación financiera de amortización
la cuantía del término amortizativo se destina en primer lugar al pago de la cuota
de interés y que sólo en el caso de que sea superior a ésta existirá amortización del
capital, o, lo que es lo mismo, cuota de amortización mayor que cero.
De la definición de cuota de amortización se desprenden de forma inmediata las
siguientes relaciones:
n
C0 = ∑ A h
h =1
n
s
h =s+1
h =1
Cs = ∑ A h = C 0 − ∑ A h
[7.]
pudiéndose introducir, además, una nueva variable Ms, denominada capital amortizado
hasta el momento s, que se define como:
n
n
s
h =1
h = s +1
h =1
M s = C0 − Cs = ∑ A h − ∑ A h = ∑ A h
[8.]
Todas estas relaciones pueden representarse gráficamente:
C0
A1
I 1 a1
A1
C1
A2
...
An
t0
i1
t1
I2
A2
i2
a2
In
C2
t3
tn-1 in
An an
Cn
tn
2
I1=C0i1
A1=C0-C1
a1=A1+I1
I2=C1i2
A2=C1-C2
a2=A2+I2
………
………
………
In=Cn-1in
An=Cn-1-Cn→
an=An+In
Cn=0
Suele resultar útil recoger la evolución de las variables básicas de la operación en
una tabla denominada cuadro de amortización, en la que aparecen sus valores para
cada uno de los periodos de la operación.
Las distintas modalidades de amortización, método francés, americano, cuotas
constantes, etc., proceden de imponer determinadas condiciones a la evolución de estas
variables.
Problema 1
Construir el cuadro de amortización de una operación con las siguientes condiciones:
Prestación (10.000.000, 0)
Contraprestación [(2.000.000, 1), (3.000.000, 2), (4.000.000, 3), (3.589.636, 4)]
Tipos de interés de valoración : i1= 10% i2 = 9% i3 = 8% i4=7%
Periodo Rédito Término amortizativo
n
i
a
0
1
0,1
2000000
2
0,09
3000000
3
0,08
4000000
4
0,07
3589636
Cuota de interés
I
1000000
810000
544800
234836
Cuota de Amortización
A
1000000
2190000
3455200
3354800
Capital Vivo
C
10000000
9000000
6810000
3354800
0
Capital amortizado
M
0
1000000
3190000
6645200
10000000
Amortización - Método General
12,000,000
11,000,000
10,000,000
10,000,000
9,810,000
9,000,000
8,000,000
C u a n t ía
7,354,800
6,810,000
6,000,000
3,589,636
4,000,000
3,354,800
2,000,000
0
0
0
1
2
3
4
Periodo
3
2. Préstamo americano
Se trata de una operación de amortización en la que al final de cada período se
pagan exclusivamente los intereses devengados en el mismo, dejando la amortización
del principal para el final de la operación. Este método de amortización implica, por
tanto, las siguientes condiciones equivalentes:
a1 = I1 = C0i1; a 2 = I 2 = C0i 2 ; ...; a n −1 = I n −1 = C0i n −1; a n = I n + A n = C0i n + C0
[9.]
A1 = 0 ; A 2 = 0 ; ... ; A n −1 = 0; A n = C0
[10.]
C 0 = C1 =
... = C n −1 ; C n = 0
[11.]
cuya representación gráfica se recoge en la figura:
a1
C0
C1
a2
C2
Cn-1
an
Cn=0
t0
t1
t2
tn-1
tn
Problema 2
¿Cuál es la cuantía que habrá que pagar al final de cada mes para amortizar un capital
de 20.000€ en 5 años si la operación se plantea por el método americano al 4,25%
nominal anual?
3. Préstamo francés
Se utiliza esta denominación para el caso de operación con términos amortizativos
constantes y valoradas a tipo de interés constante. Es decir:
a 1 = a 2 = ... = a n = a
i1 = i 2 = ... = i n = i
[12.]
La ecuación de equivalencia en t0, tomará la forma:
y en tn:
C0 = a a n | i
[13.]
C 0 (1 + i) n = a ⋅ s n | i
[14.]
4
El valor de la reserva por la derecha en ts por el método prospectivo es:
y por el método retrospectivo:
C s = a ⋅ a n −s | i
[15.]
C s = C 0 (1 + i) s − a ⋅ ss | i
[16.]
Si se plantea el cálculo de la reserva por el método recurrente para dos periodos
consecutivos y se procede a su resta, resulta:
C s = C s−1 (1 + i) − a
C s+1 = Cs (1 + i) − a
C s − C s+1 = (Cs−1 − C s )(1 + i)
[17.]
A s+1 = A s (1 + i) → A s = A1 (1 + i) s−1
Se comprueba, así, que las cuotas de amortización varían en progresión geométrica
de razón (1+i), donde i es el tipo de interés efectivo periodal de la ley interna
correspondiente al periodo al que están referidas las cuotas de amortización. De esta
forma, el valor de cualquier cuota de amortización puede obtenerse a partir del valor de
la primera y ésta, a su vez, a partir de la descomposición del primer término
amortizativo:
a 1 = C 0 i + A1 → A 1 = a − C 0 i
[18.]
Problema 3
En una operación de préstamo francés a 3 años pactada al 4% nominal anual, obténgase:
a) Cuantía del término amortizativo trimestral necesario para amortizar un capital de
60.000€.
b) Capital vivo al año y dos meses.
c) Descomposición del 6º término amortizativo.
4. Préstamo con cuotas de amortización constantes.
En este método la cuantía destinada a la devolución del capital prestado es constante
para todos los periodos de la operación y los términos amortizativos se obtienen
sumando a dicha cuantía la correspondiente cuota de interés. Es decir,
A1 = A 2 = ... = A n = A
→ a s = Cs −1 is + A
[19.]
La cuantía constante de la cuota de amortización se calcula a partir de la relación:
n
C
[20.]
C0 = ∑ A h = n ⋅ A → A = 0
n
h =1
En consecuencia el capital vivo en ts se obtiene:
Cs = Cs −1 − A = C0 − s ⋅ A = ( n − s) A
[21.]
5
Problema 4
Obténganse los términos amortizativos de una operación de préstamo por importe de
15.000€, cuotas de amortización semestrales constantes, tres años de duración y pactada
al 4% nominal anual.
5. Préstamo con términos amortizativos variables en
progresión geométrica.
Se trata de amortizar el capital (C0 , t 0 ) mediante términos amortizativos de la
forma:


2
n −1
(a , t1 ), (aq, t 2 ) (aq , t 3 ) ,..., (aq , t n ) 


con la condición q > 0 y siendo el tipo de interés constante.
La ecuación de equivalencia en el origen para (1+i)≠q tiene la siguiente expresión:
1 − (1 + i) − n q n
[22.]
C 0 = A(a , q ) n | i = a
1+ i − q
que permite obtener la cuantía del primer término. A partir del valor de éste se obtienen
los restantes, que son crecientes en progresión geométrica.
La reserva matemática en ts por la derecha, por el método prospectivo para (1+i)≠q:
1 − (1 + i) − ( n − s ) q n − s
[23.]
Cs = A(aq , q ) n − s| i = aq
1+ i − q
Especial interés, por su frecuente utilización, tiene un caso particular de este método
en el que los términos amortizativos son constantes durante el periodo pero crecientes
en progresión geométrica de periodo a periodo. Es decir,
s
s
1er año : a1,1 = a1,2 = ... = a1, m = a
2º año : a 2,1 = a 2,2 = ... = a 2, m = a ⋅ q
3º año : a 3,1 = a 3,2 = ... = a 3, m = a ⋅ q 2
………………………………..
n º año : a n ,1 = a n ,2 = ... = a n , m = a ⋅ q n −1
con m: el número de términos de igual cuantía pagados en cada periodo (ts-1, ts].
C0 a a … a aq aq … aq
t0
m
t1
t2
…
…
aqn-2aqn-1 aqn-1…aqn-1
tn-1
tn
En este caso, para resolver la operación basta utilizar las correspondientes
expresiones de las rentas variables en progresión geométrica fraccionadas. Es decir:
6
Para (1+i)≠q, la ecuación de equivalencia financiera en el origen:
C0 = A ( m ) ( m ⋅ a, q ) n | i =
y la reserva matemática en tS :
Cs = A ( m ) ( m ⋅ a ⋅ q s , q ) n − s| i =
1 − (1 + i) − n q n
i
m⋅a
1+ i − q
j( m)
[24.]
i
1 − (1 + i) − ( n − s ) q n − s
m ⋅ a ⋅ qs
j( m)
1+ i − q
[25.]
con m el número de términos de igual cuantía en cada periodo.
Problema 5
Obténganse los términos amortizativos de una operación de préstamo de 100.000€ y
cuatro años de duración pactada al 6% nominal en los siguientes casos:
a) Términos amortizativos anuales crecientes en progresión geométrica de razón q =
1’15.
b) Términos amortizativos mensuales, constantes durante el año y crecientes año a año
en progresión geométrica de razón q = 1’15.
6. Préstamos indexados o indizados.
Las operaciones de amortización indexadas son operaciones posdeterminadas en las
que su coste o rendimiento, que sólo puede conocerse a posteriori, depende de alguna
manera de la evolución de un índice de referencia.
En el mercado español, la práctica totalidad de las operaciones de esta naturaleza
llevadas a cabo, corresponden a la categoría de las de “indexación en la cuota de
interés”. Es decir, se trata de operaciones en las que, la cuantía de dicha cuota, no es
conocida de antemano sino que depende de la evolución de un índice de referencia
representativo de la evolución de los tipos de interés de mercado.
Estas operaciones tienen el siguiente esquema:
1. La duración total de la operación se divide en lo que se denomina “períodos de
interés”, que son aquellos períodos en los que el tipo de interés de valoración
permanecerá constante sea cual sea la evolución del índice de referencia. Estos
períodos no tienen porqué coincidir con los correspondientes al pago de los términos
amortizativos.
2. Al contratar la operación se fija el tipo de interés a aplicar al primer período de
interés.
3. Los tipos de interés aplicables a los restantes períodos se obtendrán, a partir de los
valores que tome el índice de referencia, según el procedimiento pactado en el
contrato.
En dicho procedimiento deberán determinarse los siguientes aspectos:
a) El valor del índice de referencia aplicable a cada período- último valor
publicado, media del mes anterior, etc.- y cómo se recogerá dicho valor- tal y
como se publica, redondeado al alza, etc.
b) El índice que se utilizará en el caso de que el escogido en primer lugar dejara de
estar disponible.
7
c) La relación entre dicho índice y el tipo de interés del período. La forma más
habitual de establecer esta relación, pero no la única, es la siguiente:
js (m) = i rs ± d
is
(m)
=
js (m)
m
donde:
js(m): Tipo de interés nominal aplicable al período (tS-1, tS).
irs :
Valor del índice de referencia para el mismo período obtenido
según el procedimiento pactado en el contrato.
d:
Diferencial constante para toda la operación.
is(m): Tipo de interés efectivo subperiodal aplicable para obtener la
cuota de interés.
4. Una vez establecido el procedimiento para obtener el tipo de interés de valoración
de cada período, la operación puede adoptar dos modalidades de amortización:
términos amortizativos de cuantía predeterminada y duración variable, o términos
amortizativos de cuantía variable y duración fija.
A) Términos amortizativos predeterminados → duración variable.
En este caso se determina, en el momento inicial, la cuantía de los términos
amortizativos que pueden ser constantes, lo más frecuente, o seguir una determinada ley
de variación.
Dicha cuantía se obtiene por acuerdo entre las partes, atendiendo al importe de la
operación, al nivel de tipos de interés, y a la duración deseable para la operación. Por lo
general en esta modalidad se determina también una duración máxima.
Al quedar fijados en el momento inicial los términos amortizativos, la cuantía de la
cuota de amortización dependerá de la diferencia entre dicho importe, conocido, y el de
la cuota de interés resultante de la evolución del índice de referencia. Así, si los tipos de
interés se incrementan se alargará la duración de la operación y se acortará si sucede lo
contrario.
El último término amortizativo de la operación deberá, como en cualquier otro caso,
ser suficiente como para cancelar la deuda pendiente y, por tanto, sólo por casualidad
será de la cuantía prevista inicialmente. Por lo general su importe será menor del
previsto pero en el caso de haberse alcanzado el plazo máximo su importe será mayor.
De esta forma, si en el momento tS, la reserva por la izquierda C-s >as, la operación se
prolongaría un período más. Si fuese menor o igual, o se hubiese alcanzado el plazo
máximo de la operación, entonces se haría C-s =as.
Problema 6
Obténganse el último término amortizativo de la siguiente operación de préstamo con
indexación de la cuota de interés:
-C0 : 120.000€.
-Términos amortizativos semestrales de 16.500€.
-Duración máxima de la operación: 4 años.
-Periodos de interés anuales.
-Tipo de interés nominal anual aplicable al 1er periodo: 4,50%
-Resto de la operación: valor del índice de referencia más 1 punto porcentual.
sabiendo que el índice de referencia ha tomado los siguientes valores:
i r 2 = 0,05 ; i r 3 = 0,06 ; i r 4 = 0,055
8
B) Términos amortizativos variables → duración fija.
En este caso los términos amortizativos serán variables, recogiendo la variación del
índice de referencia, y, por tanto, la duración es predeterminada.
Existen dos modalidades:
B.1) “Préstamo francés indexado”. En estos momentos es la modalidad más utilizada
y consiste en plantear la operación como sucesivos préstamos por el método francés,
tantos como períodos de interés tenga ésta.
Al inicio de cada período de interés se cancela teóricamente el préstamo anterior
y se plantea un nuevo préstamo por el importe del capital vivo. Cada uno de estos
préstamos se resuelve como si efectivamente se tratara de un préstamo con términos
amortizativos constantes y tipo de interés fijo, utilizando el tipo de interés de valoración
del período en que supuestamente se inicia, que será el resultante de la aplicación de las
condiciones contractuales. La cuantía de la prestación de cada uno de los préstamos será
el capital vivo del anterior y la duración el número de períodos de interés que restan
hasta el vencimiento pactado contractualmente.
Por tanto, la operación tendrá el siguiente esquema:
Prestación: (C0, t0) .
Duración de la operación: n años.
Términos amortizativos con periodicidad m.
Períodos de interés de amplitud (ts-1,ts].
Tanto nominal aplicable al primer período de interés:
j ( m)
j1(m)→ i1( m ) = 1
m
Tanto nominal aplicable al resto de la operación:
j ( m)
para s = 2, 3, ..., n.
js (m) = i r ,s ± d → i s( m ) = s
m
En estas condiciones:
Primer período de interés:
Términos amortizativos:
a1 =
C0
[26. ]
a nxm | i
(m)
1
Capital vivo al finalizar el primer período de interés:
C1 = a 1 a ( nxm ) −m| i ( m )
1
[27.]
Segundo período de interés:
Términos amortizativos:
a2 =
C1
a nxm −m | i
[28.]
2
(m)
9
Capital vivo al finalizar el segundo período de interés:
C 2 = a 2 a nxm −2 m | i ( m )
2
[29.]
n-ésimo período de interés:
Términos amortizativos :
an =
C n −1
am| i
n
→
Cn= 0
[30.]
(m)
La operación resultante, al seguir este procedimiento, presentará términos
amortizativos constantes durante cada período de interés y que irán variando en los
sucesivos dependiendo de la evolución del índice de referencia.
Problema 7
Obténganse los términos amortizativos de un préstamo francés indexado de 75.000€ de
nominal y tres años de duración, con las siguientes condiciones:
Términos amortizativos mensuales.
Periodos de interés anuales.
Tipo nominal aplicable al primer periodo : 6%.
Resto de la operación: valor del índice de referencia más 0,75 puntos porcentuales.
Sabiendo que valor del índice de referencia para los restantes periodos ha sido:
i r 2 = 0,05 ; i r 3 = 0,045
B.2) Cuotas de amortización prefijadas. En este caso se determina, en el momento
inicial, la cuantía de las cuotas de amortización (por lo general constantes) y los
términos amortizativos se obtienen, para cada período, sumando al importe de la cuota
de amortización la cuota de interés resultante de la evolución del índice de referencia.
Problema 8
Obténganse los términos amortizativos de la siguiente operación indexada:
- C0 : 90.000€.
- n : 4 años.
- Cuotas de amortización anuales constantes.
- Periodos de interés anuales.
- Tipo de interés aplicable al primer periodo: 4%
- Resto de la operación: valor del índice de referencia más 0,25 puntos porcentuales.
sabiendo que el valor de los índices de referencia ha sido:
i r 2 = 0,035 ; i r 3 = 0,03 ; i r 4 = 0,0275
10
CUESTIONES TEÓRICAS TEMA 5.
1.- Dada una operación financiera de amortización con términos amortizativos anuales
constantes y tipos de interés variables para cada periodo; obtenga la descomposición del
término amortizativo a partir de la reserva por el método recurrente en ts-1 y ts. Explique
el significado de las variables obtenidas.
2.- Razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: “En todas las operaciones de
amortización indexadas, la duración depende de la evolución del índice de referencia”.
3.- Obtenga razonadamente las expresiones que permitirían calcular los componentes
del 2º año del cuadro de amortización de una operación de préstamo con las siguientes
características:
- Capital prestado: C0
- Cuotas de amortización anuales constantes
- Pago semestral de intereses
- Duración de la operación: 3 años
- Tipo de interés nominal: j(2)
Indique el significado de las variables que aparecen en el mismo.
4.- Razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: “En una operación de
amortización mediante el método americano, se cumple que C0≥C1≥C2≥…≥Cn, siendo
Cs el valor de la reserva matemática por la derecha en el momento s”.
5.- Dada una operación de amortización con términos amortizativos constantes y
valorada a tipo de interés constante, encuentre una expresión equivalente a:
C s = a ⋅ a n −s | i
6.- Dada una operación de amortización con términos amortizativos constantes y
valorada a tipo de interés constante, deduzca razonadamente la ley de recurrencia de las
cuotas de amortización.
7.- Razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: “En todas las operaciones de
amortización es necesario conocer el tipo de interés de valoración para poder calcular el
Capital pendiente de amortizar”.
8.- Razone si es verdadera o falsa la siguiente afirmación: “Las operaciones de
amortización indexadas son operaciones predeterminadas en las que su coste o
rendimiento se conoce desde el momento inicial”.
9.- En una operación de amortización con capital (C0, t0) y términos amortizativos de la
forma:
(a, t1 ), (aq, t 2 ) (aq 2 , t 3 ) ,..., (aq n−1 , t n )
con la condición q>0 y siendo el tipo de interés constante, encuentre una expresión
equivalente a:
Cs = A(aq s , q ≠ (1 + i)) n − s|i
{
}
11
10.- Explique razonadamente a qué tipo de operación de amortización sería aplicable la
siguiente expresión:
Cs = Cs −1 − A = C0 − s ⋅ A = (n − s ) A
11.- En una operación financiera de amortización con términos amortizativos anuales
constantes y tipos de interés constantes para cada periodo, demuestre razonadamente
que se verifica la siguiente relación:
n
C 0 = ∑ Ah = A1 S n i
h =1
12