Relación entre el vector gradiente y la derivada direccional

33
Resulta:
  (t) continua en [0,t] (por que para funciones de una variable se cumple que
si es derivable es continua)


  (t) derivable en (0,t) (trabajamos en [0,t] porque (0)=F( x o )y  (t)=F( x o +

tv )
Por el T. del valor medio para funciones de una variable, se cumple que:
 c entre 0 y t /  (t) -  (0) = t. ‘ (c)
Calculamos , por def. ’(c)




F(x 0  (c  )v)  F(x 0  cv)
(c  )  (c)
 lím

 0
 0







F[(x 0  cv)  v]  F(x 0  cv)

 
' (c)  lím
 F' (x 0  cv; v)
 0

' (c)  lím
Reemplazando se tiene que:




 
 c entre 0 y t / F( x o + t v )- F( x o ) = t . F’( x o + c v ; v )

Propiedad de homogeneidad de la derivada direccional.


Consideremos F:A R, con ARn , entonces R, F’( x o ;  v ) y se cumple que:

 

F’( x o ;  v ) = F’( x o ; v )
Demostración:
Por definición de derivada
direccional:



F
(
x

t
 v)  F( x 0 )


0
F’( x o ;  v ) = lím
=
t
t 0
lím
t 0



F( x 0  t v)  F( x 0 )

=
t
multiplicamos y dividimos por 

F’( x o ;



F( x 0  t v)  F( x 0 )
 

 v ) =  lím 
=  F’ ( x o ; v ) ( por def. de deriv.)
t
t 0

 

Luego: F’( x o ;  v ) =  F’ ( x o ; v )

Aditividad de las derivadas direccionales
 
Consideremos un campo escalar F: A R con ARn  n  2, y sean u y v dos verso
res de Rn respecto de los cuales F tiene derivadas direccionales continuas en x o
  



 

Si w  u  v , entonces existe F’( x o ; w ) = F’( x o ; u ) + F’( x o ; v )
Por definición de derivada respecto de un vector:

F’( x o ;





F(x 0  t w)  F( x 0 )
F( x 0  t (u  v ))  F( x 0 )

= lím
=
w ) = lím
t
t
t 0
t 0
34


F( x 0  t u )  t v )  F( x 0 )
= lím
t
t 0


Sumamos y restamos en el numerador F ( x0  t u ) y agrupamos convenientemente , entonces:

F’( x o ;




F[(x 0  t u )  t v ]  F(x 0  t u)  F(x 0  t u)  F(x 0 )

=
w ) = lím
t
t 0








F( x 0  t u )  F( x 0 )
F[(x 0  t u )  t v] F( x 0  t u )
= lím
 lím
t
t
t 0
t 0


En el primer sumando tenemos, por definición: F’( x o ; u ); y en el numerador del segundo aplicamos el T. del Valor medio:


F’( x o ;

 
t. F'[ x o  t u   v; v]



con  entre 0 y t.
w )= F’( x o ; u ) + lím
t
t 0
0
t

Resulta que cuando t0, también 0,entonces, por la continuidad pedida a las derivadas direccionales se tiene:



 

F’( x o ; w )= F’( x o ; u ) + F’( x o ; v )

Las derivadas parciales como casos particulares de derivadas direccionales
Si para el campo escalar F: A R con ARn  n  2, se calculan las derivadas direccionales con respecto a los versores de la base considerada, se obtienen las derivadas
parciales.
Es decir que si a
i = n

xo= 

i e i , se le aplica derivada de F en la dirección de ei se ob-
i=1
tiene la derivada parcial de F en la dirección de e i .
F‘

( xo,



F ( x 0  t ei ) F ( x 0 )  F 


e i ) = lím
=
t
 xi  
t 0
X0

Cálculo de derivadas direccionales en función de las derivadas parciales

Consideremos un campo escalar F: A R con ARn  n  2, y sea v un versor de Rn .

Supongamos además que F tiene derivadas parciales continuas en x o .
Como las componentes de un versor son los cosenos directores del mismo:
35

v=
n


cos  i e i , utilizando las propiedades de homogeneidad y aditividad de las
i=1
derivadas direccionales se tiene:
n
n






F’( x o ; v )= F’( x o ;  cos  i e i ) =  cos  i F’( x o ; e i )
i =1
i=1
Para campos escalares de tres variables, con derivadas parciales continuas es:





F’( x o ; v )= F’x( x o ). cos 1 + F’y( x o ). cos 2 + F’z( x o ). cos 3

siendo v = cos 1 i + cos 2 j + cos 3 k

Gradiente
Consideremos un campo escalar F: A R con ARn  n  2 con derivadas parciales
respecto de todas sus variables en todo punto de B  A Rn.
Se llama gradiente de F al campo vectorial definido de B en Rn mediante:
 F  F
 F
Grad. F = 
;
;....
 .
 xn 
  x1  x2

También se utiliza para designarlo al “operador” nabla:  F = Grad. F
Relación entre el vector gradiente y la derivada direccional

Consideremos F: A R con ARn  n  2, ,sea v un versor de Rn expresado a partir

de sus cosenos directores, Es decir: v =
n


cos  i e i
i=1

Supongamos además que F tiene derivadas parciales continuas en x o .punto interior de
A.
Vimos que la derivada direccional puede expresarse en función de las derivadas parciales
n
 F


F’( x o ; v )=  cos  i .
.
 xi  X
i=1
0
n F



 F ( x0 ) = 
. e i , se tiene que la deri
 xi 
i=1


vada direccional en x o es igual al producto escalar entre el vector gradiente de F en x o y




el versor v . Significa que la derivada direccional en x o es la proyeccción del F ( x o )

sobre v .


 
 
Proy v (  F ( x0 ) ) =  F ( x0 ) . v (pues proyectar un vector sobre otro significa multiplicarlo
Como el vector gradiente de F en

x o es:
escalarmente por el versor correspondiente)
36
Pero el segundo miembro coincide con la fórmula obtenida para la derivada direccional,
entonces:
  v
F 
(
x
)


F( x 0 ). v
 0
v

Si F tiene derivadas parciales continuas en x o la derivada direccional de F en la direc



ción de v en x o es igual a la proyección del vector gradiente de F en x o sobre v .
(Recordar que la proyección de un vector sobre otro es un número).
Ejemplo:
Verificamos el resultado obtenido en la página 31
  2
 

2

;
Calcular F’( P o ; v ) siendo F(x;y) = x2 –2xy; Po =(1;1) y v = 
2 
 2
Como F es polinómica, podemos asegurar que tiene derivadas parciales continuas y, por
lo tanto es válido aplicar la fórmula de derivada direccional en función del gradiente.

F’x= 2x-2y  F’x( Po )=0
F’y= -2x



  F(Po )  (0;2)
 F’y( Po )= -2
  
 
 2 2
 2
Resulta: F’( P o ; v )=   F(Po )  v  (0;2)  
;
2 
 2
Por otra parte , la proyección de un vector sobre otro es máxima cuando las direcciones
de ambos coinciden; mínima cuando los vectores son de la misma dirección pero tienen
sentidos opuestos y nula cuando las direcciones son perpendiculares. Entonces:

La derivada direccional es máxima en la dirección y sentido del vector gradiente.
Como en ese caso cos = 1, resulta que el valor de la máxima derivada direccional en un punto es el del módulo del gradiente en dicho punto.

 F 

máx.  ( x0 )   F ( x0 )
 v

La derivada direccional es mínima en la dirección del vector gradiente pero en
sentido opuesto. Como en ese caso cos = - 1, resulta que el valor de la mínima
derivada direccional en un punto es menos el módulo del gradiente en dicho punto.

F 

(mín.  ( x 0 )    F ( x 0 )
v
37

La derivada direccional en un punto es cero en la dirección perpendicular a la
del vector gradiente en dicho punto. (Las direcciones son perpendiculares si y sólo
si el producto escalar es nulo).
( Para campos escalares de dos variables, recordar que cos  2 = sen  1)
Ejemplos:

Dados los siguientes campos escalares y el punto Po que en cada caso se indica, hallar

la o las direcciones en las que la derivada direccional en Po es máxima .
a) F(x;y)=
F’x =
F’y =

1
x2
x2


1 x2
en Po =(2;-2)

x y
2x
y

continuas en Po ,la dirección de máxima derivada está dada

por el vector gradiente en Po
y2

 F(Po ) =(-5/2;1)
 
F(Po )
v
 
F(Po )

Luego la dirección de máxima derivada es
5 
;1

1 
2   5


;
=

29
 29 29 
2
 xy2

si ( x; y)  (0;0)

b)1F(x;y)=  x 2  y 2
en Po =(0;0)

si ( x; y)  (0;0)
0
Por la forma en que está definida la función, es más sencillo obtener la derivada direccional por definición que analizar si las derivadas parciales son o no continuas.

Supongamos que consideramos un versor genérico de R2 , u  (h; k) .
Resulta:
 
F' (Po ; u ) 



 
F(Po  t u )  F(Po )
F( th; tk)  F(0;0)
lím
 F' (Po ; u )  lím
t
t
t 0
t 0
th.(tk) 2
 
( th) 2  ( tk) 2
F' (Po ; u )  lím
t
t 0

0
ya que u  (h; k) es un versor.
1
Ejercicio de final. Tema 11 .1.b)
t 3 hk 2
hk 2
t 2 (h 2  k 2 )

 hk 2 pues h2+k2=1,
2
2
t
t 0
h k
 lím
38
Este resultado nos permite asegurar que la función tiene derivada en cualquier dirección y sentido. Podemos escribir esta derivada en función de h:
 
F’( Po ; u) =h(1-h2)=h-h3
Como se pide la o las direcciones en la que la derivada direccional es máxima, y la función a maximizar es de una variable, se buscará el valor de h que anula la derivada primera y que hace negativa a la derivada segunda.
Es decir:
Sea  (h)= h – h3, entonces ’ (h)= 1-3h2
1
. Pero ” (h)=-6h, permite asegurar que la derivada direccional es
3
1
máxima cuando h=
.
3
2
Como | k| = 1 h 2 , se tiene |k| =
. Entonces las direcciones en la que la derivada
3
 1
6
2   3 6   3

=
y
;
direccional es máxima son: 
;
;



3 
 3 3  3 3   3
1-3h2 =0  |h|=
NOTA: Obsérvese que si se trabaja con el vector gradiente, la dirección de máxima
derivada en un punto es única. El haber obtenido dos direcciones indica que la fórmula
del gradiente no es aplicable en este caso.
Derivación de campos vectoriales :

Derivada direccional: Definición


Consideremos F: A  R m , con A  R n , ( n  2, m  2) , un punto X0  (x1; x2; ...;x n )


interior a A, v un vector de Rn, v su correspondiente versor.



Llamamos derivada direccional de F en la dirección de v en X o , al límite para t0
 
  
F( X 0  tv)  F( X o )
de
.
t  

La indicamos F ' ( X 0 ; v).
 
  
  
F( X 0  tv)  F( X o )
Resulta: F ' ( X 0 ; v).= lím
con t  R
t
t 0